8.1 成对数据的统计相关性【4大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.1 成对数据的统计相关性 题型预览 题型一 判断两个变量是否有相关关系 题型二 判断正、负相关 题型三 相关系数的意义及辨析 题型四 相关系数的计算 知识清单 变量间的相关关系 相关关系的定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系． 【注意】相关关系与函数关系的异同点 (1)相同点：均是指两个变量的关系 (2)不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系 散点图及其应用 (1)散点图：为直观地描述成对样本数据中两个变量间的关系，用横轴表示其中的一个变量，纵轴表示另一个变量，则成对样本数据都可以用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． (2)散点图的作用 如果散点图中变量的对应点分布在某条曲线的附近，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关性，如图(1)(2)．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关性，如图(3)． (3)正相关与负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． (4)线性相关与曲线相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 样本相关系数 (1)一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多． (2)样本相关系数r＝． (3)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【注意】　样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关； 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 题型突破 题型一 判断两个变量是否有相关关系 1．（25-26高二下·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 4．（25-26高二·全国·寒假作业）有下列关系； ①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③柑橘的产量与气温之间的关系； ④森林的同一种树木，其横断面积直径与高度之间的关系． 其中具有相关关系的是__________．（填序号） 题型二 判断正、负相关 5．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（   ） A．年我国粮食产量逐年增加 B．年我国粮食产量的中位数为万吨 C．年我国粮食产量的极差为万吨 D．年我国粮食产量与年份负相关 6．（24-25高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高二·全国·专题练习）（多选）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有线性相关关系的是（  ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 9．（2026高三·全国·专题练习）（多选）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得经验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定错误的是（   ） A．y与x负相关且 B．y与x负相关且 C．y与x正相关且 D．y与x正相关且 10．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 题型三 相关系数的意义及辨析 11．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 12．（25-26高二下·浙江宁波·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 B．样本相关系数越大，则线性相关性越强 C．随机变量X的方差，期望，则 D．若随机变量X服从正态分布，且，则 13．（25-26高三下·上海·月考）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·江苏南通·月考）（多选）下列结论正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 15．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 16．（25-26高三下·上海·月考）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 题型四 相关系数的计算 17．（2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 18．（2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 19．（2026高三·全国·专题练习）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎．某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，．现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数．请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ 参考数据：，. 相关系数. 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． 21．（25-26高二下·全国·课堂例题）现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：； 若，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 22．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 强化训练 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 2．（24-25高二下·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A．B．C． D． 3．（16-17高二上·河北石家庄·月考）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量相互独立的可能性就越大 C．随机变量服从正态分布，若，则实数 D．若随机变量的方差，则 5．（25-26高二下·安徽淮北·月考）（多选）下列结论正确的有（    ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则 C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 6．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 B．若回归方程为，则变量y与x成负相关 C．若随机变量X服从正态分布，则 D．样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系 7．（25-26高三上·四川内江·月考）（多选）下列有关说法正确的有（    ） A．设随机变量服从正态分布，若，则 B．记两个变量的样本相关系数为，若越大，线性相关程度越强 C．已知随机变量，则 D．数据1，3，9，4，5，16，7，11的中位数为7 8．（25-26高二下·全国·单元测试）若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.93，0.42，，则线性相关程度最强的一组是________．（填甲、乙、丙中的一个） 9．（25-26高二上·全国·课前预习）设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示： 变量x … 变量y … 两组数据和的__________是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量，其计算公式为，其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． 10．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 11．（2025·河北沧州·模拟预测）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. (1)求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 12．（25-26高三上·湖北宜昌·月考）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. (1)求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； (2)已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 成对数据的统计相关性 题型预览 题型一 判断两个变量是否有相关关系 题型二 判断正、负相关 题型三 相关系数的意义及辨析 题型四 相关系数的计算 知识清单 变量间的相关关系 相关关系的定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系． 【注意】相关关系与函数关系的异同点 (1)相同点：均是指两个变量的关系 (2)不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系 散点图及其应用 (1)散点图：为直观地描述成对样本数据中两个变量间的关系，用横轴表示其中的一个变量，纵轴表示另一个变量，则成对样本数据都可以用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． (2)散点图的作用 如果散点图中变量的对应点分布在某条曲线的附近，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关性，如图(1)(2)．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关性，如图(3)． (3)正相关与负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． (4)线性相关与曲线相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 样本相关系数 (1)一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多． (2)样本相关系数r＝． (3)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【注意】　样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关； 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 题型突破 题型一 判断两个变量是否有相关关系 1．（25-26高二下·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义可得. 【详解】选项B，C，D中的两个变量都具有相关性，且都是一种不确定的关系，是相关关系. 而A中判别式和变量是一种确定的表达式，是一种函数关系，即一种确定的关系，所以不是相关关系. 故选：A 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 【答案】AC 【分析】根据相关关系与函数关系的概念，可得答案. 【详解】汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多． 可得A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭的经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系． 故选：AC. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 【答案】②④ 【分析】利用相关关系的定义求解. 【详解】在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系； 在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； ③为确定的函数关系； 在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 故答案为：②④. 4．（25-26高二·全国·寒假作业）有下列关系； ①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③柑橘的产量与气温之间的关系； ④森林的同一种树木，其横断面积直径与高度之间的关系． 其中具有相关关系的是__________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据相关关系的定义，逐一分析每个关系是否为不确定的依存关系，从而确定具有相关关系的序号. 【详解】相关关系是变量间不确定的依存关系，非函数关系. ①炼钢时钢水含碳量与冶炼时间，存在不确定依存，是相关关系； ②曲线上点与坐标是一一对应函数关系，不是相关关系； ③柑橘产量与气温，存在不确定依存，是相关关系； ④树木横断面直径与高度，存在不确定依存，是相关关系. 故答案为：①③④ 题型二 判断正、负相关 5．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（   ） A．年我国粮食产量逐年增加 B．年我国粮食产量的中位数为万吨 C．年我国粮食产量的极差为万吨 D．年我国粮食产量与年份负相关 【答案】AB 【分析】利用条形图结合中位数、极差以及相关性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，年我国粮食产量逐年增加，A正确． 对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确． 对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误． 对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误． 6．（24-25高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由散点图的特征，结合相关系数的定义即可得到答案． 【详解】由散点图的趋势可知，，，， 又图一的散点图比图三的散点图更为集中，则，所以， 又图二的散点图比图四的散点图更为集中，则，所以， 所以． 故选：D． 7．（2025高二·全国·专题练习）（多选）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有线性相关关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据散点图的特征逐一验证即可得到答案. 【详解】由题意， 对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：呈正相关关系，分布在一条直线附近，具有线性相关关系；故B正确； 对于C：两个变量具有负相关关系，分布在一条直线附近，具有线性相关关系；故C正确； 对于D：两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关，故D错误. 故选：BC. 8．（2025高三·全国·专题练习）某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 【答案】B 【分析】根据数据分析可直接得出结论. 【详解】由题意，利润中位数是， 而且随着利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正线性相关关系． 故选：B． 9．（2026高三·全国·专题练习）（多选）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得经验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定错误的是（   ） A．y与x负相关且 B．y与x负相关且 C．y与x正相关且 D．y与x正相关且 【答案】AD 【分析】由负相关、正相关的概念逐个判断即可； 【详解】对于A：由可知y与x正相关，错误； 对于B：由可知y与x负相关，正确； 对于C：由可知y与x正相关，正确； 对于D：由可知y与x负相关，错误； 故选：AD 10．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 题型三 相关系数的意义及辨析 11．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】由题意知，样本数据所对应的点均在直线上，而直线的斜率， 说明解释变量和响应变量之间正相关，即，且线性相关程度达到最强，所以. 12．（25-26高二下·浙江宁波·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 B．样本相关系数越大，则线性相关性越强 C．随机变量X的方差，期望，则 D．若随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【详解】1，2，4，5，6，12，18，20该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，所以A正确； 样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，所以B错误； 因为，由方差，期望，可得，所以C正确； 因为且，所以， 所以，所以D正确. 13．（25-26高三下·上海·月考）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 14．（25-26高二下·江苏南通·月考）（多选）下列结论正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 【答案】AD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误； 对于C，在线性回归分析中，若 值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 15．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 【答案】BC 【分析】利用百分位数定义计算可得A；利用对立事件概率公式与相互独立事件定义计算可得B；利用平均数、极差与中位数的性质计算可得C；利用相关系数定义可得D. 【详解】对A：，故这组数据的第60百分位数为，故A错误； 对B：由，则， 故事件A与B相互独立，故B正确； 对C：新数据的平均值为，极差为， 中位数为，故C正确； 对D：若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，故D错误. 16．（25-26高三下·上海·月考）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据线性相关系数的性质与线性相关程度判断即可. 【详解】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. 题型四 相关系数的计算 17．（2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【答案】(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 18．（2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)，具有很强的正相关性 (2) 0 1 2 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 19．（2026高三·全国·专题练习）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎．某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，．现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数．请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ 参考数据：，. 相关系数. 【答案】模型②的拟合程度更好 【分析】比较相关系数的大小即可得到结论. 【详解】设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. 20．（25-26高二下·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． 【答案】答案见解析 【分析】根据相关系数的计算结果来判断变量之间的相关性. 【详解】由题意，变量与的相关系数， 变量与的相关系数是， 可以看出TC指标值与BMI值，GLU指标值与BMI值都是高度正相关． 21．（25-26高二下·全国·课堂例题）现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：； 若，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 【答案】这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系 【分析】根据线性相关关系的概念，以及相关系数计算公式，求出相关系数，判断两组数据是否具有线性相关关系即可. 【详解】由题意知， ， ， ，，． 所以样本相关系数． ，故我们可以认为与之间具有较强的线性相关关系． 即这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系． 22．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【详解】（1），， 故样本相关系数 . （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 强化训练 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念判断即可. 【详解】①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关关系． 故选：C 2．（24-25高二下·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图的特征得到答案. 【详解】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． 3．（16-17高二上·河北石家庄·月考）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论． 【详解】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关； 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关； 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关． 故选：D 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量相互独立的可能性就越大 C．随机变量服从正态分布，若，则实数 D．若随机变量的方差，则 【答案】C 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越小，说明两个变量相互独立的可能性就越大，故B错误； 对于C，随机变量服从正态分布，若， 则由正态分布的对称性可得，故C正确； 对于D，若随机变量的方差，则，故D错误. 5．（25-26高二下·安徽淮北·月考）（多选）下列结论正确的有（    ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则 C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 【答案】AD 【详解】对于选项A：因为随机变量，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，故C错误； 对于选项D：由正态曲线的性质可知，是上的增函数，故D正确． 6．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 B．若回归方程为，则变量y与x成负相关 C．若随机变量X服从正态分布，则 D．样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系 【答案】ABD 【详解】将已知数据排序得12，14，15，17，19，23，27，30， 由，第六个数为23，即第70百分位数是23，故A正确； 由于，所以变量y与x成负相关，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 当越小时，相关性越弱，所以当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故D正确. 7．（25-26高三上·四川内江·月考）（多选）下列有关说法正确的有（    ） A．设随机变量服从正态分布，若，则 B．记两个变量的样本相关系数为，若越大，线性相关程度越强 C．已知随机变量，则 D．数据1，3，9，4，5，16，7，11的中位数为7 【答案】AC 【详解】对A：因为，且，所以正态曲线的对称轴为，故A正确； 对B：两个变量的样本相关系数为，则越大，线性相关程度越强，故B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大顺序排列得：1，3，4，5，7，9，11，16， 其中位数是第4与第5两个数的平均数，为，故D错误. 8．（25-26高二下·全国·单元测试）若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.93，0.42，，则线性相关程度最强的一组是________．（填甲、乙、丙中的一个） 【答案】丙 【分析】利用相关系数与线性相关程度的关系可得答案. 【详解】两个变量与的回归模型中， 它们的相关系数越接近于1，这个模型的两个变量线性相关程度就越强， 在甲、乙、丙中，所给的数值中的绝对值最接近1， 所以丙的线性相关程度最强． 故答案为：丙 9．（25-26高二上·全国·课前预习）设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示： 变量x … 变量y … 两组数据和的__________是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量，其计算公式为，其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． 【答案】线性相关系数 【分析】利用线性相关系数的定义分析即可. 【详解】根据相关系数的定义，， 其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． 和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量. 故答案为：线性相关系数 10．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 11．（2025·河北沧州·模拟预测）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. (1)求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【详解】（1），， 故样本相关系数. （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 12．（25-26高三上·湖北宜昌·月考）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. (1)求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； (2)已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 【答案】(1)，相关性强 (2)分布列见解析 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为 . 由于相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强. 故，故销售金额和月份编号成很强的正相关性. （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 20个月中有8个月的销售金额低于平均数，有12个月的销售金额不低于平均数， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $