第六章 竖直面内运动的两种模型和临界问题 学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理导学案聚焦竖直面内轻绳和轻杆模型的临界条件，以及水平圆周运动临界问题，通过对比两种模型的临界条件衔接圆周运动基本规律，搭建从基础规律到模型应用的学习支架，帮助学生梳理不同模型的受力特点与运动条件。 以模型建构为核心，通过表格对比、典型例题及分层习题引导学生运用科学推理分析临界条件，深化运动与相互作用观念，培养科学思维，习题设计贴近学生认知，助力学生掌握圆周运动问题的分析方法，提升解决实际问题的能力。

人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 习题课3　竖直面内运动的两种模型和临界问题 题型一　竖直面内圆周运动的轻绳和轻杆模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ v临＝0 讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 【例1】(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(　　) A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为 D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 【例2】如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的距离。 题型二　水平圆周运动中的临界问题 1．与摩擦力有关的临界问题 (1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Ff＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2．与弹力有关的临界问题：压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 3．解题思路 (1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。 (2)分析该状态下物体的受力特点。 (3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。 【例3】如图所示，把质量为0.6 kg的物体A放在水平转盘上， A的重心到转盘中心O点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为3 N，g取10 m/s2，求： (1)转盘绕中心O以ω＝2 rad/s的角速度旋转时A相对转盘静止，转盘对A摩擦力的大小与方向。 (2)为使物体A相对转盘静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的最大值。 【例4】如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？ 【习题巩固】 1．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是(　　) A．0 B．3mg C．5mg D．8mg 2.如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g取10 m/s2，细杆受到(　　) A．5 N的压力 B．5 N的拉力 C．95 N的压力 D．95 N的拉力 3.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则(　　) A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上 D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 4.(多选)在图示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　) A．在最高点A，小球受重力和向心力 B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力 C．在最高点A，小球的速度为 D．在最高点A，小球的向心加速度为2g 5．(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们由相同材料制成，A的质量为2m，B、C的质量各为m，如果A、B到O点的距离为R，C到O的距离为2R，当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)，下述结论中正确的是　(　　) A．C物体的向心加速度最大 B．B物体受到的静摩擦力最小 C．当圆台旋转速度增加时，B比C先开始滑动 D．当圆台旋转速度增加时，A比B先开始滑动 6.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)(　　) A．1 rad/s　　　　　　　　 B． rad/s C． rad/s D．3 rad/s 7.如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳一端系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取 10 m/s2。 (1)求小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)求小球通过最高点时的速度大小为 4 m/s时，轻绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，求小球速度大小的最大值。 习题课3　竖直面内运动的两种模型和临界问题 答案+解析 【例1】解析：选CD。小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。 【例2】解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们做平抛运动的水平位移之差。 对A球：3mg＋mg＝m，vA＝ 对B球：mg－0.75mg＝m，vB＝ sA＝vAt＝vA＝4R，sB＝vBt＝vB＝R 所以sA－sB＝3R。 答案：3R 【例3】解析：(1)静摩擦力提供向心力，有 f＝mrω2＝0.6×0.2×4 N＝0.48 N 故转盘绕中心O以ω＝2 rad/s的角速度旋转时，A受到的摩擦力大小为0.48 N，方向指向圆心。 (2)当A所受最大静摩擦力提供向心力时，转盘绕中心O旋转的角速度ω最大，由 fm＝mωr，解得ωmax＝ rad/s＝5 rad/s。 答案：(1)0.48 N，沿OA所在半径指向圆心O　(2)5 rad/s 【例4】解析：当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即 F＋Ffmax＝mrω① 由于B静止，故有F＝mg② 又Ffmax＝μFN＝μmg③ 由①②③式可得ω1＝ 当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为 F－Ffmax＝mrω④ 由②③④式可得ω2＝ 故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1， 即 ≤ω≤ 。 答案：≤ω≤ 【习题巩固】 1.解析：选D。当小球以速度v经内轨道最高点时不脱离轨道，小球仅受重力，重力充当向心力，有mg＝m；当小球以速度3v经内轨道最高点时，小球受重力G和向下的弹力N，合外力充当向心力，有mg＋N＝m；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的弹力相等，N′＝N；由以上三式得到，N′＝8mg，D正确。 2.解析：选A。小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，当在最高点小球与细杆无弹力作用时，小球的速度为v1，则有：mg＝得：v1＝＝ m/s，因为 m/s>3 m/s，所以小球受到细杆的支持力，小球在最高点受力分析：受到重力与支持力，mg－F＝m，则F＝mg－m＝ N＝5 N，所以由牛顿第三定律知细杆受到压力，大小为5 N，A正确。 3.解析：选AD。在最高点，若v＝0，则N＝mg＝a；若N＝0，由题图知：v2＝b，则有mg＝m＝m，解得g＝，m＝R，故A正确，B错误；由题图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则N＋mg＝m＝m，解得N＝mg，即小球受到的弹力与重力大小相等，故D正确。 4.解析：选BD。小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，B、D正确。 5.解析：选AB。由题意可知三个物体相对圆台静止，向心力都是由静摩擦力提供，且三个物体角速度相同，C物体的半径最大，由向心力公式a＝ω2R得C物体的向心加速度最大，A正确；由f＝mω2R可知物体B的静摩擦力最小，B正确；当圆台转速增大时，哪个物体先达到最大静摩擦力f＝μFN＝μmg则先滑动，比较物体B和C，它们的质量相同，最大静摩擦力相同，而物体C的半径大，所以物体C先发生滑动，C错误；比较物体A和B，它们的质量不同，半径相同，根据μmg＝mω2R可知，A、B同时发生滑动，D错误。 6.解析：选B。对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入数据解得ω≤ rad/s，故B正确。 7.解析：(1)小球刚好通过最高点时，重力提供向心力，有mg＝m，得v1＝＝2 m/s。 (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝m，得FT＝15 N。 (3)分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s。 答案：(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 习题课3竖直面内运动的两种模型和临界问题 题型一 竖直面内圆周运动的轻绳和轻杆模型 轻绳模型 轻杆模型 0: 绳r 杆 常见类型 圆轨道 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的 得V临=Vgr V临=0 临界条件 由g=m卫 (1)当v=0时，F=g,x为支持力， (1)能过最高点时，v≥Vgr，Fx十g= 沿半径背离圆心 2 ，绳、轨道对球产生弹力 (2)当0<<g时，一+mg=m,, v2 讨论分析 (2)不能过最高点时，心Vgr,在到达最高 背离圆心，随y的增大而减小 点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (3)当v=Vgr时，F=0 1V2 (④当gr时，+mg=m,A指 向圆心并随ν的增大而增大 【例1】（多选）如图所示，用长为1的细绳拴着质量为的小球在竖直平面内做圆周运动，则下 列说法中正确的是() A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为Vg! D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 【例2】如图所示，半径为R,内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为的小球A、B 以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3g,B通过最高点C时，对管壁下 部的压力为0.75g。求A、B两球落地点间的距离。 人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 题型二水平圆周运动中的临界问题 1.与摩擦力有关的临界问题 (1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提 供向心力，则有F=m ，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (②)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在 水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件， 静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2.与弹力有关的临界问题：压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳上拉力的临 界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 3.解题思路 (1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。 (2)分析该状态下物体的受力特点。 (③)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。 【例3】如图所示，把质量为0.6kg的物体A放在水平转盘上，A的重心到转盘中心O点的距 离为0.2m,若A与转盘间的最大静摩擦力为3N,g取10m/s2,求： (I)转盘绕中心O以ω=2ad/s的角速度旋转时A相对转盘静止，转盘对A摩擦力的大小与方向。 (2)为使物体A相对转盘静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的最大值。 【例4】如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上， 物体A到圆孔的距离为r,物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为。若物体A与转盘 间的动摩擦因数为，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？ B 人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 【习题巩固】 1.质量为的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小 速度是v,则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是() A.0 B.3mg C.5mg D.8mg 2.如图所示，轻质细杆OA长为1m,A端固定一个质量为5kg的小球，小球在竖直平面内做圆 周运动，通过最高点时小球的速率为3m/s,g取10m/s2,细杆受到() A.5N的压力 B.5N的拉力 C.95N的压力 D.95N的拉力 3.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径 为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为， 其F一v2图像如图乙所示。则() A.小球的质量为 b B.当地的重力加速度大小为 C.v2=c时，杆对小球的弹力方向向上 D.v2=2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 4.(多选)在图示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为 g,已知圆弧的半径为R,则() A.在最高点A,小球受重力和向心力 B.在最高点A,小球受重力和圆弧的压力 C.在最高点A,小球的速度为VgR D.在最高点A,小球的向心加速度为2g 5.(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们由相同材料制成，A的质量为2， B、C的质量各为m,如果A、B到O点的距离为R,C到O的距离为2R,当圆台旋转时（设A、B、 C都没有滑动)，下述结论中正确的是() A.C物体的向心加速度最大 B.B物体受到的静摩擦力最小 O B C C.当圆台旋转速度增加时，B比C先开始滑动 D.当圆台旋转速度增加时，A比B先开始滑动 人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 6如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO 匀速转动，木块A、B与转轴OO的距离为1m,A的质量为5kg,B的质量为10kg。已知A与B间 的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转 台角速度o的最大值为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10ms2)( A.1rad/s B.2 rad/s C.\3 rad/s D.3 rad/s 0 7.如图所示，长度为L=0.4m的轻绳一端系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m =0.5kg,小球半径不计，g取10ms2。 ()求小球刚好通过最高点时的速度大小： (2)求小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，轻绳的拉力大小： (3)若轻绳能承受的最大张力为45N,求小球速度大小的最大值。 4 人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 习题课3竖直面内运动的两种模型和临界问题 答案+解析 【例1】解析：选CD。小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的 拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重 力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B错误：小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点， 重力提供向心力，ν=Vg!，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超 重状态，拉力一定大于重力，故D正确。 【例2】解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离 开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们做平抛运动的水平位移之差。 对A球：3g十g=1 片，w=4gR R 对B球：g一0.75g= 4R SA-VAI-VAT =4R,SB=vBt=va 4R 二R 所以S4一SB=3R。 答案：3R 【例3】解析：(1)静摩擦力提供向心力，有 f=mrw2=0.6×0.2×4N=0.48N 故转盘绕中心O以ω=2ads的角速度旋转时，A受到的摩擦力大小为0.48N,方向指向圆心。 (2)当A所受最大静摩擦力提供向心力时，转盘绕中心O旋转的角速度ω最大，由 2 方=0uax力，解得wmax=个 3 irad/s=5rad/s。 0.2×0.6 答案：(1)0.48N,沿OA所在半径指向圆心O(2)51ad/s 【例4】解析：当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆 心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即 F+Fiax=mrW,① 由于B静止，故有F=mg② 又Fax=Fx=mg③ 由①②③式可得w1= g(1+u) 5 人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆 周运动所需的向心力为 2 F-Fmax=r0,④ 由②③④式可得w2= g(1-u) 故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤®1， 即个 8(1-u) ≤0≤ g(1+U) 答案：个 8(1-u) ≤≤个 8(1+u) 【习题巩固】 1.解析：选D。当小球以速度v经内轨道最高点时不脱离轨道，小球仅受重力，重力充当向心力， 2 有g=;当小球以速度3v经内轨道最高点时，小球受重力G和向下的弹力N,合外力充当向心 力，有g十N=m（3)2:又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的弹力相等， W=N:由以上三式得到，W=8g,D正确。 2.解析：选A。小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，当在最高点小球与细杆无弹力作用 时，小球的速度为，则有：mg=m片得：M=g=V10m/S,因为10m/s3ms,所以小球 受到细杆的支持力，小球在最高点受力分析：受到重力与支持力，g一刀=片，则P=g一 吃 N=5N,所以由牛顿第三定律知细杆受到压力，大小为5N,A正确。 2 3.解析：选AD。在最高点，若v=0,则N=mg=a;若N=0,由题图知：2=b,则有g=m =余，解得g只，0公丸故A正确，B错误：由题医可知：当<时，杆对小球弹力方向向 上，当2>b时，杆对小球弹力方向向下，所以当2=c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若 =26,则叶mg=m片=m为，解得N=g、即小球受到的弹力与重方大小相等，枚D正确 R v2 4.解析：选BD。小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得十g=ma=。,又x= R g,所以a=2g,v=1V2gR,B、D正确。 6 人教版必修二第六章《圆周运动》新授课学案 5解析：选AB。由题意可知三个物体相对圆台静止，向心力都是由静摩擦力提供，且三个物体 角速度相同，C物体的半径最大，由向心力公式a=ωR得C物体的向心加速度最大，A正确；由f =ωR可知物体B的静摩擦力最小，B正确；当圆台转速增大时，哪个物体先达到最大静摩擦力f =Fx=g则先滑动，比较物体B和C,它们的质量相同，最大静摩擦力相同，而物体C的半径大， 所以物体C先发生滑动，C错误；比较物体A和B,它们的质量不同，半径相同，根据g=w2R 可知，A、B同时发生滑动，D错误。 6.解析：选B。对A有4g≥4o2,对A、B整体有(4十a)o2(4+B)g,代入数据解得 o≤V21ad/s,故B正确。 7解析：(I)小球刚好通过最高点时，重力提供向心力，有g=m片，得1=g=2m。 (2)小球通过最高点时的速度大小为4s时，拉力和重力的合力提供向心力，有Fr十g= 得Fr=15N。 (3)分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得一g=G 将Fr'=45N代入解得=4V2m/s,即小球的速度不能超过4V2m/s。 答案：(1)2m/s(2)15N(3)4V2m/s 7