精品解析：山东菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乘积展开后的项数为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 如图，线段AB是函数的图像，则（ ） A. B. C. 3 D. 4. 1800的正约数的个数为（ ） A. 18 B. 28 C. 36 D. 46 5. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 6. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 7. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 的单调减区间是 D. 10. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（ ） A. 三次股子后所走的单位数可以是12 B. 三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C. 三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D. 回到点处的所有不同走法共有24种 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______. 13. 甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 14. 函数有两个零点，则m的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 16. 已知为实数， （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若在和上都是递增的，求的取值范围． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． （1）比20000大的五位偶数共有多少个； （2）从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ （3）能被6整除的五位数有多少个． 19. 已知函数 ， （1）求函数的单调区间. （2）若 对任意 成立，求正实数的取值范围. （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乘积展开后的项数为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】分析每个括号组成情况，采用分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】从第一个括号中选一个字母有3种方法， 从第二个括号中选一个字母有2种方法， 第三个括号中选一个字母有4种方法， 故根据分步乘法计数原理可知共有（项）． 故选：D 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求得，令，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得. 故选：A. 3. 如图，线段AB是函数的图像，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义，结合图像即可求解； 【详解】因为， 根据图像， 所以. 故选：D. 4. 1800的正约数的个数为（ ） A. 18 B. 28 C. 36 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】首先将1800进行质因数分解，对于不同的质因数，有不同的正约数个数，再利用分步乘法计数原理即得答案. 【详解】首先将1800进行质因数分解可得， 对于，正约数有，共4个正约数； 对于，正约数有，共3个正约数； 对于，正约数有，共3个正约数， 根据分步乘法计数原理可知1800的正约数的个数为. 故选：C. 5. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数的极小值点，符合题意，所以. 故选：B 6. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果． 【详解】解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况； 再排甲，也有3种情况； 余下3人有种排法．故共有种不同的情况． 故选：C. 7. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，构造函数，利用其单调性求解. 【详解】因为， 令，则， 所以在上递增， 所以，所以， 所以，故C错误； ， 因为定义在R上的函数满足， 所以函数是奇函数，所以，即，故A正确； ，即，B错误； ，，D错误， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 的单调减区间是 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，，因此函数在是递增，在上递减， 不是极值点，是的极大值点，A错误，B正确； 的单调减区间是，，C正确，D错误. 故选：BC 10. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（ ） A. 三次股子后所走的单位数可以是12 B. 三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C. 三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D. 回到点处的所有不同走法共有24种 【答案】BC 【解析】 【分析】利用列举法可得点数和为8和16的所有情况，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8，16，故A错误，B正确： 在点数中三个数字能够使得和为8，16的有125，134，116，224，233，466，556， 在组合125，134，每种情况可以排列出种结果，共有种结果； 在116，224，233，466，556各有3种结果，共有种结果， 其中点数之和超过10的走法为466，556，共有种，故C正确； 根据分类计数原理知共有种结果，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则， 因此，. 故答案为：. 13. 甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 【答案】30 【解析】 【详解】设3所学校分别为A，B，C，先把甲乙两人安排到不同学校，有种， 不妨设甲在A，乙在B，只需剩余2人至少有1人去C即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有6×5=30种不同安排方法． 方法二：先将4人分成三组，共有种分法，其中甲、乙在一组的分法只有一种， 所以满足题意的分组方法有种， 再将三组分配到3所学校，共有种分配方法， 所以不同的安排方法共有种方法. 14. 函数有两个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，换元令，原题意等价于与有2个交点，根据导数的几何意义结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 令，可知在内单调递增， 原题意等价于在定义域为有2个零点， 令，可得， 可知与（过原点的直线）有2个交点， 对于，则， 设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为， 代入点，得，解得，即切线斜率， 结合图象可知：若与有2个交点，则，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案； （2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程. 【小问1详解】 ，因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 16. 已知为实数， （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若在和上都是递增的，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再求出在上的单调性，即可求解； （2）根据条件有，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 又，则，解得， 所以，， 令，得到或， 当时，，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，， 所以在上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 因为，易知的图象过点，且开口向上， 又在和上都是递增的， 则需满足，即，解得. 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 18. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． （1）比20000大的五位偶数共有多少个； （2）从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ （3）能被6整除的五位数有多少个． 【答案】（1）240 （2）352 （3）108 【解析】 【分析】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可； （2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案； （3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可. 【小问1详解】 根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； 【小问2详解】 根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； 【小问3详解】 根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 19. 已知函数 ， （1）求函数的单调区间. （2）若 对任意 成立，求正实数的取值范围. （3）证明: 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间； （2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得的最小值为，从而可得结果； （3）原不等式等价于即，由（1）可得的最大值为，利用导数可求得的最小值为，从而可得结论. 【小问1详解】 ，，. 令，解得；令，解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 由，即， 又，整理得， 所以 “对任意成立”等价于“对任意恒成立”. 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. ， 又是正实数，即，. 即所求实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以 等价于 . 由（1）知， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 对恒成立， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $