专题05 函数与正比例函数（期中复习讲义，5重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题05 函数与正比例函数 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正比例函数的识别（易错） 题型02 根据定义求参数（高频） 题型03 图象与性质（数形结合） 题型04 待定系数法求解析式（必考） 题型05 实际应用（建模） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数基础 1. 能判断变量间是否为函数关系 2. 会求函数值、确定自变量范围 3. 会三种表示法的互化 必考（选择/填空）：概念辨析、自变量范围、函数值计算。 正比例函数 1. 准确识别正比例函数 2. 熟练画图象、判断性质 3. 会用待定系数法求解析式 4. 结合图象解决简单问题 核心必考（解答/选择）：定义、图象性质、求解析式。 综合应用 1. 会用图象解简单方程/不等式 2. 能建立正比例函数模型解决实际问题 高频（解答）：实际应用题、图象与方程结合。 知识点01 函数基础 1.函数定义：在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则是的函数。 2.三种表示法： 解析式法：用数学式子表示（如） 列表法：用表格列出对应值 图象法：在平面直角坐标系中描点连线 3.自变量取值范围： 整式：全体实数 分式：分母≠0 二次根式：被开方数≥0 实际问题：符合实际意义 知识点02 正比例函数 1.定义：形如（为常数，且）的函数，叫做正比例函数，叫比例系数。 结构特征：的次数为1，无常数项， 2.图象： 是一条经过原点的直线 必过点：、 3.性质（核心）：的符号图象经过象限增减性一、三象限随增大而增大二、四象限随增大而减小 4.解析式求法（待定系数法）： 步骤：设（）→代（点坐标）→解（求）→写（解析式） 题型一 正比例函数的识别（易错） 解｜题｜技｜巧 紧扣定义，三看： 1.看形式：是否为（无常数项） 2.看次数：的指数必须为1 3.看系数： 【典例1】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； B．不是整式，故该选项错误，不符合题意； C．a的指数是2，不属于正比例函数，故该选项错误，不符合题意； D．是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【答案】D 【详解】解：A、正方形的面积与边长的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B、从甲地到乙地距离固定为，所用的时间和行驶速度的关系是，不是正比例关系，故选项不符合题意； C、圆的面积与它的半径的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D、等边三角形的周长和边长的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·月考）下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和速度 C．圆的周长和半径 D．三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 【答案】C 【详解】解：A．设正方形的边长为，面积为，则，那么与不成正比例关系，故A不符合题意； B．设时间为，速度为，则，那么与成反比例关系，故B不符合题意； C．设圆的周长为，圆的半径为，则，那么与是正比例关系，故C符合题意 D．设三角形的面积为，它的一条边长与这条边上的高分别为与，则，那么与是反比例关系，故D不符合题意． 故选：C． 题型二 根据定义求参数（高频） 解｜题｜技｜巧 列方程组： 1.的次数=1 2.系数 【典例2】（24-25八年级上·上海·月考）如果是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴中， 解得，， 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则______． 【答案】 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）当________时，函数是正比例函数． 【答案】2 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海·期中）如果函数是正比例函数，则__________． 【答案】3 【详解】解：由正比例函数的定义可得：，且 ， 解得，； 故答案为：3． 题型三 图象与性质（数形结合） 解｜题｜技｜巧 定方向、定象限、定增减 ：直线从左下到右上，一、三象限，递增 ：直线从左上到右下，二、四象限，递减 【典例3-1】（24-25八年级上·上海·月考）已知正比例函数的图像经过点，则该函数的图像（   ） A．在第二、四象限，y随x的增大而增大 B．在第二、四象限，y随x的增大而减小 C．在第一、三象限，y随x的增大而增大 D．在第一、三象限，y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数的图像经过点， ∴将点代入得：， ∴正比例函数的值随的增大而减小，图象经过第二、四象限． 故选：B． 【典例3-2】（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】B 【详解】解：∵ 正比例函数图象经过点， ∴ 设函数为，代入得， ∴， ∴ 函数解析式为， ∵ 点和点在图象上， ∴，， ∵， ∴，即 ． 故选：B． 【典例3-3】（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【典例3-4】（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【答案】或 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第______象限． 【答案】二、四 【详解】解：正比例函数的值随值的增大而减小， ， 该函数图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四 【变式3-3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图， 当时，的图象在图象的上方满足， 结合图象可得：； （2）解：设，，． 如图，当时， ， ． 解得：． 如图，当时， ， ． 解得：． 综上：． 题型四 待定系数法求解析式（必考） 解｜题｜技｜巧 两点定直线，一点定正比例 正比例函数：只需1个点（非原点）即可求 【典例4】（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知是的正比例函数，它的图像经过点、，求这个正比例函数的解析式和的值． 【答案】正比例函数的解析式为：，． 【详解】解：设正比例函数为， 将代入，可得，解得，即， 将代入可得，，解得， 正比例函数的解析式为：，． 【变式4-1】（22-23八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式． 【答案】 【详解】过点， ， 解得：，， 由于函数图象经过第一、三象限，所以， 故不合题意， ， 故所求正比例函数解析式为． 【变式4-2】如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．    【答案】（1）；（2）24；（3）或 【详解】（1）设直线l的解析式为：y=kx，其中k≠0 ∵点A（6，4）在直线y=kx上 ∴6k=4 ∴ ∴直线l的解析式为 （2）过点A作AC⊥OB于点C，如图    ∵A（6，4），B（12，0） ∴AC=4，OB=12 ∴ （3））设点P的坐标为 ∵ S△ABP＝S△AOB ∴S△ABP＝8 当点P在线段OA上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24-8=16 即 解得：a=4 此时点P的坐标为    当点P在线段OA的延长线上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24+8=32 即 解得：a=8 此时点P的坐标为    综上所述，点P的坐标为或 【变式4-3】（23-24八年级上·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 题型五 实际应用（建模） 解｜题｜技｜巧 1.找成正比例的两个量 2.设 3.代入已知条件求 4.写出解析式并作答 【典例5-1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时； (2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定． 【答案】(1) (2)甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米 (3)按图象所表示的走法符合约定 【详解】（1）解；由函数图象可得，甲组在途中停留的时间为（小时）． （2）解：乙组的速度为（千米/小时）， 当时，乙组所走的路程为（千米）， ∴， ∴甲车在段的速度为（千米/小时）， （千米）． 答：甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米． （3）解：∵甲车在段的速度大于乙的速度， ∴甲、乙两组在第二次相遇后当时两车之间的距离最大， ∴此时甲所走的路程为480千米，乙所走的路程为（千米）， ∴两车之间的最大距离为（千米）， ∵， ∴按图象所表示的走法符合约定． 【典例5-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【答案】(1)（） (2)厘米 (3)千克 【详解】（1）解：由题意得 （）； （2）解：当时， （厘米）， 答：如果拉力是10千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：当时， ， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是13厘米． 【典例5-3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）周末，小李从家里骑车去小海家玩，要经过一段先上坡后下坡的路，如图所示是在这段路上小李骑车的路程（米）与骑车的时间（秒）之间的函数关系．请根据图像信息，回答下列问题： (1)小李去小海家时下坡路长__________米； (2)小李下坡的速度为__________米/秒； (3)游玩过后，小李从小海家按原路返回，且上坡与下坡的速度保持不变，那么小李回家骑车走过这段路需要多长时间？ 【答案】(1)400 (2)8 (3)225秒 【详解】（1）由题意和图象可得： 小李去小海家时下坡路为：（米）； （2）由题意和图象可得： 小李下坡的速度为：米/秒； （3）小李上坡时的速度为：米/秒 ∴小李回家骑车走这段路的时间是：（秒）． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·期中）“龟兔首次赛跑”之后，兔子没有气馁，总结反思后约乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．在理解的基础上填空： (1)兔子比乌龟晚 分钟出发； (2)乌龟跑了 米后在途中休息了 分钟； (3)兔子的速度是 米分； (4)乌龟休息后的速度比休息前慢了 米分． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)． 【详解】（1）解：由函数图象可得：兔子比乌龟晚出发分钟， 故答案为：； （2）解：由函数图象可得：乌龟跑了米后在途中休息了分钟， 故答案为：，； （3）解：由函数图象可得兔子的速度是（米分）， 故答案为：； （4）解：由函数图象可得乌龟休息前的速度为（米分）， 乌龟休息后的速度为（米分）， ∴乌龟休息后的速度比休息前慢了（米分）， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线和线段，请根据图上信息回答下列问题： (1)_________先到达终点； (2)第_________秒时，_________追上_________； (3)比赛全程中，_________的速度始终保特不变； (4)写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式及定义域_________． (5)途中两人相遇时，距离终点_________米． 【答案】(1)乙 (2)40，乙，甲 (3)乙 (4) (5) 【详解】（1）由图象可知：乙先到达终点； 故答案为：乙； （2）由图象可知：甲一开始速度比较快，后面速度变慢，乙速度不变， 第40秒时，甲乙路程一样，即乙追上甲； 故答案为：40，乙，甲； （3）由图象可知：比赛全程中，乙的速度始终保持不变； 故答案为：乙； （4）乙的速度为：（米秒）， ； 故答案为：； （5）第40秒时，甲乙相遇，此时乙走的路程为（米）， 距离终点（米）， 故答案为： 【变式5-3】（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 【答案】(1)图见解析 (2)20 (3)16 (4)4 【详解】（1）解：∵，（），当时，，当时，， ∴乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象经过点， 画出图象如下：      （2）∵，（）， ∴当时，， 即：环城越野赛的全程是20千米； 故答案为：20； （3）由图象可知：甲前0.5小时的速度是千米/小时； 故答案为：16； （4）由图象可知：相遇时甲的速度是千米/小时； 故答案为：4． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 【答案】B 【详解】解：一个人的体重和年龄不成正比例， ∴A不符合题意； 圆的周长直径（一定）， ∴圆的周长和直径成正比例， ∴B符合题意； 速度时间路程（一定）， ∴车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例， ∴C不符合题意； （长宽）长方形的周长（一定）， ∴周长一定时，长方形的长和宽不成正比例， ∴D不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴它的图象经过第二、四象限． 故选C． 4．（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 【答案】C 【详解】由图象可得，甲车的平均速度为，故A正确； 乙车的平均速度为，故B正确； 根据题意得， 解得， ∴在甲车出发2.5小时后两车相遇，故C错误； 由图象可得，乙比甲车先到达地，故D正确； 故选：C． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是_________________ 【答案】 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）已知，那么__________． 【答案】 【详解】解：把代入中得： ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为_________． 【答案】 【详解】解：由题意可设． 将，代入可得， 解得， ∴y关于x的函数解析式是， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海·月考）若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为___________． 【答案】 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 【答案】(1) (2)10， (3) 【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为． （2）解：由线段表示的函数图像可知，该商品原价每件为（元）， 由线段表示的函数图像可知，第二次降价后该商品每件为（元）， 故答案为：10，． （3）解：设该商品每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以该商品每次降价的百分率为， 故答案为：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一段，轮船先从甲地顺水航行到乙地， 是顺水航行， 速度大于静水速度，图象陡一些， 到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴， 又从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加， 是逆水航行， 速度小于静水速度，图象平缓一些， 关于的函数图像大致是D． 故选：D． 2．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是_______． 【答案】或 【详解】解：∵当时，， ∴． ∵点P关于x轴对称点为Q， ∴． 设解析式为， 把代入得，， ∴， ∴． 设， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点M的坐标是或 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____． 【答案】 【详解】解：， ， ，令 ，， ， 即 ； ，令 ， ， ，代入得， 解得． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数与正比例函数 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正比例函数的识别（易错） 题型02 根据定义求参数（高频） 题型03 图象与性质（数形结合） 题型04 待定系数法求解析式（必考） 题型05 实际应用（建模） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数基础 1. 能判断变量间是否为函数关系 2. 会求函数值、确定自变量范围 3. 会三种表示法的互化 必考（选择/填空）：概念辨析、自变量范围、函数值计算。 正比例函数 1. 准确识别正比例函数 2. 熟练画图象、判断性质 3. 会用待定系数法求解析式 4. 结合图象解决简单问题 核心必考（解答/选择）：定义、图象性质、求解析式。 综合应用 1. 会用图象解简单方程/不等式 2. 能建立正比例函数模型解决实际问题 高频（解答）：实际应用题、图象与方程结合。 知识点01 函数基础 1.函数定义：在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则是的函数。 2.三种表示法： 解析式法：用数学式子表示（如） 列表法：用表格列出对应值 图象法：在平面直角坐标系中描点连线 3.自变量取值范围： 整式：全体实数 分式：分母≠0 二次根式：被开方数≥0 实际问题：符合实际意义 知识点02 正比例函数 1.定义：形如（为常数，且）的函数，叫做正比例函数，叫比例系数。 结构特征：的次数为1，无常数项， 2.图象： 是一条经过原点的直线 必过点：、 3.性质（核心）：的符号图象经过象限增减性一、三象限随增大而增大二、四象限随增大而减小 4.解析式求法（待定系数法）： 步骤：设（）→代（点坐标）→解（求）→写（解析式） 题型一 正比例函数的识别（易错） 解｜题｜技｜巧 紧扣定义，三看： 1.看形式：是否为（无常数项） 2.看次数：的指数必须为1 3.看系数： 【典例1】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·月考）下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和速度 C．圆的周长和半径 D．三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 题型二 根据定义求参数（高频） 解｜题｜技｜巧 列方程组： 1.的次数=1 2.系数 【典例2】（24-25八年级上·上海·月考）如果是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．2 C．0 D．1 【变式2-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则______． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）当________时，函数是正比例函数． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海·期中）如果函数是正比例函数，则__________． 题型三 图象与性质（数形结合） 解｜题｜技｜巧 定方向、定象限、定增减 ：直线从左下到右上，一、三象限，递增 ：直线从左上到右下，二、四象限，递减 【典例3-1】（24-25八年级上·上海·月考）已知正比例函数的图像经过点，则该函数的图像（   ） A．在第二、四象限，y随x的增大而增大 B．在第二、四象限，y随x的增大而减小 C．在第一、三象限，y随x的增大而增大 D．在第一、三象限，y随x的增大而减小 【典例3-2】（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【典例3-3】（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是________． 【典例3-4】（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【变式3-2】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第______象限． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 题型四 待定系数法求解析式（必考） 解｜题｜技｜巧 两点定直线，一点定正比例 正比例函数：只需1个点（非原点）即可求 【典例4】（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知是的正比例函数，它的图像经过点、，求这个正比例函数的解析式和的值． 【变式4-1】（22-23八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式． 【变式4-2】如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．    【变式4-3】（23-24八年级上·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 题型五 实际应用（建模） 解｜题｜技｜巧 1.找成正比例的两个量 2.设 3.代入已知条件求 4.写出解析式并作答 【典例5-1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时； (2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定． 【典例5-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【典例5-3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）周末，小李从家里骑车去小海家玩，要经过一段先上坡后下坡的路，如图所示是在这段路上小李骑车的路程（米）与骑车的时间（秒）之间的函数关系．请根据图像信息，回答下列问题： (1)小李去小海家时下坡路长__________米； (2)小李下坡的速度为__________米/秒； (3)游玩过后，小李从小海家按原路返回，且上坡与下坡的速度保持不变，那么小李回家骑车走过这段路需要多长时间？ 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·期中）“龟兔首次赛跑”之后，兔子没有气馁，总结反思后约乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．在理解的基础上填空： (1)兔子比乌龟晚 分钟出发； (2)乌龟跑了 米后在途中休息了 分钟； (3)兔子的速度是 米分； (4)乌龟休息后的速度比休息前慢了 米分． 【变式5-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线和线段，请根据图上信息回答下列问题： (1)_________先到达终点； (2)第_________秒时，_________追上_________； (3)比赛全程中，_________的速度始终保特不变； (4)写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式及定义域_________． (5)途中两人相遇时，距离终点_________米． 【变式5-3】（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是_________________ 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）已知，那么__________． 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为_________． 8．（23-24八年级上·上海·月考）若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是_______________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 2．（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为___________． 3．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是_______． 3．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____． 4．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $