专项练习02：导数研究单调性-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【高二期中专项练习02：导数研究单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求不含参数的单调性】 1．(25-26高三上·湖南部分学校·期中)已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求曲线在原点处的切线方程； (3)求的单调区间. 2．(25-26高三上·江苏扬州七校联盟·)函数的增区间是________. 3．(25-26高三上·河南南阳·期中)教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合函数的相关问题.已知函数，则该函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)函数的单调递增区间是（      ） A． B．、 C．、 D． 【题型2：由区间上的单调性求参数范围】 6．(25-26高二·北京大峪中学·期中)如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．(25-26高三上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 8．(24-25高二下·新疆·)若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期中)已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3：由函数的单调性比较大小】 11．(25-26高三上·湖北鄂东南教育联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 12．(25-26高三上·辽宁大连第二十四中学·期中)设为两个不同的正数，我们称为的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 13．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二下·云南保山·期中)已知函数是定义在上的偶函数，，且，都有，，，，则（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高二下·青海海南州第三民族高级中学·期中)已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型4：由函数的单调性解抽象不等式】 16．(25-26高三上·江西赣州兴国县兴国中学·期中)已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 17．已知，，若成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．(25-26高三上·安徽华师联盟·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5：由导函数构造原函数比较大小】 21．(23-24高二下·福建宁德博雅培文学校·月考)已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 22．(25-26高三上·内蒙古赤峰二中·月考)定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 23．(25-26高三上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较大小 24．(25-26高三上·新疆·月考)已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高二下·天津南开中学·)已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型6：构造函数比较大小】 26．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)设，，，则（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 29．(24-25高二下·河北部分名校·期中)设.则（    ） A． B． C． D． 30．(24-25高二下·辽宁沈阳第一二0中学·期中)设， ， ，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型7：导数研究单调性的综合题型】 31．(25-26高三上·安徽五校联考·期中)已知函数且，若有且只有一个零点，则的取值范围是__________. 32．【多选题】(25-26高三上·吉林长春实验中学·)已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 33．【多选题】(25-26高三上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知函数的定义域为，满足，函数为奇函数，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 34．(25-26高三上·湖北鄂北六校·期中)已知，，其中，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．(25-26高三上·广东深圳宝安区·)若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型8：讨论含有参数的函数的单调性】 36．(25-26高三上·山东聊城颐中外国语学校·期中)已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 37．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 38．已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 39．(25-26高三上·福建福州第一中学·期中)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，设的极大值是，求的最小值． 40．(24-25高二下·甘肃张掖第二中学·期中) 已知函数. (1)若在处的切线斜率为，求切线方程. (2)求的单调区间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【高二期中专项练习02：导数研究单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求不含参数的单调性】 1．(25-26高三上·湖南部分学校·期中)已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求曲线在原点处的切线方程； (3)求的单调区间. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2) (3)在，且上单调递减，在，且上单调递增. 【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可； （2）利用导数求出切线斜率即可得解； （3）根据导数及正弦函数的性质解不等式即可求出单调区间. 【详解】（1）是奇函数. 理由如下： 的定义域为. ，所以是奇函数. （2）. . 故曲线在原点处的切线方程为. （3）当时，令，解得. 令，解得. 当时，令，解得，且. 令，解得，且. 故在，且上单调递减，在，且上单调递增. 2．(25-26高三上·江苏扬州七校联盟·)函数的增区间是________. 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以函数的增区间是. 故答案为： 3．(25-26高三上·河南南阳·期中)教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合函数的相关问题.已知函数，则该函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取对数构造新函数，利用导数求单调区间. 【详解】根据题目信息，不妨令，则的减区间即为所求， 又，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：D. 4．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对函数求导，由导数小于零求出自变量x在定义域内的取值范围，即可求得函数的单调递减区间. 【详解】因为（），所以（）， 由.所以的减区间是. 故选：A. 5．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)函数的单调递增区间是（      ） A． B．、 C．、 D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由可得，即，解得， 因此，函数的增区间为. 故选：A. 【题型2：由区间上的单调性求参数范围】 6．(25-26高二·北京大峪中学·期中)如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围. 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 7．(25-26高三上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合导数，分及进行讨论即可得； （2）将不等式化简后可令，可得在上单调递增，结合导数正负与单调性的关系求导后参变分离计算即可得. 【详解】（1），， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. 8．(24-25高二下·新疆·)若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 9．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 10．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期中)已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得在上恒成立，即,据此可得答案. 【详解】， 因在上单调递减，则在上恒成立，又， 则在上恒成立. 由于开口向上，且在上只可能有最小值， 则要使在上恒成立，只需. 注意到时，，当时，， 则，满足题意； 当时，在上单调递减，则 ，则，满足题意. 综上可得满足题意.意. 故选：C 【题型3：由函数的单调性比较大小】 11．(25-26高三上·湖北鄂东南教育联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则 . 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 12．(25-26高三上·辽宁大连第二十四中学·期中)设为两个不同的正数，我们称为的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助对数均值不等式取特殊值可得，再计算出函数的奇偶性及其单调性即可得解. 【详解】由，取、，则，即； 由，取、，则，即； 则有； ， ，又定义域为，故为偶函数， 当时，， 故在上单调递增， 由为偶函数，则， 由，则，即. 故选：A. 13．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以， 因为， 在上，， ，故， 所以在上单调递增， 因为，， 又，， 所以， 又单调递增，所以 即. 故选：A. 14．(24-25高二下·云南保山·期中)已知函数是定义在上的偶函数，，且，都有，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的奇偶性及单调性，构造函数，利用导数研究其单调性进而可比较自变量的大小，再由的单调性可比较. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，都有， 所以在上单调递增，单调递减， 所以，， 设，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，即，故， 又在上单调递减，，即， 故选：A 15．(24-25高二下·青海海南州第三民族高级中学·期中)已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断单调性，根据单调性比较大小即可. 【详解】当时，， 所以是为偶函数． 又， 当时，令， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， ， 又， ， 所以， 故选：A 【题型4：由函数的单调性解抽象不等式】 16．(25-26高三上·江西赣州兴国县兴国中学·期中)已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及单调性解不等式. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故 ． 故选：C． 17．已知，，若成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】由，得， 即为偶函数， 当时，，且， 即在单调递增，在单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 18．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数判断是增函数，由奇偶性的定义可得是奇函数，由此可将不等式转化为，即可求得实数的取值范围. 【详解】令函数，则恒成立，所以是增函数. 又，且，所以是奇函数. 由，得， 即, 所以，解得. 故选：A. 19．(25-26高三上·安徽华师联盟·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求导确定函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】当时，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 又因为，且时， 所以当时，， 当时，. 由奇函数的性质：当时，， 当时，. 对于不等式， 当时，只需，所以或， 解得或，又，则； 当时，只需，所以或， 解得或，又，则. 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 20．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数的性质，通过构造新函数判断其奇偶性与单调性，再利用函数性质将不等式进行转化，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】由题设，令， 故是奇函数，又令，则， 又易知为增函数，故为增函数. ，即， ，则， 对任意均成立，即，而 当且仅当时等号成立，. 故选：B. 【题型5：由导函数构造原函数比较大小】 21．(23-24高二下·福建宁德博雅培文学校·月考)已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，确定单调性，即可比较大小. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上单调递减. 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 22．(25-26高三上·内蒙古赤峰二中·月考)定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数工具研究其单调性得到即可分析求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，即， 所以，但不一定成立；，但不一定成立； ，但不一定成立. 故选：A 23．(25-26高三上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】B 【分析】构造函数，然后求导数，由条件得到函数的单调性，利用函数单调性得到的不等式，化简不等式即可得到结果. 【详解】∵，即， 令，则 即在上单调递增， ∵ ∴，即， 则，即. 故选：B 24．(25-26高三上·新疆·月考)已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合函数的单调性和偶函数性质求解不等式即可. 【详解】由，求导得， ，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 故在内单调递增，在内单调递减， 又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线， 由，可得， 即，则， 故有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 25．(24-25高二下·天津南开中学·)已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由可得，将所求不等式转化为，利用单调性可得答案. 【详解】令，则， 因为， 所以当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 因为，所以， 所以，故， 因为等价于，等价于， 所以，故，即不等式的解集是. 故选：B. 【题型6：构造函数比较大小】 26．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数性质判断，由指数性质判断，构造函数，利用导数求出函数单调性，利用单调性判断. 【详解】为锐角时，， 所以，， 令，则，令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即，所以. 综上，. 故选：A 27．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导结合不等式判断即可． 【详解】设，（），则， 则函数在上单调递减，所以，则； 设（），则， 则函数在上单调递减，所以，则. 所以； 设函数（），对其求导， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以， 所以，即. 综上可得：． 故选：D 28．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得解. 【详解】令，， 则，因为，所以，所以， 则，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，即，即， 又，， 所以. 故选：B 29．(24-25高二下·河北部分名校·期中)设.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导确定单调性，进而可比较大小. 【详解】构造函数，其中，则， 令， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：B. 30．(24-25高二下·辽宁沈阳第一二0中学·期中)设， ， ，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知有、，分别构造、及并利用导数研究其在上的单调性，即可比较大小. 【详解】由，且， 将代换，则，，， 令且，则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立， 由且，则，即在上单调递增， 所以，即，故，即， 令且，则， 所以在上单调递减，故， 即在上恒成立，故， 综上，. 故选：B 【题型7：导数研究单调性的综合题型】 31．(25-26高三上·安徽五校联考·期中)已知函数且，若有且只有一个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性，结合零点定义、曲线切线的意义进行求解即可. 【详解】因为，所以当且时，函数必有一个零点， 当时，函数是实数集上的增函数，所以有且只有一个零点， 当时，， 要想有且只有一个零点， 只需函数有唯一交点， 显然函数都是实数集上的增函数， 由， 由， 要想有唯一交点，只需， 或舍去， 综上所述：的取值范围是， 故答案为： 32．【多选题】(25-26高三上·吉林长春实验中学·)已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的单调性，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C的正误，构造函数，利用导数求得单调性，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：因为在上单调递减，且，则， 所以，故A正确； 选项B：， 因为，所以，则，故B错误； 选项C：因为，所以， 所以，即，故C正确； 选项D：令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 当时，，即，所以， 当时，，即，所以，此时不成立，故D错误. 故选：AC 33．(25-26高三上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知函数的定义域为，满足，函数为奇函数，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定，可判定A正确；推得，得到的周期为8，可判定B正确；根据函数单调性，结合对数的运算法则，可判定C错误；令，求得，得到函数的单调性，得到，再由，求得，得到在上递增，进而判定D正确. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以关于点中心对称， 则，所以， 又因为，令，则， 则，所以，则是偶函数，所以A正确； 对于B，由，，可得， 则的周期为8，所以，所以B正确； 对于C，由在上单调递增，可得，所以C错误； 对于D，令，则， 所以在上单调递增，所以，即，所以， 令，，则， 所以在上递增，所以，即，即， 所以，在上单调递增，所以D正确. 故选：ABD. 34．(25-26高三上·湖北鄂北六校·期中)已知，，其中，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性. 解法一：构造，通过分析的单调性得到，进而结合在的单调性，即可得解. 解法二：通过两式相减引入变量，将表示为关于的函数，再构造函数，利用导数分析其单调性即可得解. 【详解】令，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，所以， 又，不妨设. 解法一：记，，设，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，， 则， 又因为，，且在上单调递减， 所以，则，所以. 解法二：由，，两式相减，可得，令， 则，，，所以. 令，，则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，则，即， 所以. 故选：C. 35．(25-26高三上·广东深圳宝安区·)若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或.对于ABC，分、，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D，由两边取自然对数得到，即，构造函数（且），通过导数判断单调性即可判断. 【详解】因为，为单调递增函数，故， 由于，故，或， 当时，，此时； ，故； ，即，得，但的大小不确定， 当时，，此时， ，故； ，即，得，但的大小不确定， 所以ABC均不正确； 对于D，，两边取自然对数，， 因为不管，还是，均有， 所以，故只需证即可， 设（且），则， 令（且），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在且上恒成立， 故在定义域上单调递减， 因为，所以，结论得证，D正确． 故选：D． 【题型8：讨论含有参数的函数的单调性】 36．(25-26高三上·山东聊城颐中外国语学校·期中)已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数导数，再按分类讨论求解函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 37．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导得切线斜率，求得切点纵坐标，再根据点斜式得切线方程； （2）求导得，讨论与的大小，解在定义域内的解集从而得函数单调增区间. 【详解】（1）当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 38．已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【详解】（1）若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. （2）若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）因 ，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立. 39．(25-26高三上·福建福州第一中学·期中)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，设的极大值是，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数分析函数单调性； （2）利用（1）中结论求出的极大值从而求出，对求导，利用导数讨论单调性求最小值． 【详解】（1），定义域为， 求导得， ，令，解得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，取得极大值，即， 则， ，， 令得，解得，即， 令得，解得或（舍去），即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 的最小值为． 40．(24-25高二下·甘肃张掖第二中学·期中) 已知函数. (1)若在处的切线斜率为，求切线方程. (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解，然后求出，即可写出切线的点斜式方程； （2）求出导函数，分、两类情况进行讨论，根据导数的正负确定单调性. 【详解】（1）因为，所以，则，所以， 所以，所以， 切线方程为：，即． （2）因为，所以， 若，由，得；由，得， 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由，得；由，得， 此时，函数的单调递减区间为，递增区间为． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，递增区间为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $