专题01 多边形与平行四边形（期中复习讲义，4重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 多边形与平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形计算类 题型02 平行四边形性质计算 题型03 平行四边形判定证明 题型04 平行四边形综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 1. 熟练掌握内角和、外角和公式，能灵活运用公式求边数、内角、外角，解决相关计算问题； 2. 理解对角线的定义，能计算n边形的对角线条数。 高频考点：内角和与外角和的计算（求边数、求内角度数）、对角线条数计算； 易错点：混淆内角和与外角和公式，忽略正多边形“各边相等、各角相等”的双重条件 平行四边形性质 1. 能利用性质求边长、角度、对角线长度 2. 会结合全等三角形进行简单证明 1. 期中必考核心内容，选择、填空、解答均有 2. 常与勾股定理、面积计算综合考查 平行四边形判定 1. 熟练掌握 5 种判定方法 2. 能根据条件选择合适判定定理证明四边形是平行四边形 1. 解答题证明题必考 2. 常与性质结合，先证平行四边形再用性质计算 综合应用 1. 会计算平行四边形面积及变式面积 2. 能解决简单动点、折叠类综合题 1. 中档题、压轴题常见载体 2. 侧重逻辑推理与计算结合 知识点01 多边形 1.定义：平面内，不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（通常研究凸多边形：任意一边所在直线，其余各边都在直线同侧）。 2.对角线：连接不相邻两个顶点的线段。 n边形对角线条数公式：（） 过n边形一个顶点的对角线：条，分多边形为个三角形。 3.正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 4.内角和定理：n边形内角和=（）。 5.外角和定理：任意多边形外角和恒为（与边数无关）。 知识点02 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形。 核心性质（4条）： 边：对边平行且相等（，） 角：对角相等，邻角互补（，） 对角线：互相平分（，） 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点 判定定理（证明题核心，5种方法） 1.两组对边分别平行（定义） 2.两组对边分别相等 3.一组对边平行且相等（最常用） 4.两组对角分别相等 5.对角线互相平分 题型一 多边形计算类 【例1-1】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例1-2】（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例1-3】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【例1-4】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是___________． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 【变式1-3】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【变式1-4】（25-26八年级下·上海·月考）从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【变式1-5】（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【变式1-6】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图（1），___________；如图（2），____________． 题型二 平行四边形性质计算 【例2-1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 【例2-3】（23-24八年级下·上海·期中）如图，已知在中，，求证：． 【例2-4】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海·月考）在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为______． 【变式2-3】（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【变式2-4】（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 题型三 平行四边形判定证明 【例3-1】（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【例3-3】（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海金山·月考）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【变式3-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 题型四 平行四边形综合题 【例4-1】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【例4-2】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【例4-3】（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【变式4-1】（24-25八年级下·上海·月考）已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）一个正边形的每一个内角都等于，则______． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 4．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 5．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知平行四边形的对角线、交于点，，，且的周长为19，则的长为_____． 7．（25-26八年级下·上海·月考）已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数． 8．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 4．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，平分交于点F，若，，，则的长为______． 5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是________． 6．（25-26八年级下·上海·月考）在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 7．（24-25八年级下·上海·月考）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 2．（22-23八年级下·上海宝山·期末）平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．    (1)如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积； (2)如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由； (3)如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 如图，在等边三角形中，边长为，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为，试解答下列问题： (1)如果，求对应的的值； (2)当点在线段上时，设四边形的面积为，求与的关系式； (3)如果使得以为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值． 4．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 多边形与平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形计算类 题型02 平行四边形性质计算 题型03 平行四边形判定证明 题型04 平行四边形综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 1. 熟练掌握内角和、外角和公式，能灵活运用公式求边数、内角、外角，解决相关计算问题； 2. 理解对角线的定义，能计算n边形的对角线条数。 高频考点：内角和与外角和的计算（求边数、求内角度数）、对角线条数计算； 易错点：混淆内角和与外角和公式，忽略正多边形“各边相等、各角相等”的双重条件 平行四边形性质 1. 能利用性质求边长、角度、对角线长度 2. 会结合全等三角形进行简单证明 1. 期中必考核心内容，选择、填空、解答均有 2. 常与勾股定理、面积计算综合考查 平行四边形判定 1. 熟练掌握 5 种判定方法 2. 能根据条件选择合适判定定理证明四边形是平行四边形 1. 解答题证明题必考 2. 常与性质结合，先证平行四边形再用性质计算 综合应用 1. 会计算平行四边形面积及变式面积 2. 能解决简单动点、折叠类综合题 1. 中档题、压轴题常见载体 2. 侧重逻辑推理与计算结合 知识点01 多边形 1.定义：平面内，不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（通常研究凸多边形：任意一边所在直线，其余各边都在直线同侧）。 2.对角线：连接不相邻两个顶点的线段。 n边形对角线条数公式：（） 过n边形一个顶点的对角线：条，分多边形为个三角形。 3.正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 4.内角和定理：n边形内角和=（）。 5.外角和定理：任意多边形外角和恒为（与边数无关）。 知识点02 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形。 核心性质（4条）： 边：对边平行且相等（，） 角：对角相等，邻角互补（，） 对角线：互相平分（，） 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点 判定定理（证明题核心，5种方法） 1.两组对边分别平行（定义） 2.两组对边分别相等 3.一组对边平行且相等（最常用） 4.两组对角分别相等 5.对角线互相平分 题型一 多边形计算类 【例1-1】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 【例1-2】（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角和，根据任意凸多边形的外角和是，内角与其相邻的外角是邻补角的关系，可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角，即可求解． 【详解】解： 任意凸多边形的外角和是， 外角中最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角． 故选：B． 【例1-3】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】A 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】此题考查多边形内角和与外角和，注意多边形外角和等于．利用多边形的外角和特征即可解决问题． 【详解】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：A． 【例1-4】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是___________． 【答案】 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，从一个边形的一个顶点出发，最多能引出条对角线，据此可求出，再根据边形的内角和是进行求解即可． 【详解】解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴， ∴， ∴这个边形的内角和是， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 【答案】54 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 【变式1-3】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【答案】/240度 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 【变式1-4】（25-26八年级下·上海·月考）从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【答案】 3 4 9 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】根据多边形对角线的相关规律，先确定从六边形一个顶点出发引出的对角线条数，再推导得到分成三角形的个数，最后计算六边形对角线的总条数． 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为，本题中六边形，因此引出对角线条数为， 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为， 边形对角线总条数公式为， 将代入得：． 【变式1-5】（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 【变式1-6】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图（1），___________；如图（2），____________． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【详解】解：（1） ； （2） 解得： 题型二 平行四边形性质计算 【例2-1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得，，，再运用勾股定理算出，以及，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 则， 在中，， ∴， 故选：D 【例2-2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 【答案】40 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质得出，根据旋转角相等可得． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 【例2-3】（23-24八年级下·上海·期中）如图，已知在中，，求证：． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论； 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 【例2-4】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积． 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质证明，则可证明得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，求出，由全等三角形的性质得到，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； 由（1）知， ， ， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海·月考）在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形得到，，则，结合已知条件得到,求出，即可求解和的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的度数是的5倍， ∴, 解得， ∴． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为______． 【答案】 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了折叠的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是关键．延长交于点G，证明四边形是平行四边形，得到，则，得到，得到，设则由折叠可知，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点G， 在梯形中，，， ∴， ∵将沿着翻折，点B的对应点为点F． ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， 设则 由折叠可知， 在中，， ∴， 解得 则， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-4】（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质和勾股定理得到，即可得到的长； （2）根据平行四边形的性质得到，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积为 题型三 平行四边形判定证明 【例3-1】（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 【例3-2】（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 【例3-3】（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了直角三角形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． （1）证明，推出，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得到，由等量代换推出，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海金山·月考）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【知识点】判断命题真假、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、公式法解一元二次方程、含30度角的直角三角形 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，且，根据F是的中点，点E在的延长线上，得出，，根据，得出，即可得出结论； （2）作于点H，先求出，得出，得出，列出，求解，再得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点，点E在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积是． 题型四 平行四边形综合题 【例4-1】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【答案】梯形的腰的长为；梯形的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、(等腰)梯形的定义、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作交于点，于点，可证明四边形是平行四边形，则，，因为，所以，而，则，因为，所以是等边三角形，则，，勾股定理确定，进而根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：作交于点，于点，则， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 梯形的腰的长为；梯形的面积为 【例4-2】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 【例4-3】（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了直角三角形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． （1）证明，推出，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得到，由等量代换推出，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级下·上海·月考）已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 过点A作于点F，四边形是平行四边形，可得，再由，可得，可证明，即可求证． 【详解】证明：如图，过点A作于点F， ∵，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证出，得到，，求出，即可得到结论； （2）在上取点使得，证出，得到，，求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：方案1和2正确； 选择方案1证明： 如图所示：   四边形是平行四边形， 平分平分， ∵ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案2证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案3证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 根据已知得：，，， 无法根据边边角证出和全等， ∴无法得到四边形为平行四边形． （2）解：方案：在   上取点 E 、 F 使得    ， 如图所示：在上取点使得，    在和中， ∴， 所以四边形为平行四边形． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）一个正边形的每一个内角都等于，则______． 【答案】 【详解】解：∵正边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 【答案】 【详解】设多边形边数为n， ∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线， ∴， 解得：， ∴内角和． 故答案为：900． 4．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 【答案】20 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 5．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，解得或（舍去）， 则该边形的内角和是：． 6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知平行四边形的对角线、交于点，，，且的周长为19，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形的对角线、交于点，，， ∴，，， ∵的周长为19， ∴, 故答案为：． 7．（25-26八年级下·上海·月考）已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】8 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 8．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 2．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过A作交的延长线于M，于N， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 、A、N共线， 四边形是平行四边形， 的面积， 同理：的面积， 的面积的面积， 的面积，的面积， 的面积的面积， ， 平行四边形的面积 故选：A． 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，平分交于点F，若，，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：延长到点G使得，如图： 由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 在平行四边形中，，，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是________． 【答案】6 【详解】解：根据题意作图如下， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴相互平分，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 6．（25-26八年级下·上海·月考）在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 【答案】10 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 7．（24-25八年级下·上海·月考）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：作于点G，于点H，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 2．（22-23八年级下·上海宝山·期末）平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．    (1)如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积； (2)如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由； (3)如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∵E是边的中点时，F是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形边上的高为h， ∴； （2）取中点H，连接与交于点P，    由（1）可知， ∵， ∴P是中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形； （3）过点G作于N，过点A作于M，    在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， ∴ ． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 如图，在等边三角形中，边长为，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为，试解答下列问题： (1)如果，求对应的的值； (2)当点在线段上时，设四边形的面积为，求与的关系式； (3)如果使得以为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵在等边中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：过点P作于M，过点Q作于N，如图1所示： ， 是等边三角形， ， ∴， ，， ，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ∴当点P在线段上时，y与t的关系式为：； （3）解：①当四边形是平行四边形时，如图2所示： 则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ②当四边形是平行四边形时，如图3所示： 则， 同①得：是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上所述，当t为或时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【详解】（1）解：①， 证明：如图，过点A作交于点H， 由题意知，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为等腰的中垂线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②， 证明：如图，由①知，， 又∵平分， ∴， ∴， 设， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴， 由等腰可知，根据三角形内角和定理得：， 解得， ∴， 即是等边三角形． 设，则， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 则， ∴， 即． （2）解：∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当时，，， ∴，， ∴， 过点E作交于点N，过E作交的延长线于点M，过点A作交于点H， 设， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴； ②如图，当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，的值为或1． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $