【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-15）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-15） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•温县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，分别以AB，AC，BC为边在AB的同一侧作正方形ABDE，ACFG，BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．若已知图中阴影部分的面积的和，则一定能求出（　　） A．正方形ABDE的面积 B．正方形ACFG的面积 C．△ABC的面积 D．四边形ABHI的面积 2．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　） A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（1）：1 3．（2026•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y＝2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E．设点B的坐标为（m，n），若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　） A．当点A在y轴上时，点C的坐标为（4，2） B．mn＝4 C．OE的长始终为4 D．n的取值范围为﹣2≤n≤2 4．（2026•南山区一模）如图所示，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接A′C，A′B，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•鲁山县一模）兰考葡萄酒依托黄河故道沙质土与适宜气候，以白羽、白丰等本地葡萄为原料，经低温发酵等工艺制成，酒液透亮、果香清新、酸甜适口，曾获部省级优质产品奖．某社会实践小组去兰考某葡萄酒厂进行探究实践学习，研究酵母菌发酵技术，如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，请分析图象，并判断以下说法错误的是（　　） A．在发酵前期的0～96h内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加 B．在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖 C．在发酵后期，葡萄糖浓度的减少助长了酵母菌的生长繁殖 D．随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐减少，增加了葡萄酒的口感 6．（2026•阜南县校级一模）A，B，C，D四个点位于正方形的四个顶点，现在将这四个点用线段连接，则以下四种方案中，所有线段之和最小的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•宜昌期中）如图1，小亮家、报亭、羽毛球在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图之所示，给出以下结论： ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；②小亮打羽毛球的时间是30分钟；③报亭到小亮家的距离是400米；其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026•柯城区一模）如图，在矩形ABCD中，四边形ABFG和四边形CDHE都是正方形，对角线AC交FG，EH于点M，N，连接BM交EH于点L，连接DN交FG于点K，连接AL，CK，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（　　） A．四边形ABFG的面积 B．四边形ABCD的面积 C．四边形ABEH的面积 D．四边形EFGH的面积 9．（2026•泰和县校级一模）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上从点A向点C匀速运动，点E在边CB上从点C向点B匀速运动，若两点同时开始同速运动，则线段DE的长度是（　　） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．逐渐增大 D．保持不变 10．（2026•定边县一模）已知二次函数y＝ax2﹣5x+a2﹣2a+4（a为常数，且a≠0）的图象经过点（1，5），且该二次函数有最大值，当﹣3≤x≤2时，该二次函数的最小值为（　　） A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6 11．（2026•海淀区校级模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，1），正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（2026•东方一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F在边CD延长线上，且BE＝DF，连接EF，过点A作AN⊥EF交EF于M，交CD于N，若BE＝5，CN＝8，则CE＝（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 13．（2026•项城市一模）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了0.5h； ②汽车共行驶了300km； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍； ④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2026•蒲县一模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x＝﹣2 C．图象经过第三、第四象限 D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 15．（2025•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．5 D．10 二．填空题（共15小题） 16．（2026•温县模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE（点C与点F是对应点），点F落在AE上．若BC＝3，AF＝2EF，则AB的长 　 　 ． 17．（2025•深圳模拟）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6．D是AC中点，将纸片沿BD翻折，直角顶点A的对应点为A'，AA'交BC于E，则CE＝　 　 ． 18．（2026•深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将边DA绕点D旋转，当点A的对应点F恰好落在CE上时，连接AF，延长AF交BC于点G，则的值为　 　 ． 19．（2026•南山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是边BC上一动点（BD＞CD），连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上，连接CE，BE，取BE中点G，若DE⊥CE，则的值为　 　 ． 20．（2026•鲁山县一模）如图，将边长为6的等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF，点P，Q分别为AC，DF的中点，点O是线段PQ的中点，连接OA，OC．当△AOC为直角三角形时，BE＝　 　 ． 21．（2026•阜南县校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN的顶点P是线段AB上一点，PM经过顶点C，PN与AC交于点D，∠MPN＝30°，设∠BCP＝∠1（∠1≠0°）． （1）当P点是AB的中点时，则∠APD的度数为　 　 ； （2）当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为　 　 ． 22．（2023春•青羊区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝6，将Rt△ABC绕点B逆时针旋转60°至△EBD，连接AD，则线段AD＝　 　 ． 23．（2026•柯城区一模）如图，边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆O恰好与BC相切于点F，则⊙O的半径为　 　 ． 24．（2026•泰和县校级一模）已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线l1，l2，l3上，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2．若△ABC是等腰直角三角形，则它的面积是　 　 ． 25．（2026•定边县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝7，点M为平面内一动点，连接AM、BM、CM，若∠AMC＝45°，则BM的最小值为　 　 ． 26．（2025•朝阳区一模）某工厂生产的一种产品由A，B两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有4条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线1 流水线2 流水线3 流水线4 A 80 90 70 60 B 100 120 110 70 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，7天最多生产该产品　 　 件； （2）如果4条流水线都开通，7天最多生产该产品　 　 件． 27．（2026•东方一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，过点E作EH⊥AC于点H，则DH＝　 　 ，当AE取得最小值时，BD的长为　 　 ． 28．（2026•项城市一模）如图，△ABC的面积为7，分别倍长（延长一倍）AB、BC、CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2，⋯，按此规律，倍长2026次后得到的△A2026B2026C2026的面积为　 　 ． 29．（2026•蒲县一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，E为CD的中点，连接AE，过点A作AF⊥AE，与CB的延长线交于点F，AG平分∠FAE，且点G在BC边上，则AG的长为　 　 ． 30．（2026•永州一模）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB：AD的值为　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值． BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是　 　 ； ②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由． （2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）． 32．（2024•武汉）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 33．（2026•深圳模拟）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位：cm），扩音口宽度AB为2h（单位：cm）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n），利用抛物线表达式y＝a（x﹣m）2+n（其中a，m，n为常数，a＞0）对a值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为　 　 ； 【建立模型】 （2）第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系．请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想； 【应用模型】 （3）第三小组建立平面直角坐标系后，发现点A的坐标为（0，8），h＞4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值． 34．（2026•南山区一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． （1）【概念理解】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，CE．求： ①四边形ABCE　 　 （填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若∠AEC＝90°，∠ADC的度数为　 　 °．∠ABC的度数为　 　 °． （2）【性质探究】如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点（不含中心），四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，过点D作直线BF的垂线，垂足为点E，连结CE，若CE＝2，求△ABF的面积． （3）【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中，AD＝5，点E是其内部一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是腰分双等四边形，DE为腰分线，延长AE交线段BC于点G，连接FG．若∠EFG＝90°，，请直接写出BG的长． 35．（2026•鲁山县一模）如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，则DP＝　 　 ，AD＝　 　 ； （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足，若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝12，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长． 36．（2026•合肥模拟）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（1，﹣2）和（2，﹣3）两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线l于点C，以CD为直径作⊙E，当⊙E与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′，过点H（﹣2，0）作HF⊥x轴，交直线l于点F，连接OF，问在⊙E′上是否存在一点P，使△OFP的面积最大？若存在，求出△OFP面积的最大值，若不存在，请说明理由． 37．（2025•崂山区一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，长度为2cm线段PQ在射线BC上，点P与点C重合，如图2，线段PQ从图1所示起始位置出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时点M从点B出发，沿B→A→D方向以2cm/s速度运动，当M点到达D时运动结束，PQ运动同时结束．连接AQ，DP，相交于点E．设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）当t为何值时四边形APQM是平行四边形？ （2）当点M在AD上运动时，求t为何值时点M在AQ的垂直平分线上？ （3）求△EPM的面积S与t的关系式； （4）运动过程中，将△DCP绕点D顺时针旋转90°得到△DC′P′，是否存在某一时刻t，使C′，P′，E三点在同一条直线上？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由． 38．（2026•柯城区一模）如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A，C，连结AB，BC，CD，AD，过点B作BF⊥AD于点F，交AC于点G． （1）如图2，若BF经过点O． ①求证：BG＝BC； ②若，，求⊙O的半径； （2）若AC＝BD，，，求y关于x的函数表达式． 39．（2026•泰和县校级一模）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知△ABC是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在BC同侧增加特殊图形． 特例研究 （1）如图1，当四边形BCDE是正方形时，点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC，则相似比为　 　 ． （2）如图2，当四边形BCDE是矩形时，ED经过AB的中点F，△EBF与△ABC是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 （3）如图3，当四边形BCDE是菱形时，以BE为直角边，点E为直角顶点，在BE边右侧再作一个等腰直角三角形BEF，连接EA，CF，求EA，CF所在直线的夹角（锐角）的度数． （4）若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究CF与CD之间的数量关系． 40．（2026•定边县一模）根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接AE、AF、EF，若BE+DF＝EF，则∠EAF的度数为　 　 °； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DG∥AB，连接AG交BC于点E，交AG于点F，求证：BE＝2DF； 【问题解决】 （3）如图3，矩形ABCD是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的△AEF区域种植鲜花，BC边上的点F处是入口，CD边上的点E处有一口水井，EG是从E到AF边修的一条地下水管，在点D处修建一个观景台．已知，求观景台D到水井E的距离DE．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 41．（2026•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点． （1）已知A（3，0），B（5，0）， ①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 　 　 ； ②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围； （2） 已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围． 42．（2026•东方一模）（1）【证明推断】如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的动点（与点B、D不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G． ①求证：△ABE≌△FGE； ②直接写出的值． （2）【类比探究】如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变． ①若AB＝3，BC＝4，求的值； ②若AB＝m•BC，直接写出的值（用含m的代数式表示）． （3）【拓展运用】如图3，在矩形ABCD中，点E是对角线BD上一点（与点B、D不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G，连接CE，当AB＝2，BC＝4，CE＝CD时，求BF的长． 43．（2026•项城市一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D在边AB上，连接BE． （1）求证：△BCE∽△ACD； （2）若BE＝8，BD＝6，求AC的长； （3）过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，直接写出的值． 44．（2026•蒲县一模）综合与探究 问题情境：在四边形ABCD中，E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在对角线AC所在直线上的点F处． （1）猜想证明：如图1，当四边形ABCD是正方形时，延长EF交线段CD于点G，猜想FG与FC的数量关系，并说明理由． （2）类比探究：如图2，当四边形ABCD是菱形时，延长EF交线段CD于点G，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用：当四边形ABCD是菱形时，直线EF交直线CD于点G，若AB＝2CF＝4，请直接写出线段DG的长． 45．（2026•永州一模）如图，抛物线与直线y＝x+m交于B（6，0）和C（0，﹣6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点． （1）求m的值； （2）如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值； （3）如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标； （4）如图3，将OA绕点O旋转至OA′，连接BA′，CA′，试求出的最小值． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-15） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C B B A C D D D A D B C D D C 一．选择题（共15小题） 1．（2026•温县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，分别以AB，AC，BC为边在AB的同一侧作正方形ABDE，ACFG，BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．若已知图中阴影部分的面积的和，则一定能求出（　　） A．正方形ABDE的面积 B．正方形ACFG的面积 C．△ABC的面积 D．四边形ABHI的面积 【解答】解：如图所示，过D作DN⊥BF于点N，连接DI， ∵∠ABC+∠CAB＝∠ABC+∠NBD＝90°，AB＝AD，∠ACB＝∠BND＝90°， ∴∠CAB＝∠NBD ∴△ACB≌△BND（AAS）， ∴S△BND＝S△ACB， 同理可证△ACB≌△AGE， ∴S△ACB＝S1， ∵AC＝BN，DN＝BC＝CI， 则有FC＝BN ∵∠DNC＝∠ICB＝90° ∴DN∥CI， ∴四边形DNCI是平行四边形， ∵∠NCI＝90°， ∴四边形DNCI是矩形， ∴∠DIC＝90°， ∴D、I、H三点共线， ∵∠DBN+∠NDB＝∠MDN+∠NDB＝90°， ∴∠MDN＝∠DBN， 又∵∠MND＝∠OCB＝90°，ND＝CB， ∴△MND≌△OCB（ASA） ∴S△MND＝S△OCB，∠DMN＝∠BOC，MN＝OC， ∴S3＝S△DMN+S梯形DNCO＝S△BOC+S梯形DNCO＝S△BDN＝S△ABC， ∵∠DOI＝∠BOC，∠DMN＝∠EMF， ∴∠EMF＝∠DOI ∵∠DOI＝∠BOC，∠DMN＝∠EMF， ∴∠EMF＝∠DOI， ∵FC＝BN， ∴FN＝BC＝CI， ∴FM+MN＝CO+OI， ∴FM＝OI， ∵∠EFM＝∠DIO＝90°， ∴△EFM≌△DIO（SAS）， 即S△DIO＝S2， ∴S2+S4＝S△DBH＝S△BDN＝S△ABC， ∴S1+S2+S3+S4＝S1+S3+（S2+S4）＝3S△ABC， 所以知道阴影部分的面积的和，则一定能求出△ABC的面积． 故选：C． 2．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　） A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（1）：1 【解答】解：解法一：如图，连接OC， ∵BC是⊙O的切线，OC为半径， ∴OC⊥BC， 即∠OCB＝90°， ∴∠COD+∠OBC＝90°， 又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°， ∴∠ABC＝∠COD， ∵DE是⊙O的直径， ∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°， 又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE， ∴∠A＝∠OCD， 在△ABC和△COD中， ， ∴△ABC≌△COD（AAS）， 又∵EO＝DO， ∴S△COD＝S△COES△DCE， ∴S△ABCS△DCE， 即△ABC和△CDE面积之比为1：2； 解法二：如图，连接OC，过点B作BF⊥AC， ∵BC是⊙O的切线，OC为半径， ∴OC⊥BC， 即∠OCB＝90°， ∴∠OCD+∠BCD＝90°， 又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝∠COD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， 又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E， ∴∠A＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴AFACCD， ∵△ABF∽△DEC， ∴， ∴△ABC和△CDE面积之比（AC•BF）：（CD•EC） ＝BF：EC ＝1：2． 故选：B． 3．（2026•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y＝2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E．设点B的坐标为（m，n），若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　） A．当点A在y轴上时，点C的坐标为（4，2） B．mn＝4 C．OE的长始终为4 D．n的取值范围为﹣2≤n≤2 【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图， ∵点A是直线y＝2上的动点， ∴OA＝2， 又∵矩形的面积为8， ∴OA•AC＝8， ∴AC＝4， ∴C（4，2）， 故选项A正确，不合题意； 设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H， ∵矩形OACB的面积为8， ∴S△BOF＝4． ∴S△BOG≤4． 又∵S△BOH＝S△BOGmn， ∴mn≤4． ∴mn≤8，故B错误，符合题意． 直线CB的斜率． ∵， ∴． 又∵， ∴． 直线CB的方程为． 点E是该直线与x轴的交点，令y＝0：， n2＝m（xE﹣m）， ， ． 将m2+n2＝4， m代入上式：， OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4． ∴选项C是正确的． 关系式m2+n2＝4m，可以写成m2﹣4m+n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程． 为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0． Δ＝（﹣4）2﹣4n2≥0 16﹣4n2≥0 4n2≤16 n2≤4 解得﹣2≤n≤2． ∴选项D是正确的． ∴不正确的说法是B． 故选：B． 4．（2026•南山区一模）如图所示，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接A′C，A′B，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，过点A′作GH∥AD分别交AB，CD于点G，H， ∴∠A＝90°，AD⊥AB，AD⊥CD， ∴四边形ADHG是矩形， ∴AG＝DH， 设正方形的边长为3a，则AE＝a，BE＝2a， ∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE， ∴∠EA′D＝∠A＝90°，A′E＝AE＝a，A′D＝AD＝3a， ∵GH∥AD， ∴∠A′GE＝∠A′HD＝90°， ∴∠GA′E＝90°﹣∠HA′D＝∠HDA′， ∴△A′EG∽△DA′H， ∴， 设GE＝x，则A′H＝3x， ∴A′G＝3a﹣3x， ∴HD＝3A′G＝9a﹣9x， ∵AG＝DH， ∴a+x＝9a﹣9x， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2026•鲁山县一模）兰考葡萄酒依托黄河故道沙质土与适宜气候，以白羽、白丰等本地葡萄为原料，经低温发酵等工艺制成，酒液透亮、果香清新、酸甜适口，曾获部省级优质产品奖．某社会实践小组去兰考某葡萄酒厂进行探究实践学习，研究酵母菌发酵技术，如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，请分析图象，并判断以下说法错误的是（　　） A．在发酵前期的0～96h内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加 B．在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖 C．在发酵后期，葡萄糖浓度的减少助长了酵母菌的生长繁殖 D．随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐减少，增加了葡萄酒的口感 【解答】解：如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，可得： A、在发酵前期的0～96h内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加，故选项A中的说法正确，不符合题意； B、在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖，故选项B中的说法正确，不符合题意； C、在发酵后期，葡萄糖浓度的减少抑制了酵母菌的生长繁殖，故选项C中的说法错误，符合题意； D、随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐降低，增加了葡萄酒的口感，故选项D中的说法正确，不符合题意． 故选：C． 6．（2026•阜南县校级一模）A，B，C，D四个点位于正方形的四个顶点，现在将这四个点用线段连接，则以下四种方案中，所有线段之和最小的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A，B，C，D四个点位于正方形的四个顶点，设正方形边长为a， A选项中，正方形三边之和为3a； B选项中，由勾股定理得：， ∴； C选项中，作FE⊥AD，GH⊥BC， 由题意得：FA＝FD， ∴， 设EF＝x， ∵∠FAD＝30°， ∴FA＝2a， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ∴， 由题意△BCG为等腰直角三角形， 设BG＝CG＝y， ∴y2+y2＝a2， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵GB＝GC，GH⊥BC， ∴BH＝CH， ∴， ∴线段和为：； D选项中，作FE⊥AD，GH⊥BC， 由题意FA＝FD＝GB＝GC， ∴， 设EF＝x， ∵∠FAD＝30°， ∴FA＝2a， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴线段和为：； ∵3＞2.828＞2.780＞2.732， ∴所有线段之和最小的应为D， 故选：D． 7．（2025春•宜昌期中）如图1，小亮家、报亭、羽毛球在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图之所示，给出以下结论： ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟； ②小亮打羽毛球的时间是30分钟； ③报亭到小亮家的距离是400米； 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故①正确； 小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故②正确； 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是0.4千米＝400 米，故③正确； 所以正确的个数是3． 故选：D． 8．（2026•柯城区一模）如图，在矩形ABCD中，四边形ABFG和四边形CDHE都是正方形，对角线AC交FG，EH于点M，N，连接BM交EH于点L，连接DN交FG于点K，连接AL，CK，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（　　） A．四边形ABFG的面积 B．四边形ABCD的面积 C．四边形ABEH的面积 D．四边形EFGH的面积 【解答】解：设AD＝x，AH＝y， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝x， ∵四边形ABFG和四边形CDHE都是正方形， ∴AG＝AB＝x，DH＝CD＝HE＝x， ∴AG＝DH， ∴AG﹣GH＝DH﹣GH， ∴DG＝AH＝y； ∵，， ∴； ∵， ∴S△ABL+S△CDK＝xy， ∴， ∵， ∴S阴影＝S四边形EFGH， ∴若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道四边形EFGH的面积， 故选：D． 9．（2026•泰和县校级一模）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上从点A向点C匀速运动，点E在边CB上从点C向点B匀速运动，若两点同时开始同速运动，则线段DE的长度是（　　） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．逐渐增大 D．保持不变 【解答】解：根据题意分情况讨论得， 如图，过D作DQ⊥BC于Q，Q在E的左边， ∵等边三角形ABC， 设AC＝BC＝AB＝1，∠ACB＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠QDC＝30°， 由题意设AD＝CE＝x，则CD＝1﹣x， ∴，， ∴， ∴， 如图，过D作DQ⊥BC于Q，Q在E的右边， 同理可得：，， ∴， ∴， 综上：， 当时，DE最小， ∴当时，DE逐渐减小，当时，DE逐渐增大， 综上所述，若两点同时开始同速运动，则线段DE的长度是先减小后增大， 故选：A． 10．（2026•定边县一模）已知二次函数y＝ax2﹣5x+a2﹣2a+4（a为常数，且a≠0）的图象经过点（1，5），且该二次函数有最大值，当﹣3≤x≤2时，该二次函数的最小值为（　　） A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6 【解答】解：将x＝1，y＝5代入解析式，得a×12﹣5×1+a2﹣2a+4＝5， 整理得a2﹣a﹣6＝0， 解得a＝3 或 a＝﹣2， ∵二次函数有最大值，a≠0 ∴抛物线开口向下，a＜0， ∴a＝﹣2， ∴二次函数解析式为y＝﹣2x2﹣5x+12 抛物线开口向下，对称轴为直线， 在区间﹣3≤x≤2中，端点x＝2到对称轴的距离更远， ∵开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小， ∴当x＝2时，函数取得最小值， 将x＝2代入得y＝﹣2×22﹣5×2+12＝﹣6， 即该二次函数的最小值为﹣6， 故选：D． 11．（2026•海淀区校级模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，1），正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：∵点M、N都在y的图象上， ∴S△ONC＝S△OAMk，即OC•NCOA•AM， ∵四边形ABCO为正方形， ∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°， ∴NC＝AM， ∴△OCN≌△OAM（SAS）， ∴①正确； ∴ON＝OM， ∵k的值不能确定， ∴∠MON的值不能确定， ∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形， ∴ON≠MN， ∴②错误； ∵S△OND＝S△OAMk， 而S△OND+S四边形DAMN＝S△OAM+S△OMN， ∴四边形DAMN与△MON面积相等， ∴③正确； 作NE⊥OM于点E， ∵∠MON＝45°， ∴△ONE为等腰直角三角形， ∴NE＝OE， 设NE＝x，则ONx， ∴OMx， ∴EMx﹣x＝（1）x， 在Rt△NEM中，MN＝2， ∵MN2＝NE2+EM2，即22＝x2+[（1）x]2， ∴x2＝2， ∴ON2＝（x）2＝4+2， ∵CN＝AM，CB＝AB， ∴BN＝BM， ∴△BMN为等腰直角三角形， ∴BNMN， 设正方形ABCO的边长为a，则OC＝a，CN＝a， 在Rt△OCN中，∵OC2+CN2＝ON2， ∴a2+（a）2＝4+2， 解得a11，a2＝﹣1（舍去）， ∴OC1， ∴C点坐标为（0，1）， ∴④正确． 正确结论的个数是3个， 故选：B． 12．（2026•东方一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F在边CD延长线上，且BE＝DF，连接EF，过点A作AN⊥EF交EF于M，交CD于N，若BE＝5，CN＝8，则CE＝（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠ECF＝90°（F在CD延长线上，∠BCD的补角）． 在Rt△ECF中，∠CEF+∠F＝90°， ∵AN⊥EF， ∴∠FNM＝90°在Rt△FNM中，∠F+∠FNM＝90°， ∴∠CEF＝∠FNM． 又∵∠FNM＝∠AND（对顶角相等）， ∴∠CEF＝∠AND． ∵∠ADN＝∠ECF＝90°， ∴△ADN∽△FCE， ∴， 设正方形ABCD边长为x， ∵BE＝5＝DF，CN＝8， ∴CE＝x﹣5，DN＝x﹣8， ∴， 解得：x＝20， 经检验：x＝20是原方程的解， ∴CE＝20﹣5＝15， 故选：C． 13．（2026•项城市一模）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了0.5h； ②汽车共行驶了300km； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍； ④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：2﹣1.5＝0.5h，故汽车在行驶途中停留了0.5h，①正确； 150+150＝300km，故汽车共行驶了300km，②正确； 汽车去时的平均速度为150÷3＝50km/h，汽车回来时的速度为150÷（4.5﹣3）＝100km/h，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③正确； （150﹣90）÷（3﹣2）＝60km/h，④正确， ∴正确的有4个， 故选：D． 14．（2026•蒲县一模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x＝﹣2 C．图象经过第三、第四象限 D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 【解答】解：∵x＝﹣3和x＝﹣1时，y的值都为﹣3， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣2，故选项B结论正确，不符合要求； ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2）， 设二次函数解析式为y＝a（x+2）2﹣2，将x＝0，y＝﹣6代入得： 4a﹣2＝﹣6，解得a＝﹣1， ∵a＝﹣1＜0， ∴图象开口向下，选项A结论正确，不符合要求； ∵二次函数图形上所有点的纵坐标都小于0， ∴图象经过第三、四象限，选项C结论正确，不符合要求； ∵图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， 又∵x＞﹣1满足x＞﹣2， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，选项D结论错误，符合要求． 故选：D． 15．（2025•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【解答】解：∵点C在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上， 设点C的坐标为（a，）， ∵C是AO的中点，且CE⊥x轴，AB⊥x轴， ∴CE是△AOB的中位线， 根据三角形中位线的性质：中位线平行于第三边且长度为第三边的一半， 由此可得：OE＝EB＝a， ∴OB＝OE+EB＝2a， CEAB， 又CE， ∴AB＝2， 因此，点A的坐标为（2a，）， ∵点D在AB上，且在反比例函数y的图象上，点D的横坐标与点A相同，为2a， 将x＝2a代入y，可得点D的纵坐标为y， ∴点D的坐标为（2a，）， ∵AB⊥x轴，BD垂直于x轴方向， ∴在△BDE中，EB＝a（底），BD的长度为点D的纵坐标（高）， 根据三角形面积公式S底×高，可得： S△BDEEB×BD， ， k＝5， 方法二：已知C是AO的中点，且CE⊥x轴， AB⊥x轴， 因此CE∥AB， 由“三角形中位线定理”，E是OB的中点（CE是△AOB的中位线）， 因为E是OB的中点， 所以OE＝EB， △BDE和△ODE以EB、OE为底时，高相同，因此面积相等． 已知S△BDE，故S△ODE， S△DBO＝S△ODE+S△BDE， 此处D在双曲线上，△DBO是直角三角形（DB⊥x轴），因此： S△DBOk 代入S△DBO， 解得k＝5， 故选：C． 二．填空题（共15小题） 16．（2026•温县模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE（点C与点F是对应点），点F落在AE上．若BC＝3，AF＝2EF，则AB的长 　　 ． 【解答】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上， ∴EF＝CE，CD＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DFA， ∵AF＝2EF，BC＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝DF，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC＝∠DEF， ∴AD＝AE＝3， 在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2， ∴22+DF2＝32， ∴DF， ∴AB＝DF， 故答案为：． 17．（2025•深圳模拟）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6．D是AC中点，将纸片沿BD翻折，直角顶点A的对应点为A'，AA'交BC于E，则CE＝　　 ． 【解答】解：设AA′交BD于点F，连接A′C， ∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，D是AC中点， ∴AD＝CDAC＝3， ∴BD5，BC2， 由翻折得A′D＝AD＝CD，∠ADB＝∠A′BDADA′，∠点A′与点A关于直线BD对称， ∴∠DCA′＝∠DA′C，BD垂直平分AA′， ∵∠ADA′＝∠DCA′+∠DA′C＝2∠DCA′，∠AFB＝∠A′FB＝90°， ∴∠DCA′∠ADA′， ∴∠DCA′＝∠ADB， ∴CA′∥DB， ∴∠AA′C＝∠A′FB＝90°， ∵∠A′AC＝∠ABD＝90°﹣∠BAA′， ∴sin∠A′AC＝sin∠ABD，cos∠ABD， ∴CA′AC6，BFAB4， ∵CA′∥BF， ∴△CEA′∽△BEF， ∴， ∴CEBCBC2， 故答案为：． 18．（2026•深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将边DA绕点D旋转，当点A的对应点F恰好落在CE上时，连接AF，延长AF交BC于点G，则的值为　　 ． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE于点M，过点F作FN⊥BC于点N， 设正方形的边长为2，即AB＝BC＝CD＝AD＝2， ∵点E是边AB的中点， ∴BE＝1， ∵正方形ABCD， ∴CD∥AB，∠ABC＝90°， ∴∠DCM＝∠CEB，∠DMC＝∠CBE＝90°，， ∴△DMC∽△CBE， ∴， ∴， ∵旋转， ∴DF＝DA＝DC＝2， ∵DM⊥CE， ∴， ∵FN⊥BC，∠B＝90°， ∴FN∥BE， ∴△CFN∽△CEB， ∴， ∴， ∴， ∵FN∥BE， ∴△GFN∽△GAB， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（2026•南山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是边BC上一动点（BD＞CD），连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上，连接CE，BE，取BE中点G，若DE⊥CE，则的值为　　 ． 【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AF⊥BC交BC于点O，且AO＝OF， ∴，∠BAO＝∠CAO＝60°， ∴AC＝AB＝2OA＝2OF， ∴AC＝AF， ∵将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°， ∴∠FAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠FAD＝∠CAE， 在△ADF和△AEC中， ， ∴△ADF≌△AEC（SAS）， ∴DF＝EC， ∵AF⊥BC，AO＝OF， ∴AD＝DF， ∴AE＝EC， ∴点E在AC的垂直平分线EH上，即AC⊥EH， ∴AH＝CH，∠EHC＝60°， ∴∠HAC＝∠ACB＝30°， ∴∠AHB＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠BAH＝90°， 如图，取BH的中点I，连接AI，GI， ∴， ∴△AHI是等边三角形， ∴∠AIH＝60°， ∵点G是BE的中点， ∴GI∥EH， ∴∠GIH＝∠EHC＝60°， ∴点A，G，I三点共线， ∴AI∥EH， ∴∠IAC＝90°， ∵DE⊥CE，DE＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝75°，∠ACE＝∠ECD﹣∠ACD＝15°， ∵AE＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA＝15°， ∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAC＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝75°， ∴AB＝BD， 又∵AE＝DE， ∴BE垂直平分AD， ∴AG＝GD， ∵∠GAC＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝45°， ∴∠GDA＝∠GAD＝45°， ∴∠AGD＝90°， ∴△AGD是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AG2+GD2＝AD2，即2AG2＝AD2＝EC2， ∴． 20．（2026•鲁山县一模）如图，将边长为6的等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF，点P，Q分别为AC，DF的中点，点O是线段PQ的中点，连接OA，OC．当△AOC为直角三角形时，BE＝　6或12　 ． 【解答】解：当∠ACO＝90°时，如图2． ∵等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF，点P，Q分别为AC，DF的中点， ∴PQ∥BF，PQ＝BE，∠ACB＝60°，AC＝6． ∵PQ∥BF， ∴∠OPC＝∠ACB＝60°， ∴∠POC＝90°﹣60°＝30°． ∵点P为AC的中点，AC＝6， ∴． 在Rt△PCO中，∠PCO＝90°，∠POC＝30°， ∴OP＝2CP＝6． ∵点O是线段PQ的中点， ∴PQ＝2OP＝12， ∴BE＝PQ＝12． 当∠AOC＝90°时，如图1． ∵等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF，点P，Q分别为AC，DF的中点， ∴PQ＝BE，AC＝6． ∵∠AOC＝90°，点P为AC的中点， ∴． ∵点O是线段PQ的中点， ∴PQ＝2OP＝6， ∴BE＝PQ＝6． 综上所述，当△AOC为直角三角形时，BE的长为6或12． 21．（2026•阜南县校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN的顶点P是线段AB上一点，PM经过顶点C，PN与AC交于点D，∠MPN＝30°，设∠BCP＝∠1（∠1≠0°）． （1）当P点是AB的中点时，则∠APD的度数为　60°　 ； （2）当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为　45°或90°　 ． 【解答】解：（1）当P点是AB的中点时， ∵AC＝BC， ∴CP⊥AB，即∠APC＝90°， ∵∠MPN＝30°， ∴∠APD＝∠APC﹣∠CPD＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60°； （2）如图1，当DP＝CP时， ∵∠CPD＝30°，DP＝CP， ∴， ∵∠ACB＝120°， ∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣75°＝45° 如图2，当DP＝DC时， ∵∠CPD＝30°，DP＝DC， ∴∠CPD＝∠PCD＝30°， ∵∠ACB＝120°， ∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣30°＝90°； 当DC＝CP时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，∠1＝0°，该情况不存在． 故答案为：45°或90°． 22．（2023春•青羊区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝6，将Rt△ABC绕点B逆时针旋转60°至△EBD，连接AD，则线段AD＝　2　 ． 【解答】解：连接CD，过D作DF⊥AC于F， ∵Rt△ABC绕点B逆时针旋转60°至△EBD， ∴△DBC为等边三角形， ∴CD＝CB＝6，∠DCB＝60°， ∵∠C＝90°， ∴∠DCF＝30°， ∴DF＝3，CF＝3， 而AC＝4， ∴AF＝AC﹣CF， 在Rt△ADF中，AD2． 故答案为：2． 23．（2026•柯城区一模）如图，边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆O恰好与BC相切于点F，则⊙O的半径为　　 ． 【解答】解：连接OF，延长FO交AE于点H，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝4， ∵BC是⊙O的切线，点F是切点， ∴HF⊥BC，即∠BFH＝90°， ∴四边形ABFH是矩形， ∴∠AHF＝90°，HF＝AB＝4，即OH⊥AE， ∴， ∵点E是AD的中点， ∴， ∴HE＝1， 设OE＝OF＝R，则HO＝4﹣R， 在Rt△HOE中，HO2+HE2＝OE2， ∴（4﹣R）2+12＝R2， 16﹣8R+1＝0， 解得：． 24．（2026•泰和县校级一模）已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线l1，l2，l3上，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2．若△ABC是等腰直角三角形，则它的面积是　或5或　 ． 【解答】解：如图1，由题意可得：当∠BAC＝∠ACB＝45°，AB＝BC，∠ABC＝90°，过B作QG⊥l3于G，交l1于Q， ∴QG⊥l1， ∴BQ＝1，BG＝2，∠AQB＝∠BGC＝90°， ∴∠ABQ＝90°﹣∠GBC＝∠BCG， 在△ABQ和△BCG中， ， ∴△ABQ≌△BCG（AAS）， ∴BQ＝CG＝1，AQ＝BG＝2， ∴AB2＝12+22＝5， ∴△ABC的面积是； 当∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，∠BAC＝90°，过C作QC⊥l1于Q，过B作BD⊥l1于D， 同理可得：△CAQ≌△ABD（AAS）， ∴AD＝CQ＝3，AQ＝BD＝1， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2＝32+12＝10， ∴； 当∠ABC＝∠CAB＝45°，CB＝AC，∠ACB＝90°，过B作BQ⊥l3于Q，过A作AD⊥l3于D， 同理可得：△BCQ≌△CAD（AAS）， ∴AD＝CQ＝3，BQ＝CD＝2， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC2＝32+22＝13， ∴， 综上所述，△ABC的面积为或5或， 故答案为：或5或． 25．（2026•定边县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝7，点M为平面内一动点，连接AM、BM、CM，若∠AMC＝45°，则BM的最小值为　　 ． 【解答】解：作△ACM的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，OB交⊙O于点M′， 则∠AOC＝2∠AMC＝90°，则△AOC是等腰直角三角形， 则∠ACO＝∠BCO＝45°， 作OD⊥BC于点D，则△COD是等腰直角三角形． ∵OA2+OC2＝AC2，AC＝6， ∴， 同理可得OD＝CD＝3， ∴BD＝BC﹣CD＝4， ∴， 当点O、M、B三点共线时，BM最小为． 故答案为：5﹣3． 26．（2025•朝阳区一模）某工厂生产的一种产品由A，B两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有4条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线1 流水线2 流水线3 流水线4 A 80 90 70 60 B 100 120 110 70 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，7天最多生产该产品　360　 件； （2）如果4条流水线都开通，7天最多生产该产品　1250　 件． 【解答】解：（1）如果只开通一条流水线，比较可知，开通流水线2最合适，零件A生产4天共360个，零件B生产3天共360个，7天正好可以生产360个， 故答案为：360； （2）整体比较各条流水线的产能，，，， 流水线4只生成A最合适，7天生成420个A； 流水线3只生成B最合适，7天生成770个B； 流水线1只生成A最合适，7天生成560个A； 产能最高的流水线B，负责调配差额， 讨论可得，3天生产270个A，4天生成480个B， 综上可得，7天共生成1250个零件， 故答案为：1250． 27．（2026•东方一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，过点E作EH⊥AC于点H，则DH＝　2　 ，当AE取得最小值时，BD的长为　　 ． 【解答】解：由题意可得：∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD， ∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°， ∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°， ∴△BDC≌△DEH（AAS）， ∴EH＝CD，DH＝BC＝2， ∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝4﹣2﹣CD＝2﹣CD， 由勾股定理可得：AE2＝AH2+EH2＝（2﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣1）2+2， ∵2＞0， ∴当CD＝1时，AE2最小，则AE也最小， 由勾股定理可得：， 故答案为：2；． 28．（2026•项城市一模）如图，△ABC的面积为7，分别倍长（延长一倍）AB、BC、CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2，⋯，按此规律，倍长2026次后得到的△A2026B2026C2026的面积为　72027 ． 【解答】解：连接AB1，A1C，BC1， 根据等底等高的三角形面积相等，得S△ABC， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵S△ABC＝7， ∴， ∴△A2026B2026C2026的面积为72027， 故答案为：72027． 29．（2026•蒲县一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，E为CD的中点，连接AE，过点A作AF⊥AE，与CB的延长线交于点F，AG平分∠FAE，且点G在BC边上，则AG的长为　　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2， ∴DC＝AB＝2，∠BAD＝∠ADE＝∠ABC＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠FAE＝∠BAD＝90°， ∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAD﹣∠BAE， ∴∠FAB＝∠EAD， ∵∠ABF＝∠ADE＝90°， ∴△AFB∽△AED， ∴， ∵E为CD的中点， ∴， ∴， 如图，过点G作GH⊥AF于点H． ∵， ∴， 在直角三角形ABF中，由勾股定理得：， ∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠F＝∠F， ∴△ABF∽△GHF， ∴． ∵AF⊥AE，AG平分∠FAE， ∴∠GAE＝∠FAG＝45°， ∴∠HGA＝45°， ∴AH＝GH，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 30．（2026•永州一模）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB：AD的值为　　 ． 【解答】解；由轴对称可知，DF＝DE， 设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m， ∵四边形AFEB是菱形， ∴AB＝AF＝EF＝2m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°， 由勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共15小题） 31．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值． BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是　5.0　 ； ②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由． （2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）． 【解答】解：（1）①∵点D为的中点， ∴， ∴BD＝CD＝a＝5.0， 故答案为：5.0； ②∵点A是线段BC的中点， ∴AB＝AC， ∵CF∥BD， ∴∠F＝∠BDA， 又∵∠BAD＝∠CAF， ∴△BAD≌△CAF（AAS）， ∴BD＝CF， ∴线段CF的长度无需测量即可得到； （2）由题意可得： （3）由题意画出函数yCF的图象； 由图象可得：BD＝3.8cm或5.0cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．（答案不唯一） 32．（2024•武汉）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴， ∵∠EBF＝∠C＝90°， ∴△BCD∽△FBE； （2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形． ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， ∵AM∥BC， ∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE， ∴△AME≌△BFE（AAS）， ∴AM＝BF， ∵AD＝2CF，CF＝DH， ∴AH＝DH＝CF， ∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC， ∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°， ∴△MFH≌△BDC（SAS）， ∴∠AMF＝∠CBD， 又∵∠AMF＝∠BFG， ∴∠CBD＝∠BFG， ∴BG＝FG； 方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH， ∵E是AB中点，H是BD中点， ∴EHAD，EH∥AD， ∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥CF， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠HCB＝∠GFB， ∵∠BCD＝90°，H是BD中点， ∴CHBD＝BH， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴∠GFB＝∠HBC， ∴BG＝FG； （3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形， ∴CF＝DM， ∵AD＝2CF， ∴AM＝DM＝CF， 设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF， ∴AFa， ∵AG＝FG，BG＝FG， ∴AG＝BG， ∵E是AB中点， ∴FE垂直平分AB， ∴BF＝AFa， ∵H是BD中点， ∴EH是△ABD中位线， ∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC， ∴△EGH∽△FGB， ∴． 33．（2026•深圳模拟）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位：cm），扩音口宽度AB为2h（单位：cm）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n），利用抛物线表达式y＝a（x﹣m）2+n（其中a，m，n为常数，a＞0）对a值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为　　 ； 【建立模型】 （2）第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系．请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想； 【应用模型】 （3）第三小组建立平面直角坐标系后，发现点A的坐标为（0，8），h＞4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值． 【解答】解：（1）由题可知点B（4，4），C（0，0）， ∴m＝0，n＝0，即抛物线解析式为y＝ax2， 将点B坐标代入得，16a＝4， 解得a； 故答案为：； （2）解法1：由题可得B（m+h，n+h）， 将x＝m+h，y＝n+h代入y＝a（x﹣m）2+n， ∴n+h＝a（m+h﹣m）2+n， ∴n+h＝ah2+n， ∴ah＝1， ∴， ∴这个小组的猜想是正确的． 解法2：由平移前后形状不变性可知，可将抛物线平移，使得顶点C移动到原点， 则抛物线解析式为y＝ax2， ∴B（h，h）， ∴h＝ah2， ∴． ∴这个小组的猜想是正确的． （3）解法1：由题可知，A点坐标为（0，8）， ∴B（2h，8），C（h，8﹣h）， ∴y＝a（x﹣h）2+8﹣h， 由（2）可知， ①当4＜h≤8时，分两种情况： 第一种：抛物线在对称轴处有最小值y＝﹣2， ∴当x＝h时， ∴， ∴a（h﹣h）2+8﹣h＝﹣2， ∴h＝10＞8，不满足题意； 第二种：抛物线在对称轴处有最小值y＝2， 同理可得h＝6，即； ②当h＞8时， ∵a＞0， ∴在0≤x≤8时，y随x的增大而减小． 分两种情况： 第一种：当x＝8时，抛物线有最小值y＝﹣2， ∴， ∴， ∴； 第二种：当x＝8时，抛物线有最小值y＝2， 同理可得，不满足题意； 综上所述，或． 解法2：∵由题可知，A点坐标为（0，8）， ∴B（2h，8），C（h，8﹣h）， ∴C点始终在直线y＝8﹣x上， ∴当0≤x≤8，y随x的增大而减小， ∴第一种情况：当x＝8时，y有最小值﹣2， ∴64a+8b+8＝﹣2， ∴当时，， ∴将x，y代入y＝8﹣x， ∴， ∴联立， ∴， ∴； 第二种情况：当x＝8时，y有最小值2，同理可得； 综上所述，或． 34．（2026•南山区一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． （1）【概念理解】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，CE．求： ①四边形ABCE　是　 （填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若∠AEC＝90°，∠ADC的度数为　45　 °．∠ABC的度数为　135　 °． （2）【性质探究】如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点（不含中心），四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，过点D作直线BF的垂线，垂足为点E，连结CE，若CE＝2，求△ABF的面积． （3）【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中，AD＝5，点E是其内部一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是腰分双等四边形，DE为腰分线，延长AE交线段BC于点G，连接FG．若∠EFG＝90°，，请直接写出BG的长． 【解答】解：（1）①∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴EB＝EA＝ED， ∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴EC＝EB＝ED， ∴EC＝EA， ∴四边形ABCE是腰分双等四边形， 故答案为：是； ②由题可知：EC＝ED，EA＝ED， ∴∠EDA＝∠EAD，∠EDC＝∠ECD， ∴∠AEB＝∠EDA+∠EAD＝2∠EDA，∠CEB＝∠EDC+ECD＝2∠EDC， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠CEB+∠AEB＝2（∠EDC+∠EDA）＝90°， ∴∠ADC＝∠EDC+∠EDA＝45°， ∴∠ABC＝360°﹣∠ADC﹣∠BAD﹣∠BCD＝135°， 故答案为：45，135； （2）如图2，连接BD，过点A作AG⊥BF， 由题可知：AB＝AF＝AD， 设∠BAF＝α，∠DAF＝β，则α+β＝90°， ∴，， ∴， ∴∠DFE＝45°， ∵DE⊥EF， ∴∠EDF＝45°， ∵∠BDC＝45°， ∴∠BDC﹣∠FDC＝∠EDF﹣∠FDC， ∴∠BDF＝∠CDE， ∵， ∴△BDF∽△CDE， ∵CE＝2， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形ABG中，由勾股定理得：， ∴； （3）①当DA＝DE＝DF＝5，如图3，过点D作DH⊥EF， ∴∠DHF＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴DH∥FG， ∴∠CFG＝∠FDH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴EF＝2FH＝6， 由（2）同理可得，∠AEF＝135°， ∴∠FEG＝45°， ∴∠FGE＝45°， ∴FE＝GF＝6， ∴， ∴； ②当DA＝DE＝FE＝5，如图4，过点E作EH⊥DC，EM⊥AB，EN⊥AD， ∵∠EHF＝∠EFG＝∠C＝90°， ∴∠HEF+∠HFE＝90°，∠HFE+∠CFG＝90°， ∴∠CFG＝∠HEF， ∴∠HEF＝∠HED＝∠EDN＝∠CFG， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴EN＝DH＝HF＝3＝AM， ∴DN＝4， ∴AN＝5﹣4＝1＝EM， ∵∠NEA＝∠EAM， ∴， 设CG＝3x，则CF＝4x，则BG＝5﹣3x， ∴CD＝AB＝6+4x， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴． 35．（2026•鲁山县一模）如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，则DP＝　2　 ，AD＝　　 ； （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足，若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝12，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，， ∴△DEP∽△BAP， ∴，即， ∴DP＝2， ∵AE⊥BD， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：， 在Rt△ADP中，由勾股定理得：． 故答案为：2；； （2）BD＝2BC；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵， ∴， ∵AB∥CD， ∴△BEP∽△DCP， ∴， 设EP＝2a，则CP＝3a，CE＝CP+EP＝5a， ∴BC＝CE＝5a， ∵CE⊥BD， 在Rt△BCP中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴BD＝DP+BP＝10a， ∵BC＝5a， ∴BD＝2BC； （3）AD的长为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①如图3，若， 在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴△DEP∽△BAP， ∴， 设EP＝a，则AP＝3EP＝3a，AE＝AP+EP＝4a， ∵AE⊥BD， ∴∠DPE＝90°， 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°， ∴∠DPE＝∠ADE， ∵∠DEP＝∠AED， ∴△DEP∽△AED， ∴，即， 解得a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴AE＝8， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：． ②如图，， 在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴△DEP∽△BAP， ∴， 设EP＝2b，则，AE＝AP+EP＝5b， ∵AE⊥BD， ∴∠DPE＝90°， 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°， ∴∠DPE＝∠ADE， ∵∠DEP＝∠AED， ∴△DEP∽△AED， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：． 综上所述，AD的长为或． 36．（2026•合肥模拟）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（1，﹣2）和（2，﹣3）两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线l于点C，以CD为直径作⊙E，当⊙E与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′，过点H（﹣2，0）作HF⊥x轴，交直线l于点F，连接OF，问在⊙E′上是否存在一点P，使△OFP的面积最大？若存在，求出△OFP面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把（1，﹣2）和（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴y＝x2﹣4x+1； （2）设D（d，d2﹣4d+1）（d＞0）， ∵CD∥y轴， ∴， ∴． ∵⊙E与y轴相切， ∴， 解得d1＝2，（舍去）， ∴D（2，﹣3）； （3）∵d＝2， ∴C（2，1）， ∵以CD为直径作⊙E，D（2，﹣3）， ∴E（2，﹣1）， ∵把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′， ∴E′（2，0）， ∵过点H（﹣2，0）作HF⊥x轴， ∴OH＝2，当x＝﹣2时，， ∴F（﹣2，3）， ∴FH＝3， ∴． 如图，过点E′作E′G⊥FO，交直线FO于点G，交⊙E′于点P′，连接FP′，OP′，则此时△OFP′的面积最大． ∵E′（2，0），⊙E′与y轴相切， ∴OE′＝P′E′＝2， ∵∠FHO＝∠OGE′＝90°，∠FOH＝∠E′OG ∴△FOH∽△E′OG， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即△OFP面积的最大值为． 37．（2025•崂山区一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，长度为2cm线段PQ在射线BC上，点P与点C重合，如图2，线段PQ从图1所示起始位置出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时点M从点B出发，沿B→A→D方向以2cm/s速度运动，当M点到达D时运动结束，PQ运动同时结束．连接AQ，DP，相交于点E．设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）当t为何值时四边形APQM是平行四边形？ （2）当点M在AD上运动时，求t为何值时点M在AQ的垂直平分线上？ （3）求△EPM的面积S与t的关系式； （4）运动过程中，将△DCP绕点D顺时针旋转90°得到△DC′P′，是否存在某一时刻t，使C′，P′，E三点在同一条直线上？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由． 【解答】解：（1）当四边形APQM是平行四边形时，PQ＝AM， 即2t﹣4＝2， 解得t＝3， ∴当t＝3s时，四边形APQM是平行四边形； （2）当点M在AQ的垂直平分线上时，AM＝QM＝（2t﹣4）cm， 如图，过Q点作QH⊥AD于H点， 则四边形ABQH为矩形， ∴QH＝4cm，AH＝BQ＝（8﹣t）cm， ∴MH＝（8﹣t）﹣（2t﹣4）＝12﹣3t（cm）， 在Rt△QHM中，由勾股定理得（12﹣3t）2+42＝（2t﹣4）2， 得t1＝7.2（不合题意，舍去），t2＝4， ∴当t＝4s时，点M在AQ的垂直平分线上； （3）①当0≤t≤2时，点M在AB上，如图， ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DAQ＝∠AQB，∠ADP＝∠QPD， ∴△ADE∽△QPE， ∴， 连接DM， ∴，， 又∵S△MDP＝S矩形ABCD﹣S△ADM﹣S△BPM﹣S△CDP＝24﹣3（4﹣2t）﹣t（6﹣t）﹣2t＝t2﹣2t+12， ∴S△MPE3， ∴S3（0≤t≤2）； ②当2＜t≤5时，点M在AD上，如图， 由①得， 又∵， ∴， ∴S＝﹣t+5（2＜t≤5）， 综上，当0≤t≤2时，；当2＜t≤5时，S＝﹣t+5； （4）不存在，理由如下： ∵△ADE∽△QPE， ∴， ∵EF+EC′＝AB＝4， ∴EF＝1， ∵CD∥EF， ∴∠PEF＝∠PDC，∠PFE＝∠PCD， ∴△PEF∽△PDC， ∴， ∴， ∵， ∴当C′、P′、E三点在同一条直线上时，四边形CDC′F为矩形，如图， ∴CF＝C′D， 由旋转得C′D＝CD＝4， ∴， ∴， ∵0＜t≤5， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t，使C'、P'、E三点在同一条直线上． 38．（2026•柯城区一模）如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A，C，连结AB，BC，CD，AD，过点B作BF⊥AD于点F，交AC于点G． （1）如图2，若BF经过点O． ①求证：BG＝BC； ②若，，求⊙O的半径； （2）若AC＝BD，，，求y关于x的函数表达式． 【解答】（1）①证明：∵AC⊥BD，BF⊥AD， ∴∠BEG＝∠AFG＝90°， ∵∠BGE＝∠AGF， ∴∠GBE＝∠GAF， ∵∠CBD＝∠GAF， ∴∠GBE＝∠CBD， ∵∠BEG＝∠BEC＝90°，BE＝BE， ∴△BEG≌△BEC（ASA）， ∴BG＝BC； ②解：连接OD， ∵BF⊥AD．BF经过点O， ∴AF＝DF， ∴BF垂直平分AD， ∴∠ABF＝∠DBF， ∵tan∠GAF， ∴tan∠GAF， 设GF＝a，AF＝2a． ∴GF2+AF2＝AG2，即a2+（2a）2＝（）2，解得a＝1， ∴GF＝1．AF＝2， ∵∠ABF＝∠DBF＝∠GAF， 在Rt△ABF中，tan∠ABF， ∴BF＝4， 令OB＝r，则OF＝4﹣r，DF＝ AF＝2，．在Rt△OFD中，由勾股定理得22+（4﹣r）2＝12，解得r＝2.5； （2）解：①当点E靠近点D时， ∵AC＝ BD， ∴， ∴， ∴∠BAE＝∠DBA＝∠EDC＝∠ECD． ∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝∠CED＝90°， ∴△ABE和△CDE均为等腰直角三角形， ∴AE＝BE．DE＝CE． ∵BG＝BC，BE⊥GC， ∴GE＝CE， ∴GE＝CE＝DE， 设GE＝CE＝DE＝a，则AG＝ax， ∴AE＝AG+GE＝ax+a， ∴BE＝AE＝ax十a， ∴BD＝ BE+DE＝ax+2a， ∴y； ②当点E靠近点B时， 同理可证△BEC和△AED均为等腰直角三角形， 令BE＝CE＝EG＝a，AG＝ax，AE＝DE＝ax+a， ∴BD＝BE+DE＝ax+2a， ∴y， 综合上得：y或y． 39．（2026•泰和县校级一模）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知△ABC是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在BC同侧增加特殊图形． 特例研究 （1）如图1，当四边形BCDE是正方形时，点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC，则相似比为　　 ． （2）如图2，当四边形BCDE是矩形时，ED经过AB的中点F，△EBF与△ABC是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 （3）如图3，当四边形BCDE是菱形时，以BE为直角边，点E为直角顶点，在BE边右侧再作一个等腰直角三角形BEF，连接EA，CF，求EA，CF所在直线的夹角（锐角）的度数． （4）若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究CF与CD之间的数量关系． 【解答】解：（1）∵四边形BCDE为正方形， ∴∠E＝∠BCD＝90°，BC＝BE＝CD， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∵点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC， ∴，即相似比为， 故答案为：； （2）△EBF与△ABC相似；理由如下： ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∵四边形BCDE为矩形， ∴∠EBC＝∠E＝90°， ∴∠EBF＝∠EBC﹣∠ABC＝45°， ∴△EBF为等腰直角三角形， 设EB＝EF＝a， 由勾股定理得：， ∵ED经过AB的中点F， ∴， ∵∠E＝∠A＝90°，∠EBF＝∠ABC＝45°， ∴△EBF∽△ABC， ∴，即相似比为； （3）如图3，延长EA交BF于点H，交FC的延长线于点G， ∵△BEF、△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BEF＝∠BAC＝90°，∠EBF＝∠ABC＝45°，AB＝AC，BE＝EF， 在直角三角形BEF中，由勾股定理得：， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∵∠EBF﹣∠ABF＝∠ABC﹣∠ABF， ∴∠EBA＝∠FBC， ∴△EBA∽△FBC， ∴∠BEA＝∠BFC， ∵∠BEH+∠EBH+∠BHE＝180°，∠GFG+∠GHF+∠G＝180°，∠BHE＝∠GHF， ∴∠G＝∠EBH＝45°， 即EA，CF所在直线的夹角（锐角）的度数为45°； （4）由（1）可得：△EBA∽△FBC， ∴， ∴， ∵A，D，E三点在同一条直线上， ∴分两种情况：如图4，当DE在直线AB右侧时， 设BC＝2b，则，BE＝CD＝DE＝2b， 作AN⊥BC于N，EM⊥BC于M， ∴AN∥EM， ∵DE∥BC， ∴四边形ANME为平行四边形， ∵EM⊥BC， ∴四边形ANME为矩形， ∴AE＝MN，AN＝EM， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图5，当DE在直线AB左侧时，作AN⊥BC于N， 则， 设AN＝BN＝CN＝c，则BC＝2c， ∴CD＝BC＝DE＝2c， 作DM⊥BC于M， 同理可得：四边形ADMN为矩形， ∴AN＝DM＝c，AD＝MN， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 40．（2026•定边县一模）根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接AE、AF、EF，若BE+DF＝EF，则∠EAF的度数为　45　 °； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DG∥AB，连接AG交BC于点E，交AG于点F，求证：BE＝2DF； 【问题解决】 （3）如图3，矩形ABCD是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的△AEF区域种植鲜花，BC边上的点F处是入口，CD边上的点E处有一口水井，EG是从E到AF边修的一条地下水管，在点D处修建一个观景台．已知，求观景台D到水井E的距离DE．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， 如图，将△ABE逆时针旋转90度得到△ADG，可知BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵BE+DF＝EF， ∴GD+DF＝GF＝EF， ∵AE＝AG，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF， 即∠EAF＝∠BAE+DAF， ∴， 故答案为：45； （2）证明：∵∠BAD＝90°，DG∥AB， ∴∠ADG＝180°﹣∠BAD＝90°． 在Rt△ADG中，， ∴AD＝2DG． 则AB＝2DG． ∵DG∥AB，DF∥BC， ∴∠BAE＝∠DGF，∠AEB＝∠GFD， ∴△ABE∽△GDF， ∴， ∴BE＝2DF； （3）解：延长CB至点M，使得，连接AM． ∴． ∵四边形ABCD是矩形，AD＝100，AB＝50， ∴． ∵， ∴△ABM∽△ADE， ∴， ∴，即∠MAE＝90°． 过点E作EN∥AM交AF的延长线于点N，则∠AEN＝180°﹣∠MAE＝90°， 在Rt△AEN中，， ∴． ∵EG∥BC，AM∥EN， ∴∠AFM＝∠EGF，∠MAF＝∠N． 在△AMF和△NEG中，∠AFM＝∠NGE，∠MAF＝∠N，AM＝NE， ∴△AMF≌△NEG（AAS）， ∴MF＝EG＝70，则． 延长EG交AB于点H，可知四边形ADEH是矩形， 则AH＝DE，EH＝AD＝100， ∴HG＝EH﹣GE＝30． 由EH∥BC得∠AGH＝∠AFB． ∵∠HAG＝∠BAF， ∴△AHG∽△ABF， ∴，即AH•BF＝AB•HG， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 综上可得观景台D到水井E的距离DE为． 41．（2026•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点． （1）已知A（3，0），B（5，0）， ①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 P1，P3 ； ②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围； （2）已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵P1（6，0），A（3，0）， ∴P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为（，0）， ∴P1是线段AB的融合点； ∵P2（1，﹣2），B（5，0）， 设直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（a，0）， ∴（a﹣1）2+4＝（5﹣a）2， 解得a， ∴直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（，0）， ∴P2不是线段AB的融合点； ∵P3（3，2），B（5，0）， 设直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（b，0）， ∴（b﹣3）2+4＝（5﹣b）2， 解得b＝3， ∴直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（3，0）， ∴P3是线段AB的融合点； 故答案为：P1，P3； ②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部， ∵A（3，0），B（5，0）， ∴AB＝2， 当y＝t与圆相切时，t＝2或t＝﹣2， ∴﹣2≤t≤2时，直线y＝t上存在线段AB的融合点； （2）由（1）可知，A'B'的融合点在以A'、B'为圆心，A'B'为圆心的圆及内部， ∵A（a，0），B（a+1，0）， ∴AB＝A'B'＝1， ∵⊙O上有A'B'的融合点， ∴圆O与圆A'、B'有交点， ∴圆O与圆A'、圆B'的公共区域为以O为圆心2为半径，以T为圆心的圆环与圆O有交点，临界情况是圆内含时， 当a＞0时，a的最大值为，最小值为11， ∴1≤a； 当a＜0时，a的最大值为，最小值为11， ∴1≤a； 综上所述：a的取值范围为1≤a或1≤a． 42．（2026•东方一模）（1）【证明推断】如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的动点（与点B、D不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G． ①求证：△ABE≌△FGE； ②直接写出的值． （2）【类比探究】如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变． ①若AB＝3，BC＝4，求的值； ②若AB＝m•BC，直接写出的值（用含m的代数式表示）． （3）【拓展运用】如图3，在矩形ABCD中，点E是对角线BD上一点（与点B、D不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F、G，连接CE，当AB＝2，BC＝4，CE＝CD时，求BF的长． 【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ABE＝∠GBE＝45°， ∵EF⊥AE，EG⊥BD， ∴∠AEF＝∠BEG＝90°， ∴∠AEF﹣∠BEF＝∠BEG﹣∠BEF，∠G＝90°﹣∠EBG＝45°， ∴∠AEB＝∠FEG，∠ABE＝∠EBG＝∠G， ∴BE＝EG， 在△ABE和△FGE中， ， ∴△ABE≌△FGE（ASA）； ②解：；理由如下： 由①知：△ABE≌△FGE， ∴EF＝AE， ∴； （2）解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠C＝90°， 由（1）得，∠AEB＝∠FEG， ∵∠ABC＝∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠BFE＝180°， ∵∠BFE+∠EFG＝180°， ∴∠EFG＝∠BAE， ∴△ABE∽△FGE， ∴， ∵∠BEG＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠CBD， ∴△BEG∽△BCD， ∴， ∴， ∴； ②；理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠C＝90°， 同①理可证∴△ABE∽△FGE， ∴， ∵∠BEG＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠CBD， ∴△BEG∽△BCD， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作CH⊥BD于H， ∵AB＝CD＝2，BC＝4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵CE＝CD，CH⊥BD， ∴， ∴， ∵∠BEG＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠CBD， ∴△BEG∽△BCD， ∴， ∴， ∴BG＝3， 由（2）知△ABE∽△FGE， ∴， ∵△BEG∽△BCD， ∴， ∴， ∴， ∴FG＝1， ∴BF＝BG﹣FG＝3﹣1＝2． 43．（2026•项城市一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D在边AB上，连接BE． （1）求证：△BCE∽△ACD； （2）若BE＝8，BD＝6，求AC的长； （3）过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，直接写出的值． 【解答】（1）证明：将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D在边AB上， ∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠ECD， ∴∠ACD＝∠BCE，， ∴△BCE∽△ACD； （2）解：由（1）可知，△BCE∽△ACD， ∴∠CBE＝∠A，， ∵∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠DBE＝90°， ∴在Rt△DBE中，， ∴AB＝ED＝10， ∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4， ∴， ∴BC＝2AC， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴AC2+（2AC）2＝102， ∴； （3）解：由旋转的性质可知，CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝DCE＝90°， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵EF∥AB， ∴∠F+∠CAD＝180°， ∵∠CDB+∠CDA＝180°， ∴∠CDB＝∠F， ∵∠BCF＝∠BCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠ECF， 在△EFC和△BDC中， ， ∴△EFC≌△BDC（AAS）， ∴CF＝CD， ∴CF＝AC， ∴． 44．（2026•蒲县一模）综合与探究 问题情境：在四边形ABCD中，E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在对角线AC所在直线上的点F处． （1）猜想证明：如图1，当四边形ABCD是正方形时，延长EF交线段CD于点G，猜想FG与FC的数量关系，并说明理由． （2）类比探究：如图2，当四边形ABCD是菱形时，延长EF交线段CD于点G，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用：当四边形ABCD是菱形时，直线EF交直线CD于点G，若AB＝2CF＝4，请直接写出线段DG的长． 【解答】解：（1）FG＝FC．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴． ∵将△ABE沿AE折叠，点B落在对角线AC所在直线上的点F处， ∴∠AFE＝∠B＝90°， ∴∠CFG＝∠AFE＝90°， ∴∠FGC＝90°﹣∠ACG＝45°＝∠FCG， ∴FG＝FC； （2）（1）中结论仍然成立． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AD＝CD， ∴∠ACD＝∠DAC． ∵将△ABE沿AE折叠，点B落在对角线AC所在直线上的点F处， ∴∠B＝∠AFE， 又∠CFG＝∠AFE， ∴∠CFG＝∠B＝∠D， ∴∠CFG+∠FCG+∠FGC＝180°，∠D+∠ACD+∠DAC＝180°， ∴∠FCG＝∠FGC， ∴FG＝FC； （3）DG的长为1或5．理由如下： 分两种情况讨论： ①如图1，当点F在线段AC上时． ∵∠GFC＝∠AFE＝∠B，∠ACD＝∠BCA， ∴△GFC∽△ABC， ∴． ∵AC＝AF+FC＝AB+FC＝6，BC＝AB＝4， ∴， ∴CG＝3， ∴DG＝CD﹣CG＝1． ②如图2，当点F在AC延长线上时． ∵∠GFC＝∠B，∠GCF＝∠ACD＝∠BCA， ∴△GFC∽△ABC， ∴． ∵AC＝AF﹣FC＝AB﹣FC＝2，BC＝AB＝4， ∴， 解得：CG＝1， ∴DG＝CD+CG＝5． 综上所述，DG的长为1或5． 45．（2026•永州一模）如图，抛物线与直线y＝x+m交于B（6，0）和C（0，﹣6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点． （1）求m的值； （2）如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值； （3）如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标； （4）如图3，将OA绕点O旋转至OA′，连接BA′，CA′，试求出的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线与直线y＝x+m交于点C（0，﹣6）， ∴﹣6＝0+m， 解得m＝﹣6； （2）由（1）知直线BC 的解析式为y＝x﹣6， ∵P是直线BC下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作PN平行于y轴交BC于N， ∴点N（a，a﹣6）， 那么， 则PN最大值为； （3）∵点C（0，﹣6）， ∴OC＝6， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线BC上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得x1＝﹣4，x2＝6， ∴点A（﹣4，0）， 设AD的解解析式为：y＝kx+b， 则， 解得： 则AD的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）在x轴取点P，使，连接A′P，CP，如图， 由旋转的性质得：OA′＝OA＝4， ∴， ∵OB＝6， ∴， ∴， ∵∠A′OP＝∠BOA′， ∴△A′OP∽△BOA′， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $