专题04 平面直角坐标系（期中复习讲义，4重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 平面直角坐标系（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊位置点的坐标与参数范围 题型02 对称与平移的综合应用 题型03 坐标系中图形的面积计算 题型04 坐标与图形的综合探究 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念与构成 明确x轴、y轴、原点、象限的定义，掌握“垂直、共原点、统一单位长度”的构成三要素；理解“坐标平面内点与有序实数对一一对应”的本质；能根据坐标描点、由点写坐标，规范书写坐标格式。 【基础必考点】选择题、填空题为主，直接考查概念辨析、坐标读写正误判断。 特殊位置点的坐标特征 熟练掌握各象限点的符号规律；牢记x轴上点、y轴上点、原点的坐标特征； 掌握一、三象限角平分线、二、四象限角平分线及平行于坐标轴直线上点的坐标规律。 【高频基础考点】选择、填空为主，偶尔融入解答题第一问，判断点所在象限、根据位置求参数范围、特殊位置点坐标计算； 易错点：混淆x轴与y轴点的特征、角平分线点的坐标关系。 点的坐标几何意义 理解“点到x轴的距离、到y轴的距离的对应关系；能根据坐标求点到坐标轴的距离，或由距离求点的坐标；初步掌握平行于坐标轴的两点间距离计算。 【重要基础考点】填空、解答题 ，坐标与距离互求、结合图形求边长；易错点：距离是绝对值，忽略坐标符号导致漏解。 对称与平移的坐标变化 掌握关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标规律；熟练运用“左减右加、下减上加”的平移规律，能求平移后点的坐标或描述平移过程；能结合对称、平移求图形顶点坐标，解决简单图形变换问题。 【核心高频考点】选择、填空、解答题，对称点坐标计算、图形平移求坐标、平移规律逆向应用； 易错点：平移方向与坐标变化符号对应错误、对称变换规律混淆。 坐标系中图形的面积计算 1. 掌握“割补法”求三角形、四边形面积的基本思路；2. 能利用坐标求图形顶点坐标，结合坐标轴或平行线构造规则图形计算面积；3. 能解决简单的“坐标+面积”综合问题，提升数形结合能力。 【中档热点考点】解答题为主，常作为解答题第二问；已知顶点坐标求图形面积、面积与坐标互求；综合性较强，需结合坐标特征与几何图形性质，是区分度较高的题型。 知识点01 基础概念 1.平面直角坐标系：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，水平的为x轴（横轴，向右为正），竖直的为y轴（纵轴，向上为正），交点为原点。 2.象限：x轴、y轴将平面分为四个区域，依次为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 3.点的坐标：平面内任意一点P，过P作x轴、y轴垂线，垂足对应的实数a、b分别为横坐标、纵坐标，记作P(a,b)，顺序不可颠倒。 4.两点间的距离公式： 知识点02 核心规律 规律类型 具体内容 记忆口诀 象限符号 第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 一正二负三负四正，横纵对应记分明 坐标轴上点 x轴：(x,0)；y轴：(0,y)；原点：(0,0) x轴纵为0，y轴横为0，原点全为0 角平分线点 一、三象限：x=y；二、四象限：x=-y 一三相等二四反，坐标关系要记牢 对称变换 x轴对称：(x,y)→(x,-y)；y轴对称：(x,y)→(-x,y)；原点对称：(x,y)→(-x,-y) 关于x轴纵变号，关于y轴横变号，原点对称全变号 平移变换 右移a：(x+a,y)；左移a：(x-a,y)；上移b：(x,y+b)；下移b：(x,y-b) 左减右加横变化，下减上加纵变化 知识点03 易错点警示 1.混淆x轴与y轴点的坐标特征（如将x轴上的点写成(0,x)）； 2.对称变换时，关于x轴、y轴对称的规律记反，原点对称时漏变号； 3.平移时，“左减右加、下减上加”的方向与坐标变化对应错误； 4.求点到坐标轴的距离时，忽略距离为非负数，直接用坐标值计算； 5.计算图形面积时，未正确使用割补法，或忽略坐标符号导致面积计算错误。 题型一 特殊位置点的坐标与参数范围 解｜题｜技｜巧 先根据点的位置确定坐标符号或特殊值，再列方程/不等式组求解，注意“坐标轴上的点不属于象限”这一前提。 【典例1-1】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_______象限. 【典例1-2】在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【变式1-1】（25-26八年级下·上海·月考）已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【变式1-2】点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 题型二 对称与平移的综合应用 解｜题｜技｜巧 分步进行变换，先对称后平移（或反之），严格遵循对应变换规律，可结合坐标纸画图辅助理解。 【例2】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 【变式2-1】四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移8个单位，画出平移后的，写出的坐标； 【变式2-3】已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 题型三 坐标系中图形的面积计算 解｜题｜技｜巧 若图形有一边在坐标轴上或平行于坐标轴，直接以该边为底，高为对顶点到坐标轴的距离；若没有，用“割补法”（补成大矩形，减去周围小三角形面积）计算。 【典例3】如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【变式3-1】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【变式3-2】在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是2，到y轴的距离是4 （1）写出图中点B的坐标　　； （2）在图中描出点C，并写出图中点C的坐标：　　； （3）画出△ABO关于y轴的对称图形△A′B′O； （4）联结A′B、BB′、B′C、A′C．那么四边形A′BB′C的面积等于　　 【变式3-3】如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 题型四 坐标与图形的综合探究 解｜题｜技｜巧 利用“平行于坐标轴的直线上点的坐标特征”（横/纵坐标相同）确定顶点坐标，再结合边长计算面积。 【例4-1】（25-26八年级下·上海·月考）已知在平面直角坐标系中，点，． (1)在轴上找一点，使，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，在直角坐标平面内找一点，能满足的面积为的点有几个？这些点有什么特征？ 【例4-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【例4-3】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【例4-4】如图1，已知：等腰，，点B，C分别在x，y轴上，点A坐标为，与y轴交于点D． (1)直接写出点B和点C的坐标：B______，C______； (2)点E是边上一点（不与端点A，B重合），连，作且， ①如图2，当点F恰好落在x轴上时，求证：； ②如图3，若点G是线段的中点，分别连接，相交于点H，则线段和有什么数量关系和位置关系？并说明理由． 【变式4-1】在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【变式4-2】在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 4．（25-26八年级下·上海·月考）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 5．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 6.在平面直角坐标系中，已知点P在x轴上，求点P的坐标． 7. 已知在平面直角坐标系中，点在y轴左侧，且到y轴的距离为2，求a的值． 8. （25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 3．（25-26八年级下·上海·月考）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 5．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 6．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 7.如图，已知：、、、，点在轴上，直线将四边形面积分成两部分，求点的坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 2.在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 4.如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）． (1)图中B点的坐标是______． (2)点B关于原点对称的点C的坐标是______；点A关于x轴对称的点D的坐标是______． (3)的面积是______． (4)如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且a，b满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________； (2)如图1，，，连接，于，交于点，交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 6.如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊位置点的坐标与参数范围 题型02 对称与平移的综合应用 题型03 坐标系中图形的面积计算 题型04 坐标与图形的综合探究 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念与构成 明确x轴、y轴、原点、象限的定义，掌握“垂直、共原点、统一单位长度”的构成三要素；理解“坐标平面内点与有序实数对一一对应”的本质；能根据坐标描点、由点写坐标，规范书写坐标格式。 【基础必考点】选择题、填空题为主，直接考查概念辨析、坐标读写正误判断。 特殊位置点的坐标特征 熟练掌握各象限点的符号规律；牢记x轴上点、y轴上点、原点的坐标特征； 掌握一、三象限角平分线、二、四象限角平分线及平行于坐标轴直线上点的坐标规律。 【高频基础考点】选择、填空为主，偶尔融入解答题第一问，判断点所在象限、根据位置求参数范围、特殊位置点坐标计算； 易错点：混淆x轴与y轴点的特征、角平分线点的坐标关系。 点的坐标几何意义 理解“点到x轴的距离、到y轴的距离的对应关系；能根据坐标求点到坐标轴的距离，或由距离求点的坐标；初步掌握平行于坐标轴的两点间距离计算。 【重要基础考点】填空、解答题 ，坐标与距离互求、结合图形求边长；易错点：距离是绝对值，忽略坐标符号导致漏解。 对称与平移的坐标变化 掌握关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标规律；熟练运用“左减右加、下减上加”的平移规律，能求平移后点的坐标或描述平移过程；能结合对称、平移求图形顶点坐标，解决简单图形变换问题。 【核心高频考点】选择、填空、解答题，对称点坐标计算、图形平移求坐标、平移规律逆向应用； 易错点：平移方向与坐标变化符号对应错误、对称变换规律混淆。 坐标系中图形的面积计算 1. 掌握“割补法”求三角形、四边形面积的基本思路；2. 能利用坐标求图形顶点坐标，结合坐标轴或平行线构造规则图形计算面积；3. 能解决简单的“坐标+面积”综合问题，提升数形结合能力。 【中档热点考点】解答题为主，常作为解答题第二问；已知顶点坐标求图形面积、面积与坐标互求；综合性较强，需结合坐标特征与几何图形性质，是区分度较高的题型。 知识点01 基础概念 1.平面直角坐标系：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，水平的为x轴（横轴，向右为正），竖直的为y轴（纵轴，向上为正），交点为原点。 2.象限：x轴、y轴将平面分为四个区域，依次为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 3.点的坐标：平面内任意一点P，过P作x轴、y轴垂线，垂足对应的实数a、b分别为横坐标、纵坐标，记作P(a,b)，顺序不可颠倒。 4.两点间的距离公式： 知识点02 核心规律 规律类型 具体内容 记忆口诀 象限符号 第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 一正二负三负四正，横纵对应记分明 坐标轴上点 x轴：(x,0)；y轴：(0,y)；原点：(0,0) x轴纵为0，y轴横为0，原点全为0 角平分线点 一、三象限：x=y；二、四象限：x=-y 一三相等二四反，坐标关系要记牢 对称变换 x轴对称：(x,y)→(x,-y)；y轴对称：(x,y)→(-x,y)；原点对称：(x,y)→(-x,-y) 关于x轴纵变号，关于y轴横变号，原点对称全变号 平移变换 右移a：(x+a,y)；左移a：(x-a,y)；上移b：(x,y+b)；下移b：(x,y-b) 左减右加横变化，下减上加纵变化 知识点03 易错点警示 1.混淆x轴与y轴点的坐标特征（如将x轴上的点写成(0,x)）； 2.对称变换时，关于x轴、y轴对称的规律记反，原点对称时漏变号； 3.平移时，“左减右加、下减上加”的方向与坐标变化对应错误； 4.求点到坐标轴的距离时，忽略距离为非负数，直接用坐标值计算； 5.计算图形面积时，未正确使用割补法，或忽略坐标符号导致面积计算错误。 题型一 特殊位置点的坐标与参数范围 解｜题｜技｜巧 先根据点的位置确定坐标符号或特殊值，再列方程/不等式组求解，注意“坐标轴上的点不属于象限”这一前提。 【典例1-1】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_______象限. 【答案】三 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点P坐标为（-2，-1）， ∴， 解得：， ∴点M坐标为（-2，-1）， 即：点M在第三象限， 故答案为：三． 【典例1-2】在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 即， 解得． 【变式1-1】（25-26八年级下·上海·月考）已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【答案】 【详解】解：轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得， 此时点的横坐标为，符合题意． 故答案为：． 【变式1-2】点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【答案】或 【详解】解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，得： ∴，， 此时点坐标为； 解方程，得：， ∴，， 此时点坐标为； 综上所述，点的坐标是或． 题型二 对称与平移的综合应用 解｜题｜技｜巧 分步进行变换，先对称后平移（或反之），严格遵循对应变换规律，可结合坐标纸画图辅助理解。 【例2】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B关于x轴的对称点为C， ∴点C的坐标是． 【变式2-1】四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移8个单位，画出平移后的，写出的坐标； 【详解】（1）解：作图如图， ∴为所作的图形，的坐标是； （2）作图如图， ∴为所作的图形，． 【变式2-3】已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 题型三 坐标系中图形的面积计算 解｜题｜技｜巧 若图形有一边在坐标轴上或平行于坐标轴，直接以该边为底，高为对顶点到坐标轴的距离；若没有，用“割补法”（补成大矩形，减去周围小三角形面积）计算。 【典例3】如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【变式3-1】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， ， 四边形如图所示， （3）解：由（2）图得， ． 【变式3-2】在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是2，到y轴的距离是4 （1）写出图中点B的坐标　　； （2）在图中描出点C，并写出图中点C的坐标：　　； （3）画出△ABO关于y轴的对称图形△A′B′O； （4）联结A′B、BB′、B′C、A′C．那么四边形A′BB′C的面积等于　　 【详解】解：（1）观察可知点B的坐标为：B（﹣4，﹣2）； 故答案为（﹣4，﹣2）， （2）点C的位置如图所示，坐标为C（4，2）， 故答案为（4，2）． （3）△A′B′O如图所示， （4）S四边形A′BB′C＝S△A′BB′+S△CA′B′＝×4×3+ ×8×6＝30． 故答案为30． 【变式3-3】如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 【详解】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， 点坐标为， 同理可得， ， ， ， 四边形为长方形， ， ， 点坐标为， 点坐标为，点坐标为； （2）解：设点的坐标为， 由（1）得，点坐标为，点坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 作轴交轴于点，轴交轴于点， 点坐标为，点坐标为，点的坐标为， 则， ， 的面积为． 题型四 坐标与图形的综合探究 解｜题｜技｜巧 利用“平行于坐标轴的直线上点的坐标特征”（横/纵坐标相同）确定顶点坐标，再结合边长计算面积。 【例4-1】（25-26八年级下·上海·月考）已知在平面直角坐标系中，点，． (1)在轴上找一点，使，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，在直角坐标平面内找一点，能满足的面积为的点有几个？这些点有什么特征？ 【答案】(1) (2)点有无数个，这些点到x轴的距离为 【详解】（1）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得：点的坐标为， ∵点， ∴，且线段在x轴上， 设点D到x轴距离为h， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴能满足的面积为的点有无数个，这些点到x轴的距离为． 【例4-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【详解】（1）解：，，， ，，，． ， ， ． （2）解：不变， ，，， ， ． 如图所示，连接， ，，， ． ，， ， ． 【例4-3】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 【例4-4】如图1，已知：等腰，，点B，C分别在x，y轴上，点A坐标为，与y轴交于点D． (1)直接写出点B和点C的坐标：B______，C______； (2)点E是边上一点（不与端点A，B重合），连，作且， ①如图2，当点F恰好落在x轴上时，求证：； ②如图3，若点G是线段的中点，分别连接，相交于点H，则线段和有什么数量关系和位置关系？并说明理由． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点K， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为，点C的坐标为； 故答案为：，； （2）解：①如图，分别过点A，E作轴，轴，垂足分别为点N，M， 同（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②线段和的数量关系和位置关系为且，理由如下： 如图，延长至点P，使，连接， ∵点G是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 综上所述，线段和的数量关系和位置关系为且． 