专题9.2 线性回归方程（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

专题9.2 线性回归方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 解释回归直线方程的意义】 1 【题型2 由散点图画求近似回归直线】 2 【题型3 根据回归方程进行数据估计】 4 【题型4 根据样本中心点求参数】 5 【题型5 残差的计算】 6 【题型6 刻画回归效果的方式】 8 【题型7 求回归直线方程】 9 【题型8 线性回归分析】 10 【题型9 非线性回归分析】 12 【题型10 线性回归与其他知识综合】 14 知识点1 线性回归模型 1．线性回归模型 把式子称为y关于x的线性回归模型.其中，y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；ε是y与a+bx之间的随机误差. 2．随机误差 在线性回归模型中，a和b为模型的未知参数，ε是y与a+bx之间的误差，通常ε为随机变量，称为随机误差.它的均值E(ε)=0，方差D(ε)=σ2>0. 线性回归模型的完整表达式为，在此模型中，随机误差ε的方差σ2越小，用a+bx预报真实值y的精度越高. 【题型1 解释回归直线方程的意义】 【例1】（24-25高二下·天津西青·期末）下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（    ） A．在儿子身高关于父亲身高的经验回归方程中，若父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 D．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 【变式1-1】（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（    ） 1 2 4 6 7 4 3 2 0 -2 A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（24-25高二下·黑龙江·期中）研究表明某地的山高（km）与该山的年平均气温（℃）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是（   ） A．年平均气温为5℃时该山高估计为5km B．该山高为8km处的年平均气温估计为10℃ C．该地的山高与该山的年平均气温的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关 D．该地的山高与该山的年平均气温成负相关关系 【变式1-3】（24-25高二下·河南·月考）关于变量与的线性回归分析，下列说法错误的是（    ） A．若相关系数，则说明变量与的线性相关程度较强 B．回归直线必过点 C．若散点图中数据点从左上角到右下角分布，则，负相关 D．若回归方程为，则变量每增加1个单位时，变量一定增加2个单位 【题型2 由散点图画求近似回归直线】 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·福建福州·期末）某个国家某种病毒传播的中期感染人数y和天数x的散点图如图所示，下列最适宜作为感染人数y和天数x的经验回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·河南·月考）变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·河北·一模）某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据回归方程进行数据估计】 【例3】（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某产品在去年6月至10月的销量（单位：万件）如下表所示： 月份 6 7 8 9 10 销量 1.1 1.3 1.9 2.2 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） A．样本的相关系数为负数 B． C． D．当时，销量为3.28万件 【变式3-1】（24-25高二下·贵州遵义·月考）相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 【变式3-2】（25-26高二上·江西九江·期末）具有相关关系的变量与的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则下列选项错误的是（   ） 1 2 3 4 5 16 12 11 10 6 A． B．与具有负相关关系 C．当时，的预测值为0 D．去掉其中某对样本数据，与的样本相关系数可能不变 【变式3-3】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【题型4 根据样本中心点求参数】 【例4】（25-26高二下·全国·单元测试）某饮料店某5天的日销售收入（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间的数据如下表： 0 1 2 5 4 2 2 1 若与之间是线性相关关系，且关于的经验回归方程是，则实数的值是（   ） A．3 B．2.8 C．2.6 D．2.4 【变式4-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（   ） A．28 B．30 C．33 D．35 【变式4-2】（24-25高二下·重庆·月考）某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（   ） A． B．22 C． D．39 【变式4-3】（24-25高二下·江苏无锡·期中）稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 知识点2 线性回归模型参数的最小二乘估计 1．线性回归方程与最小二乘法 设满足线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，由yi=a+bxi+εi(i=1，2，…，n)，得|yi-(a+bxi)|= |εi|，显然|εi|越小，表示样本数据点离直线y=a+bx的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=a+bx的“整体接近程度”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将称为y关于x的线性回归方程，其图形称为回归直线.其中称为回归截距，称为回归系数，称为回归值. 这种求线性回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计. 线性回归直线一定过点(,). 2．求线性回归方程的一般步骤 (1)作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其线性回归方程； (2)列表求出的值； (3)利用公式先计算，再根据线性回归直线过样本点的中心计算； (4)写出线性回归方程. 求线性回归方程，关键在于正确求出系数，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的线性回归方程才有意义. 3．残差分析 对于响应变量y，通过观测得到的数据称为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 4．刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)利用R2刻画拟合效果 . R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差. 5．回归分析的三大常用结论 (1)求解线性回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心. (2)根据线性回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. (3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大. 【注】 1．线性回归直线过点. 2．求时，常用公式. 【题型5 残差的计算】 【例5】（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示． 零件数个 加工时间 由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·山东烟台·一模）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式5-3】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（   ） A． B． C．1 D．2 【题型6 刻画回归效果的方式】 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．相关系数的值变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 【变式6-1】（24-25高二下·广西·期末）下列说法中正确的有（    ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 【变式6-3】（24-25高二下·山东枣庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 【题型7 求回归直线方程】 【例7】（24-25高二下·江西赣州·期中）已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（    ） （附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·广东广州·期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（    ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二下·甘肃张掖·月考）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【题型8 线性回归分析】 【例8】（24-25高二下·广东中山·月考）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【变式8-1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 【变式8-2】（24-25高二下·天津静海·月考）已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【变式8-3】（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【题型9 非线性回归分析】 【例9】（24-25高三下·广东梅州·月考）某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（    ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二下·江西抚州·期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 【变式9-2】（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【变式9-3】（2025高二·全国·专题练习）有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y/万千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面的问题. (1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由. (2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1） (3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为； 参考数据：，令，. 【题型10 线性回归与其他知识综合】 【例10】（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【变式10-1】（24-25高二下·新疆喀什·期末）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据： 附：回归直线中. 【变式10-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与人校不同两门的概率各为．假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 相关系数． 【变式10-3】（24-25高二下·福建泉州·期末）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 线性回归方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 解释回归直线方程的意义】 1 【题型2 由散点图画求近似回归直线】 3 【题型3 根据回归方程进行数据估计】 6 【题型4 根据样本中心点求参数】 9 【题型5 残差的计算】 12 【题型6 刻画回归效果的方式】 14 【题型7 求回归直线方程】 16 【题型8 线性回归分析】 19 【题型9 非线性回归分析】 22 【题型10 线性回归与其他知识综合】 25 知识点1 线性回归模型 1．线性回归模型 把式子称为y关于x的线性回归模型.其中，y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；ε是y与a+bx之间的随机误差. 2．随机误差 在线性回归模型中，a和b为模型的未知参数，ε是y与a+bx之间的误差，通常ε为随机变量，称为随机误差.它的均值E(ε)=0，方差D(ε)=σ2>0. 线性回归模型的完整表达式为，在此模型中，随机误差ε的方差σ2越小，用a+bx预报真实值y的精度越高. 【题型1 解释回归直线方程的意义】 【例1】（24-25高二下·天津西青·期末）下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（    ） A．在儿子身高关于父亲身高的经验回归方程中，若父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 D．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 【答案】A 【解题思路】根据回归方程的意义，逐项分析理解即可. 【解答过程】对于A，0.839的含义就是每增加一个单位，估计值 就平均增加0.839个单位，故A正确； 对于B，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误； 对于C，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误； 对于D， 是描述拟合效果的， 越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误. 故选:A. 【变式1-1】（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（    ） 1 2 4 6 7 4 3 2 0 -2 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据回归方程系数所表示的含义和表格中的数据进行判断即可. 【解答过程】由样本数据得随着的增大呈现减小的趋势， 所以和之间存在负相关的关系，所以，易得． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二下·黑龙江·期中）研究表明某地的山高（km）与该山的年平均气温（℃）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是（   ） A．年平均气温为5℃时该山高估计为5km B．该山高为8km处的年平均气温估计为10℃ C．该地的山高与该山的年平均气温的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关 D．该地的山高与该山的年平均气温成负相关关系 【答案】B 【解题思路】根据回归直线方程逐个验证选项可得答案. 【解答过程】对于A，因为时，，即山高估计为5km，A正确； 对于B，令，解得，即山高为8km处的年平均气温估计为℃，B错误； 对于C，由线性回归方程的系数的含义可知C正确； 对于D，因为，所以该地的山高与该山的年平均气温成负相关关系. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二下·河南·月考）关于变量与的线性回归分析，下列说法错误的是（    ） A．若相关系数，则说明变量与的线性相关程度较强 B．回归直线必过点 C．若散点图中数据点从左上角到右下角分布，则，负相关 D．若回归方程为，则变量每增加1个单位时，变量一定增加2个单位 【答案】D 【解题思路】对于A，由相关系数的绝对值越接近1，相关程度越强即可判断；对于B，由回归直线必定过样本中心点即可判断；对于C，由整体呈下降趋势即可判断；对于D，这是预测方程，变量每增加1个单位时，变量可能增加2个单位. 【解答过程】对于A，若相关系数，即相关系数的绝对值较为接近1，则说明变量与的线性相关程度较强，故A正确； 对于B，在线性回归方程中，回归直线必定过样本中心点，故B正确； 对于C，若散点图中数据点从左上角到右下角分布，整体呈下降趋势，则，负相关，故C正确； 对于D，若回归方程为，则变量每增加1个单位时，变量可能增加2个单位，故D错误. 故选：D. 【题型2 由散点图画求近似回归直线】 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由图可知函数的函数值既可以为正，也可为负，结合选项分析即可得到答案. 【解答过程】由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数模型进行拟合，而选项A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二下·福建福州·期末）某个国家某种病毒传播的中期感染人数y和天数x的散点图如图所示，下列最适宜作为感染人数y和天数x的经验回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由散点图的变化趋势，结合四个选项中函数的单调性即可得结论. 【解答过程】由图可知，图象随着x的增大而增高，且增长速度越来越快， 结合选项，可判断最适宜作为感染人数y和时间x的回归方程. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·河南·月考）变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据散点图据曲线形状结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质判断即得． 【解答过程】由散点图可以看出y随着x的增长速度越来越快，结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质可知， 最适宜作为y和x的回归方程类型的是：． 故选：B. 【变式2-3】（2026·河北·一模）某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数． 【解答过程】身高的平均数为， 因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大， 所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故 去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关， ， 故选：A． 【题型3 根据回归方程进行数据估计】 【例3】（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某产品在去年6月至10月的销量（单位：万件）如下表所示： 月份 6 7 8 9 10 销量 1.1 1.3 1.9 2.2 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） A．样本的相关系数为负数 B． C． D．当时，销量为3.28万件 【答案】B 【解题思路】根据表格数据的关系，可判断两变量呈正相关，从而判断A项；根据回归直线经过数据样本中心点，可判断BC项；将代入回归直线方程，可求得销量预测值，可判断D项. 【解答过程】对于A，根据表格数据知，销量随月份的增大而增大，所以两个变量呈正相关，相关系数为正数，故A错误； 对于B，C，根据题表数据，可得，， 所以样本中心为，将样本中心代入线性回归方程得，解得， 所以线性回归方程为，故B正确，C错误； 对于D，当时，得，所以预测销量约为3.28万件，所得数据为销量的预测值，并非实际销量，故D错误. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·贵州遵义·月考）相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 【答案】D 【解题思路】根据回归方程的意义可判断AB的正误，根据回归系数的正负可判断C的正误，根据回归方程过样本中心可求，从而可判断D的正误. 【解答过程】对于A，因为回归直线方程为，故当每增加1时，增加约为 ， 故A错误； 对于B，因为回归直线方程为，故当每增加13时，增加约为， 故B错误； 对于C，因为，故与呈正相关，故C错误； 对于D，，故，故，故， 故D正确； 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·江西九江·期末）具有相关关系的变量与的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则下列选项错误的是（   ） 1 2 3 4 5 16 12 11 10 6 A． B．与具有负相关关系 C．当时，的预测值为0 D．去掉其中某对样本数据，与的样本相关系数可能不变 【答案】C 【解题思路】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入计算可判断A；由正负可判断B；代入计算可判断C；根据样本点的性质可判断D. 【解答过程】对于A，根据表中数据计算可得，， 代入线性回归方程得，得，故A正确； 对于B，因为，所以与具有负相关关系，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，样本点为样本中心点，去掉这个样本点，与的样本相关系数不变，故D正确. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【答案】C 【解题思路】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出回归直线方程，再代入计算可得. 【解答过程】依题意，， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元. 故选：C. 【题型4 根据样本中心点求参数】 【例4】（25-26高二下·全国·单元测试）某饮料店某5天的日销售收入（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间的数据如下表： 0 1 2 5 4 2 2 1 若与之间是线性相关关系，且关于的经验回归方程是，则实数的值是（   ） A．3 B．2.8 C．2.6 D．2.4 【答案】B 【解题思路】根据表格中的数据，求得样本点的中心是，将其代入回归方程，即可求解. 【解答过程】由统计表格中的数据，可得，， 所以统计数据的样本点的中心为， 因为关于的经验回归方程是， 代入可得，解得． 故选：B． 【变式4-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（   ） A．28 B．30 C．33 D．35 【答案】C 【解题思路】求出、，根据回归直线方程必过样本中心点，代入计算可得. 【解答过程】依题意，， 又回归直线方程过点，所以， 解得. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·重庆·月考）某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（   ） A． B．22 C． D．39 【答案】C 【解题思路】根据经验回归方程过定点，带入求参数. 【解答过程】根据题意可知，， 把带入，得，解得. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二下·江苏无锡·期中）稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 【答案】B 【解题思路】根据线性回归方程为过样本中心点求解即可． 【解答过程】由题意可知，， 因为线性回归方程为过样本中心点， 所以， 所以，解得. 故选：. 知识点2 线性回归模型参数的最小二乘估计 1．线性回归方程与最小二乘法 设满足线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，由yi=a+bxi+εi(i=1，2，…，n)，得|yi-(a+bxi)|= |εi|，显然|εi|越小，表示样本数据点离直线y=a+bx的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=a+bx的“整体接近程度”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将称为y关于x的线性回归方程，其图形称为回归直线.其中称为回归截距，称为回归系数，称为回归值. 这种求线性回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计. 线性回归直线一定过点(,). 2．求线性回归方程的一般步骤 (1)作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其线性回归方程； (2)列表求出的值； (3)利用公式先计算，再根据线性回归直线过样本点的中心计算； (4)写出线性回归方程. 求线性回归方程，关键在于正确求出系数，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的线性回归方程才有意义. 3．残差分析 对于响应变量y，通过观测得到的数据称为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 4．刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)利用R2刻画拟合效果 . R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差. 5．回归分析的三大常用结论 (1)求解线性回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心. (2)根据线性回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. (3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大. 【注】 1．线性回归直线过点. 2．求时，常用公式. 【题型5 残差的计算】 【例5】（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【解答过程】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为， 则当时，， 样本点的残差为. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示． 零件数个 加工时间 由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用回归方程过样本点，可求参数，然后再根残差概念即可求解. 【解答过程】由表格中数据可求得：， ， 根据关于的经验回归方程必过点得： ，故经验回归方程为， 当时，预报值， 所以在样本点处的残差为， 故选：D. 【变式5-2】（2025·山东烟台·一模）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【解题思路】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【解答过程】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的回归直线方程，再结合残差的定义计算即可. 【解答过程】由题意可知，旧数据，则， 增加数据后，，， 将点代入中得， ，即，则， 当时，，故残差为. 故选：D. 【题型6 刻画回归效果的方式】 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．相关系数的值变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】C 【解题思路】结合题意，由决定系数、相关系数、残差平方和及相关性的概念和性质作出判断. 【解答过程】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 对于A：决定系数越接近1，拟合的回归方程越优， 故去掉点后变大，越趋于1，故A错误； 对于B：相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优， 由图可得与正相关，故会越接近1，即相关系数的值变大，故B错误； 对于C：残差平方和变小，拟合效果越好，故C正确； 对于D：解释变量与预报变量相关性增强，故D错误. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二下·广西·期末）下列说法中正确的有（    ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】根据线性回归方程和相关系数及残差分析即可判断正误. 【解答过程】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 决定系数越大，模型拟合效果越好，③对， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 【答案】C 【解题思路】根据各个变量的意义作出判断，得到答案. 【解答过程】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误； B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误； C选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，C正确； D选项，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高二下·山东枣庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】A 【解题思路】由残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断A；x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，可判断B；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，可判断C；值越大，则模型的拟合效果越好，可判断D. 【解答过程】对于A，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确； 对于B，x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，故B错误； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误； 对于D，值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：A. 【题型7 求回归直线方程】 【例7】（24-25高二下·江西赣州·期中）已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（    ） （附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解. 【解答过程】由题意得. ，， 所以， 故线性回归方程为. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二下·广东广州·期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（    ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 【答案】D 【解题思路】利用正负相关的概念即可作出选项A的判断，利用经验回归直线经过样本中心点，可通过计算判断B，利用公式求参数和，即可判断C，利用相关系数接近于1可判断D. 【解答过程】由样本相关系数可得y与x呈正相关关系，故A错误； 由数据可得: , 故经验回归直线经过点，故B错误； 由， 则，故经验回归方程为，故C错误； 由于样本相关系数较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，故D正确； 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据公式可求得结果. 【解答过程】由题可得，， 由， ， 所以所求经验回归方程为． 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二下·甘肃张掖·月考）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】A 【解题思路】选项A：通过直接计算样本均值验证正确；选项B：观察数据可知数据呈现正相关趋势；选项C：根据相关系数接近1表示强相关，接近0表示弱相关判定；选项D：正确回归方程需根据公式计算，从而做出判定. 【解答过程】对于选项A：计算样本均值：，，故选项A正确； 对于选项B：观察数据：当从1增加到7时，从2增加到9，整体呈递增趋势，表明和正相关，而非负相关，故选项B错误； 对于选项C：相关系数的绝对值越接近1，表示线性相关程度越强；越接近0，表示线性相关程度越弱.选项C的描述恰好相反，故选项C错误； 对于选项D：，，正确回归方程为 ，而选项D给出的方程为，不匹配，故选项D错误. 故选：A. 【题型8 线性回归分析】 【例8】（24-25高二下·广东中山·月考）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【答案】C 【解题思路】根据线性回归直线过样本中心点这一性质进行求解即可. 【解答过程】依题意， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为6，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元． 故选：C． 【变式8-1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 【答案】C 【解题思路】利用样本中心在回归直线上求参数判断A；根据回归直线一次项系数判断B；计算残差判断C；由回归直线的实际意义判断D. 【解答过程】由题设，所以，可得，故A错误； 所以，又，即与正相关，则样本相关系数，故B错误； 由时，，残差为，故C正确； 由回归方程说明随变化值的变化趋势，不能说变量每增加一个单位，的值一定增加个单位，故D错误. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二下·天津静海·月考）已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）根据表中数据计算出，再结合参考数据利用公式即可计算出，进而得出线性回归方程； （2）将代入即可预测. 【解答过程】（1）由题意得，. 因为， . 所以，. 故经验回归方程为. （2）由已知2026年对应的年份编号为7，令，则. 故预测该产品2026年的市场销售单价为元. 【变式8-3】（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】(1)； (2)kg. 【解题思路】（1）直接根据最小二乘法估计求回归方程； （2）直接根据回归方程计算预测值. 【解答过程】（1）由题知，， ， . ，. 综上，y关于x的线性回归方程为：. （2）由（1）知回归方程为. 所以当时，. 故当价格元/kg时，日需求量y的预测值为kg. 【题型9 非线性回归分析】 【例9】（24-25高三下·广东梅州·月考）某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（    ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用决定系数大小关系排除AB；再利用数表中数据求出斜率判断CD. 【解答过程】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和， 得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB； 设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则， 因此，， 即，，C错误，D正确. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高二下·江西抚州·期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 【答案】A 【解题思路】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案. 【解答过程】由题意得，解得， 因此， 由两边取对数，得， 又，所以，即． 故选：A． 【变式9-2】（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)13（百万辆） 【解题思路】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【解答过程】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 【变式9-3】（2025高二·全国·专题练习）有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y/万千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面的问题. (1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由. (2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1） (3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为； 参考数据：，令，. 【答案】(1)乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型，理由见解析 (2) (3)17.25 【解题思路】（1）比较已知的相关系数的大小； （2）由已知数据求出，结合回归方程变形为，求出d和，从而可求出回归方程； （3）利用非线性回归方程进行估计. 【解答过程】（1）因为，所以乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型. （2）， 由得，即. 则， ， 所以. （3）2030年对应的年份代码，代入（2）中的y关于x的回归方程， 得.故预测2030年中国高铁运营里程将达到17.25万千米. 【题型10 线性回归与其他知识综合】 【例10】（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【解题思路】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【解答过程】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望（元）. 【变式10-1】（24-25高二下·新疆喀什·期末）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据： 附：回归直线中. 【答案】(1) (2)0.7 【解题思路】（1）由数据求得回归方程系数，即可求解； （2）由全概率公式即可求解. 【解答过程】（1），， 由参考数据 所以 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为. （2）设“在甲汽车店购买汽车”，“在乙汽车店购买汽车”， “购买的是新能源汽车”， ，，， 由全概率公式得，. 【变式10-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与人校不同两门的概率各为．假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 相关系数． 【答案】(1)，回归方程为 (2)的分布列见解析； 【解题思路】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从2号门出校园的概率，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出的值. 【解答过程】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以y与x线性相关性很强， 可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从2号门出学校”为事件A，“甲从1号门进学校”为事件B， “甲从2号门进学校”为事件C， “甲从3号门进学校”为事件D， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式得： ，同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为， 为4人中从2号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【变式10-3】（24-25高二下·福建泉州·期末）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】(1)更适合 (2)，8.1千万件 (3) 【解题思路】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【解答过程】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. （2）由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. （3）因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $