数学二模模拟卷（山西专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A C B D A A C 第二部分（非选择题 共92分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16． 【详解】（1）解： ；（5分） （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得：，．（10分） 17．（本题7分） 【答案】最省钱采购方案为采购大规格香樟树苗20株，小规格香樟树苗30株，总费用为4800元． 【分析】设采购大规格香樟树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则采购小规格香樟树苗的数量为棵，根据题意列出不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设采购大规格香樟树苗x株，购买两种树苗所需的费用是y元，则采购小规格香樟树苗的数量为株，（1分） 根据题意，可得：，（2分） ∵小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍， ∴，（4分） 解得：，（5分） ∵， ∴随x的增大而增大， ∵x取整数， ∴当时，有最小值，最小值为，（6分） ∴最省钱采购方案为采购大规格香樟树苗20株，小规格香樟树苗30株，总费用为4800元．（7分） 18．（本题8分） 【详解】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，， 故中位数； ；（3分，每空1分） （2） 解：购买型智能机器人合适．（4分） 理由如下： 从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人合适；（6分） （3）解：条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等； 表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等．（8分） 19．（本题7分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积； (3)一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ，（1分） 反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数的表达式；（2分） （2）解：∵反比例函数解析式为，点的横坐标为， ， 一次函数的图象与轴交于点， 令，则， ， ，（3分） ， ， ；（4分） （3）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到， 为， 当时，，直线经过点时，，， 如图所示： 由题得在时恒成立， 当时，直线与直线平行，且直线在直线上方，不等式恒成立，（5分） 如图所示： 当时，不能保证时不等式恒成立，（6分） 综上所述，的取值范围为．（7分） 20．（本题8分） 【详解】解：如图，延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形． （1分） 米，米，， 在中，，， ， 设米．（2分） 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ， ，（5分） ． 解得．（7分） （米）（9分） 答：“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度约为28米． 21．（本题9分） 【详解】（1）解：材料中的“依据”是指同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等；（2分） （2）证明：于点， ， 于点， ， ， 又，（同弧所对的圆周角相等） ∴， ∵， ∴， ∴， 于点， ∴，， ∴， ∴， ∴；（5分，每步推理正确，酌情给分） （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，（6分） ∴， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∴， ∴四边形和四边形面积相等，（7分） ∵，对角线于点， ∴， ∴．（9分） 22．（本题13分） 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为．（2分） ∵抛物线经过原点， ∴， 解得，（3分） ∴抛物线的函数表达式为．（4分） （2）解：当时，. 答：她需要将枪械抬高到距离地面的位置．（6分） （3）解：说法正确．理由如下： 如答图，连接交抛物线于另一点． 由题意，得， 当时，． 解得（舍去）． ∴．（7分） 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为．（9分） ∵点Q在的图象上， ∴设．（10分） 又∵点Q在的图象上， ∴． 解得，（舍去）． ∴．（12分） ∵， 她的说法正确．（13分） 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点E为的中点，点F是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为． (1)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点恰好与点A重合，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：点F在边上移动（不与点B，C重合），当直线与边交于点H时． ①请用图3证明． ②连接，当是等腰直角三角形时，请直接写出边的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，（1分）理由如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，（3分） ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形；（4分） （2）解：①延长交的延长线于点，连接， （5分） ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，（6分） ∴， ∵折叠， ∴，（7分） ∴， ∴， ∴，即；（8分） ②当是等腰直角三角形时，分三种情况： 当时，则，，作，如图，则， ∵，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由①知：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴；（9分） 当时，则，作于点，如图，由上可知：， 则，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴；（10分） 当时，则，，如图， 则， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴；（11分） 综上：的长为或或．（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第二次模拟考试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1[][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21(9分) D G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) y/m y/m F P E· AO x/m 图1 图2 23.(13分) A(B2 D C(F) 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考数学第二次模拟考试 三 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A B 21(9分) D G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) y/m y/m F P E。 m x/m 图1 图2 23.(13分) A(B) H 图1 图2 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】乘积是1的两个数互为倒数．只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是，的倒数是， 则的相反数的倒数是． 2．（本题3分）某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需运用同类项定义、同底数幂乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、根据同底数幂乘法法则，，B错误； C、根据积的乘方法则，，C正确； D、根据完全平方公式，，D错误． 4．（本题3分）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积为， 所以阴影部分的面积为 ． 5．（本题3分）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 6．（本题3分）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角相等得出，，再根据四边形的内角和即可得出结论 【详解】解： ∵； ∴； ∵，； ∴ 故选：B    【点睛】本题考查了四边形的内角和定理，和对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 7．（本题3分）甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位：）与溶液质量（单位：）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数．判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（   ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 【答案】D 【分析】令溶液质量都为，根据图象即可求解． 【详解】解：如图，令溶液质量都为， 根据图象可得：， ∴溶质的质量分数最大的是甲． 8．（本题3分）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质得到，，求出，最后利用四边形内角和求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ，是的切线， ，， ， ． 故选：A． 9．（本题3分）声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 ．．． 331 331.6 332.2 ．．． 则与的函数关系式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表格数据可知满足一次函数关系，利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】由表格数据可知满足一次函数关系， 设的函数关系式为 当时，，代入得 把，代入，得 解得 验证：当时，，与表格数据一致 与的函数关系式为． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点F的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得,进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形，边在x轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点F的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴, ∴直线的解析式为， 由折叠得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：, ∴, ∴． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（本题3分）刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用颗牛肉粒，则制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为______个．（用含，的代数式表示） 【答案】/ 【分析】根据需要的肉粒总数由份羊肉臊子面的肉粒数和份牛肉臊子面的肉粒数组成，分别计算后相加即可． 【详解】解：制作份羊肉臊子面需要的肉粒数为，制作份牛肉臊子面需要的肉粒数为， 故制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为个． 12．（本题3分）1阿秒是秒．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为________秒． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，先根据阿秒与秒的换算关系得到43阿秒对应的秒数，再依据科学记数法的定义将其转化为标准形式． 【详解】解：∵1阿秒秒， ∴43阿秒秒， 将43写成，则， ∴， 故答案为：． 13．（本题3分）若以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在第_______象限． 【答案】一 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 先联立直线的解析式和二元一次方程求出点，再判断点在平面直角坐标系中的位置． 【详解】解：根据题意，将直线的解析式和二元一次方程联立方程组可得， ， 将②代入①得：， ， ， ， ， 将代入②得：， ∴． ∴点的坐标为． ∵，即且， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 14．（本题3分）“唱游山西”是2026年山西文旅集团打造的深度融合文旅产品，包括“晋揽长城  边塞风情”“穿越黄河  文明探源”“大美太行  红色记忆”三大主题．下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完全相同）．现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张，则两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是________． 【答案】 【分析】画树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况有6种，其中符合条件的情况有2种， ∴两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是． 15．（本题3分）如图，在中，，，点为的中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】取中点，连接，设（），求得，证明，得到，即，解出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：取中点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴， 设（）， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在中，点分别是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题10分）计算与解方程 (1)计算： (2)解方程 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得：，． 17．（本题7分）2026年太原市推进口袋公园微更新民生工程，已知香樟树是法定市树，某项目组采购两种规格的香樟树苗用于绿化升级，其中大规格香樟树苗价格为120元/株，小规格香樟树苗价格为80元/株．若计划采购两种树苗共50株，且要求小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍，请设计最省钱的采购方案，并求出该方案的总费用． 【答案】最省钱采购方案为采购大规格香樟树苗20株，小规格香樟树苗30株，总费用为4800元． 【分析】设采购大规格香樟树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则采购小规格香樟树苗的数量为棵，根据题意列出不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设采购大规格香樟树苗x株，购买两种树苗所需的费用是y元，则采购小规格香樟树苗的数量为株， 根据题意，可得：， ∵小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍， ∴， 解得：， ∵， ∴随x的增大而增大， ∵x取整数， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴最省钱采购方案为采购大规格香樟树苗20株，小规格香樟树苗30株，总费用为4800元． 18．（本题8分）智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中________，________，________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 【答案】(1)20；15；1.4 (2)购买B型智能机器人合适，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据众数和中位数的定义和方差计算公式求解即可； （2）从众数、中位数、平均数三个方面分析； （3）根据条形统计图和表格统计的特点解答即可． 【详解】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，， 故中位数； ； （2）解：购买型智能机器人合适．理由如下： 从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人合适； （3）解：条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等； 表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等． 19．（本题7分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积； (3)一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象的平移、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先将代一次函数中求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，得到，再由计算即可得出答案； （3）新的一次函数的解析式为，当时，，当函数的图象过点时，，得出，画出函数和的图象，结合函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数的表达式； （2）解：∵反比例函数解析式为，点的横坐标为， ， 一次函数的图象与轴交于点， 令，则， ， ， ， ， ； （3）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到， 为， 当时，，直线经过点时，，， 如图所示： 由题得在时恒成立， 当时，直线与直线平行，且直线在直线上方，不等式恒成立， 如图所示： 当时，不能保证时不等式恒成立， 综上所述，的取值范围为． 20．（本题8分）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】28米 【分析】延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形，在中，可得设米．在中，可得，在中， 可得，再由，即可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形． 米，米，， 在中，，， ， 设米． 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ， ， ． 解得． （米） 答：“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度约为28米． 21．（本题9分）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 探索“垂径四边形”的性质在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原理．一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构． “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边．数学语言表述为：如图，四边形内接于，对角线于点．过点作于点，反向延长交于点，则． 证明：于点，． 于点， ． ． 又，（依据） …… 任务： (1)材料中的“依据”是指________． (2)补充完整材料中的证明过程． (3)若，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）由余角性质和圆周角定理可证，进而得，即得，再根据余角性质证明，得到，即可求证； （）由弧，弦和圆心角的关系可得，即得，进而得到，即得，，即可得，，可得四边形和四边形都是直角梯形，且面积相等，再求出四边形的面积即可求解； 本题考查了圆周角定理，弧、弦和圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：材料中的“依据”是指同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （2）证明：于点， ， 于点， ， ， 又，（同弧所对的圆周角相等） ∴， ∵， ∴， ∴， 于点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∴， ∴四边形和四边形面积相等， ∵，对角线于点， ∴， ∴． 22．（本题13分）综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动．在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击空中的飞碟．飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线． 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录了飞碟的位移数据．如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O，以所在直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．当飞碟距发射器的水平距离为时，到达最高点P，此时距离地面的高度为． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为时将其击中，则她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ (3)如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3m高的点F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为处的位置时重新射击，仍然可以将其击落．已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为，距地面的竖直高度为，请判断她的说法是否正确？并说明理由． 【答案】(1) (2)她需要将枪械抬高到距离地面的位置 (3)正确，详见解析 【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，结合抛物线经过原点，运用待定系数法，求出a，即可得到抛物线解析式； （2）由题意可知，，将代入抛物线解析式，求出y值即可； （3）连接交抛物线于另一点，由题意得到，先求出点F坐标，设直线的函数表达式为，将代入，求得直线的函数表达式为，由点Q在的图象上，点Q也在的图象上，求出，由说明该说法正确． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为． ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，. 答：她需要将枪械抬高到距离地面的位置． （3）解：说法正确．理由如下： 如答图，连接交抛物线于另一点． 由题意，得， 当时，． 解得（舍去）． ∴． 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． ∵点Q在的图象上， ∴设． 又∵点Q在的图象上， ∴． 解得，（舍去）． ∴． ∵， 她的说法正确． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点E为的中点，点F是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为． (1)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点恰好与点A重合，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：点F在边上移动（不与点B，C重合），当直线与边交于点H时． ①请用图3证明． ②连接，当是等腰直角三角形时，请直接写出边的长． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)①见解析；②或或 【分析】（1）根据折叠的性质，推出，进而得到为等边三角形，得到，即可得出结论； （2）①延长交的延长线于点，连接，证明，得到，折叠得到，等角对等边结合线段的和差关系即可得出结论；②分，，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：①延长交的延长线于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②当是等腰直角三角形时，分三种情况： 当时，则，，作，如图，则， ∵，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由①知：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 当时，则，作于点，如图，由上可知：， 则，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 当时，则，，如图， 则， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 综上：的长为或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年中考第二次模拟考试 o 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 ○ 第一部分（选择题共30分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，-2026的相反数的倒数是() 1 1 A.2026 B. C.-2026 2026 2026 2.某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感.以下四 : 款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ： A 3. 下列运算正确的是() : A.n+n=n B.m2.m=ms C.(-m'n)=m'n2 D.(m+n)=m2+n : 4.如图，先以正方形ABCD的边AD为直径画圆，然后以A为圆心，AB为半径画BD,最后以AB的中点 : E为圆心，BE为半径画弧BF与AD交于点F,若AD=2,则图中阴影部分的面积为() : : 3 A. B.元-1 C.4 D.元+1 5.如果关于×的分式方程，”+x+?=0无解，那么实数m的值为() 4-x"x-4 : 试题第1页（共8页） .: .: 可学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 A.4 B.5 C.6 D.7 6.一副三角板如图所示摆放，则∠与∠B的数量关系为() 30°T 459 A.∠x+∠B=180°B.∠+∠B=225°C.∠a+∠B=270°D.∠a=∠B 7.甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位： g)与溶液质量m2(单位：g)的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的 质量分数= ×100%.判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（） n, mlg个 甲 丙 丁 O mlg A.T B.丙 C.乙 D.甲 8.如图，PB,PC是⊙O的两条切线，切点分别为B,C,若∠A=65°，则∠P的度数为() B A.50° B.55° C.65 D.70° 9.声音的传播速度v(m/s)与温度t(C)的关系如下表： t(℃) 0 1 v(m/s) 331 331.6 332.2 则v与t的函数关系式为() A.v=0.6t+331 B.v=331t+0.6 C.v=0.6t D.v=331t 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，D为OA边上一点，连接CD.将菱 形OABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB于点F.若点F的坐标为(1O,8),则点D的坐标为() 试题第2页（共8页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁背 4030 5 c99) 1540 A. 77 D.77 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用8颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要 用6颗牛肉粒，则制作a份羊肉臊子面和b份牛肉臊子面需要的肉粒总数为_个.（用含a,b的代数式 表示) 12.1阿秒是1018秒.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为 秒. 13.若以二元一次方程2x+y=6的解为坐标的点P(c)恰好在直线)y=行+1上，则点P的位置在第 象限 14.“唱游山西”是2026年山西文旅集团打造的深度融合文旅产品，包括“晋揽长城边塞风情”“穿越黄河文 明探源”“大美太行红色记忆”三大主题.下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完全相 同).现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张，则两人 抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是 晋揽长城边塞风情穿越黄河文明探源大美太行红色记忆 15.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，点D为AC的中点，连接BD,点E为BA延长线上一 点，连接CE.若∠ACE=∠ABD,EC=2W7,则BC的长为 试题第3页（共8页） 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题10分)计算与解方程 (1)计算：1-V3-2cos30°+(-1)225-（V3-z)° (2)解方程x2-2x-2=0 ::0 张 河 17.(本题7分)2026年太原市推进口袋公园微更新民生工程，已知香樟树是法定市树，某项目组采购两种 游 规格的香樟树苗用于绿化升级，其中大规格香樟树苗价格为120元/株，小规格香樟树苗价格为80元/ 株.若计划采购两种树苗共50株，且要求小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍，请设计最省 钱的采购方案，并求出该方案的总费用. 18.(本题8分)智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在 世 逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能 化.如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如 下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： 试题第4页（共8页） : 机器人分拣快递数量统计图 个台数/台 4 ·: 00 1314151617分拣数量/万件 B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 【数据分析与运用】 : 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： % : 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 b 15 .: B型号 a 20 20 4.2 . 舒 O 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中a= ,b= C= (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择， 并说明理由： (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的 优势.（各写出一条即可） : o : ·: : 泳 : K 19.(本题7分)如图，一次函数y= 2x+2的图象与x轴交于点C,与y轴交于点B.点4(2，a四在直线BC O 上， 反比例函数y=的图象过点A,且与直线BC在第三象限相交于点D,连结OAOD. : : 试题第5页（共8页） ©学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点D的横坐标为-6，求△AOD的面积： (3)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=。x+2的图象向下平移3个单位长度得到，当x>-2时，对 于x的每一个值，函数y=mx(m≠O)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围. 20.(本题8分)项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群， 其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔.综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活 动. 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”项部点A的仰角： 观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角. 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角∠ACE为67°；在点D处测得点A的仰角∠ADB为53°，已知图 中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差BE=4米，点C与点D的水平距离为31米.请 根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离AB的高度.（结果精确到1米.参考数据： sim53°≈0.80，cos53°≈0.60，tam53°≈1.33，sin67°≈0.92，c0s67°≈0.39，tan67°≈2.36). 试题第6页（共8页） 可学科网·学易金卷德怒德：就限餐是鲁潜 21.(本题9分)阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务。 探索“垂径四边形”的性质在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原 理.一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条 互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构. G 垂径四边形”有如下性质：过对角线交点 B 向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边.数学语言表述为：如图，四 边形ABCD内接于⊙O,对角线AC L BD于点P.过点P作PH⊥BC于点H,反向延长 PH交AD于点G,则AG=DG. 证明：：AC⊥BD于点P,∴.∠ACB+∠PBH=90° :PH⊥BC于点H, .∠BPH+∠PBH=90°. ∴.ACB=∠BPH. 又，∠ACB=∠ADB,(依据) … 任务： (1)材料中的“依据”是指 (2)补充完整材料中的证明过程. (3)若AC=BD=16,请直接写出四边形ABHG的面积. 22.(本题13分)综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动.在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的 发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击 空中的飞碟.飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线. 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录 试题第7页（共8页） 了飞碟的位移数据.如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O,以AO所在直线为x轴，以过点0且与AO O 垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，当飞碟距发射器的水平距离为40m时，到达最高点P,此时距离地 : 面的高度为4m· /m本 y/m 子 P F P E● AO x/m x/m 图1 图2 问题解决： 张 (1)求抛物线的函数表达式. (2)若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为8时将其击中，则 江 她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ 教 (3)如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3高的点F 游 处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为30处的位置时重新射 击，仍然可以将其击落.已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为20m,距地面的竖直高度 S 为2m,请判断她的说法是否正确？并说明理由. O 23.(本题13分)综合与探究 问题情境：如图1，在口ABCD中，AB=4,∠B=60°，点E为AB的中点，点F是BC边上的一个动点， 连接EF,将口ABCD沿EF折叠，点B的对应点为B. A A(B D 4 H 世 CF) 图1 图2 图3 备用图 (1)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点B恰好与点A重合，猜想四边形ABCD的形状，并说明理 席 由 (2)深入探究：点F在边BC上移动（不与点B,C重合），当直线FB'与边AD交于点H时. ①请用图3证明AH=B'H. ②连接CH,当△CH是等腰直角三角形时，请直接写出边BC的长， 试题第8页（共8页） 2026年中考第二次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 5．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位：）与溶液质量（单位：）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数．判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（   ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 8．如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 ．．． 331 331.6 332.2 ．．． 则与的函数关系式为（） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用颗牛肉粒，则制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为______个．（用含，的代数式表示） 12．1阿秒是秒．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为________秒． 13．若以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在第_______象限． 14．“唱游山西”是2026年山西文旅集团打造的深度融合文旅产品，包括“晋揽长城  边塞风情”“穿越黄河  文明探源”“大美太行  红色记忆”三大主题．下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完全相同）．现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张，则两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是________． 15．如图，在中，，，点为的中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，，则的长为________． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题10分）计算与解方程 (1)计算： (2)解方程 17．（本题7分）2026年太原市推进口袋公园微更新民生工程，已知香樟树是法定市树，某项目组采购两种规格的香樟树苗用于绿化升级，其中大规格香樟树苗价格为120元/株，小规格香樟树苗价格为80元/株．若计划采购两种树苗共50株，且要求小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍，请设计最省钱的采购方案，并求出该方案的总费用． 18．（本题8分）智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中________，________，________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 19．（本题7分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积； (3)一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 20．（本题8分）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 21．（本题9分）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 探索“垂径四边形”的性质在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原理．一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构． “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边．数学语言表述为：如图，四边形内接于，对角线于点．过点作于点，反向延长交于点，则． 证明：于点，． 于点， ． ． 又，（依据） …… 任务： (1)材料中的“依据”是指________． (2)补充完整材料中的证明过程． (3)若，请直接写出四边形的面积． 22．（本题13分）综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动．在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击空中的飞碟．飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线． 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录了飞碟的位移数据．如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O，以所在直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．当飞碟距发射器的水平距离为时，到达最高点P，此时距离地面的高度为． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为时将其击中，则她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ (3)如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3m高的点F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为处的位置时重新射击，仍然可以将其击落．已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为，距地面的竖直高度为，请判断她的说法是否正确？并说明理由． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点E为的中点，点F是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为． (1)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点恰好与点A重合，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：点F在边上移动（不与点B，C重合），当直线与边交于点H时． ①请用图3证明． ②连接，当是等腰直角三角形时，请直接写出边的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 5．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位：）与溶液质量（单位：）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数．判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（   ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 8．如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 ．．． 331 331.6 332.2 ．．． 则与的函数关系式为（） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用颗牛肉粒，则制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为______个．（用含，的代数式表示） 12．1阿秒是秒．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为________秒． 13．若以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在第_______象限． 14．“唱游山西”是2026年山西文旅集团打造的深度融合文旅产品，包括“晋揽长城  边塞风情”“穿越黄河  文明探源”“大美太行  红色记忆”三大主题．下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完全相同）．现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张，则两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是________． 15．如图，在中，，，点为的中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，，则的长为________． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题10分）计算与解方程 (1)计算： (2)解方程 17．（本题7分）2026年太原市推进口袋公园微更新民生工程，已知香樟树是法定市树，某项目组采购两种规格的香樟树苗用于绿化升级，其中大规格香樟树苗价格为120元/株，小规格香樟树苗价格为80元/株．若计划采购两种树苗共50株，且要求小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍，请设计最省钱的采购方案，并求出该方案的总费用． 18．（本题8分）智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中________，________，________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 19．（本题7分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积； (3)一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 20．（本题8分）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 21．（本题9分）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 探索“垂径四边形”的性质在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原理．一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构． “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边．数学语言表述为：如图，四边形内接于，对角线于点．过点作于点，反向延长交于点，则． 证明：于点，． 于点， ． ． 又，（依据） …… 任务： (1)材料中的“依据”是指________． (2)补充完整材料中的证明过程． (3)若，请直接写出四边形的面积． 22．（本题13分）综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动．在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击空中的飞碟．飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线． 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录了飞碟的位移数据．如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O，以所在直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．当飞碟距发射器的水平距离为时，到达最高点P，此时距离地面的高度为． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为时将其击中，则她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ (3)如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3m高的点F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为处的位置时重新射击，仍然可以将其击落．已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为，距地面的竖直高度为，请判断她的说法是否正确？并说明理由． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点E为的中点，点F是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为． (1)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点恰好与点A重合，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：点F在边上移动（不与点B，C重合），当直线与边交于点H时． ①请用图3证明． ②连接，当是等腰直角三角形时，请直接写出边的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分) 1 [A][B][C][D] 5][B][CID] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A]B][C][D] 10 [A][B][c][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分) y 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(7分) 20.(8分) A E B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) D G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) y/m y/m F P E。 x/m 4 Ol x/m 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23(13分) 图， 图2 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考数学第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（7分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，-2026的相反数的倒数是() 1 D.-2026 1 A.2026 B. C.-2026 2026 2.某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感.以下 四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 3.下列运算正确的是() A.n+nd=ni B.m2.m2=m C.（-2n=mr2D.(m+n2=m2+n2 4.如图，先以正方形ABCD的边AD为直径画圆，然后以A为圆心，AB为半径画BD,最后以AB的中点 E为圆心，BE为半径画弧BF与AD交于点F,若AD=2,则图中阴影部分的面积为() D 3 A B.元-1 C.4 D.元+1 119 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5.如果关于x的分式方程，”++2=0无解，那么实数m的值为() 4-xx-4 A.4 B.5 C.6 D.7 6.一副三角板如图所示摆放，则∠与∠B的数量关系为() 30° 45 A.∠+∠B=180°B.∠ax+∠B=225°C.∠a+∠B=270°D.∠a=∠B 7.甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位： g)与溶液质量m2(单位：g)的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的 质量分数=化×100%.判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是(） 2 m/g个 父 丙 丁 mlg A.丁 B.丙 c.乙 D.甲 8.如图，PB,PC是⊙O的两条切线，切点分别为B,C,若∠A=65°，则∠P的度数为() A.50° B.55° C.65° D.70 9.声音的传播速度v(m/s)与温度t(℃)的关系如下表： t(℃) 0 2 v(m/s) 331 331.6 332.2 则v与t的函数关系式为() A.v=0.6t+331B.v=331t+0.6 C.v=0.6t D.v=331t 219 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，D为OA边上一点，连接CD.将 菱形OABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB于点F.若点F的坐标为(10,8)，则点D的坐标为 () B D 4030 A 77 n.30. c(99) n.99》 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.刀削面是山西传统特色小吃，制作躁子时，若每份羊肉臊子面需要用8颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需 要用6颗牛肉粒，则制作α份羊肉臊子面和b份牛肉臊子面需要的肉粒总数为个.（用含a,b的代 数式表示) 12.1阿秒是1018秒.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为 秒 1。若以二元一次方程2x+y=6的解为坐标的点P(,)恰好在直线+1上，则点P的位置在第 象限， 14.“唱游山西”是2026年山西文旅集团打造的深度融合文旅产品，包括“晋揽长城边塞风情“穿越黄 河文明探源“大美太行红色记忆”三大主题.下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完 全相同).现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张， 则两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是 319 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 晋揽长城边塞风情穿越黄河文明探源大美太行红色记忆 15.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，点D为AC的中点，连接BD,点E为BA延长线上一 点，连接CE.若∠ACE=∠ABD,EC=2N7,则BC的长为 D E B A 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题10分)计算与解方程 (1)i计算：1-V3-2cos30°+(（-1)225-(W5-元》 (2)解方程x2-2x-2=0 17.(本题7分)2026年太原市推进口袋公园微更新民生工程，己知香樟树是法定市树，某项目组采购两 种规格的香樟树苗用于绿化升级，其中大规格香樟树苗价格为120元/株，小规格香樟树苗价格为80元/ 株.若计划采购两种树苗共50株，且要求小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍，请设计最省 钱的采购方案，并求出该方案的总费用， 18.(本题8分)智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正 4/9 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能 化.如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如 下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： 机器人分拣快递数量统计图 个台数/台 3 2 0 1314151617分拣数量/万件 B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数万件 平均数万件 方差/万件2 A型号 14和16 6 15 C B型号 a 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中a= b= C= (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择， 并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自 的优势.（各写出一条即可） 19.(本题7分)如图，一次函数y= x+2的图象与x轴交于点C,与y轴交于点B.点4(2，m在直线 519 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BC上，反比例函数y=二的图象过点A,且与直线BC在第三象限相交于点D,连结OA,OD, (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点D的横坐标为-6，求△AOD的面积： (3③)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=号x+2的图象向下平移3个单位长度得到，当x>-2时，对 于x的每一个值，函数y=x(m≠O)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围. 20.(本题8分)项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群， 其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔.综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活 动. 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂顶部点A的仰 角：观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角， 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角∠ACE为67°；在点D处测得点A的仰角∠ADB为53°，己知图 中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差BE=4米，点C与点D的水平距离为31 米.请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离AB的高度.（结果精确到1米.参考数据： sim53°≈0.80，cos53°≈0.60，tam53°≈1.33，sin67°≈0.92，c0s67≈0.39，tan67°≈2.36). 05 B D 21.(本题9分)阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务 619 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 探索“垂经四边形”的性质在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原 理.一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条 互相垂直，这种结构称为垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构. D G臥O 垂径四边形”有如下性质：过对角线交点 P 向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边.数学语言表述为：如图，四 边形ABCD内接于OO,对角线AC L BD于点P.过点P作PH⊥BC于点H,反向延长 PH交AD于点G,则AG=DG. 证明：AC⊥BD于点P,∴.∠ACB+∠PBH=90°. :PH⊥BC于点H, .∠BPH+∠PBH=90°. ∴.∠ACB=∠BPH 又：∠ACB=∠ADB,(依据) 任务： (1)材料中的“依据是指 (2)补充完整材料中的证明过程. (3)若AC=BD=16,请直接写出四边形ABHG的面积. 22.(本题13分)综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动.在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的 719 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击 空中的飞碟.飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线， 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录 了飞碟的位移数据.如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O,以AO所在直线为x轴，以过点O且与AO 垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.当飞碟距发射器的水平距离为40m时，到达最高点P,此时距离 地面的高度为4m. y/m◆ y/mA E● x/m AO x/m 图1 图2 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式. (2)若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为8时将其击中，则 她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ (3)如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3高的点 F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为30处的位置时重新 射击，仍然可以将其击落.已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为20，距地面的竖直高 度为2m,请判断她的说法是否正确？并说明理由. 23.(本题13分)综合与探究 问题情境：如图1，在口ABCD中，AB=4,∠B=60°，点E为AB的中点，点F是BC边上的一个动点， 819 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 连接EF,将口ABCD沿EF折叠，点B的对应点为B'. A A(B C(F) 图1 图2 图3 备用图 (I)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点B恰好与点A重合，猜想四边形ABCD的形状，并说明理 由. (2)深入探究：点F在边BC上移动（不与点B,C重合），当直线FB与边AD交于点H时. ①请用图3证明AH=B'H. ②连接CH,当△CFH是等腰直角三角形时，请直接写出边BC的长. 9/9