【变式4-1】在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 【变式4-2】在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【详解】（1）证明：点在的平分线上，、， ， 在和中， ， ∴ ， ； ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作轴，分别过点，作， ，交轴于点，设交轴于点，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在第四象限且纵坐标为， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， 在轴上取点，使， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 【答案】(1) (2)存在点P， (3)或或或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：存在点P，使的面积与的面积相等，理由如下： 如图1，过点C作轴于点E，则轴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积， ∴， 解得：， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； （3）解：分两种情况： ①，时，如图2，过点P作轴于点F， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点P在第二象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； ②，时，如图3，过点P作轴于点G， 则， 同①得：， ∴， 当点P在第一象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，“小K点”的坐标为或或或． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系内第四象限的符号特征，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 3．（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 4．（25-26八年级下·上海·月考）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 【答案】 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 5．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 6.在平面直角坐标系中，已知点P在x轴上，求点P的坐标． 【答案】 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标是． 7.已知在平面直角坐标系中，点在y轴左侧，且到y轴的距离为2，求a的值． 【答案】 【详解】解：∵点在y轴左侧， ∴， ∵点到y轴的距离为2， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 【答案】是直角三角形 【详解】解：∵点、、， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 2．（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 【答案】 【详解】解：根据勾股定理，得， 所以点A和B之间的距离是． 3．（25-26八年级下·上海·月考）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 【答案】 【详解】解：由点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 设点C的横坐标为，根据题意，得， 解得； 5．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【答案】25 【详解】解：∵矩形的两边分别平行坐标轴， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 6．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】() 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 7.如图，已知：、、、，点在轴上，直线将四边形面积分成两部分，求点的坐标． 【答案】或 【详解】解：作轴于点， ∵、、、， ∴， ∴， ∵直线将四边形面积分成两部分， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：（1）由图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为； （2）如图， 第1次碰到长方形边上的点的坐标为； 第2次碰到长方形边上的点的坐标为； 第3次碰到长方形边上的点的坐标为； 第4次碰到长方形边上的点的坐标为； 第5次碰到长方形边上的点的坐标为； 第6次碰到长方形边上的点的坐标为； 第7次碰到长方形边上的点的坐标为； 故每经过6次为一个循环， ∵， ∴第2021次碰到长方形边上的坐标为． 2.在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 4.如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）． (1)图中B点的坐标是______． (2)点B关于原点对称的点C的坐标是______；点A关于x轴对称的点D的坐标是______． (3)的面积是______． (4)如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 【答案】(1)（-2,3）； (2)（2,-3）；（0,-4）； (3)8； (4)（2,0）或（-2,0）． 【详解】（1）； （2）∵B与C关于原点对称，， ∴， ∵A与D关于x轴对称，， ∴； （3）如图所示： ； （4）∵，， ∵， ∴， ∴， ∴或． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且a，b满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________； (2)如图1，，，连接，于，交于点，交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或，理由见解析 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：；； （2）解：，， ， ， ， ， 又在中，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ∴，∴； （3）解：或， 当N在线段上时，过点作，延长交于点，设于P．如图，   ，， ， ，， 又， ． ， ． 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当N在的延长线上时，如图，   同理可得，． 6.如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $