【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-19）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-19） 一．选择题（共15小题） 1．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 2．（2026•钦州一模）已知点（a，b）在函数的图象上，下列说法错误的是（　　） A．当x＝﹣1时，y＝3 B．点（b，a）和（﹣a，﹣b）在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 3．（2026•前郭县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心的半圆与AC相切，连接OC，与半圆相交于点D，则CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2026•正定县一模）如图，抛物线y＝x2﹣5x﹣6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D为直线BC上一点，且横坐标为7，将线段CD沿y轴上下平移，当线段CD与抛物线有唯一交点时，设点C的纵坐标为a，则a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a≤1或a＝﹣15 B．﹣7＜a≤1或a＝﹣9 C．﹣6≤a≤2或a＝﹣15 D．﹣7＜a≤2或a＝﹣9 5．（2026•东光县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接AD．下列结论不正确的是（　　） A．AG⊥BD B．AD＝BD C．∠FGE＝120° D．AG＝DE+BE 6．（2026•安徽校级模拟）如图1所示，在Rt△ABC中，E为AC的中点，点D沿CA从点C运动到点A，设CD长为x，BD+DE＝y，图2是点D运动时y随x变化的关系图象，若BC＞CE，则AB的长为（　　） A．8 B． C．10 D． 7．（2026•河东区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc＜0；②若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；③3b+2c＜0；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2且x1+x2＜﹣2，则一定有y1＞y2．正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 8．（2026•开州区模拟）已知整式，其中n为自然数，an为正整数，m，an﹣1，⋯，a0为整数，且n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a1|+|a0|＝m．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5；②若m＝3，则满足条件的A共有5个；③当n＝2，m＝5时，满足关于x的二次函数y＝A与x轴有交点的A共有9个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025•厦门模拟）已知点A1（t﹣2，y1），A2（t﹣1，y2），A3（t，y3），A4（t+1，y4），A5（t+2，y5）均在函数y＝x2+2x+c的图象上，若c＞0且y3＜0，则下列结论中一定成立的是（　　） A．y1＜0 B．y2＞0 C．y4＜0 D．y5＞0 10．（2026•兴庆区校级一模）如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（　　） A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内 C．点D在⊙C外 D．不能确定 11．（2026•南宁校级一模）如图，矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上，顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，AB，AC分别与反比例函数的图象相交于点D，E，若四边形ODAE的面积S四边形ODAE＝5，则m的值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 12．（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③；④4a﹣2b+c＞0；⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 13．（2026•庐江县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC边上一点，且△ABD满足最大内角与最小内角之差为90°，则BD的长为（　　） A． B． C．或 D．或 14．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音的传播速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表： 温度t（℃） ﹣10 0 10 30 声音的传播速度v（m/s） 324 330 336 348 研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音的传播速度v为（　　） A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s 15．（2026•新华区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，直线l：y＝kx﹣2经过点B（﹣7，5）．将正方形沿y轴向下平移m个单位后，点C恰好落在直线l上．下列结论中，正确的有（　　） ①直线l的解析式为y＝﹣x﹣2；②正方形ABCD的边长为5；③平移距离m＝7；④平移后正方形对角线的交点到原点O的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共15小题） 16．（2024•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE，则DF的长为 　 　 ． 17．（2026•钦州一模）如图，菱形ABCD的边AB＝5，高CE＝4，F是边CD上一动点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A点的对应点为P，当CP的长度最小时，CF的长为 　 　 ． 18．（2026•前郭县校级模拟）如图，点A、B、C、D在半径为3的⊙O上，若∠ABC＝60°，，则的长为　 　 （结果保留π）． 19．（2026•正定县一模）如图，正方形ABCD中，点P为BD（BD＞6）上一动点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交CD边所在直线于点Q．点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为6，则AQ的中点M移动的路径长为　 　 ． 20．（2026•东光县模拟）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，若正方形AGDH的边长为，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 21．（2026•安徽校级模拟）已知m是各位数字都不为零的三位自然数，从m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“关联数”．数m的所有“关联数”之和与22的商记为P（m），例如m＝123，． （1）若m＝234，则P（234）＝ 　 　 ． （2）数x，y分别是两个各位数字都不为零的三位自然数，它们都有“关联数”，已知x＝100a+10b+3（1≤a≤9，1≤b≤9），y＝400+10b+5（1≤b≤9），若P（x）+P（y）＝20，则在所有满足条件的对应x，y的值中，x+y的最大值是 　 　 ． 22．（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上． （Ⅰ）线段AB的长等于　 　 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 ． 23．（2026•开州区模拟）若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为（4+1）2＝25，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，（4+5）2＝81≠67，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为　 　 ；已知是“开心数”，将M去掉个位数字后所得的三位数记为M1，记，若6F（M）+M1+7d能够被9整除，则满足条件的G（M）最大值与最小值的和为　 　 ． 24．（2026•罗源县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝2，则CE的长是 　 　 25．（2025•通辽三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20cm，上部显示屏EF的长度为45cm，侧面支架EC的长度为150cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为　 　 cm．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） 26．（2026•南宁校级一模）如图，小莹沿一条笔直的小路自西向东步行，小莹在A处测得旗杆C在北偏东60°方向，30分钟后小莹到达B处，测得旗杆C在北偏西45°方向，小莹在这条小路上离旗杆最近的距离是1000米，则小莹步行的速度为 　 　 米/分钟．（参考数据：） 27．（2026•庐阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE． （1）线段AE的长为　 　 ； （2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为　 　 ． 28．（2026•庐江县一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴一个交点横坐标为c（c≠0）． （1）c﹣b＝　 　 ； （2）若抛物线顶点纵坐标大于4，则c的取值范围是　 　 ． 29．（2026•南安市一模）若点A（t，y1），B（t+1，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，当y2＜y1时，则t的取值范围为　 　 ． 30．（2026•新华区一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交BC于点M．测得AB＝4，BM＝2，螺纹孔的直径为　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•昆都仑区模拟）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　 　 ； （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜90°时，若，请求出的值，此时∠AOB的度数为多少？ 32．（2026•钦州一模）综合与实践． 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AC，∠D＝∠BAC，此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“原属三角形”． （1）【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出AB与CD的位置关系：　 　 ； （2）如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中AB与CD的位置关系依然成立，请证明； （3）如图4，在钝角△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边的延长线上，得到四边形ABDE．求证：四边形ABDE是双等四边形； （4）【拓展应用】如图5，在锐角△ABC中，AC＝BC，，AB＝10，在AC的右侧是否存在一点D，使四边形ABCD是以△ABC为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由． 33．（2025•绿园区一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．点A、B是抛物线y＝x2﹣2x上不重合的两点，其横坐标分别为m、4﹣m． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点A恰好与该抛物线的顶点重合时，连结AB，设AB与x轴交于点E．过点B作BF⊥x轴于点F，求此时tan∠BEF的值； （3）已知直线l是与x轴平行的一条直线，当直线l不经过点A时，过点A作AD⊥l于点D．连结AB．以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD． ①若点（0，﹣3）恰好在直线l上，当该抛物线在平行四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． ②若直线l恰好经过该抛物线的顶点，设直线BC与直线l相交于点G，当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时，直接写出m的值． 34．（2026•正定县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过（3，n）和（﹣1，n）． （1）a与b之间的数量关系是　 　 ； （2）若该抛物线开口向下，当﹣3≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点N的纵坐标为﹣12，求点M和点N的坐标； （3）对于该抛物线上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥4时，均有y1≤y2，请直接写出t的取值范围； （4）在（2）的条件下，抛物线与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点D是抛物线上对称轴右侧的一点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D，E分别作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G，F．过点A作BC的平行线交y轴于点H，当四边形DEFG在直线AH，直线BC之间的部分的面积恰好是四边形DEFG面积的一半时，请直接写出点D的横坐标m的值． 35．（2026•东光县模拟）如图，抛物线C1：过点B（﹣1，2），H（0，﹣1），过点B作x轴的平行线交C1于另一点A，与y轴交于点D，抛物线C2：． （1）求抛物线C1的函数解析式； （2）若抛物线C2也过点B，对称轴在y轴的左侧，且直线AB与C2的另一个交点为M． ①嘉嘉说：无论x为何值，y2总不小于1； 淇淇说：当x＜﹣2时，y1，y2均随x的增大而减小． 请选择其中一人的说法进行说理； ②求AB与BM的比； ③连接AH，若P是直线AH下方抛物线C1上的动点，连接DP，交AH于点E．若，求点P的坐标． （3）若抛物线C2与线段AB（含端点）有且只有一个交点，直接写出m的取值范围． 36．（2026•安徽校级模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 37．（2025•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，且OC＝2AO，连接BC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，求的最大值及点P的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）绕点N（1，0）旋转180°，得到新抛物线y′，在新抛物线y′上找一点M，使得∠BCM＝45°，直接写出点M的坐标． 38．（2026•开州区模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D在△ABC的内部，连接BD，AD，点M为线段BD的中点，连接AM． （1）如图1，若∠ADB＝90°，，求DC的长； （2）如图2，将AM绕点M逆时针旋转90°至EM，连接BE，AE，求证：； （3）如图3，延长AM交CB于点N，点P为AN延长线上一点，连接BP，将△BNP沿BN翻折至△ABC所在平面内得到△BNP′，直线NP′与AB交于点G，连接GD．若∠BDC＝135°，当AM最小时，请直接写出△ADG的面积． 39．（2026•罗源县校级模拟）如图1，点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，CD，OD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F．若点F是的中点． （1）求证：BE＝EC； （2）若⊙O的半径为5，求CD的长； （3）如图2，若DG＝DO，求的值． 40．（2025•南昌县一模）课本再现 矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 （1）如图1，已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 用矩形的定义求证：四边形ABCD是矩形． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB的中点，连接DE，CE，且DE＝CE，求证：四边形ABCD是矩形． 拓展延伸 （3）如图3，将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 41．（2026•南宁校级一模）相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的45°角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多45°角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个45°角时，可以得到许多结论． 【探究活动】如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N． （1）证明：△DAN∽△CAE； （2）若BE＝1，试求BN﹣ND的值； （3）【拓展延伸】探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： 如图2，在边长为3的正六边形ABCDEF中，连接对角线CF，过点A构造∠GAI＝60°，当点G落在边CD上时，点I落在EF上，AI交CF于点H．当G为CD的三等分点时，求CH﹣HF的值． 42．（2026•庐阳区校级一模）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 43．（2026•庐江县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，2），与y轴交点B在负半轴，OB＝1，抛物线的顶点为C． （1）求a﹣b的值； （2）当m＜y＜2时，﹣1＜x＜3，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，当n≤x≤n+2时，函数最大值与最小值的差为2，求n的值． 44．（2026•南安市一模）如图，△ABC中，边AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，E是线段AD上的点，连接BE，∠CBE＝90°． （1）若，求∠ACE的度数； （2）①过D作DF∥BC交BA的延长线于点F；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求证：DF＝BE． 45．（2026•新华区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax过点． （1）求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线y＝mx﹣m与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（　 　 ，　 　 ）； ②当m＝﹣1时，如图，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E，当抛物线y＝ax2﹣2ax+k与线段DE仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与AB垂直的直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线RM，RN与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以∠HRS为顶角的等腰△RHS，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-19） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D A D B D D D B B 题号 12 13 14 15 答案 A B B C 一．选择题（共15小题） 1．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 【解答】解：∵反比例函数中，k＝4＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， A、当t＜﹣4时，t+4＜0， ∵t＜t+4， ∴y2＜y1＜0，正确，符合题意； B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限， ∴y1＜0，y2＞0， ∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； D、当t＞0时，t+4＞0， ∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限， ∵t＜t+4， ∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意． 故选：A． 2．（2026•钦州一模）已知点（a，b）在函数的图象上，下列说法错误的是（　　） A．当x＝﹣1时，y＝3 B．点（b，a）和（﹣a，﹣b）在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【解答】解：根据反比例函数图象与性质逐项分析判断如下： A项：当x＝﹣1时，，A项说法正确，不符合题意； B项：∵点（a，b）在函数的图象上， ∴，即ab＝﹣3， 对于点（b，a），将x＝b代入函数中，可得， 又∵ab＝﹣3， ∴，即点（b，a）在函数图象上， 对于点（﹣a，﹣b），将x＝﹣a代入函数中，可得， 又∵ab＝﹣3， ∴，则， 即点（﹣a，﹣b）在函数图象上，B项说法正确，不符合题意； C项：在反比例函数中，k＝﹣3＜0， 根据反比例函数性质，当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意； D项：∵k＝﹣3＜0，在反比例函数中， 当x＜0时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小， D项说法错误，符合题意， 综上，说法错误的是D． 故选：D． 3．（2026•前郭县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心的半圆与AC相切，连接OC，与半圆相交于点D，则CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵点O为AB的中点， ∴CO＝AO＝BO＝5， 记切点为点E，连接OE， ∴可知OE⊥AC， ∴BC∥OE， ∵点O为AB的中点， ∴点E为AC的中点， ∴ ∴圆的半径为3，即OD＝3， ∴CD＝CO﹣OD＝5﹣3＝2， 即CD的长为2． 故选：D． 4．（2026•正定县一模）如图，抛物线y＝x2﹣5x﹣6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D为直线BC上一点，且横坐标为7，将线段CD沿y轴上下平移，当线段CD与抛物线有唯一交点时，设点C的纵坐标为a，则a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a≤1或a＝﹣15 B．﹣7＜a≤1或a＝﹣9 C．﹣6≤a≤2或a＝﹣15 D．﹣7＜a≤2或a＝﹣9 【解答】解：在y＝x2﹣5x﹣6中，当y＝0时，x2﹣5x﹣6＝0， 解得x＝6或x＝﹣1， ∴B（6，0），A（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）； 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣6， 在y＝x﹣6中，当x＝7时，y＝1， ∴D（7，1）， 设D（7，1）向上平移n个单位长度时，落在抛物线上， ∴此时D（7，1+n）， ∴72﹣5×7﹣6＝1+n， 49﹣35﹣6＝1+n， 8＝1+n， 解得n＝7， ∴平移后C（0，1）， ∴当线段CD沿y轴向上平移，且当线段CD与抛物线有唯一交点时，﹣6＜a≤1； 当线段CD沿y轴向下平移，当线段CD与抛物线有唯一交点时， 设直线BC向下平移m个单位，则平移后直线为y＝x﹣6﹣m， ∴直线BC与抛物线有唯一交点， ∴x2﹣5x﹣6＝x﹣6﹣m，即方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数解， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4m＝0， 36﹣4m＝0， 解得m＝9， 此时a＝﹣6﹣9＝﹣15， 综上：当线段CD与抛物线有唯一交点时，﹣6＜a≤1或a＝﹣15． 故选：A． 5．（2026•东光县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接AD．下列结论不正确的是（　　） A．AG⊥BD B．AD＝BD C．∠FGE＝120° D．AG＝DE+BE 【解答】解：∵旋转角度为60°， ∴∠ABF＝∠CBE＝60°， 又∵∠BAC＝30°， ∴∠BAC+∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AG⊥BD，故选项A正确； 由旋转的性质得：AB＝BD， 又∵∠ABD＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AD＝BD，故选项B正确； ∴∠ADB＝∠DAB＝60°，∠BAC＝∠BDE＝30°， ∴∠DAF＝∠DAB﹣∠BAC＝30°， ∴∠FGE＝∠ADB+∠BDE+∠DAF＝120°，故选项C正确； ∵ED＝AC，BE＝BC， ∴DE+BE＝AC+BC， 连接CE，如图所示： ∵BE＝BC，∠CBE＝60°， ∴△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE， 故DE+BE＝AC+BC＝AC+CE， ∵AG＝AC+CG，且CG＜CE， ∴AG＜DE+BE，故选项D错误， 故选：D． 6．（2026•安徽校级模拟）如图1所示，在Rt△ABC中，E为AC的中点，点D沿CA从点C运动到点A，设CD长为x，BD+DE＝y，图2是点D运动时y随x变化的关系图象，若BC＞CE，则AB的长为（　　） A．8 B． C．10 D． 【解答】解：由图2知：当x＝0，即D在C点时，BC+CE＝7， 由三角形三边关系知：BD+DE＝y≥BE， ∴由图象BE＝5， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2＝25， 设BC的长度为t，则CE＝7﹣t，BC＞CE， ∴（7﹣t）2+t2＝25， 解得：t1＝4，t2＝3（舍）． ∴BC＝4，CE＝3， ∴AC＝2CE＝6， 在Rt△ABC中，， 故选：B． 7．（2026•河东区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc＜0；②若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；③3b+2c＜0；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2且x1+x2＜﹣2，则一定有y1＞y2．正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵顶点为D（﹣1，2）， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＜0， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①错误； y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移m个单位长度时，新图象的解析式为y＝ax2+bx+c﹣m， ∵顶点为D（﹣1，2）， ∴m＞2时，新图象的顶点在x轴下方，新图象与x轴没有交点， ∴ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，故②正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴， ∴3b+2c＜0，故③正确； ∵抛物线开口向下，P（x1，y1）和Q（x2，y2），x1＜x2且x1+x2＜﹣2，对称轴为直线x＝﹣1， ∴P（x1，y1）在对称轴左侧，Q（x2，y2）在对称轴左侧或右侧， 当Q（x2，y2）在对称轴左侧时， ∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大，x1＜x2， ∴y1＜y2； 当Q（x2，y2）在对称轴右侧时， ∵P（x1，y1）关于对称轴为直线x＝﹣1的对称点为P′（﹣x1﹣2，y1）， x2﹣（﹣x1﹣2）＝x1+x2+2＜﹣2+2＝0， ∴y1＜y2，故④错误． 故选：D． 8．（2026•开州区模拟）已知整式，其中n为自然数，an为正整数，m，an﹣1，⋯，a0为整数，且n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a1|+|a0|＝m．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若m＝3，则满足条件的A共有5个； ③当n＝2，m＝5时，满足关于x的二次函数y＝A与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：说法②， ∵m＝3， ∴n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a1|+|a0|＝3，an≥1，n为自然数， 分情况讨论：（1）当n＝0时，m＝0+|a0|＝3， ∴|a0|＝3， ∴A＝a0＝3，符合条件的有1个； （2）当n＝1时，m＝1+|a1|+|a0|＝3，a1≥1； （i）a1＝1时，|a0|＝1，a0＝±1， ∴A＝a1x+a0＝x+1或A＝a1x+a0＝x﹣1，符合条件的有2个； （ii）a1＝2时，|a0|＝0，a0＝0， ∴A＝a1x+a0＝2x，符合条件的有1个； （3）当n＝2时，m＝2+|a2|+|a1|+|a0|＝3，a2≥1， ∴|a2|＝1，|a1|＝0，|a0|＝0， ∴a2＝1，a1＝0，a0＝0， ∴，符合条件的有1个； （4）当n≥3时，an≥1，m＝n+|an|≥4，与说法②矛盾，没有符合条件的情况； 综上分析，符合条件的A共有1+2+1+1＝5个，说法②正确； 说法③， 当n＝2，m＝5时，m＝2+|a2|+|a1|+|a0|＝5，即|a2|+|a1|+|a0|＝3，a2≥1， 二次函数与x轴有交点，即， 分情况讨论：（1）当a2＝1时，|a1|+|a0|＝2， （i）|a1|＝0，|a0|＝2时，a1＝0，a0＝±2，， 当a0＝﹣2时，Δ＞0，符合条件的有1个； （ii）|a1|＝1，|a0|＝1时，a1＝±1，a0＝±1，， 当a1＝±1，a0＝﹣1时，Δ＞0，符合条件的有2个； （iii）|a1|＝2，|a0|＝0时，a1＝±2，a0＝0，，符合条件的有2个； 当a2＝1时，符合条件的共1+2+2＝5个； （2）当a2＝2时，|a1|+|a0|＝1， （i）|a1|＝0，|a0|＝1时，a1＝0，a0＝±1，， 当a0＝﹣1时，Δ＞0，符合条件的有1个； （ii）|a1|＝1，|a0|＝0时，a1＝±1，a0＝0，，符合条件的有2个； 当a2＝2时，符合条件的共1+2＝3个； （3）当a2＝3时，|a1|+|a0|＝0，a1＝a0＝0，函数为y＝3x2与x轴交于原点，符合条件的有1个； 综上分析，符合条件的A共有5+3+1＝9个，说法③正确； 说法①， ∵整式为三项式， ∴有三个非零系数为a2，a1＝2，a0，且|a2|≥1，|a1|≥1，|a0|≥1， ∴n＝2， ∴m＝n+|a2|+|a1|+|a0|， ∴m最小＝2+1+1+1＝5，说法①正确； 故选：D． 9．（2025•厦门模拟）已知点A1（t﹣2，y1），A2（t﹣1，y2），A3（t，y3），A4（t+1，y4），A5（t+2，y5）均在函数y＝x2+2x+c的图象上，若c＞0且y3＜0，则下列结论中一定成立的是（　　） A．y1＜0 B．y2＞0 C．y4＜0 D．y5＞0 【解答】解：∵函数y＝x2+2x+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大． ∵点A1（t﹣2，y1），A2（t﹣1，y2），A3（t，y3）A4（t+1，y4），A5（t+2，y5）均在函数y＝x2+2x+c的图象上，且y3＜0， ∴当﹣3＜t＜1时，y1＞y2＞y3＞y4＞y5；当t≤﹣3时，y1＞y2＞y3，y4＞y5；当t≥1时，y5＞y4＞y3＞y2＞y1． ∵c＞0， ∴当x＝0时，y＝c＞0， ∴当﹣2＜t＜0时，y1＞0，y2＞0；当t≤﹣2或t≥0时，y5＞0． ∴一定成立的是y5＞0． 故选：D． 10．（2026•兴庆区校级一模）如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（　　） A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内 C．点D在⊙C外 D．不能确定 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵D为斜边AB的中点， CDAB＝5， d＝5，r＝6， ∴d＜r， ∴点D与⊙C内， 故选：B． 11．（2026•南宁校级一模）如图，矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上，顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，AB，AC分别与反比例函数的图象相交于点D，E，若四边形ODAE的面积S四边形ODAE＝5，则m的值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 【解答】解：由题知， 因为矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上， 所以S矩形OBAC＝6． 因为点D和点E都在反比例函数的图象上， 所以． 又因为S四边形ODAE＝5， 所以， 解得m＝2． 故选：B． 12．（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④4a﹣2b+c＞0； ⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n）， 且经过（1，0），（0，m）两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴a＜0，抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0）， 图象如下所示： 令y＝n﹣1，即把y＝n向下平移一个单位， 再结合函数图象可知ax2+bx+c＝n﹣1（a≠0）有两个不相等的实数根， 故ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0）， ∴二次函数为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， ∴m＝﹣3a， ∵3＜m＜4， ∴3＜﹣3a＜4， 解得，故③正确，符合题意， 结合函数图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确，符合题意， ∵， ∴b＝2a， ∴（t+1）（at﹣a+b）＝（t+1）（at﹣a+2a） ＝a（t+1）（t+1） ＝a（t+1）2， ∵a＜0，（t+1）2≥0， ∴a（t+1）2≤0， 即故⑤正确，符合题意， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 13．（2026•庐江县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC边上一点，且△ABD满足最大内角与最小内角之差为90°，则BD的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC边上一点，且△ABD满足最大内角与最小内角之差为90°， 若∠ADB﹣∠B＝90°，如图所示， ∵∠B＝∠C，作DA⊥AC， ∴∠ADB＝90°+∠C，但此时∠B不是最小角，故排除； 若∠ADB﹣∠BAD＝90°，如图所示，过点D作DE⊥BC交BC于点E，过点A作AF⊥BC交BC于点F，则∠BDE＝∠BFA＝90°， 则∠EAD＝∠EDA，此时DE＝AE， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， ∵， 设DE＝AE＝3x，BD＝4x，则AE＝3x， ∴， ∴AB＝8x＝5， ∴， 此时． 故选：B． 14．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音的传播速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表： 温度t（℃） ﹣10 0 10 30 声音的传播速度v（m/s） 324 330 336 348 研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音的传播速度v为（　　） A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s 【解答】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝33别代入v＝at+b， 得， 解得， ∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330， 当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339， ∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s． 故选：B． 15．（2026•新华区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，直线l：y＝kx﹣2经过点B（﹣7，5）．将正方形沿y轴向下平移m个单位后，点C恰好落在直线l上．下列结论中，正确的有（　　） ①直线l的解析式为y＝﹣x﹣2； ②正方形ABCD的边长为5； ③平移距离m＝7； ④平移后正方形对角线的交点到原点O的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【解答】解：由条件可知5＝﹣7k﹣2， 解得k＝﹣1， ∴直线l：y＝﹣x﹣2，故结论①正确，符合题意； 过点B作BE⊥x轴交于点E，过C作CF⊥y轴交于点F，如下图所示： 由正方形性质可知AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAO＝90°，∠BAE+∠EBA＝90°， ∴∠DAO＝∠EBA， ∵AB＝AD，∠BEA＝∠AOD＝90°， ∴△BEA≌△AOD（AAS）， ∴BE＝AO＝5， OD＝AE＝OE﹣AO＝2， 由勾股定理得，故结论②错误，不符合题意； 同理可证△DFC≌△AOD， ∴CF＝OD＝2，OF＝OD+DF＝7， ∴点C（﹣2，7），平移后点坐标为（﹣2，7﹣m）， 点（﹣2，7﹣m）在直线l：y＝﹣x﹣2上， 代入得7﹣m＝﹣（﹣2）﹣2， 解得m＝7，故结论③正确，符合题意； 平移前，对角线交点为BD中点， ∵B（﹣7，5）、D（0，2）， 其坐标为， 平移后坐标为， 到原点距离为，故结论④正确，符合题意； 综上，正确的结论有①③④， 故选：C． 二．填空题（共15小题） 16．（2024•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE，则DF的长为 　　 ． 【解答】解：在DF上截取DH＝HE， ∴∠FHE＝2∠FDE， 设FE＝x，HD＝y， ∵DE＝2， ∴DF， 在Rt△HEF中，y2＝（y）2+x2， ∴y＝6， ∴sin∠FHE， ∵∠AOB＝4∠FDE， ∴∠COD＝4∠FDE， ∵O是BD的中点，E是DG的中点， ∴OE是△BDG的中位线， ∴F是CD的中点， ∵OC＝OD， ∴∠DOF＝2∠FDE＝∠FHE， ∴， ∴x＝1， ∴DF； 解法2：设∠CDG＝α， ∵∠AOB＝4∠CDG＝4α， ∵O是BD的中点，E时DG的中点， ∴OE∥BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OE⊥C， ∴∠DOE＝2α， ∴∠ODF＝90°﹣2α， ∴∠ODE＝90°﹣α， ∵∠DEF＝∠G＝90°﹣α， ∴∠ODE＝∠OED， ∴△OED是等腰三角形， 设EF＝m，则OD＝6m，OF＝5m， 在Rt△OFD中，DFm， 在Rt△DEF中，11m2+m2＝12， 解得m＝1， ∴DF； 故答案为：． 17．（2026•钦州一模）如图，菱形ABCD的边AB＝5，高CE＝4，F是边CD上一动点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A点的对应点为P，当CP的长度最小时，CF的长为 　4　 ． 【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，高CE＝4， ∴BC＝AB＝5，CE⊥AB， ∴∠BEC＝∠AEC＝90°， ∴BE3， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2， 由折叠得PE＝AE＝2， ∵PC+PE≥CE， ∴PC+2≥4， ∴PC≥2， ∴当点P在CE上时，PC取得最小值2， 如图2，点P在CE上，则∠PEF＝∠AEF∠AEC＝45°， ∵CD∥AB， ∴∠FCE＝∠BEC＝90°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴CF＝CE＝4， 故答案为：4． 18．（2026•前郭县校级模拟）如图，点A、B、C、D在半径为3的⊙O上，若∠ABC＝60°，，则的长为　　 （结果保留π）． 【解答】解：∵∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°， ∵， ∴∠AOD＝3∠COD， ∴， 又∵⊙O的半径为3， ∴的长为：． 故答案为：． 19．（2026•正定县一模）如图，正方形ABCD中，点P为BD（BD＞6）上一动点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交CD边所在直线于点Q．点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为6，则AQ的中点M移动的路径长为　3　 ． 【解答】解：当点P在点B处时，点M在正方形对角线的交点处， 连接AC交BD于点M，作PN⊥CD于点N，PF⊥AD于点F，延长FP交BC于点E， 则∠PNC＝∠PNQ＝∠PFA＝∠BEF＝∠CEF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBP＝45°，AP＝PC，PF＝PN，∠ADC＝∠BCD＝90°，点M是AC的中点， ∴∠FPN＝90°，四边形PNCE是矩形， ∴∠NPQ+∠QPF＝90°，CN＝PE， ∵PQ⊥AP， ∴∠APF+∠QPF＝90°， ∴∠NPQ＝∠APF， ∴△APF≌△QPN， ∴AP＝PQ， ∴CP＝PQ， ∴CQ＝2CN， ∵BP＝6， ∴PE＝3， ∴CN＝3， ∴CQ＝6， ∵点M′是AQ的中点， ∴MM′CQ＝3， ∴AQ的中点M移动的路径长3， 故答案为：3． 20．（2026•东光县模拟）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，若正方形AGDH的边长为，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接OA、OD、OF，连接OH，交EF于点P，令EF与HD、HA分别交于点N、M， ∵正方形AGDH的边长为， ∴， ∵OH＝OA，∠AOH＝90°， 在直角三角形AOH中，由勾股定理得：OH＝OA＝2， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠OFP＝60°，OF＝EF＝2， ∴∠FOP＝30°， ∴， 在直角三角形FOP中，由勾股定理得：， ∴， ∵EF∥AD， ∴△HMN∽△HAD， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2026•安徽校级模拟）已知m是各位数字都不为零的三位自然数，从m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“关联数”．数m的所有“关联数”之和与22的商记为P（m），例如m＝123，． （1）若m＝234，则P（234）＝ 　9　 ． （2）数x，y分别是两个各位数字都不为零的三位自然数，它们都有“关联数”，已知x＝100a+10b+3（1≤a≤9，1≤b≤9），y＝400+10b+5（1≤b≤9），若P（x）+P（y）＝20，则在所有满足条件的对应x，y的值中，x+y的最大值是 　1028　 ． 【解答】解：（1）P（234）9， 故答案为：9； （2）根据题意得， P（x）3； P（y）9； 又P（x）+P（y）＝20， 则a+b+3+b+9＝20，即a+2b＝8． 又x+y要取得最大值，且a是x的百位上的数字，b是y的十位上的数字， 则a取值越大，x+y的值便越大， 所以a＝6，此时b＝1． 则x＝613，y＝415， 因此x+y的最大值为：1028． 故答案为：1028． 22．（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上． （Ⅰ）线段AB的长等于　　 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB ． 【解答】解：（Ⅰ）AB， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB， 故答案为：取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB． 23．（2026•开州区模拟）若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为（4+1）2＝25，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，（4+5）2＝81≠67，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为　8172　 ；已知是“开心数”，将M去掉个位数字后所得的三位数记为M1，记，若6F（M）+M1+7d能够被9整除，则满足条件的G（M）最大值与最小值的和为　0　 ． 【解答】解：若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”， 设四位数，则“开心数”满足（c+d）2＝10a+b，且a，b，c，d互不相等且均不为零， ∵（c+d）2为两位数， ∴4≤c+d≤9， 要使得M最大，则需千位数字a最大， ∴a最大可能值为8，此时10a+b＝81，故b＝1， 此时c+d＝9， ∵数字互不相等， ∴c和d不能为8或1， 可能组合中，c＝7，d＝2时十位数字最大， 故M＝8172，且数字8，1，7，2互不相等，满足条件，为最大“开心数”； 由定义，，代入得： ＝2c+d， 根据题意得：， ∴6F（M）+M1+7d ＝6（2c+d）+100a+10b+c+7d ＝12c+6d+100a+10b+c+7d ＝100a+10b+13c+13d ＝10（10a+b）+13（c+d） ＝10（c+d）2+13（c+d）， 设c+d＝s， ∵4≤c+d≤9， ∴4≤s≤9， 则， ∵6F（M）+M1+7d能够被9整除， ∴10s2+13s能被9整除， 当s＝4时，10s2+13s＝10×42+13×4＝212＝23×9+5，不符合题意； 当s＝5时，10s2+13s＝10×52+13×5＝315＝35×9，符合题意； 当s＝6时，10s2+13s＝10×62+13×6＝438＝48×9+6，不符合题意； 当s＝7时，10s2+13s＝10×72+13×7＝581＝64×9+5，不符合题意； 当s＝8时，10s2+13s＝10×82+13×8＝744＝82×9+6，不符合题意； 当s＝9时，10s2+13s＝10×92+13×9＝927＝103×9，符合题意； ∴s＝5或s＝9， 当s＝5时，10a+b＝25，故a＝2，b＝5，c+d＝5，且数字互不相等， ∴或， 当时，； 当时，； 当s＝9时，10a+b＝81，故a＝8，b＝1，c+d＝9，且数字互不相等， ∴或或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴G（M）可能值为1，﹣1，，，，，，， ∴最大值为1，最小值为﹣1， 最大值与最小值的和为1+（﹣1）＝0． 故答案为：8172；0． 24．（2026•罗源县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝2，则CE的长是 　　 【解答】解：如图，过点E作EF⊥CD交BC于点F， ∵△ABE是等腰直角三角形， ∴∠AEB＝45°，AB＝AE， 由勾股定理得， ∴， ∵∠C＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝CE，∠CFE＝45°， ∴∠BFE＝180°﹣∠CFE＝135°， ∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣∠AEB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠AED＝∠FBE， ∵AD∥BC， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣45°＝135°， ∴∠D＝∠BFE， ∴△ADE∽△EFB， ∴． ∵AD＝2， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 25．（2025•通辽三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20cm，上部显示屏EF的长度为45cm，侧面支架EC的长度为150cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为　189.5　 cm．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） 【解答】解：矩形底座ABCD的高BC为20cm，上部显示屏EF的长度为45cm，侧面支架EC的长度为150cm， 过点E，F分别作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为H，N，过点E作EM⊥FN，垂足为M，则：四边形EMNH为矩形，MN＝EH，EM＝HN，∠MEH＝90°， 在Rt△EHC中，， ∴EH≈147cm， ∵∠EHC＝90°，∠HCE＝80°， ∴∠CEH＝10°， ∴∠FEM＝∠FEC﹣∠MEH﹣∠CEH＝130°﹣90°﹣10°＝30°， ∴， ∴点F到CD的高度为MN+FM＝EH+FM≈169.5cm， ∵矩形底座ABCD的高BC为20cm， ∴点F到底面的高度约为169.5+20＝189.5cm． 故答案为：189.5． 26．（2026•南宁校级一模）如图，小莹沿一条笔直的小路自西向东步行，小莹在A处测得旗杆C在北偏东60°方向，30分钟后小莹到达B处，测得旗杆C在北偏西45°方向，小莹在这条小路上离旗杆最近的距离是1000米，则小莹步行的速度为 　90　 米/分钟．（参考数据：） 【解答】解：作CD⊥AB于点D，如图所示， 由题意可得，CD＝1000米，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°， ∵tan∠CAD，tan∠CBD， ∴tan30°，tan45°， 解得AD≈1700，BD＝1000， ∴AB＝1700+1000＝2700（米）， ∴小莹步行的速度为：2700÷30＝90（米/分钟）， 故答案为：90． 27．（2026•庐阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE． （1）线段AE的长为　　 ； （2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为　　 ． 【解答】解：（1）∵BC＝3，EC＝2BE， ∴BC＝BE+CE＝BE+2BE＝3， ∴BE＝1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点M作MH⊥EF于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，AD＝BC＝3， ∵F为CD的中点， ∴， ∴CF＝BE， 又∵CE＝2BE＝2＝AB， ∴△ABE≌△ECF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CEF，EF＝EA， ∴∠BEA+∠CEF＝∠BEA+∠BAE＝90°， ∴∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°， ∴∠MNF＝180°﹣∠NFM﹣∠NMF＝60°； ， ∵M为AF的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（2026•庐江县一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴一个交点横坐标为c（c≠0）． （1）c﹣b＝　1　 ； （2）若抛物线顶点纵坐标大于4，则c的取值范围是c＞3或c＜﹣5　 ． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴一个交点横坐标为c（c≠0）． 代入x＝c可得﹣c2+bc+c＝0，即﹣c（c﹣b﹣1）＝0， ∵c≠0， ∴c﹣b﹣1＝0， ∴c﹣b＝1； （2）抛物线顶点纵坐标为， 由题意得：， ∴或， 解得b＞2或b＜﹣6， 由（1）得c﹣b＝1， ∴b＝c﹣1， ∴c﹣1＞2或c﹣1＜﹣6， ∴c＞3或c＜﹣5． 29．（2026•南安市一模）若点A（t，y1），B（t+1，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，当y2＜y1时，则t的取值范围为t　 ． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2x+3开口向下，对称轴为直线x1， ∵点A（t，y1），B（t+1，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，且y2＜y1， ∴， 解得t， ∵t的取值范围为t． 故答案为：t． 30．（2026•新华区一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交BC于点M．测得AB＝4，BM＝2，螺纹孔的直径为　　 ． 【解答】解：如图，过点M作MP⊥AB交AB的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接OA，OM，OB，OQ，则OQ⊥AM， ∵正多边形ABCDEF为正六边形， ∴，，OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形，∠MBP＝60°， ∴OB＝OA＝AB＝4，， ∴AP＝AB+BP＝5，， ∴， ∵OQ2＝OA2﹣AQ2，OQ2＝OM2﹣MQ2， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 故答案为：． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•昆都仑区模拟）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：OD＝CG+OE ； （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜90°时，若，请求出的值，此时∠AOB的度数为多少？ 【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE； （3）当0°＜∠AOB＜90°时，如图： ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴1， ∴CG＝OE， ∴OD＝CG+OE＝2OE， 在Rt△DOE中，cos∠AOB，DEOE， ∴∠AOB＝60°， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴． 32．（2026•钦州一模）综合与实践． 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AC，∠D＝∠BAC，此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“原属三角形”． （1）【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出AB与CD的位置关系：AB∥CD ； （2）如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中AB与CD的位置关系依然成立，请证明； （3）如图4，在钝角△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边的延长线上，得到四边形ABDE．求证：四边形ABDE是双等四边形； （4）【拓展应用】如图5，在锐角△ABC中，AC＝BC，，AB＝10，在AC的右侧是否存在一点D，使四边形ABCD是以△ABC为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：根据题意得：△ABC和△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝∠ACD＝45°， ∴AB∥CD， 故答案为：AB∥CD； （2）证明：根据题意得：△ABC和△ACD是等腰三角形， ∴，， ∵∠BCA＝∠D， ∴∠CAB＝∠ACD， ∴AB∥CD， 即（1）中的结论依然成立； （3）证明：由旋转的性质得，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∠ADE＝∠B， ∴∠B＝∠ADB， ∴∠BAD＝180°﹣2∠B， ∵AC＝BC， ∴AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴∠E＝180°﹣2∠ADE， ∴∠E＝∠BAD， ∴四边形ABDE是双等四边形； （4）如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点C作AB的平行线，交AC的垂直平分线HD于点D，连接AD，则∠BGC＝90°， ∵在Rt△BCG中，， ∴， ∴， ∵AC＝BC，CG⊥AB， ∴，∠B＝∠BAC， ∴，∠BCA＝180°﹣2∠B， ∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴∠ACD＝∠B， ∵DH是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴∠ADC＝180°﹣2∠ACD， ∴∠ADC＝∠BCA， ∴四边形ABCD是以△ABC为原属三角形的双等四边形， ∵∠ADC＝∠BCA，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴，即， 解得． 33．（2025•绿园区一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．点A、B是抛物线y＝x2﹣2x上不重合的两点，其横坐标分别为m、4﹣m． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点A恰好与该抛物线的顶点重合时，连结AB，设AB与x轴交于点E．过点B作BF⊥x轴于点F，求此时tan∠BEF的值； （3）已知直线l是与x轴平行的一条直线，当直线l不经过点A时，过点A作AD⊥l于点D．连结AB．以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD． ①若点（0，﹣3）恰好在直线l上，当该抛物线在平行四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． ②若直线l恰好经过该抛物线的顶点，设直线BC与直线l相交于点G，当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时，直接写出m的值． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点坐标为（1，﹣1）． （2）点A恰好与该抛物线的顶点重合时，即A（1，﹣1），B（3，3），如图1所示： 则设直线AB的表达式为y＝kx+b，代入A（1，﹣1），B（3，3）， 可得，解得， 故直线AB的表达式为y＝2x﹣3，令y＝0，则x， 故E点的横坐标为， 因此EF，BF＝3， 故tan∠BEF2． （3）①由图2可知， 当m＜2时，A点在B点的左边，当m＜1时，在平行四边形ABCD内部包含该抛物线下降部分图象，显然不符合题意， 故此时1≤m＜2； 当m＝2时，A、B两点重合，不符合题意； 当m＞2时，A点在B点的右边，当m＞3时，在平行四边形ABCD内部包含该抛物线下降部分图象，显然不符合题意， 故此时2＜m≤3； 综上，m的取值范围为：1≤m＜2或2＜m≤3； ②Ⅰ：当A点在B点左边时，即m＜4﹣m时，m＜2，如图3所示： 设AG交DC于点H，当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时， 即△ADH的面积为平行平行四边形ABCD的面积的， 连接AC，所以△ADH的面积与△ACH面积的比为1：2， 从而HC：BA＝HC：CD＝2：3， 易证△GCH∽△GBA，△ADH∽△GCH， 从而有，， 设A（m，m2﹣2m），B（4﹣m，（4﹣m）2﹣2（4﹣m））， ∴AD＝BC＝m2﹣2m+1，BG＝（4﹣m）2﹣2（4﹣m）+1＝（m﹣3）2， ∴GC（m﹣3）2， ∴AD，即m2﹣2m+1（m﹣3）2， 解得m； Ⅱ：当A点在B点右边时，即m＞4﹣m时，m＞2，如图3所示： 设A（m，m2﹣2m），B（4﹣m，（4﹣m）2﹣2（4﹣m））， 当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时， 同（Ⅰ）可得BG， ∵BG＝（4﹣m）2﹣2（4﹣m）+1＝（m﹣3）2，BC＝AD＝m2﹣2m+1， ∴（m﹣3）2（m2﹣2m+1），整理得：m2﹣8m+13＝0， 解得m， 综上，m的值为或． 34．（2026•正定县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过（3，n）和（﹣1，n）． （1）a与b之间的数量关系是b＝﹣2a ； （2）若该抛物线开口向下，当﹣3≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点N的纵坐标为﹣12，求点M和点N的坐标； （3）对于该抛物线上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥4时，均有y1≤y2，请直接写出t的取值范围； （4）在（2）的条件下，抛物线与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点D是抛物线上对称轴右侧的一点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D，E分别作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G，F．过点A作BC的平行线交y轴于点H，当四边形DEFG在直线AH，直线BC之间的部分的面积恰好是四边形DEFG面积的一半时，请直接写出点D的横坐标m的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过（3，n）和（﹣1，n）， ∴（3，n）和（﹣1，n）的纵坐标相同， ∴（3，n）和（﹣1，n）是关于抛物线对称轴对称的两点， ∴抛物线的对称轴为：，即b＝﹣2a； 故答案为：b＝﹣2a； （2）∵抛物线的对称轴为：x＝1，由抛物线图象可知a＜0， ∴当﹣3≤x≤2时，抛物线的最高点M的横坐标为1，最低点N的横坐标为﹣3， ∵点N的纵坐标为﹣12， ∴点N的坐标为（﹣3，﹣12）， 由（1）知抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）， ∴代入点N的坐标（﹣3，﹣12），得：9a+6a+3＝﹣12， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 即y＝﹣（x﹣1）2+4抛物线的顶点坐标为：（1，4）， ∴点M的坐标为（1，4）； （3）由（1）知抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）， ∵抛物线上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）， 当x2≥4时，均有y1≥y2， ∴当x2＝4时，， 根据抛物线的对称性可知，当x＝﹣2时，也有y＝&a+3， ∵t≤x1≤t+1，当x2≥4时，有y1≥y2， ∴当t+1≤4，且t≥﹣2， 解得：﹣2≤t≤3时，满足要求，有y1≥y2， ∴t的取值范围为﹣2≤t≤3； （4）由（2）知y＝﹣x2+2x+3， ∴点B（0，3），点C（3，0），点A（﹣1，0）， ∴设直线BC的表达式为：y＝kx+b， 代入点B（0，3），点C（3，0），得直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设直线AH的表达式为：y＝﹣x+b2代入点A（﹣1，0），得直线AH的表达式为：y＝﹣x﹣1， ∵点D在抛物线上， ∴D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∵点F，G均在对称轴所在直线x＝1上， ∴xF＝xG＝1， 由题意得四边形DEFG为矩形， 如图，当点D位于第一象限时，当EG与BC共线时，满足在直线AH、BC之间的部分的面积恰好是矩形DEFG面积的一半， 此时四边形DEFG为正方形，DE＝EF， ∴yD﹣yE＝xE﹣xF，即﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝m﹣1， 解得：， ∵点D是对称轴右侧的一点， ∴m＞1，取； 如图，当D位于第四象限时，对角线不在BC上时，令AH交对称轴于N，DE交AH于M， 根据矩形对称性，当FN＝DM时，则， ∴N（1，﹣2），M（m，﹣m﹣1）， ∴yF﹣yN＝yM﹣yD， ∴﹣m+3﹣（﹣2）＝﹣m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）， 解得：（不合题意，舍去）或综上，m的值为或． 35．（2026•东光县模拟）如图，抛物线C1：过点B（﹣1，2），H（0，﹣1），过点B作x轴的平行线交C1于另一点A，与y轴交于点D，抛物线C2：． （1）求抛物线C1的函数解析式； （2）若抛物线C2也过点B，对称轴在y轴的左侧，且直线AB与C2的另一个交点为M． ①嘉嘉说：无论x为何值，y2总不小于1； 淇淇说：当x＜﹣2时，y1，y2均随x的增大而减小． 请选择其中一人的说法进行说理； ②求AB与BM的比； ③连接AH，若P是直线AH下方抛物线C1上的动点，连接DP，交AH于点E．若，求点P的坐标． （3）若抛物线C2与线段AB（含端点）有且只有一个交点，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）将B（﹣1，2），H（0，﹣1）代入抛物线C1：， 得， 解得， ∴抛物线C1的函数解析式为：； （2）①从嘉嘉、淇淇说法中任选其一，以嘉嘉为例， 选嘉嘉进行说理， 将B（﹣1，2）代入抛物线C2：， 得，（﹣1+m）2+m﹣1＝2， 解得，m1＝2，m2＝﹣1， ∵抛物线C2对称轴在y轴的左侧， ∴对称轴直线x＝﹣m＜0，即m＞0， ∴m＝2， ∴抛物线C2：， ， ∴无论x为何值，y2总不小于1； ②∵直线AB过点B（﹣1，2）， ∴直线AB：y＝2， 令y1＝2得，x2﹣2x﹣1＝2，解得x1＝3，x2＝﹣1， ∵B（﹣1，2），∴A（3，2）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， 令y2＝2得，（x+2）2+1＝2，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1， ∵B（﹣1，2），∴M（﹣3，2）， ∴BM＝（﹣1）﹣（﹣3）＝2， ∴， ∴AB：BM＝2：1； ③由②得A（3，2）， 设直线AH解析式为：y＝k1x+b， 将A（3，2），H（0，﹣1）代入y＝k1x+b， 得， 解得， ∴直线AH解析式为：y＝x﹣1， 由题意得D（0，2）， 设P（t，t2﹣2t﹣1）（0＜t＜3）， 设直线DP解析式为：y＝k2x+2， 将P（t，t2﹣2t﹣1）（0＜t＜3）代入y＝k2x+2， 得，， 解得，， ∴直线DP解析式为：， ∵DP交AH于点E， ∴， 解得，， 将其代入y＝x﹣1得，， ∴， ∵A（3，2），D（0，2）， ∴AD＝3， 点P到直线AD垂直距离为：2﹣（t2﹣2t﹣1）＝﹣t2+2t+3， ∴， 点E（xE，yE）到直线AD垂直距离为：2﹣yE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵yE＝xE﹣1， ∴， ∴， ∴4t2﹣8t+3＝0， 解得，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴或； （3）解：由（2）得A（3，2）， ∵B（﹣1，2）， ∴线段AB：y＝2（﹣1≤x≤3）， ∵抛物线C2：与线段AB（含端点）有且只有一个交点， ∴当﹣1≤x≤3时，（x+m）2+m﹣1＝2即（x+m）2＝3﹣m只有一个解， 当3﹣m＜0即m＞3时，方程无实数根，抛物线C2与线段AB无交点； 当3﹣m＝0即m＝3时，方程为（x+3）2＝0，x＝﹣3，不符合﹣1≤x≤3，抛物线C2与线段AB无交点； 当3﹣m＞0即m＞3时，方程（x+m）2＝3﹣m的两个解为：，，（x1＞x2）， 这两个解，其中有一个需满足﹣1≤x≤3， 则可分情况讨论， 情况1、x1符合﹣1≤x≤3，x2不符合﹣1≤x≤3， ，解得1＜m≤2； 情况2、x2符合﹣1≤x≤3，x1不符合﹣1≤x≤3， ，解得﹣3≤m＜﹣1； 验证端点情况， 当m＝﹣1时，此时对称轴x＝1在y轴右侧，需单独验证交点情况， 此时抛物线C2：与线段AB：y＝2（﹣1≤x≤3）交点横坐标为x＝3和x＝﹣1， 有两个交点，不符合“有且只有一个交点”， ∴m＝﹣1舍去； 当m＝2时，x1＝﹣1，x2＝﹣3，x1符合﹣1≤x≤3，x2不符合﹣1≤x≤3， 只有1个交点，符合题意； ∴﹣3≤m＜﹣1或1＜m≤2． 36．（2026•安徽校级模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 当y＝0时，得：， 解得：x＝2或﹣6； 当x＝0时，得：y＝﹣6； ∴点A（﹣6，0），点B（2，0），点C（0，﹣6）； （2）在直线l上存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形；理由如下： 设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， 故直线AC的表达式为y＝﹣x﹣6； 设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2， ∵DE∥BC， ∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图1，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形， ∴BD2＝BC2， ∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40， 解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）； 如图2，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形， ∴CD2＝CB2， ∴2m2＝40， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上所述，在直线l上存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或； 37．（2025•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，且OC＝2AO，连接BC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，求的最大值及点P的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）绕点N（1，0）旋转180°，得到新抛物线y′，在新抛物线y′上找一点M，使得∠BCM＝45°，直接写出点M的坐标． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），OC＝2AO， ∴OA＝2， ∴OC＝2OA＝4， ∴C（0，4）， 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）如图1，过点D作DH⊥y轴， 设直线BC的函数关系式为y＝kx+n，将B，C两点坐标代入得： ， 解得， ∴直线BC的函数关系式为， 设，则， ∴，DH＝t， ∵B（8，0），C（0，4）， ∴OB＝8，OC＝4， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当t＝6时，有最大值，为9，此时P（6，4）； （3）点M的坐标为或（6，6）．理由如下： ∵将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）绕点N（1，0）旋转180°，得到新抛物线y′， ∴A（﹣2，0），B（8，0）关于（1，0）对称点（4，0），（﹣6，0）都在抛物线y′上， 设新抛物线y′的函数关系式为，将（4，0），（﹣6，0）代入得： ， 解得：， ∴新抛物线y′的函数关系式为， 当点M在BC的下方时， 如图2，过点M作MG⊥CM，过点M作ME∥x轴，过点G作GF⊥EM的延长线于点F， ∴∠CEM＝∠MFG， 设点， 则， ∵∠BCM＝45°，∠CMG＝90°， ∴△CMG是等腰直角三角形， ∴CM＝MG， ∵∠CEM＝∠CMG＝90°， ∴∠ECM+∠EMC＝90°，∠GMF+∠EMC＝90°， ∴∠ECM＝∠GMF， 在△CEM和△MFG中， ， ∴△CEM≌△MFG（AAS）， ∴， ∴， ∴， ∵G在直线BC：上， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 当点M在BC的上方时， 如图3，过点M作MG⊥CM，过点M作ME∥x轴，过点G作GF⊥EM的延长线于点F， 设点， 则， ∵∠BCM＝45°，∠CMG＝90°， ∴△CMG是等腰直角三角形， ∴CM＝MG， ∵∠CEM＝∠CMG＝90°， ∴∠ECM+∠EMC＝90°，∠GMF+∠EMC＝90°， ∴∠ECM＝∠GMF， ∴△CEM≌△MFG（AAS）， ∴， ∴， ∴， ∵G在直线BC：上， ∴， 解得：（舍去）， ∴M（6，6）， 综上所述，点M的坐标为或（6，6）． 38．（2026•开州区模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D在△ABC的内部，连接BD，AD，点M为线段BD的中点，连接AM． （1）如图1，若∠ADB＝90°，，求DC的长； （2）如图2，将AM绕点M逆时针旋转90°至EM，连接BE，AE，求证：； （3）如图3，延长AM交CB于点N，点P为AN延长线上一点，连接BP，将△BNP沿BN翻折至△ABC所在平面内得到△BNP′，直线NP′与AB交于点G，连接GD．若∠BDC＝135°，当AM最小时，请直接写出△ADG的面积． 【解答】（1）解：∵∠ADB＝90°，， 令AD＝a，则BD＝2a， ∴， ∴a＝2， ∵点M为线段BD的中点， ∴BM＝DMBD＝AD＝2， 在 Rt△ADM 中，∠ADM＝90° ∴， ∵∠ADB＝90°，∠DAB+∠2＝90°，∠DAB+∠1＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△ABM和△CAD中， ， ∴△ABM≌△CAD（SAS）， ∴； （2）证明：延长EM至点F，使得MF＝ME，连接AF，DF，CF， ∵AM⊥EF，EM＝FM， ∴AE＝AF， ∵∠AEM＝45°， ∴△EAF为等腰直角三角形，∠EAF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠FAC， 在△EAB和△FAC中， ， ∴△EAB≌△FAC（SAS）， ∴FC＝EB，∠AFC＝∠AEB＝45°+∠BEM， ∴△EMB≌△FMD（SAS）， ∴FD＝EB＝FC，∠MFD＝45°﹣∠DFA＝∠BEM， ∴∠CFD＝∠DFA+∠AFC＝45°﹣∠MFD+45°+∠BEM＝90°， ∴△DFC为等腰直角三角形，∠DFC＝90°， ∴； （3）解：∵点M的轨迹为以BQ的中点O为圆心，OB为半径的一段弧，若AM最小，当且仅当A，O，M三点共线， 此时，过点M作MH⊥AB于点H， ∵，AB＝2， ∴OA＝5，，， ∴， ∴，， ∴S△ADG（25． 39．（2026•罗源县校级模拟）如图1，点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，CD，OD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F．若点F是的中点． （1）求证：BE＝EC； （2）若⊙O的半径为5，求CD的长； （3）如图2，若DG＝DO，求的值． 【解答】（1）证明：∵点F是CD的中点， ∴， ∴∠CBF＝∠DBF， ∵BF∥AD， ∴， ∴∠BCA＝∠DBF， ∴∠BCA＝∠CBF， ∴BE＝EC； （2）解：过O作OM⊥DC于M，连接OC， ∵AC⊥BD， ∴∠DGC＝∠BGC＝90°， ∴∠GBC+∠BCA＝90°， 由（1）得∠BCA＝∠CBF＝∠DBF， ∴∠BCA＝∠CBF＝∠DBF＝30°， ∴∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°， ∴∠DOC＝120°， ∵OD＝OC， ∴∠ODM＝∠OCM＝30°， ∵OM⊥DC， ∴∠OMD＝90°，M是DC中点， ∴DC＝2DM， ∴在Rt△ODM中，， ∵DO＝5， ∴， ∴； （3）解：过O作OM⊥DC于M，连接OC， ∵点F是CD的中点， ∴， ∴∠CBF＝∠DBF， ∵BF∥AD， ∴， ∴∠BCA＝∠DBF＝∠ADB， ∵AC⊥BD， ∴∠DGC＝∠BGC＝∠AGD＝90°， ∴∠GBC+∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠CBF＝∠DBF＝30°， ∴∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°， ∴∠DOC＝120°， ∵OD＝OC， ∴∠ODM＝∠OCM＝30°， ∵OM⊥DC， ∴∠OMD＝90°，M是DC中点， ∴DC＝2DM， ∴在Rt△ODM中，，即 ∴， 设DO＝r，GE＝x， ∴DG＝DO＝r， ∴， ∵BF∥AD， ∴∠ADB＝∠DBF＝30°， ∵∠AGD＝90° ∴在Rt△AGD中，∠ADG＝30°， ∴， ∴， ∵∠BCA＝∠CBF＝30° ∴BE＝EC＝2x， ∴GC＝GE+EC＝3x， ∵∠DGC＝90°， ∴在Rt△DGC中DG2+GC2＝CD2即，整理得， ∴． 40．（2025•南昌县一模）课本再现 矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 （1）如图1，已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 用矩形的定义求证：四边形ABCD是矩形． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB的中点，连接DE，CE，且DE＝CE，求证：四边形ABCD是矩形． 拓展延伸 （3）如图3，将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）证明：∵E 是 AB的中点， ∴AE＝BE ∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BE，DE＝CE， ∴Rt△AED≌Rt△BEC（HL）， ∴AD＝BC， 又∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （3）解：由折叠易知，△AED≌△FED， ∴∠EFD＝90° ∴∠BFE+∠DFC＝90° ∵∠B＝∠EFD＝∠C＝90°， ∴∠BFE+∠BEF＝90° ∴∠BEF＝∠DFC ∴△BEF∽△CFD， ∴当△AED∽△BEF时，∠DEF＝∠AED＝∠BEF＝60°， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当△AED∽△BFE时，∠DEF＝∠DEF＝∠BFE， ∴DE∥BC，不符合题意， 综上所述，符合题意的． 41．（2026•南宁校级一模）相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的45°角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多45°角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个45°角时，可以得到许多结论． 【探究活动】如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N． （1）证明：△DAN∽△CAE； （2）若BE＝1，试求BN﹣ND的值； （3）【拓展延伸】探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： 如图2，在边长为3的正六边形ABCDEF中，连接对角线CF，过点A构造∠GAI＝60°，当点G落在边CD上时，点I落在EF上，AI交CF于点H．当G为CD的三等分点时，求CH﹣HF的值． 【解答】（1）证明：∵在正方形ABCD中，AC、BD是角平分线， ∴∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝45°， ∴∠DAF＝45°﹣∠CAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠CAE＝45°﹣∠CAF， ∴∠DAN＝∠EAC， ∴△DAN∽△CAE． （2）解：∵在正方形ABCD中，AC、BD是角平分线， ∴AD＝CD＝BC，， 由（1）知△DAN∽△CAE， ∴， ∴， ∵BE＝1， ∴． （3）解：连接AD，交CF于O， ∵在正六边形ABCDEF中，OA＝OF，， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠DAF＝60°，OA＝OD＝AF，AD＝2AF， ∵AF∥CD， ∴∠ADG＝∠AFH＝∠FAD＝60°， ∵∠GAI＝60°， ∴∠GAI＝∠FAD， ∴∠GAI﹣∠IAD＝∠FAD﹣∠IAD，即∠GAD＝∠HAF， ∴△FAH∽△DAG， ∴， ∴GD＝2HF， ∵AD＝CF，AF＝CD， ∴CF＝2AF＝2CD， ∴CH﹣HF＝CF﹣2HF＝2CD﹣GD＝CD+CG， ∵G为CD的三等分点， ∴或， ∵CD＝3， ∴CH﹣HF＝4或5． 42．（2026•庐阳区校级一模）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．将点（1，0）代入得： 1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝3， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xC＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时， m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， ∴n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 43．（2026•庐江县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，2），与y轴交点B在负半轴，OB＝1，抛物线的顶点为C． （1）求a﹣b的值； （2）当m＜y＜2时，﹣1＜x＜3，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，当n≤x≤n+2时，函数最大值与最小值的差为2，求n的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，2），与y轴交点B在负半轴，OB＝1， ∴B（0，﹣1）， 将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：； （2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，2），且当m＜y＜2时，﹣1＜x＜3， ∴直线y＝m与抛物线没有交点，且直线y＝2与抛物线交于（﹣1，2）和（3，2）两点， 故抛物线对称轴为直线， 此时，b＝﹣2a，代入a﹣b＝3，得：a＝1，b＝﹣2， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， 由于直线y＝m与抛物线没有交点， ∴m＜﹣2； （3）当x＝n时，y＝（n﹣1）2﹣2；当x＝n+2时，y＝（n+1）2﹣2． ∵抛物线对称轴为直线x＝1，当n+2＜1时，即n＜﹣1时，在n≤x≤n+2时，y随x增大而减小，此时[（n﹣1）2﹣2]﹣[（n+1）2﹣2]＝2， 解得：，与假设矛盾，舍去； 当n＞1时，在n≤x≤n+2时，y随x增大而增大， 此时[（n+1）2﹣2]﹣[（n﹣1）2﹣2]＝2， 解得：，与假设矛盾，舍去； 当n+2≥1，n≤1，即﹣1≤n≤1时，函数最小值为﹣2， 当1﹣n＞n+2﹣1，即n＜0， （n﹣1）2﹣2﹣（﹣2）＝2时， 解得：，， ∵﹣1≤n＜0， ∴取； 当1﹣n＜n+2﹣1，即n＞0时， （n+1）2﹣2﹣（﹣2）＝2， 解得：，， 故取． 综上所述，当或时，函数最大值与最小值差为2． 44．（2026•南安市一模）如图，△ABC中，边AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，E是线段AD上的点，连接BE，∠CBE＝90°． （1）若，求∠ACE的度数； （2）①过D作DF∥BC交BA的延长线于点F；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求证：DF＝BE． 【解答】（1）解：∵边AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD， ∴∠CAE＝90°，AC＝AD， ∴tan∠ACE， ∴∠ACE＝30°； （2）①解：如图所示，连接BD，则DF∥BC； ②证明：延长CB、DA相交于点H， ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△AHB， ∴， ∵∠CBE＝∠CAE＝90°， ∴点A、B、C、E四点共圆， ∴∠BEA＝∠ACB， 又∵∠H＝∠H， ∴△BEH∽△ACH， ∴，即， 又∵AC＝AD， ∴， ∴DF＝BE． 45．（2026•新华区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax过点． （1）求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线y＝mx﹣m与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（　1　 ，　0　 ）； ②当m＝﹣1时，如图，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E，当抛物线y＝ax2﹣2ax+k与线段DE仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与AB垂直的直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线RM，RN与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以∠HRS为顶角的等腰△RHS，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax过点，将点的坐标代入得： ， 解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点坐标为（1，﹣1）； （2）①∵直线y＝mx﹣m与x轴交于点C， 当y＝0时，得：mx﹣m＝0（m≠0）， 解得：x＝1， ∴点C（1，0）， 故答案为：1；0； ②当m＝﹣1时，直线AB的解析式为y＝﹣x+1， ∵直线AB与y轴交于点D， ∴当x＝0时，得：y＝1， ∴点D（0，1）， ∵直线AB与直线x＝2交于点E， ∴y＝﹣2+1＝﹣1， ∴点E（2，﹣1）， 由抛物线y＝x2﹣2x+k可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，抛物线沿对称轴上下平移， 当抛物线与线段DE相切时有一个交点，此时x2﹣2x+k＝﹣x+1， 整理得：x2﹣x+k﹣1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4（k﹣1）＝0， 解得：； 当抛物线经过点D（0，1）时，有两个交点，k＝1； 当抛物线经过点E（2，﹣1）时，有一个交点，k＝﹣1； 综上所述，当抛物线y＝ax2﹣2ax+k与线段DE仅有一个交点时，﹣1≤k＜1或； ③存在以∠HRS为顶角的等腰△RHS；．理由如下： ∵抛物线为y＝x2﹣2x，对称轴为x＝1，点R为抛物线的对称轴上一点， ∴设R（1，t）， 联立直线y＝mx﹣m与抛物线y＝x2﹣2x得： x2﹣2x＝mx﹣m， 整理得：x2﹣（m+2）x+m＝0， ∴x1+x2＝m+2， ∵点M是AB的中点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵直线d与直线AB：y＝mx﹣m＝m（x﹣1）垂直， ∴直线d的斜率为：，解析式为， 联立直线与抛物线y＝x2﹣2x得： ， 整理得：mx2﹣（2m﹣1）x﹣1＝0， ∴， ∵点N是PQ的中点， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵等腰△RHS的顶角为∠HRS，即RH＝RS，且RM，RN关于对称轴直线x＝1对称， ∴kRM＝kRN， ∵，， ∴， 化简得：， 整理得：m2（1+2t）＝2t+1， ∵要使对任意m都成立， ∴1+2t＝0， 解得：， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $