2026年高考数学模拟卷（四）（新课标I卷）

2026年高考数学模拟卷（四）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：. 2．（2026·广东汕头·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 在复平面内对应的点为, 即复数对应的点位于虚轴. 3．（2026·山东青岛·一模）若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个数据为，依题意求出，加入两数据后再依次求其平均值与方差即可. 【详解】设这个数据为，依题意，， 则， 加入数据和后，这个数据的平均值为， 则方差为. 4．（2026·江苏·二模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以 5．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 6．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 7．（2026·湖南邵阳·二模）在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到截面，并由等体积法得到各个几何体之间的体积关系，得到答案 【详解】如图所示，在正四棱锥中，是棱PA的中点， 取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA， 所以，因为，所以， 所以，，，四点共面，所以平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE. 平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥的体积为，高为. 设四边形的面积为， 则， 同理. 设点到平面AEF的距离是， 则， 即，故， 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 8．（2026·广东梅州·一模）已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 10．（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】利用和差化积公式与三角函数在区间内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选项. 【详解】对于A：已知，则，根据和角公式：，故A错误； 对于B：利用和差化积公式：，因为且，所以，则对任意的成立，故B正确； 对于C：已知，，不妨设，则， 因为，， 且，所以， 又因为余弦函数在上单调递减，所以， 两边同乘正数得：， 即，故C正确； 对于D：因为，所以原不等式等价于，两边同时除以2，得： 当时：，两边除以正数，得，因为，所以，，此时不等式成立； 当时：，两边除以负数，不等号方向改变，得，但的最大值为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误. 11．（2026·河北邢台·二模）已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先由为偶函数、为奇函数推得的对称轴与对称中心，进而确定周期为4，再赋值求、、，最后利用周期化简求和、判断选项正误. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，所以， 所以. 又为奇函数，所以， 所以，将替换为，得， 所以，所以的周期为4，且. 对于A：在中，令，得.又， 所以，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：当时，， ， ， ， 所以， 所以，D错误. 【点睛】利用函数奇偶性推导对称性与周期性，结合赋值法与周期求和判定选项，核心考查函数对称性、周期性的转化及数列求和技巧. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 13．（2026·河北邢台·二模）记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______. 【答案】42 【分析】根据等差数列下标性质及前n项和公式求得，，进而求得通项公式，然后即可判断数列各项的正负，进而求得的最大值. 【详解】由题得，所以， 又，所以，即， 所以公差，所以， 可得的前6项为正，第7项为0，从第8项起为负， 所以的最大值为. 14．（2026·浙江温州·二模）已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 【答案】 【详解】由圆，得圆心，半径， 又由圆，得，半径， 圆心距，当两圆外离时公切线最多，共有4条， 所以满足， 即存在这样的，故第一空答案为； 由3个公切线交点在轴上，注意到到的距离为1，恰好是​的切线， 若也是的公切线，则到的距离为，得，符合外离条件， 此时是一条公切线，它和另外三条公切线的交点都在轴上，满足题意， 设斜率存在的公切线为，由公切线条件可得： ，作商可得：， 可得或， 整理得：或， 当时，代入， 当时，代入， 所以当时，， 当时，， 从而可得三条公切线方程分别为： 由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 则，点到直线的距离为， 所以另外三个交点围成的三角形面积为：. 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 16．（2026·安徽安庆·二模）如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为． (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由射影得平面，再结合三角形性质和线面垂直判定定理得出. （2）建立空间直角坐标系，求相关向量与法向量，最后利用向量夹角公式求平面夹角余弦值. 【详解】（1）因为在底面内的射影为， 所以平面， 又平面，则， 在斜三棱柱中， ，​， 又因为侧面为矩形， 所以，因此， 因为​，平面， 所以平面，又平面， 所以，结合，得. （2）由（1）知两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，平行轴， 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知， 设，则，， 又因为与底面所成角的余弦值为， 所以， 则，，，， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 又因为两个平面的夹角范围为， 所以. 17．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）因为点A在抛物线Γ上，所以将点A的坐标代入抛物线方程，即可求解出p的值，进而得到Γ的方程. （2）（i）先求出直线OA的方程和过M的直线方程，联立这两个直线方程可求出点Q的坐标；利用中点坐标公式，可由M和Q的坐标求出点P的坐标. （ii）先联立直线OP与抛物线Γ的方程，求出点N的坐标；再根据M、N的坐标写出直线MN的方程，发现恒过一定点，F到这一定点的距离即为F到直线的距离最大值. 【详解】（1）将点代入得，所以：. （2） （i）过M点斜率为2的直线， 直线方程，由得， 可得， 设，由得， 即，解得，所以. （ii）因为，所以直线方程为， 解方程组，得， 所以， 直线：， 整理得， 因此直线过定点. 又，所以， 所以点F到直线的最大距离为. 18．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 19．（2026·江西赣州·一模）现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求概率. (3)证明：. 【答案】(1)分布列为 ； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）根据全概率公式和等比数列求和公式即可得到证明. 【详解】（1）由题意可知，的可能取值为， 其中，， ，， 所以分布列为 ； （2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . （3）由全概率公式知， 化简得 代入 即 即 即 由，所以 所以，即证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（四）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 3．（2026·山东青岛·一模）若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·二模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南邵阳·二模）在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东梅州·一模）已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（2026·河北邢台·二模）已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 13．（2026·河北邢台·二模）记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______. 14．（2026·浙江温州·二模）已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 16．（2026·安徽安庆·二模）如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为． (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 18．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 19．（2026·江西赣州·一模）现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求概率. (3)证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $