精品解析：陕西西安市第一中学2026届高三下学期模拟（2）数学试题

第一中学2026届模拟试题（2） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集运算的定义，即可得答案. 【详解】因为，， 所以. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过构造函数​，将、、转化为函数值，对函数求导确定其在时单调递减，再根据自变量大小比较函数值大小. 【详解】由题意设函数​， 则，，， 又因为（）， 令，得， 所以当​时，，单调递减， 又因为，且都在递减区间， 所以，即. 3. 设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 4. 如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】形成的正四棱锥如图所示，取BC中点，连接SM，OM， 由题易知SM为等腰三角形SBC的高，所以，设，中， 则，正四棱锥的体积， 令，其中即， 正四棱锥的体积最大即取得最大值，， 令得到，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在时正四棱锥的体积最大． 5. 《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，5120元 B. 10%，5120元 C. 20%，6400元 D. 10%，6400元 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设出“衰分比”和甲所获得的奖金，列出方程求解即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁四位同学分配的“衰分比”为，甲所获得的奖金为元 则乙、丙、丁所获得的奖金分别为元、元、元， 由题意可知， 由①得 ②代入③得，解得，即“衰分比”为， 把代入②，得，解得， 从而丁所获得的奖金为元 6. 已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 若直线与圆相交可得，则可得，解得. 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 7. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则， 由，则. 8. 已知，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】已知，， 由三角恒等式，代入得， 展开化简得， 两边同乘得， 由，代入得， 整理得，即，将代入， 得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】利用周期公式求出，利用平移得到，利用图象关于直线对称，结合余弦函数的图像和性质得到，由得到的值，从而得到和的表达式，利用正余弦函数的图像和性质分别对选项一一求解. 【详解】函数的最小正周期为， ，， 将其图象向左平移个单位长度后得到的， ， 图象关于直线对称， ，， ，， ，， 选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ， ，故选项C错误； 选项D，，，， 在上单调递增，故选项D正确. 10. 在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ） A. B. 当点在上运动时，三棱锥的体积为 C. D. 周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的定义可以判断A；根据平行于平面可知，点到平面距离为高，结合体积公式求解可以判断B；结合空间中两点距离公式，建立关于长度的方程即可求解C；将周长最小转化为求解最小，结合对称性求解D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 选项A：，，，故，A正确； 选项B：连接，在中，易知为中位线，则， 因为平面,平面，所以平面. 故直线到平面的距离即为三棱锥的高. ，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，即， 所以直线到平面的距离. 因为， ， ， 所以， 可得， 所以 故，B正确； 选项C：设（满足，），， 当时，有最小值为，即，C错误； 选项D：，周长最小等价于最小， 作关于平面的对称点，， 故周长最小值为，且交点在四边形内，D正确. 11. 若,且，数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列 C. D. 数列的通项公式为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据中心对称计算即可；对于B和D，由计算通项公式分析即可；对于C，结合关于点成中心对称，且，进行分组求和即可. 【详解】对于A， ， 则， 又因为 所以上式 ， 故关于点成中心对称，A正确； 对于B 和D，由，得, 因为， 当时，， 则， 所以， 即， 当时，, 且， 故当时，是常数列成立， 故是常数列， 所以， 所以，故B正确，D项与通项公式矛盾，故错误； 对于C，因为关于点成中心对称， 所以， 又因为数列， 所以， 故， 所以 ，故C正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，得，，从而得，构造函数，利用导数，求出的最大值，即可求解. 【详解】设，由，消得到， 所以，即，且， 则以为邻边的平行四边形面积． 令，则， 当时，，当， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故当最大，最大值为，所以的最大值为． 13. 的展开式中常数项为__________． 【答案】29 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 14. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由三角函数的定义可知，， 则 ， 所以，解得或（舍去）， 则． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤．） 15. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的离心率公式、椭圆的定义以及椭圆的基本关系，联立方程组求解的值，进而确定椭圆方程. (2) ①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论. ②根据等腰三角形、勾股定理求得. 【小问1详解】 由题意可得解得 所以椭圆E的方程为． 【小问2详解】 ①证明：根据对称性，不妨令点P在第一象限， 设，则切线BP的方程为，且． 令，解得，则． 又，， ， 所以，即，所以． ②解：因为，所以． 因为，所以，所以． 在中，，． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程． （2）若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由函数零点的意义可得，再构造函数，利用导数求出直线与函数图象有两个交点的的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 由，得，而，则，令， 函数有两个不同的零点，等价于函数的图象与直线有两个交点， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当时，，又当时，， 则当且仅当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数b的取值范围是. 17. 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． （1）证明：是等差数列； （2）令，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，结合递增数列的特点，根据等差数列的定义可证； （2）分别求出数列的通项公式，利用错位相减求和法求得的结果. 【小问1详解】 令，得，所以； 由题意得， 所以当时， ，即， 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，所以. 令 则① 两边同乘以2，得② ②-①，得 所以. 18. 如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，结合四边形是平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 是直径，， 平面，， 平面， 平面， ，， ∴四边形是平行四边形， 则，平面， 平面， ∴平面平面； 【小问2详解】 依题意，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， ， ∴面与面所成的二面角的正弦值. 19. 某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第n个月后在线节点数，表示其数学期望， （1）当时，求； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有2，3，4，5，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； 【小问1详解】 初始状态，即2个在线、3个宕机． 第1个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． 【小问2详解】 由题意知的可能取值有2，3，4，5， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一中学2026届模拟试题（2） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，5120元 B. 10%，5120元 C. 20%，6400元 D. 10%，6400元 6. 已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 8. 已知，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 10. 在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ） A. B. 当点在上运动时，三棱锥的体积为 C. D. 周长的最小值为 11. 若,且，数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列 C. D. 数列的通项公式为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________． 13. 的展开式中常数项为__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤．） 15. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程． （2）若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 17. 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． （1）证明：是等差数列； （2）令，求． 18. 如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 19. 某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第n个月后在线节点数，表示其数学期望， （1）当时，求； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $