专题03 三角形的中位线与重心（期中复习讲义，5重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03 三角形的中位线与重心（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 中位线基本计算（选择/填空） 题型02重心性质求线段长（必考） 题型03 中位线+特殊四边形（解答压轴） 题型04 中位线+重心综合（期中难点） 题型05 中点四边形（高频拓展） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形中位线 1. 理解定义：连接三角形两边中点的线段； 2. 掌握定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 3. 能运用中位线定理证明线段平行、求线段长度、证明线段倍分关系。 1. 期中必考知识点，选择题、填空题、解答题均会出现； 2. 常与平行四边形、矩形、菱形等四边形知识综合考查； 3. 中点四边形、多中点构成的线段关系问题为高频考点。 三角形重心 1. 理解定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心； 2. 掌握性质：靠近顶点的线段与靠近对边中点的线段比为2:1； 3. 能运用重心性质求线段长度、三角形面积。 1. 高频考查题型为选择题、填空题，多直接考查重心的2:1比例性质； 2. 常与三角形中位线、中线、三角形面积计算结合考查。 中位线与重心综合 1. 能在复杂图形中快速识别三角形的中位线、中线，找到重心位置； 2. 能综合运用三角形中位线定理和重心性质，解决线段计算、面积计算、几何证明等问题； 3. 掌握相关辅助线作法。 1. 常出现在期中解答题的中档题或压轴题中； 2. 多与四边形、平面直角坐标系、动点问题综合考查，综合性较强； 3. 辅助线的添加是解题关键，也是期中考查的重点难点。 知识点01 三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有 3条中位线，构成“中点三角形”。 易混辨析： 中位线：两端都是中点，平行于第三边。 中线：一端顶点、一端中点，过重心。 2. 定理（★★★★★ 期中核心） 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 作用：证平行、证倍分关系、求边长、求周长、求面积。 知识点02 三角形的重心 1. 定义 三角形三条中线的交点叫做重心。 重心一定在三角形内部。 2. 核心性质（★★★★ 期中高频） 重心到顶点的距离 = 2×重心到对边中点的距离 推论： 重心分每条中线为 1:2 两段 重心到顶点距离 = 中线长；到对边中点 = 中线长 重心与三顶点连线，把原三角形分成3个面积相等的小三角形（各占） 知识点03 易错点警示（期中避坑） 1.中位线≠中线：端点不同、性质不同 2.重心只在中线：不是高、角平分线交点 3.比例别写反：重心到顶点 2份，到中点 1份 4.中位线平行且一半：只记一半、忘平行，丢分 知识点04 解题大招（秒解技巧） 1.见中点→想中位线：两个中点连线段，必平行且一半 2.见重心→想2:1：中线被分1:2，顶点远、中点近 3.中点四边形：看原四边形对角线 对角线相等 → 中点四边形菱形 对角线垂直 → 中点四边形矩形 题型一 中位线基本计算（选择/填空） 解｜题｜技｜巧 ① 看到“中点+线段”，优先锁定中位线，直接代入定理，无需复杂推导； ② 求中点三角形周长，记住“中点三角形周长=原三角形周长的一半”，快速秒解； ③ 求角度时，利用中位线平行性质，转化为同位角、内错角相等，避开复杂角度计算。 【典例1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为______． 【变式1-2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，分别是的中点，那么线段的长为___________． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 题型二 重心性质求线段长（必考） 解｜题｜技｜巧 ① 牢记“重心分中线为2:1”，顶点侧为2份，中点侧为1份，避免比例写反； ② 直接套用公式：AG=AD，GD=AD，无需列方程，节省解题时间； ③ 若已知重心到顶点距离，反向求中线长，用“中线长=重心到顶点距离÷”快速计算。 【典例2】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-1】（25-26九年级上·上海虹口·月考）一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是______． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，点G是的重心，，，那么的长为______． 【变式2-3】（25-26八年级下·上海·月考）已知在中，，则的重心到的距离为_____． 题型三 中位线+特殊四边形（解答压轴） 解｜题｜技｜巧 ① 核心思路“连对角线+用中位线”，特殊四边形的对角线性质（矩形对角线相等、菱形对角线垂直）是解题关键； ② 证中点四边形形状，先通过中位线得“对边平行且相等”，再结合原四边形对角线的关系，判断邻边关系（相等→菱形、垂直→矩形）； ③ 求中点四边形边长，直接用“中点四边形边长=原四边形对角线的”，快速计算。 【典例3-1】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【典例3-2】（2022·上海虹口·三模）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 【典例3-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图1，在梯形中，，，，，，点F是线段的中点，点G是线段上的一个动点（不与点F重合），连接并延长，交线段的延长线于点P． (1)如果，求PD的长． (2)如图2，点E是的中点． ①如果设，，求y与x的函数关系式并写出定义域． ②连接和，如果，求的长． 【变式3-1】（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【变式3-2】（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，，，，，点是的中点，连接、． (1)求证：； (2)设，求关于的函数解析式（不写定义域）； (3)设、交点为，当为直角三角形时，求的长． 题型四 中位线+重心综合（期中难点） 解｜题｜技｜巧 ① 先处理中位线：看到两边中点，优先求出第三边长度或平行关系，为后续重心计算铺垫； ② 再处理重心：明确重心分中线的比例，区分“中线”和“中位线”，避免混淆（中位线是两边中点连线，中线是顶点与对边中点连线）； ③ 综合题可分步求解，先由中位线求边长，再由重心比例求线段长，降低解题难度。 【典例4-1】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4-2】如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 【变式4-1】如图，点是的重心，，连接、并延长，分别交、于点D，E，连接，则的长为____________． 【变式4-2】如图，已知等腰梯形，，，请仅用无刻度直尺根据下列要求作图； (1)在图（1）中作直线l，将等腰梯形分成两个全等的图形． (2)如图（2）若点E为中点，作出的中点F． 