19.2《二次根式的乘法和除法》课件--2025-2026学年人教版八年级数学下册

二次根式的乘法和除法 2026/4/15 1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1、二次根式的乘法 2 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题2 　这个结果能否化简？如何化简？ 设计意图：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受二次根式的乘法． 2026/4/15 3 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 6 6 20 60 60 20 2026/4/15 4 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ＝ ＝ ＝ 答案：1．（1）6，6；（2）20，20；（3）60，60． 2．（1）＝；（2）＝；（3）＝． 提出问题：观察上面的结果，你发现它们有什么特点吗？小组讨论、汇报结果． （1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式相乘等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 2026/4/15 5 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2026/4/15 6 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分析讲解例题 2026/4/15 7 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分析讲解例题 2026/4/15 8 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分析讲解例题 2026/4/15 9 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学生独立完成解答 2026/4/15 10 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学生独立完成解答 2026/4/15 11 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 设计意图：为学生提供演练机会，加强对二次根式乘法运算的理解及掌握． 2026/4/15 12 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1．二次根式的乘法法则 2．积的算术平方根的性质（学生小组总结展示，老师补充） 设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生明确重难点． 2026/4/15 13 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2、二次根式的除法 14 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 有什么发现？ 计算： 通过计算，思考，总结规律 2026/4/15 15 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 = = 一般地，二次根式的除法法则是 根据你发现的规律填空： (a≥0，b＞0) 利用发现的规律，填空 2026/4/15 16 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (a≥0，b＞0) 利用它可以对二次根式进行化简． 把 　反过来，就可以得到： 设计意图：由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的除法法则． 2026/4/15 17 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1 计算： 解: 设计意图：通过例题的讲解，让学生体会二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的运用． 2026/4/15 18 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例2 化简： 解： 化简 2026/4/15 19 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例3 计算： 解:（1） 解法一： 解法二： 学生独立完成 2026/4/15 20 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　注： 在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式． （2） （3） 注： 在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式． 2026/4/15 21 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 观察上面例3的最后结果，比如　　，　， 等．可以发现这些式子中的二次根式有哪 些特点？ 归纳总结 归纳总结： 发现这些式子中的二次根式有哪些特点？ 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2026/4/15 22 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的形式． 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的形式． 2026/4/15 23 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例4 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为 a，b．已知 ， ，求 a． ． 解：因为S=ab，所以 学生独立完成。 2026/4/15 24 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （a≥0，b＞0） （a≥0，b＞0） 总结：1．二次根式的除法法则： 2．商的算术平方根的性质： 3．最简二次根式． 归纳总结 2026/4/15 25 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练习填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 ． （2）积的算术平方根的性质用式子表示为 ． （3）二次根式的除法法则用式子表示为 ． (a≥0，b≥0) (a≥0，b＞0) (a≥0，b≥0) 1．填空 （1）二次根式的乘法法则用式子表示为． （2）积的算术平方根的性质用式子表示为． （3）二次根式的除法法则用式子表示为． 2026/4/15 26 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （4）商的算术平方根的性质可用式子表示为 ． （5）把分母中的 化去，叫做分母有理化． 将式子 分母有理化后等于 ． (a≥0，b＞0) 根号 设计意图：复习巩固上两节所学的二次根式的乘除法则及相关的性质和概念． 2026/4/15 27 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 所以 ＜ ． 【例1】比较下列两个数的大小： （1） 与 ；（2） 与 ． 所以 　 ＞　 ， 所以　 ＞　　． 解：（1）因为6＜7， 又因为18＞12， = （2）因为 ， = ， 归纳小结：先应用式子……把根号外面的因式（或因数）移入根号内，再运用二次根式的乘法法则把两个根式变成一个根式（结果不化为最简），通过比较被开方数的大小，来比较这两个根式的大小． 设计意图：二次根式的性质的拓展应用． 2026/4/15 28 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例2】计算： 解法1：原式= = = = = 是按从左到右的顺序进行运算的 ． ． 学生独立完成。 2026/4/15 29 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解法2：原式= 【例2】计算： = = = 是把各式中根号外的部分和根号内的部分分别相乘除． ． ． 注意：这是二次根式乘除的混合运算，与有理数的混合运算一样，按先后从左到右顺序进行，或者是把各式子中根号外的部分和根号内的部分分别相乘除． 设计意图：通过具体解题过程归纳总结二次根式的乘除混合运算的运算顺序和方法． 2026/4/15 30 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例3】化简 分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式． 分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或－1，就可将原式变为不含分母的二次根式． 2026/4/15 31 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例3】化简 解：原式= = =10-1 =9 ． 设计意图：运用分母有理化进行二次根式的化简，掌握一种常用的解题技巧． 2026/4/15 32 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1．二次根式的乘法公式 （a≥0，b≥0），由左到右是先乘再开方，由右到左是先开方再乘，运用此公式可以进行二次根式的化简和计算．公式运用时，要根据题目以简便为准． 1．二次根式的乘法公式 ：由左到右是先乘再开方，由右到左是先开方再乘，运用此公式可以进行二次根式的化简和计算．公式运用时，要根据题目以简便为准． 2026/4/15 33 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2．在进行二次根式的乘除法混合算时， 如果没有括号，应按从左到右的顺序进行运算，或者是各根号中根号外的部分和根号内的部分分别相乘除，运算结果要注意化简最简二次根式． 2．在进行二次根式的乘除法混合算时， 如果没有括号，应按从左到右的顺序进行运算，或者是各根号中根号外的部分和根号内的部分分别相乘除，运算结果要注意化简最简二次根式． 2026/4/15 34 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3．分母有理化的关键是找出分子与分母同乘以一个怎样的代数式，才能使分母变为有理数（或有理式）．它的理论根据是分式的基本性质． 3．分母有理化的关键是找出分子与分母同乘以一个怎样的代数式，才能使分母变为有理数（或有理式）．它的理论根据是分式的基本性质 2026/4/15 35 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 谢谢观看 问题1　一个长方形的长为 cm，宽为cm，这个长方形的面积是多少？ 长方形的面积为 cm2． 1．填空． （1）×=_______，=______． （2）×=_______，=________． （3）×=________，=_______． 2．参考上面的结果，用“＞、＜或＝”填空． ×_____， ×_____， ×_____． 观察上面的结果，你发现它们有什么特点吗？ 一般地，二次根式的乘法法则是： ·＝（a≥0，b≥0）． 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 反过来：＝·（a≥0，b≥0）． 即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积． 【例1】计算： （1）×； （2）×． 解：（1）×=； （2）×==． 直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算． 【例2】化简： （1）； （2）． 解：（1）=×=3×4=12； （2）=× =××=3xy． 利用=·（a≥0，b≥0）直接化简． 【例3】计算： （1） ；（2） ；（3） ． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）； （2）×=4××=4×=4=8． 解：（1）不正确． 改正：＝＝×＝2×3＝6． （2）不正确． 改正：×=× ===＝4． 解：长方形的面积为： 2．一个长方形的长和宽分别是 和 ．求这个长 方形的面积． 1．二次根式的乘法法则 一般地，二次根式的乘法法则是：·＝（a≥0，b≥0）． 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 2．积的算术平方根的性质 　　=·（a≥0，b≥0）． 　　即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积． $