【变式4-3】下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    题型五 中点四边形（高频拓展） 解｜题｜技｜巧 ① 无需逐题证明，牢记“中点四边形的形状由原四边形的对角线决定”，快速判断； ② 口诀记忆：对角线相等→菱形，对角线垂直→矩形，对角线既相等又垂直→正方形，对角线无特殊关系→平行四边形； ③ 选择题直接套用结论，解答题需简要结合中位线定理证明（核心：中位线平行且等于对角线）。 【典例5-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【典例5-2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【变式5-1】（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 【变式5-2】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 【变式5-3】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列命题中，错误的是（　　） A．有两个角相等的梯形是等腰梯形 B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2．在梯形的一条底边长为4，中位线长为7，那么另一条底边的长为 __． 3．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于___________． 4．（25-26八年级下·上海青浦·月考）直角三角形两直角边长为3和4，则这个三角形重心到直角顶点的距离为___________． 5．（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 6．（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·月考）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 2．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 3．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，分别为边，的中点，延长至点，使得，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，如果，请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并证明． 4．（25-26八年级下·上海·月考）在中，，，是的重心． (1)求的长； (2)求． 5．（25-26九年级上·上海徐汇·月考）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点． 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心；（不用写作法，写出结论） (2)直接写出线段与线段的比值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________． 3．已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，连接PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，连接EF交PD于点Q． (1)如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是___．     图1 (2)如图2，当点P在AB的延长线上时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 图2 (3)如图3，当点Q在边BC上时，求BP的长． 图3 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形的中位线与重心（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 中位线基本计算（选择/填空） 题型02重心性质求线段长（必考） 题型03 中位线+特殊四边形（解答压轴） 题型04 中位线+重心综合（期中难点） 题型05 中点四边形（高频拓展） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形中位线 1. 理解定义：连接三角形两边中点的线段； 2. 掌握定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 3. 能运用中位线定理证明线段平行、求线段长度、证明线段倍分关系。 1. 期中必考知识点，选择题、填空题、解答题均会出现； 2. 常与平行四边形、矩形、菱形等四边形知识综合考查； 3. 中点四边形、多中点构成的线段关系问题为高频考点。 三角形重心 1. 理解定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心； 2. 掌握性质：靠近顶点的线段与靠近对边中点的线段比为2:1； 3. 能运用重心性质求线段长度、三角形面积。 1. 高频考查题型为选择题、填空题，多直接考查重心的2:1比例性质； 2. 常与三角形中位线、中线、三角形面积计算结合考查。 中位线与重心综合 1. 能在复杂图形中快速识别三角形的中位线、中线，找到重心位置； 2. 能综合运用三角形中位线定理和重心性质，解决线段计算、面积计算、几何证明等问题； 3. 掌握相关辅助线作法。 1. 常出现在期中解答题的中档题或压轴题中； 2. 多与四边形、平面直角坐标系、动点问题综合考查，综合性较强； 3. 辅助线的添加是解题关键，也是期中考查的重点难点。 知识点01 三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有 3条中位线，构成“中点三角形”。 易混辨析： 中位线：两端都是中点，平行于第三边。 中线：一端顶点、一端中点，过重心。 2. 定理（★★★★★ 期中核心） 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 作用：证平行、证倍分关系、求边长、求周长、求面积。 知识点02 三角形的重心 1. 定义 三角形三条中线的交点叫做重心。 重心一定在三角形内部。 2. 核心性质（★★★★ 期中高频） 重心到顶点的距离 = 2×重心到对边中点的距离 推论： 重心分每条中线为 1:2 两段 重心到顶点距离 = 中线长；到对边中点 = 中线长 重心与三顶点连线，把原三角形分成3个面积相等的小三角形（各占） 知识点03 易错点警示（期中避坑） 1.中位线≠中线：端点不同、性质不同 2.重心只在中线：不是高、角平分线交点 3.比例别写反：重心到顶点 2份，到中点 1份 4.中位线平行且一半：只记一半、忘平行，丢分 知识点04 解题大招（秒解技巧） 1.见中点→想中位线：两个中点连线段，必平行且一半 2.见重心→想2:1：中线被分1:2，顶点远、中点近 3.中点四边形：看原四边形对角线 对角线相等 → 中点四边形菱形 对角线垂直 → 中点四边形矩形 题型一 中位线基本计算（选择/填空） 解｜题｜技｜巧 ① 看到“中点+线段”，优先锁定中位线，直接代入定理，无需复杂推导； ② 求中点三角形周长，记住“中点三角形周长=原三角形周长的一半”，快速秒解； ③ 求角度时，利用中位线平行性质，转化为同位角、内错角相等，避开复杂角度计算。 【典例1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 又∵是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，分别是的中点，那么线段的长为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵分别是的中点，且， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 题型二 重心性质求线段长（必考） 解｜题｜技｜巧 ① 牢记“重心分中线为2:1”，顶点侧为2份，中点侧为1份，避免比例写反； ② 直接套用公式：AG=AD，GD=AD，无需列方程，节省解题时间； ③ 若已知重心到顶点距离，反向求中线长，用“中线长=重心到顶点距离÷”快速计算。 【典例2】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：如图所示：连接并延长交于点D， ∵G是的重心，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海虹口·月考）一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是______． 【答案】18 【详解】解：设直角三角形的直角顶点为C，重心为G，斜边为．重心G到直角顶点C的距离． 由于重心将中线分为的两段，其中顶点到重心的距离占中线的， 因此从C到斜边的中线的长度为． 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即， 所以斜边． 故答案为：18 【变式2-2】（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，点G是的重心，，，那么的长为______． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的重心及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握三角形的重心及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴，点是的中点， ∵，， ∴， ∴； 故答案为10． 【变式2-3】（25-26八年级下·上海·月考）已知在中，，则的重心到的距离为_____． 【答案】 【详解】解：如图，是的中线，， ， ， ， 是的中线， ， 点是的重心， ， ， 根据三角形面积公式可得， ，即的重心到的距离为． 题型三 中位线+特殊四边形（解答压轴） 解｜题｜技｜巧 ① 核心思路“连对角线+用中位线”，特殊四边形的对角线性质（矩形对角线相等、菱形对角线垂直）是解题关键； ② 证中点四边形形状，先通过中位线得“对边平行且相等”，再结合原四边形对角线的关系，判断邻边关系（相等→菱形、垂直→矩形）； ③ 求中点四边形边长，直接用“中点四边形边长=原四边形对角线的”，快速计算。 【典例3-1】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【详解】（1）解：．理由如下： 四边形是正方形， ，． 又， ． ； （2）解：四边形是正方形．补全图形如图．理由如下： 设相交于点， 分别是的中点， ． ． 四边形是菱形． ， ． ， ， ． 分别是的中点， ． ． 四边形是正方形． 【典例3-2】（2022·上海虹口·三模）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：过作，交于， ∵四边形 是平行四边形，， ∴，，，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中 ，， ， ， ∴． （3）解：延长、交于， ， ∵， ∴, ，， 由（2）得：， ， 即：， 是等边三角形， 设， ，， ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过作，取的中点，连接、、、， ， ，， 是的中点， ，， ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ． 【典例3-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图1，在梯形中，，，，，，点F是线段的中点，点G是线段上的一个动点（不与点F重合），连接并延长，交线段的延长线于点P． (1)如果，求PD的长． (2)如图2，点E是的中点． ①如果设，，求y与x的函数关系式并写出定义域． ②连接和，如果，求的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． （2）解：①如图2，连接并延长交于点H． ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴． ②∵，． a．当四边形是平行四边形时， ∴， ∴，解得：， ∴的长为； b．当四边形是等腰梯形时， ∵， ∴， ∵E、F是的中点， ∴， 如图：过点D作于M． ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ， 在中，， ∴，解得和舍弃)， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴的长为4． 综上所述， 的长为或4． 【变式3-1】（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 【变式3-2】（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，，，，，点是的中点，连接、． (1)求证：； (2)设，求关于的函数解析式（不写定义域）； (3)设、交点为，当为直角三角形时，求的长． 【详解】（1）证明：如图所示，作于点，则， ∵，，点是的中点， ∴，是梯形的中位线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点，则， ∵，，点是中点， ∴，， ∴， ∴点是中点，即是梯形的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接与交于点， ∵四边形是矩形， ∴点是中点， ∴点三点共线， 当时，即， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当，即，由（1）得到，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，此时与题目中的梯形矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴这种情况不存在； 综上所述，当为直角三角形时，的长为． 题型四 中位线+重心综合（期中难点） 解｜题｜技｜巧 ① 先处理中位线：看到两边中点，优先求出第三边长度或平行关系，为后续重心计算铺垫； ② 再处理重心：明确重心分中线的比例，区分“中线”和“中位线”，避免混淆（中位线是两边中点连线，中线是顶点与对边中点连线）； ③ 综合题可分步求解，先由中位线求边长，再由重心比例求线段长，降低解题难度。 【典例4-1】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【典例4-2】如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 【答案】8 【详解】解：如图，延长到H，使，连接，，延长交于点E， ∴， ∵F是的重心， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵，的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：8． 【变式4-1】如图，点是的重心，，连接、并延长，分别交、于点D，E，连接，则的长为____________． 【答案】4 【详解】解：∵点是的重心， ∴点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】如图，已知等腰梯形，，，请仅用无刻度直尺根据下列要求作图； (1)在图（1）中作直线l，将等腰梯形分成两个全等的图形． (2)如图（2）若点E为中点，作出的中点F． 【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求； 根据题意得，点H是的中点，点E为中点， 由三角形的三条中线交于一点可知，点M是的中点， 是的中位线， ∴ ∴点F是的中点． 【变式4-3】下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    【详解】解：（1）依据1：三角形中位线定理， 依据2：平行四边形对角线互相平分， 故答案为：三角形中位线定理， 平行四边形对角线互相平分； （2）如图，点即为的重心．    （3）如图，延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点，      ，，， ， ，，， ， ， 即． 题型五 中点四边形（高频拓展） 解｜题｜技｜巧 ① 无需逐题证明，牢记“中点四边形的形状由原四边形的对角线决定”，快速判断； ② 口诀记忆：对角线相等→菱形，对角线垂直→矩形，对角线既相等又垂直→正方形，对角线无特殊关系→平行四边形； ③ 选择题直接套用结论，解答题需简要结合中位线定理证明（核心：中位线平行且等于对角线）。 【典例5-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【答案】B 【详解】解：如图：    观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： ，， ∴四边形是平行四边形； A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意； B、∵等腰梯形的对角线相等，即：当时， ∴， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意； C、当时，则：， ∴， ∴四边形为矩形； ∴顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意； D、当时，则：， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意． 故答案选：B． 【典例5-2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【答案】 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 【变式5-1】（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别为四边形各边的中点， ∴，，，， ∴，，且，， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，须使， 故选：D． 【变式5-2】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 【答案】 【详解】解：∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1， ∴A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC； ∴A1D1B1C1，A1B1C1D1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形； 根据中位线的性质知，A1B1=AC；B1C1=BD 四边形A1B1C1D1周长为 同理，四边形A3B3C3D3是平行四边形，A3B3C3D3周长为 同理，四边形的周长是 四边形A15B15C15D15周长为 故答案为． 【变式5-3】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD； 理由如下：如图1， ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC， ∴AC⊥BD，AC=BD， 故答案为：AC⊥BD，AC=BD； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MNBG，MN=BG， RLBG，RL=BG， RNCE，RN=CE， MLCE，ML=CE， ∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC， 即∠EAC=∠BAG， 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE=BG，∠AEC=∠ABG， 又∵RL=BG，RN=CE， ∴RL=RN， ∴▱MNRL是菱形， ∵∠EAB=90°， ∴∠AEP+∠APE=90°． 又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK=90°， ∴∠BKP=90°， 又∵MNBG，MLCE， ∴∠LMN=90°， ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：（1）MN=AC，理由如下： 如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM=FN，∠MFN=90°， ∴MN===FM， ∵M，F分别是AB，BC的中点， ∴FM=AC， ∴MN=AC； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， 连接BD交AC于O，连接OM、ON， 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， ∴2（OM+ON） 2MN， 由性质探究②知：AC⊥BD， 又∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB=2OM，CD=2ON， ∴2（OM+ON）=AB+CD， ∴AB+CD2MN， 由拓展应用（1）知：MN=AC； 又∵AC=2， ∴MN=， ∴AB+CD的最小值为2． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列命题中，错误的是（　　） A．有两个角相等的梯形是等腰梯形 B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【详解】解：A、有两个角相等的梯形可能是等腰梯形，也可能是直角梯形，故错误，符合题意； B、顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意． 故选：A． 2．在梯形的一条底边长为4，中位线长为7，那么另一条底边的长为 __． 【答案】10 【详解】设梯形的另一条底边的长为x， 由题意得：×（4+x）＝7， 解得：x＝10， 故答案为：10． 3．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于___________． 【答案】8 【详解】解：如图所示，分别是四边的中点，， ∴分别是的中位线， ∴， ∴顺次连接这个四边形各边的中点所得四边形的周长等于． 故答案为：8． 4．（25-26八年级下·上海青浦·月考）直角三角形两直角边长为3和4，则这个三角形重心到直角顶点的距离为___________． 【答案】 【详解】解：由勾股定理得，该直角三角形的斜边长为 该直角三角形的斜边上的中线长为， ∵三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍， ∴重心到直角顶点的距离等于斜边中线长的，即为． 5．（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·月考）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 2．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 【答案】 【详解】解：如下图，连接，连接与交于点M ∵四边形和四边形是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： ∴ 又∵P是的中点，M是的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= 故答案为： 3．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，分别为边，的中点，延长至点，使得，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，如果，请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并证明． 【详解】（1）证明：分别为边的中点， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形． 联结； ∵四边形是平行四边形， 互相平分， ∵， ，即， ∵四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形. 4．（25-26八年级下·上海·月考）在中，，，是的重心． (1)求的长； (2)求． 【详解】（1）解：延长交于点D，    ∵G为重心， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解： 5．（25-26九年级上·上海徐汇·月考）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点． 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心；（不用写作法，写出结论） (2)直接写出线段与线段的比值． 【详解】（1）解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； （2）解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ； 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ∵， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设，。。 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述：线段与线段的比值是或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【详解】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6， ， 的重心为G， ， ， 点D、G到的距离相等，且位于的同侧， ，故结论A正确；结论B错误； 又，， ∴，故选项C、D错误， 故选：A． 2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________． 【答案】或 【详解】∵，，， ∴ 如图，当点在右侧时，连接， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∵为的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， 则：； 如图，当点在左侧时，连接， 同理可得：，，， 则：； 综上，点B与点的距离为或． 故答案为：或． 3．已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，连接PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，连接EF交PD于点Q． (1)如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是___．     图1 (2)如图2，当点P在AB的延长线上时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 图2 (3)如图3，当点Q在边BC上时，求BP的长． 图3 【详解】（1）解：当点P与点B重合时，PE=BE，PF=BF， ∵四边形ABCD是正方形，且点E、F分别是AB和PC的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵PD为正方形ABCD的对角线， ∴， ∴△QPE的形状是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． （2）解：延长BA到点M，使得，连接MC， ∵， ∴，即． ∵， ∴EF是△MPC的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）解：当点Q在边BC上时，由(2)可知， ∴． ∵在△ADP和△BCM中， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 【答案】(1) (2) (3)4 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°， ∵GE∥AD， ∴∠GEB＝∠BAD＝60°， ∴∠EGA＝∠GEB−∠BAC＝30°， ∴∠EGA＝∠BAC＝30°， ∴GE＝AE＝2t， ∵四边形EFHG是矩形， ∴FH＝GE＝2t， 在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝， ∴AH＝AF＋FH＝3t， 点H与点D重合时，AH＝AD， ∴3t＝8， ∴t＝； （2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，如图： 矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积， ∴S＝EF•FH＝， ②当H在边AD延长线上，即＜t≤4时，设HG交CD于M，如图： 在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH−AD＝3t−8， ∴DM＝2DH＝6t−16，HM＝＝， ∴S△DHM＝DH•HM＝， ∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积 S＝EF•FH−S△DHM＝ ， 综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积： ， （3）当AD时，如图： ∵四边形EFHG是矩形， ∴是FG的中点， ∵∥AD， ∴是△AFG的中位线， ∴O是AG中点， ∴OA＝OG， 又∵O是AC中点，OA＝OC， ∴G与C重合，此时，E与B重合， ∴t＝ 故答案为：4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $