【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-14）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-14） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•定海区模拟）下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A．（﹣2026）2 B．﹣（﹣2026） C．﹣|﹣2026| D．2026﹣2 2．（2026•定海区模拟）如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，从左面看得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•定海区模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　） A．2.21×108 B．2.21×107 C．221×105 D．0.221×108 4．（2023•洪山区模拟）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a3÷a2＝a 5．（2026•定海区模拟）有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图象恰好属于同一部名著的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（2026•定海区模拟）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（2026•定海区模拟）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．（2026•定海区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AC，DE交于点O，则AO的长度为（　　） A． B． C． D． 9．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A、C在y轴、x轴上，B（2，1），将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形CO1A1B1绕着点B1顺时针旋转90°得到矩形C1O2A2B1，按此方式依次进行，则点A7的坐标为（　　） A．（11，0） B．（12，1） C．（14，2） D．（15，2） 10．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 11．（2026•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是射线BC上一动点，连接AP并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PA′，连接AA′，取AA′的中点Q，再连接PQ，A′C，CQ，DQ．则下列说法正确的是（　　） A．DQ的最小值为2 B．CQ+DQ的最小值为 C．A′C的最小值为 D．PQ+DQ的最小值为 12．（2026•锡山区一模）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 13．（2026•西安模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过A（﹣1，m），B（0，﹣1），C（3，m）三点，则4a+2b﹣c的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 14．（2026•合肥模拟）如图，半圆O的半径为2，半圆O1，O2经过点O，且分别与圆O切于点A，B，点C，D，E都是圆弧上的点．动点P从点O出发沿着圆弧，依次经过点C，B，D，A，E，最后回到点O．在运动过程中，点P运动的路程为x，∠POB的度数为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 15．（2026•深圳模拟）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图．以下四个结论中错误的是（　　） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1～3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 二．填空题（共15小题） 16．（2023•道里区三模）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处，连接CF和BF，延长BF交CD于点G，AE和BG相交于点H，若∠FCG＝2∠GBC，AB＝5，，则BG的长为 　 　 ． 17．（2026•雁塔区校级一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，P是平面内一点，且DP＝1，连接BP、CP．将线段BP绕点P顺时针旋转90°得到线段B′P，连接AB′．当AB′取得最大值时，四边形AB′BC的面积为　 　 ． 18．（2026•上蔡县模拟）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，△ABC中BC边的“中偏度值”为 　 　 ． 19．（2026•阜阳校级一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝ax2+bx+3，点M（﹣2，y1），N（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+3上，抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若y1＝3，则t＝　 　 ； （2）若a＞0，当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y2，t的取值范围是　 　 ． 20．（2025•新疆）对多项式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：k⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．已知正整数m，n为常数，记M＝m⊗（x2+31xy），N＝n⊗（y2﹣14xy），若M⊕N不含xy项，则mn＝　 　 ． 21．（2026•石家庄一模）如图，正方形ABCD和等边三角形EFG内接于⊙O，顶点E在上，． （1）当点E和点D重合时，∠CDF的度数为　 　 ； （2）当点F在BC的中点时，设EF，FG分别交BC于点M，N，的长为　 　 cm． 22．（2026•芜湖二模）如图，已知矩形ABCD，连接BD，点P是AD上一点，且∠PBD＝∠CBD． （1）若AB＝4，BC＝6，则AP＝　 　 ； （2）连接CP交BD于点Q，若CQ＝CD，则　 　 ． 23．（2026•鸠江区校级一模）对于正整数n，有一种变换，当n为奇数，变换方式为3n+1，当n为偶数，变换方式为n÷2，经过变换得到新的正整数，再进行相同的变换直到结果为1时停止．我们把一个正整数通过上述变换得到1所经过的变换次数记为m．例如，4经过2次变成1，则m＝2；5经过5次变成1，则m＝5． （1）若输入n＝6，则m的值为　 　 ； （2）若输入正整数n，且m＝7，则所有满足题意的n值的和为　 　 ． 24．（2026•商水县模拟）已知菱形ABCD中AB＝2，∠ABC＝60°，对角线交于点O，点P为线段OD上一动点，连接AP，将△APD沿AP折叠得到对应△APE，AE与BD交于点Q，当AE与菱形的边垂直时，线段BQ的长度为　 　 ． 25．（2026•颍泉区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E是对角线BD上一点，且5DE＝3BE，点F是DC上一点，若∠EFC＝∠DBC，则EF的长为　 　 ． 26．（2026•蜀山区校级一模）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）． （1）n＝　 　 ；（用含m的代数式表示） （2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2成立，设抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M（xM，yM），N（xN，yN）两点，点P为抛物线顶点，连接PM，PN，则△PMN的面积为　 　 ． 27．（2026•锡山区一模）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”，则对于①等边三角形②直角三角形，一定是“方倍三角形”是　 　 （填①或②或①②）．如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，则△PDC的面积为　 　 ． 28．（2026•西安模拟）如图，在梯形ABED中，AD∥BE，AB⊥BE，AB＝8，点C、M分别是边BE、DE上的点，连接AM、CM，MC＝ME，AD＝BC，若△ADM和△CEM的面积之和为12，则BE的长为　 　 ． 29．（2026•合肥模拟）如图，O为坐标原点，点A，B在坐标轴上，四边形OACB是矩形，且点C在函数y（x＞0）的图象上，边AC，BC与函数y的图象分别交于点M，N． （1）△AOM与△CON的面积之和为　 　 ； （2）若△MON为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为　 　 ． 30．（2026•深圳模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF，DE与AB交于点G．若G是DE的中点，正方形ADEF的面积为7，则AC•AG的值为 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•安徽模拟）在边长为4的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点E是AB边上的一个动点，连接EM并延长交射线CD于点F． （1）如图1，连接CM，当AE＝1时，求证：CM⊥EF； （2）过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG． （ⅰ）如图2，求证：MG＝2ME； （ⅱ）如图3，当△BEG∽△CGF时，求tan∠BGE的值． 32．（2026•雁塔区校级一模） （1）如图①，在正方形ABCD中，E为正方形CD边上一点，请画出一条线段MN，使得M在AD边上，N在BC边上，并且MN＝BE，MN⊥BE； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为CD边上的点，且CE＝2，连接BE，过BE的中点F作MN⊥BE交AD于点M，交BC于点N，求BN的长度； （3）某社区老年活动室为如图③四边形ABCD，其中AD∥BC，∠D＝90°，∠ABC＝60°，AB＝AD＝8m，点E为CD边上一点，连接BE，过BE的中点F作MN⊥BE交CB于点N，交AD于点M．为满足活动需求，想使花卉区域（四边形AMNB）的面积尽可能小．请问：是否存在面积最小的四边形AMNB？若存在，求四边形AMNB面积的最小值及此时CE的长；若不存在，请说明理由． 33．（2026•上蔡县模拟）在∠AOB的OA边上取点C，过点C分别向∠AOB的平分线和OB边所在直线作垂线，垂足分别为D，F，再过点D向OB边作垂线，垂足为E． （1）观察猜想 ①如图1，当∠AOB＝60°时，则∠DCF的度数为　 　 ； ②如图2，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CF，DE的数量关系　 　 ； （2）类比探究 如图3，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 当60°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，射线DF与射线CO交于点P．若，DE＝2，直接写出OF的长． 34．（2026•阜阳校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为． （i）求该二次函数的表达式； （ii）若M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证：． 35．（2025•东莞市一模）【问题提出】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值． 36．（2026•石家庄一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝4cm，以BC为直径向左侧作半圆O，交斜边AC于点D． （1）BC＝　 　 cm，AC＝　 　 cm，求图1中阴影部分的面积； （2）如图2，将半圆O（包含直径BC）沿着射线AB方向平移得到半圆O1，直径记作B1C1，当半圆O1和直线AC相切时，求半圆O平移的距离； （3）如图3，在（2）的条件下将半圆O1绕着点B1逆时针旋转得到半圆O2，直径记作B1C2，设旋转角度为α（0°≤α≤90°）． ①当点C2到直线AC的距离最大时，求α的值； ②如图4，记半圆O2和直径B1C2构成的封闭图形为W，斜边AC的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出α的取值范围．（参考数据：tan41°，cos39°） 37．（2026•肥东县校级一模）在平面直角坐标系中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当y1＝y2＝0时，求AB的长； （3）若对于x1+x2＜﹣3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 38．（2026•鸠江区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5（a＞0）经过点A（2，﹣5），对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点B（m，﹣6）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，将此抛物线向上平移h个单位长度，得到新的抛物线．当﹣2≤x≤0时，新抛物线对应的二次函数的最小值为y1，当0≤x≤4时，二次函数的最大值为y2，若y1+y2＝10，求h的值； （3）在（2）的条件下，设平移后新的抛物线与直线y＝n相交于（x1，n），（x2，n）两点，且n≠0，求证：． 39．（2026•商水县模拟）综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． （1）初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是　 　 （填序号）． ①矩形； ②正方形； ③菱形； ④平行四边形． （2）性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD，若BC＞CD，求证：四边形ABCD为“豫式四边形”． （3）拓展应用 如图3，△ABC中∠B＝90°，AB＝BC＝1，在直线AC的右上方存在点D，使得四边形ABCD为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为60°时，请直接写出CD的长． 40．（2026•颍泉区校级一模）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2025）（b，c为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有，求m，n的值． 41．（2026•蜀山区校级一模）某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状．在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头A到水面x轴的距离为2m，抛物线C1；C2是从喷水头A处喷出的两股水流．经测量得，抛物线C2的最高点C距离水面2.5m，且与喷水头A的水平距离为2m，设抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距水面的高度． （1）求抛物线C2的表达式； （2）若抛物线C1可以看作是C2向左平移n个单位长度得到的． ①求n的值； ②求抛物线C1与x轴的交点B的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线C1，C2之间（阴影区域）飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于0.5m（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头A的水平距离为km，直接写出k的取值范围． 42．（2026•锡山区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝2OA，C点坐标（0，﹣2），连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在图1中，点D（x，y）是线段BC下方抛物线上一动点，连接DO交线段BC于E点，设，当∠ACD＝90°时，求k的值； （3）如图2，在线段BC上方有一条动直线EF始终与线段BC平行，且与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交于E、F两点，直线CE与BF交于点P，△BCP的面积能否为4，若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 43．（2026•西安模拟）问题提出 （1）如图①，矩形ABCD的对角线AC的长为8，⊙D的半径为2，点E是⊙D上的动点，则点B、E之间的最大距离为　 　 ； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，点B关于AC的对称点为点D，点G、F在AC上，连接BG并延长到点E，连接DE、DF、BF，若四边形FGED是平行四边形，求证：BF＝BG； 问题解决 （3）如图③，某区计划将△ABC区域建成一个户外健身区，AB＝AC＝500m，BC＝600m．现要在线段BC上找两点D、E（D、E是BC上的动点，点D在点E的左侧），DE＝300m，点F是一个出入口，且点F是AC的中点，连接AD、EF，为方便市民出入，沿四边形ADEF的四边修建人行通道．以DE为直径在BC下方作半圆O（半圆O随着DE移动而移动），将半圆O建成公园绿地运动区，点P是半圆O上的一个动点，从A到P沿直线修建一条塑胶跑道．设计人员要求在人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短的条件下，塑胶跑道AP的长度尽可能的长．请你帮设计人员求出当人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短时，塑胶跑道AP的最大长度．（人行通道与塑胶跑道的宽度均忽略不计） 44．（2026•合肥模拟）如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线y＝﹣2x2﹣4x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c位似，它们的顶点A，B是其中一对对应点，它们与y轴的交点C，D也是一对对应点，位似中心为坐标原点O，位似比为． （1）求a，b，c的值； （2）点P为抛物线y＝ax2+bx+c上一点，且在点B，D之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线OP将四边形ACBD分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求△ACP面积的最小值． 45．（2026•深圳模拟）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”． 【性质探究】 小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA，OC． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，　 　 ， ∴，OC＝　 　 ， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． 【性质应用】 （2）如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E． ①求证：四边形APED是“对直四边形”； ②若AB＝8，AD＝6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长． 【拓展提升】 （3）如图4，在矩形ABCD中，AB＝kBC（k为正实数）．点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F．请求出的值（用含k的式子表示）． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-14） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B D C A B A D D B 题号 12 13 14 15 答案 D C D C 一．选择题（共15小题） 1．（2026•定海区模拟）下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A．（﹣2026）2 B．﹣（﹣2026） C．﹣|﹣2026| D．2026﹣2 【解答】解：A．（﹣2026）2＝20262＞0，故本选项不符合题意； B．﹣（﹣2026）＝2026＞0，故本选项不符合题意； C．|﹣2026|＝2026，﹣|﹣2026|＝﹣2026＜0，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2026•定海区模拟）如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，从左面看得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：这个几何体都是左视图为：． 故选：B． 3．（2026•定海区模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　） A．2.21×108 B．2.21×107 C．221×105 D．0.221×108 【解答】解：22100000＝2.21×107． 故选：B． 4．（2023•洪山区模拟）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a3÷a2＝a 【解答】解：A．a2与a3不是同类项，无法合并，则A不符合题意； B．a2•a3＝a5，则B不符合题意； C．（﹣a2）3＝﹣a6，则C不符合题意； D．a3÷a2＝a3﹣2＝a，则D符合题意； 故选：D． 5．（2026•定海区模拟）有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图象恰好属于同一部名著的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将孙悟空记为A，猪八戒记为B，诸葛亮记为C，关羽记为D，张飞记为E，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，作树状图如下： ∵一共有20种等可能的情况， 其中（A，B）、（B，A）、（C，D）、（C，E）、（D，C）、（D，E）、（E，C）、（E，D）共有8种可能的情况的两张图片的人物恰好属于同一部名著， ∴P（两张图片的人物恰好属于同一部名著）， 故选：C． 6．（2026•定海区模拟）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意得： ； 故选：A． 7．（2026•定海区模拟）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵a＜0， ∴抛物线的开口方向向下， 故第三个选项错误； ∵c＜0， ∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上， 故第一个选项错误； ∵a＜0、b＞0，对称轴为x0， ∴对称轴在y轴右侧， 故第四个选项错误． 故选：B． 8．（2026•定海区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AC，DE交于点O，则AO的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝6， ∵AB＝4， ∴， ∵AD∥EC， ∴△AOD∽△COE， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴AD＝BC＝2CE， ∴2， ∴． 故选：A． 9．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A、C在y轴、x轴上，B（2，1），将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形CO1A1B1绕着点B1顺时针旋转90°得到矩形C1O2A2B1，按此方式依次进行，则点A7的坐标为（　　） A．（11，0） B．（12，1） C．（14，2） D．（15，2） 【解答】解：∵B（2，1）， ∴在矩形OABC中，A（0，1），AB＝OC＝2，BC＝AO＝1， ∵第一次将矩形OABC绕右下角顶点C顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C，且A1O1＝AO＝1，O1C＝OC＝2， 第二次再将矩形O1A1B1C绕右下角顶点B1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B1C1，且B1O＝CO+B1C＝3， …， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1， ∴依此规律，A1（3，2），A2（5，0），A3（6，1），A4（9，2），A5（11，0），A6（12，1），A7（15，2）， 故选：D． 10．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【解答】解：设，则E点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得x＝2m， ∴， ∴B点横坐标为3m， ∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式， 得， ∴， ∴， ∵△AEF的面积为2， ∴△ACF的面积为4， ∵AB＝3m﹣m＝2m， ∴， 解得k＝6． 故选：D． 11．（2026•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是射线BC上一动点，连接AP并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PA′，连接AA′，取AA′的中点Q，再连接PQ，A′C，CQ，DQ．则下列说法正确的是（　　） A．DQ的最小值为2 B．CQ+DQ的最小值为 C．A′C的最小值为 D．PQ+DQ的最小值为 【解答】解：如图，连接BQ，过D作DQ′⊥BQ交BQ的延长线于Q′，BQ′与AD交于点E， 在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵∠APA′＝90°，AP＝A′P，Q为AA′的中点， ∴∠AOP＝90°＝∠ABP，∠PAO＝∠APO＝45°， ∴A，B，P，Q四点在同一个圆上， ∴∠QBP＝∠OAP＝45°， ∴点Q在射线QE上， ∴当点Q运动到Q′时，此时DQ最短， 如图，当Q，E重合，A′，D重合时， 此时四边形ABPE是正方形，则AB＝AE＝2，∠ABE＝∠AEB＝45°＝∠DEQ′， ∴DE＝AD﹣AE＝2， ∴， ∴当Q，Q′重合时，DQ的最小值为， ∴A选项错误． 如图所示，作点D关于直线BQ的对称点D′，连接D′Q，则DQ＝D′Q， 当C，Q，D′三点共线时，此时CQ+DQ＝CD′最小． 延长CD交BQ于点F，则△DEF为等腰直角三角形， 即DF＝DE＝2， 连接D′F，则D′F＝DF＝2， ∴，所以B选项正确． 如图，过A′作A′H⊥BC于H，取BC的中点M，则BM＝CM＝2， ∵将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PA′， ∴PA＝PA′，∠APA′＝90°， ∵∠APB+∠BAP＝∠APB+∠A′PH＝90°， ∴∠BAP＝∠A′PH， 又∠ABP＝∠A′HP＝90°， 在△ABP与△PHA′中， ， ∴△ABP≌△PHA′（AAS）， ∴PH＝AB＝2，BP＝A′H， ∴BM﹣PM＝PH﹣PM， ∴BP＝MH， ∴MH＝A′H， ∴△A′MH是等腰直角三角形， ∴∠A′MH＝45°， 又∵CD＝CM＝2，∠MCD＝90°， ∴∠CMD＝45°， ∴M，A′，D共线， ∴， ∴A′在射线MD上运动， ∴当CA′⊥MD时，CA′最小， ∴， ∴A′C的最小值为， ∴C选项错误． ∵△AA′P为等腰直角三角形，Q为AA′的中点， ∴PQ＝AQ， ∵要使PQ+DQ取得最小，即AQ+DQ最小， 如图，当Q移动到AD上时，AQ+DQ的值最小，最小值为AD＝4． 即PQ+DQ的最小值为4， ∴D选项错误， 故选：B． 12．（2026•锡山区一模）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①不正确； ∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴b＝4a， ∵A（2，0）在抛物线上， ∴4a+2b+c＝0， ∴4a+8a+c＝0， ∴c＝﹣12a， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣12a＜﹣2， ∴，故②正确； 如图，设直线x＝﹣2与x轴交于点E， 依题意，AE＝EC， 当△ACD是直角三角形时，∠ADC＝90°， ∴DE＝AE＝4， ∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴点D的纵坐标为：4a﹣2b+c＝4a﹣2×4a+c＝c﹣4a＝﹣12a﹣4a＝﹣16a， ∵， ∴﹣4＜﹣16a， 即， ∴△ACD是钝角三角形，故③正确； ∵， ∴时，，c＝﹣12a＝﹣2， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0为， 解得：， 当时，b＝4a＝1，c＝﹣12a＝﹣3， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0为， 解得：x＝﹣2或6， ∴若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则，，故④正确； 综上所述：②③④正确， 故选：D． 13．（2026•西安模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过A（﹣1，m），B（0，﹣1），C（3，m）三点，则4a+2b﹣c的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【解答】解：由题知， 因为二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过A（﹣1，m），C（3，m）， 所以抛物线的对称轴为直线x， 则， 所以b＝﹣2a． 将点B坐标代入二次函数解析式得， c＝﹣1， 所以4a+2b﹣c＝4a+2×（﹣2a）﹣（﹣1）＝1． 故选：C． 14．（2026•合肥模拟）如图，半圆O的半径为2，半圆O1，O2经过点O，且分别与圆O切于点A，B，点C，D，E都是圆弧上的点．动点P从点O出发沿着圆弧，依次经过点C，B，D，A，E，最后回到点O．在运动过程中，点P运动的路程为x，∠POB的度数为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：半圆O1，O2的半价均为1，弧长均为π，半圆O的弧长为2π， ①当点P在半圆O2上时，连接O2P， ∵O2P＝OO2， ∴∠O2PO＝∠POB＝y， ∴∠PO2O＝180°﹣2y， ∴x， ∴y＝90， ∴函数图象为y随x的增大而减小的一条线段； ②当点P在半圆O上时，的长度为x﹣π， ∴x﹣π， ∴y90， ∴函数图象为y随x的增大而增大的一条线段； ③当点P在半圆O1上时，的长度为4π﹣x， ∵∠POB＝y， ∴∠POO1＝180°﹣y， ∵O1P＝O1O， ∴∠O1PO＝∠POO1＝180°﹣y， ∴∠PO1O＝180°﹣2（180°﹣y）＝2y﹣180°， ∴4π﹣x， ∴yx+450， ∴函数图象为y随x的增大而减小的一条线段． 故选：D． 15．（2026•深圳模拟）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图．以下四个结论中错误的是（　　） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1～3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 【解答】解：将条形图中的天数相加等于56，故A说法正确，但不符合题意； 观察折线统计图前3期的成绩，李明用时比王华少，所以李明比王华跑得快，故B说法正确，但不符合题意； 观察折线统计图在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期和第5期的测试成绩比较接近，且第2期相差12.7﹣12.58＝0.12（秒），第5期相差11.83﹣11.74＝0.09（秒），所以在这5期集训期间，李明、王华两人在第5期的测试成绩最为接近，故C说法错误，符合题意； 观察条形统计图，相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大，故D说法正确，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 16．（2023•道里区三模）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处，连接CF和BF，延长BF交CD于点G，AE和BG相交于点H，若∠FCG＝2∠GBC，AB＝5，，则BG的长为 　　 ． 【解答】解：∵将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处， ∴点F与点B关于直线AE对称，∠AEF＝∠AEB， ∴AE垂直平分BF， ∴BH＝FH，∠AHB＝∠BHE＝90°， ∵点E是BC的中点，BC＝2， ∴BE＝CEBC， ∴CF∥EH，CF＝2EH， ∴∠BFC＝∠BHE＝90°， ∴FE＝CE＝BEBC，∠CFG＝90°， ∴∠GBC＝∠EFB，∠EFC＝∠ECF， ∴∠CEF＝∠GBC+∠EFB＝2∠GBC， ∵∠FCG＝2∠GBC， ∴∠FCG＝∠CEF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠CGF＝∠ABH， ∴∠FCG＝90°﹣∠CGF＝90°﹣∠ABH＝∠BAE， ∴∠CEF＝∠BAE， ∵∠EFC＝∠AEF＝∠AEB， ∴△CEF∽△BAE， ∴∠ECF＝∠ABE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE＝5， ∵AB2﹣AH2＝BE2﹣EH2＝BH2， ∴52﹣AH2＝（）2﹣（5﹣AH）2， 解得AH＝4， ∴EH＝5﹣AH＝5﹣4＝1，BH3， ∴BF＝2BH＝6，CF＝2EH＝2， ∵∠CFG＝∠AHB＝90°，∠CGF＝∠ABH， ∴△CFG∽△AHB， ∴， ∵GFBH， ∴BG＝BF+GF＝6， 故答案为：． 17．（2026•雁塔区校级一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，P是平面内一点，且DP＝1，连接BP、CP．将线段BP绕点P顺时针旋转90°得到线段B′P，连接AB′．当AB′取得最大值时，四边形AB′BC的面积为　　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， 由勾股定理得：，且∠ABC＝45°， ∴， ∵线段BP绕点P顺时针旋转90°得到线段B′P， ∴∠BPB′＝90°，BP＝B′P， ∴∠PBB′＝45°，， ∴∠B′BA＝∠PBC，， ∴△B′BA∽△PBC， ∴，即， ∴当CP取最大值时，AB′最大， 又∵DP＝1， ∴点P在以点D为圆心，以DP长为半径的⊙D上，当点C、D、P在同一直线上时，CP取得最大值，此时PC⊥AB， ∴CP的最大值为， ∴AB′的最大值为， 如图，连接AP，过B′作B′E⊥AB于E， ∵PC⊥AB，AD＝BD， ∴PB＝PA＝PB′， ∴A，B，B′在⊙P上， ∵∠BPB′＝90°， ∴∠BAB′＝45°＝∠AB′E， ∴， ∴四边形AB′BC的面积为， 故答案为：． 18．（2026•上蔡县模拟）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，△ABC中BC边的“中偏度值”为 　6或　 ． 【解答】解：如图，AE为△ACB的中线， ∵∠ADC＝90°， 在Rt△ADC和Rt△ADB中， ， ， ∴BC＝14， ∵AE为△ACB的中线， ∴BE＝7， ∴DE＝BD﹣BE＝2， ∴； 如图，AE为△ACB的中线， ∵∠ADB＝90°， 在Rt△ADC和Rt△ADB中， ， ， ∴BC＝4， ∴BE2， ∴DE＝2+5＝7， ∴△ABC中BC边的“中偏度值”为：； 故答案为：6或． 19．（2026•阜阳校级一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝ax2+bx+3，点M（﹣2，y1），N（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+3上，抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若y1＝3，则t＝　﹣1　 ； （2）若a＞0，当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y2，t的取值范围是t≥0或t≤﹣4　 ． 【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得4a﹣2b＝0， 即2a＝b， 故对称轴为直线x＝t1， 故答案为：﹣1； （2）如图1、图2所示： 当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y2， 则有t﹣2≥﹣2或t+2≤﹣2， 解得t≥0或t≤﹣4． 故答案为：t≥0或t≤﹣4． 20．（2025•新疆）对多项式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：k⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．已知正整数m，n为常数，记M＝m⊗（x2+31xy），N＝n⊗（y2﹣14xy），若M⊕N不含xy项，则mn＝　15　 ． 【解答】解：∵k⊗A， ∴当k＝1时，1⊗A＝A＝（21﹣1）A； 当k＝2时，2⊗A＝A⊕A＝2A+A＝3A＝（22﹣1）A； 当k＝3时，3⊗A＝A⊕A⊕A＝3A⊕A＝2×3A+A＝7A＝（23﹣1）A； 当k＝4时，3⊗A＝A⊕A⊕A⊕A＝3A⊕A⊕A＝7A⊕A＝15A＝（24﹣1）A； …， ∴当k＝m时，m⊗A＝（2m﹣1）A，当k＝n时，n⊗A＝（2n﹣1）A， ∴M＝m⊗（x2+31xy）＝（2m﹣1）（x2+31xy），N＝（2n﹣1）（y2﹣14xy）， ∴M⊕N＝2M+N＝2（2m﹣1）（x2+31xy）+（2n﹣1）（y2﹣14xy） ＝（2m+1﹣2）x2+（2n﹣1）y2+[62•（2m﹣1）﹣14（2n﹣1）]xy， ∵M⊕N不含xy项， ∴62•（2m﹣1）﹣14（2n﹣1）＝0， ∴31（2m﹣1）﹣7（2n﹣1）＝0． 设2m＝a，2n＝b， 则：31a﹣7b＝24， ∴， ∵a，b均为2的整数幂，为偶数， ∴， ∴2m＝8，2n＝32， ∴， ∴mn＝15， 故答案为：15． 21．（2026•石家庄一模）如图，正方形ABCD和等边三角形EFG内接于⊙O，顶点E在上，． （1）当点E和点D重合时，∠CDF的度数为　15°　 ； （2）当点F在BC的中点时，设EF，FG分别交BC于点M，N，的长为　　 cm． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD和等边三角形EFG内接于⊙O，点E和点D重合， ∴AD＝DC，DG＝DF，∠ADC＝90°，∠GDF＝60°， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，正方形ABCD和等边三角形EFG内接于⊙O，，连接BD，OC，OE，OF， ∴∠BOC＝∠COD＝90°，， ∴OD＝6cm， ∵F是BC的中点，∠BOC＝∠COD＝90°， ∴∠COF＝45°， ∵等边三角形EFG内接于⊙O， ∴∠EGF＝60°， ∴∠EOF＝2∠EGF＝120°， ∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝120°﹣45°＝75°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣75°＝15°， ∴的长为． 22．（2026•芜湖二模）如图，已知矩形ABCD，连接BD，点P是AD上一点，且∠PBD＝∠CBD． （1）若AB＝4，BC＝6，则AP＝　　 ； （2）连接CP交BD于点Q，若CQ＝CD，则　　 ． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠PDB＝∠CBD， ∵∠PBD＝∠CBD， ∴∠PBD＝∠PDB， ∴BP＝DP， 设AP＝x，则BP＝DP＝6﹣x， 在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2， 即42+x2＝（6﹣x）2， 解得， 则； （2）∵CQ＝CD， ∴∠CDQ＝∠CQD， 又∵∠PBD＝∠CBD，∠CDQ+∠PDB＝∠ADC＝90°，∠CQD＝∠PQB， ∴∠PBD+∠PQB＝90°， ∴∠BPC＝90°， 设AP＝m，DP＝n，则BC＝AD＝m+n，BP＝DP＝n， ∴CP2＝CD2+DP2＝2n2﹣m2，AB2＝CD2＝BP2﹣AP2＝n2﹣m2， 在Rt△BPC中，BP2+CP2＝BC2， 即n2+2n2﹣m2＝（m+n）2， 整理得m2+mn﹣n2＝0， 即， 设，即t2+t﹣1＝0， 解得或（舍去）， ∴． 23．（2026•鸠江区校级一模）对于正整数n，有一种变换，当n为奇数，变换方式为3n+1，当n为偶数，变换方式为n÷2，经过变换得到新的正整数，再进行相同的变换直到结果为1时停止．我们把一个正整数通过上述变换得到1所经过的变换次数记为m．例如，4经过2次变成1，则m＝2；5经过5次变成1，则m＝5． （1）若输入n＝6，则m的值为　8　 ； （2）若输入正整数n，且m＝7，则所有满足题意的n值的和为　172　 ． 【解答】解：（1）根据题目给定的变换规则，依次计算变换直到得到1，统计变换次数即可得： 第1次变换：6为偶数，6÷2＝3≠1， 第2次变换：3为奇数，3×3+1＝10≠1， 第3次变换：10为偶数，10÷2＝5≠1， 第4次变换：5为奇数，3×5+1＝16≠1， 第5次变换：16为偶数，16÷2＝8≠1， 第6次变换：8为偶数，8÷2＝4≠1， 第7次变换：4为偶数，4÷2＝2≠1， 第8次变换：2为偶数，2÷2＝1，停止， 因此m＝8． 故答案为：8； （2）经过7次变换得到1，要求前6次变换结果均不为1，逆推规则为：若某次变换后结果为y，y由上一步x变换得到，则恒有x＝2y；若y﹣1能被3整除，且为大于1的奇数，则另有，逆推过程： 第0次（最终结果）：{1}， 逆推1次（第6次变换结果）：{2}， 逆推2次（第5次变换结果）：{4}， 逆推3次（第4次变换结果）：仅保留{8}，舍去x＝1， 逆推4次（第3次变换结果）：{16}， 逆推5次（第2次变换结果）：{32，5}， 逆推6次（第1次变换结果）：{64，10}， 逆推7次（初始n）：逆推64得128，21，逆推10得20，3， 所有符合条件的n为3，20，21，128， 故3+20+21+128＝172． 故答案为：172． 24．（2026•商水县模拟）已知菱形ABCD中AB＝2，∠ABC＝60°，对角线交于点O，点P为线段OD上一动点，连接AP，将△APD沿AP折叠得到对应△APE，AE与BD交于点Q，当AE与菱形的边垂直时，线段BQ的长度为　或　 ． 【解答】解：菱形ABCD，AB＝2，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝60°，∠ABD＝∠ADB＝∠BDC＝30°，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形， 当AE⊥BC时，如图，作QG⊥AB于点G， ∵△ABC为等边三角形， ∴， ∴∠BAE＝∠ABQ＝30°， ∴AQ＝BQ， ∴， ∴； 当AE⊥CD时，如图： 则∠DQF＝90°﹣∠BDC＝60°， ∵∠AQB＝∠DQF＝60°， ∴∠BAQ＝180°﹣∠BQA﹣∠ABQ＝90°， ∴； 综上：或． 故答案为：或． 25．（2026•颍泉区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E是对角线BD上一点，且5DE＝3BE，点F是DC上一点，若∠EFC＝∠DBC，则EF的长为　　 ． 【解答】解：连接EF，作EH⊥DC于点H，则∠DHE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝9，AD＝6， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝9，BC＝AD＝6， ∴BD3， ∵点E是BD上一点，且5DE＝3BE， ∴BEDE， ∴DEDE＝3， ∴DE， ∵sin∠BDC， ∴EH， ∵∠EFC＝∠DBC， ∴sin∠EFC＝sin∠DBC， ∴EF， 故答案为：． 26．（2026•蜀山区校级一模）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）． （1）n＝　﹣2m+1　 ；（用含m的代数式表示） （2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2成立，设抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M（xM，yM），N（xN，yN）两点，点P为抛物线顶点，连接PM，PN，则△PMN的面积为　　 ． 【解答】解：（1）将（1，5）代入得，1+2m+3+n＝5， 整理得n＝﹣2m+1； 故答案为：﹣2m+1； （2）由（1）可知n＝﹣2m+1， ∵x2+（2m+3）x+n≥3x+2， ∴x2+（2m+3）x+1﹣2m≥3x+2， 即x2+2mx﹣2m﹣1≥0， 令y'＝x2+2mx﹣2m﹣1， ∵对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2成立， ∴Δ＝4m2+8m+4＝4（m+1）2≤0， ∴m＝﹣1， ∴n＝﹣2m+1＝3， ∴抛物线解析式为y＝x2+x+3＝（x）2， ∴P（，）， 令x2+x+3＝4，即x2+x﹣1＝0， 则xM+xN＝﹣1，xM•xN＝﹣1， ∴MN＝|xM﹣xN|； ∴S△PMNMN•（4）； 故答案为：． 27．（2026•锡山区一模）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”，则对于①等边三角形②直角三角形，一定是“方倍三角形”是　①　 （填①或②或①②）．如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，则△PDC的面积为　22　 ． 【解答】解：设边长为a，则a2+a2＝2a2， 根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”； 直角三角形三边满足a2+b2＝c2， 根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”； ∴一定是“方倍三角形”是①； 延长BP交AD于点E，如图： ∵将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处， ∴△ABP≌△DBP， ∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP， ∵△ABD为“方倍三角形”， ∴BA2+BD2＝2AD2＝2BA2或AD2+BD2＝2BA2或BA2+AD2＝2BD2， ∴AD＝AB＝BD， ∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°， ∴∠ABP＝∠DBP＝30°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠PBC＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BPC＝45°， ∴∠APE＝45°， 由翻折可知∠DPE＝∠APE＝45°， ∴∠APD＝∠DPE+∠APE＝90°， ∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝15°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝45°， ∴△APD为等腰直角三角形， ∴AD＝2AB， ∵∠ABP＝∠PBD，AB＝BD， ∴BE⊥AD， ∴PEADAE， ∴BEAE， ∴BP＝BE﹣PE， ∵∠BPC＝∠ACB＝45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴PCBP＝22， ∴S△PDCPC•DP（22）×2＝22； 故答案为：①，22． 28．（2026•西安模拟）如图，在梯形ABED中，AD∥BE，AB⊥BE，AB＝8，点C、M分别是边BE、DE上的点，连接AM、CM，MC＝ME，AD＝BC，若△ADM和△CEM的面积之和为12，则BE的长为　6　 ． 【解答】解：连接CD，MB，取AB的中点H，连接MH， ∴BHAB8＝4， ∵AD∥BE，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB⊥BE， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵MC＝ME， ∴∠MCE＝∠E， ∵AD∥BE， ∴∠ADM+∠E＝180°， ∵∠BCM+∠MCE＝180°， ∴∠ADM＝∠BCM， ∴∠MDC＝∠MCD， ∴MD＝MC， ∵AD＝BC，∠ADM＝∠BCM，MD＝MC， ∴△ADM≌△BCM（SAS）， ∴AM＝MB， ∴△ADM的面积＝△BCM的面积， ∵△ADM和△CEM的面积之和为12， ∴△MBE的面积＝12， ∵MA＝MB，H是AB的中点， ∴MH⊥AB， ∵BE⊥AB， ∴MH∥BE， ∴△MBE的面积BE•BHBE×4＝12， ∴BE＝6． 故答案为：6． 29．（2026•合肥模拟）如图，O为坐标原点，点A，B在坐标轴上，四边形OACB是矩形，且点C在函数y（x＞0）的图象上，边AC，BC与函数y的图象分别交于点M，N． （1）△AOM与△CON的面积之和为　2　 ； （2）若△MON为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为　或　 ． 【解答】解：（1）∵四边形OACB为矩形， ∴S△AOC＝S△BOC． ∵点M和N都在反比例函数的图象上NB⊥y轴，MA⊥x轴， ∴S△BON＝S△AOM， ∴S△AOM+S△CON＝S△BON+S△CON＝S△BOC． 又∵点C在反比例函数y的图象上， ∴， 即△AOM与△CON的面积之和为2． 故答案为：2； （2）由题知， 当N为直角顶点时， 令点N坐标为（n，）， 则点C坐标为（4n，），点M坐标为（4n，）， 所以OB，BN＝n，CN＝3n，CM． 因为∠ONM＝∠OBN＝∠NCM＝90°， 所以∠BNO+∠CNM＝∠CNM+∠NMC＝90°， 所以∠BNO＝∠NMC， 所以△BNO∽△CMN， 所以， 即， 解得n， 所以点N的横坐标为， 同理可得，当点M为直角顶点时，点M的横坐标为， 综上所述，该三角形的直角顶点的横坐标为或． 故答案为：或． 30．（2026•深圳模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF，DE与AB交于点G．若G是DE的中点，正方形ADEF的面积为7，则AC•AG的值为 　7　 ． 【解答】解：设AD＝a， 在△ABC中，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点， ∵BD＝CD＝AD＝a， ∴∠C＝∠DAC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴EF＝AD＝AF＝DE＝a，∠E＝∠ADG＝∠DAF＝90°， ∵正方形ADEF的面积为7， ∴AD2＝a2＝7， ∵点G是DE的中点， ∴EG＝DE， 在△FEG和△ADG中， ， ∴△FEG≌△ADG（SAS）， ∴FG＝AG， ∴∠GAF＝∠GFA， ∵∠DAF＝∠BAC＝90°， ∴∠DAF﹣∠DAB＝∠BAC﹣∠DAB， ∴∠GAF＝∠DAC， ∴∠GAF＝∠DAC＝∠GFA＝∠C， ∴△GAF∽△DAC中， ∴， ∴， ∴AC•AG＝a2＝7， ∴AC•AG的值为7． 故答案为：7． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•安徽模拟）在边长为4的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点E是AB边上的一个动点，连接EM并延长交射线CD于点F． （1）如图1，连接CM，当AE＝1时，求证：CM⊥EF； （2）过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG． （ⅰ）如图2，求证：MG＝2ME； （ⅱ）如图3，当△BEG∽△CGF时，求tan∠BGE的值． 【解答】（1）证明：连接CE， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝DM， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAE＝∠CDM＝∠MDF＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵在△AME和△DMF中， ， ∴△AME≌△DMF（ASA）， ∴AE＝DF＝1，ME＝MF， ∴M为EF的中点，BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3，CF＝CD+DF＝4+1＝5， ∵Rt△BCE中，， ∴CE＝CF＝5， ∴点C一定在线段EF的垂直平分线上， 故CM⊥EF； （2）（ⅰ）证明：如图，过点G作GN⊥AD，交AD的延长线于点N， ∵四边形ABCD为正方形，M是AD边的中点， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，， ∵∠A＝∠B＝∠N＝90°， ∴四边形ABGN是矩形， ∴NG＝AB＝AD＝4， ∵GM⊥EF， ∴∠NMG+∠AME＝90°， 在Rt△MAE中，∠AEM+∠AME＝90°， ∴∠AEM＝∠NMG， ∵∠A＝∠N＝90°， ∴△AME∽△NGM， ∴， 即MG＝2ME； （ⅱ）解：由（1）可知△AME≌△DMF， ∴AE＝DF，ME＝MF， 又GM⊥EF， ∴GE＝FG， ∵△BEG∽△CGF， ∴， ∴BE＝CG，BG＝CF， 设BE＝CG＝x，则DF＝AE＝AB﹣BE＝4﹣x， CF＝BG＝BC+CG＝4+x， 又CF＝CD+DF＝4+4﹣x＝8﹣x， 则有4+x＝8﹣x， 解得x＝2， 即BE＝CG＝2， ∴． 32．（2026•雁塔区校级一模） （1）如图①，在正方形ABCD中，E为正方形CD边上一点，请画出一条线段MN，使得M在AD边上，N在BC边上，并且MN＝BE，MN⊥BE； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为CD边上的点，且CE＝2，连接BE，过BE的中点F作MN⊥BE交AD于点M，交BC于点N，求BN的长度； （3）某社区老年活动室为如图③四边形ABCD，其中AD∥BC，∠D＝90°，∠ABC＝60°，AB＝AD＝8m，点E为CD边上一点，连接BE，过BE的中点F作MN⊥BE交CB于点N，交AD于点M．为满足活动需求，想使花卉区域（四边形AMNB）的面积尽可能小．请问：是否存在面积最小的四边形AMNB？若存在，求四边形AMNB面积的最小值及此时CE的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，在AD上取点M，过点M作MN⊥BE，交BC于点N，则MN＝BE，MN⊥BE； 理由如下： 过点M作MG⊥BC，交BC于点G，交BE于点H， 在正方形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠BGM＝90°， ∴四边形ABGM是矩形， ∴AB＝MG＝BC， ∴∠MGN＝90°， ∵MN⊥BE， ∴∠MFH＝90°， ∵∠BHG＝∠MHF，∠HMF+∠MHF＝90°，∠HBG+∠BHG＝90°， ∴∠HBG＝∠HMF， 在△MGN和△BCE中， ， ∴△MGN≌△BCE（ASA）， ∴MN＝BE； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F是线段BE的中点，MN⊥BE，连接EN， ∴MN是BE的垂直平分线， ∴BN＝EN， 设BN＝EN＝a，则CN＝8﹣a， 在Rt△CEN中，由勾股定理得：EN2＝CN2+CE2， ∴a2＝（8﹣a）2+22， 解得：， ∴BN； （3）存在面积最小的四边形AMNB；理由如下： 如图③，过点A作AR⊥BC于R，过点F作PQ⊥AD，交AD于点P，交BC于点Q，连接AE， 设CE的长为xm，四边形AMNB的面积为ym2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠APQ＝∠C＝90°， ∴四边形CDPQ为矩形， ∴PQ∥CD， 同理，四边形CDAR是矩形， ∵∠ABC＝60°， ∴BR＝cos∠ABC•AB8＝4m，AR＝sin∠ABC•AB8＝4（m）， ∴AR＝CD＝PQ＝4m， ∴BC＝BR+CR＝4+8＝12（m）， ∵PQ∥CD，且点F是BE中点， ∴， ∴点Q是BC中点， ∴BQ＝CQ＝PD＝6m， ∴FQCExm， ∵∠BFN＝∠C＝90°， ∴∠BNF+∠NBF＝∠BEC+∠NBF＝90°， ∴∠BNF＝∠BEC， ∵∠FQN＝∠BCE＝90°， ∴△BCE∽△FQN， ∴，即， ∴QNm， ∵BN＝BQ+QN， ∴， ∵PF＝PQ﹣FQ， ∴PFm， ∵AD∥BC， ∴∠PMF＝∠BNF， ∵∠BNF＝∠BEC， ∴∠FMP＝∠BEC， 又∵∠MPF＝∠BCE＝90°， ∴△FPM∽△BCE， ∴， ∴， ∴PMm， ∵AP＝AD﹣PD＝AD﹣CQ， ∴AP＝8﹣6＝2（m）， ∴AM＝AP﹣PM ， ∴y＝S四边形AMNB ， ∵， ∴当时，y有最小值为， ∴存在面积最小的四边形AMNB，四边形AMNB面积的最小值为m2，此时CE的长为m． 33．（2026•上蔡县模拟）在∠AOB的OA边上取点C，过点C分别向∠AOB的平分线和OB边所在直线作垂线，垂足分别为D，F，再过点D向OB边作垂线，垂足为E． （1）观察猜想 ①如图1，当∠AOB＝60°时，则∠DCF的度数为　30°　 ； ②如图2，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CF，DE的数量关系CF＝2DE ； （2）类比探究 如图3，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 当60°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，射线DF与射线CO交于点P．若，DE＝2，直接写出OF的长． 【解答】解：（1）①如图1，OD是∠AOB的角平分线，∠AOB＝60°，设CF、OD相交于点M， ∴， ∵CF⊥OB，CD⊥OD， 在Rt△FOM中，∠FMO＝90°﹣∠BOD＝60°， ∵∠FMO＝∠CMD＝60°， ∴∠DCF＝90°﹣∠CMD＝30°， 故答案为：30°； ②如图2，OD平分∠AOB，延长CD交OB于点G， ∴∠COD＝∠GOD， ∵CD⊥OD， ∴∠ODC＝∠ODG， 又∵OD＝OD， ∴△ODC≌△ODG（ASA）， ∴， ∵CF⊥OB，DE⊥OB， ∴CF∥DE， ∴△GDE∽△GCF， ∴， ∴CF＝2DE， 故答案为：CF＝2DE； （2）补全图形，如图3即为所求； （1）中②的结论CF＝2DE依然成立； 证明：延长CD交OB于点G， 同理可得△ODC≌△ODG（ASA）， ∴， ∵CF⊥OB，DE⊥OB， ∴CF∥DE， ∴△GDE∽△GCF， ∴， ∴CF＝2DE； （3）或．理由如下： 当60°＜∠AOB＜90°时，如图4，延长CD交OB于点G，过点D作DQ∥OB交CO于点Q， 同（2）可得△ODC≌△ODG（ASA），△GDE∽△GCF， ∴CD＝DG，CO＝GO，EF＝EG，CF＝2DE＝4， 设EF＝EG＝a，OF＝x， ∴OG＝x+2a， ∵DQ∥OB， ∴△CQD∽△COG， ∴， ∴， ∵DQ∥OB，则DQ∥OF， ∴△PQD∽△POF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△COF中，CO＝GO＝x+2a，CF＝4，OF＝x， ∵CO2＝OF2+CF2， ∴（x+2a）2＝x2+42， 代入得，， 解得：（负值舍去），即； 当90°＜∠AOB＜180°时，如图5， 设EF＝EG＝a，OF＝x， ∴CO＝OG＝FG﹣OF＝2a﹣x，则， ∵DQ∥OB，则DQ∥OF， ∴△PQD∽△POF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△COF中，由勾股定理得：CO2＝OF2+CF2， ∴（2a﹣x）2＝x2+42， 代入得：， 解得：（负值舍去）即， 综上所述，或． 34．（2026•阜阳校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为． （i）求该二次函数的表达式； （ii）若M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证：． 【解答】解：（1）由条件可知二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为， ∴， ∴； （2）（ⅰ）∵， ∴当时，二次函数的最值为， ∴二次函数图象开口向下，即a＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为， ∴， 化简得，a3﹣b2﹣2a＝0， 由（1）知，， ∴b＝﹣a， ∴a3﹣a2﹣2a＝0， ∴a（a+1）（a﹣2）＝0， ∴a+1＝0或a﹣2＝0， ∴a＝﹣1或a＝2（舍去）， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2； （ⅱ）∵M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，不妨设x1＜x2， ∴二次函数的对称轴为直线， 由（1）知，二次函数y＝﹣x2+x+2的对称轴为直线， ∴，， ∴x1+x2＝1， ∵ ＝0， ∴． 35．（2025•东莞市一模）【问题提出】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∵∠FOC＝∠EOD＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△DAF∽△CDE， ∴， ∵CD＝AB， ∴； （2）解：方法一：∵∠COD+∠BAD＝180°，∠COD+∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝∠DAF， ∵∠ODE＝∠ADF， ∴△ODE∽△ADF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， 又∵∠FOC+∠COD＝180°， ∴∠ADC＝∠COD， ∵∠DCE＝∠OCD， ∴△DCE∽△OCD， ∴， ∴， ∴， 即， ∵AB＝4，AD＝7， ∴的值为； 方法二：如图，在DE上找一点K，使CK＝CD，则∠CKD＝∠CDK， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝4， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠CKD+∠CKE＝180°， ∴∠CKE＝∠A， ∵∠COD+∠BAD＝180°， ∴∠EOF+∠BAD＝180°， ∴∠AFD+∠AEO＝180°， ∵∠CEK+∠AEO＝180°， ∴∠CEK＝∠AFD， ∴△CEK∽△DFA， ∴； （3）解：如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形， ∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD， 同（2）可得， ∵， ∴设AB＝a，AD＝3a， 在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP， ∵AD∥MN，∠A＝120°， ∴∠N＝60°， ∴△NBP是等边三角形， ∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°， ∴∠BPC＝120°＝∠M； ∵∠BCD＝120°， ∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD， ∴∠PBC＝∠MCD， ∴△PBC∽△MCD， ∴， 设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a， ∴CMPBxa， ∴MN＝PN+PC+CM＝AD＝3a， ∴3x﹣a+4xxa＝3a， 解得xa， ∴DM＝3xa， ∴． 36．（2026•石家庄一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝4cm，以BC为直径向左侧作半圆O，交斜边AC于点D． （1）BC＝　4　 cm，AC＝　8　 cm，求图1中阴影部分的面积； （2）如图2，将半圆O（包含直径BC）沿着射线AB方向平移得到半圆O1，直径记作B1C1，当半圆O1和直线AC相切时，求半圆O平移的距离； （3）如图3，在（2）的条件下将半圆O1绕着点B1逆时针旋转得到半圆O2，直径记作B1C2，设旋转角度为α（0°≤α≤90°）． ①当点C2到直线AC的距离最大时，求α的值； ②如图4，记半圆O2和直径B1C2构成的封闭图形为W，斜边AC的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出α的取值范围．（参考数据：tan41°，cos39°） 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝30°， ∵AB＝4cm， ∴AC＝2AB＝8cm． ∴BC4cm； 连接DO，作OE⊥CD于点E， ∵BC为直径，O为圆心， ∴． ∴∠ACB＝∠CDO＝30°． ∵OE⊥CD， ∴∠CEO＝90°，． ∴CD＝2CE＝26cm， ∵∠ACB+∠CDO+∠COD＝180°， ∴∠COD＝180°﹣∠ACB﹣∠CDO＝120°， ∴S阴影部分＝S扇形CDO﹣S△CDO． （2）作FO1⊥C1O1交A1C1于点F， ∴∠C1O1F＝∠FO1B1＝90°， 由（1）知，∠ACB＝30°， ∵半圆O（包含直径BC）沿着射线AB方向平移得到半圆O1， ∴C1O1＝CO＝2cm，∠ABC＝∠AB1C1＝90°，∠FC1O1＝30， ∵， ∴， ∵∠ABC＝∠AB1C1＝∠FO1B1＝90°， ∴四边形BB1O1O是矩形． ∴BB1＝FO1＝2cm， 即半圆O平移的距离为2cm． （3）在旋转过程中，点C2到直线AC的距离先越来越小，再越来越大（当BC2⊥AC时，点C2到AC的距离最大），再越来越小． 当α＝0°时，过点C作C1G⊥AC于点G，连接C1C， 由（2）知，四边形BB1O1O2是矩形． ∴CG＝1cmC1C＝2cm，CC1＝BB1＝2cm，CC1//BB1， ∴∠GCC1＝∠BAC＝60°， ∴GC＝1cm，， 当BC2⊥AC时，设垂足为H， AB1＝AB+BB1＝4+2＝6（cm），∠BAC＝60°， ∴AHAB1＝3cm，B1HAH＝3cm， ∴C2H＝B1C2﹣B1H＝43（cm）， 此时∠AB1C2＝30°， ∴α＝90°﹣30°＝60°， ∵GC1＝CH， ∴当点C2到直线AC的距离最大时，α的值为0°或60°； ②10°＜α＜49°． 当半圆C2经过点M时，过点M作MN⊥AB于点N． 在Rt△AMN中，AB＝4cm，∠BAC＝60°， ∴AN＝2cm，， 在Rt△B1MN中，B1N＝6﹣2＝4（cm）， ∴， ∴， ∴∠AB1M≈41°； ∵B1C2为直径， ∴∠B1MC2＝90°， ∴， ∴∠MB1C2≈39°， ∴α＝90°﹣41°﹣39°＝10°； 当直径B1C2过点M时， α＝90°﹣41°＝49°； ∴10°＜α＜49°． 37．（2026•肥东县校级一模）在平面直角坐标系中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当y1＝y2＝0时，求AB的长； （3）若对于x1+x2＜﹣3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝﹣（x﹣a+1）2﹣1， ∴抛物线的顶点为（a﹣1，﹣1）； （2）若y1＝y2＝0，则x1，x2为方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0的两个根， ∴x1+x2＝2a﹣2，x1x2＝a2﹣2a， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2a﹣2）2﹣4（a2﹣2a）＝4． ∴|x1﹣x2|＝2， ∴AB＝2； （3）∵y1＜y2， ∴y1﹣y2（2a﹣2）x1（2a﹣2）x2＝（x2﹣x1）（x2+x1）+（2a﹣2）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a﹣2﹣x1﹣x2）＜0， ∵x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0， ∴2a﹣2﹣x1﹣x2＞0，即2a﹣2＞x2+x1， ∵x1+x2＜﹣3， ∴2a﹣2≥﹣3， 解得a． 38．（2026•鸠江区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5（a＞0）经过点A（2，﹣5），对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点B（m，﹣6）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，将此抛物线向上平移h个单位长度，得到新的抛物线．当﹣2≤x≤0时，新抛物线对应的二次函数的最小值为y1，当0≤x≤4时，二次函数的最大值为y2，若y1+y2＝10，求h的值； （3）在（2）的条件下，设平移后新的抛物线与直线y＝n相交于（x1，n），（x2，n）两点，且n≠0，求证：． 【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣5，A（2，﹣5）， 则对称轴为直线； （2）解：由（1）知m＝1， 将A（2，﹣5），B（1，﹣6）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5得：， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣5， 设平移后的新抛物线为y＝x2﹣2x﹣5+h， 对称轴为直线x＝1， ∴当﹣2≤x≤0时，y随x增大而减小，x＝0时，y1＝﹣5+h， 当0≤x≤4时，x＝4时取最大值，y2＝3+h， ∴y1+y2＝﹣5+h+3+h＝10， 解得h＝6； （3）证明：由（2）知新抛物线表达式为：y＝x2﹣2x+1， 由题意知：x1+x2＝2，x1＝2﹣x2，， ∵ ， ∴． 39．（2026•商水县模拟）综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． （1）初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是　②　 （填序号）． ①矩形； ②正方形； ③菱形； ④平行四边形． （2）性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD，若BC＞CD，求证：四边形ABCD为“豫式四边形”． （3）拓展应用 如图3，△ABC中∠B＝90°，AB＝BC＝1，在直线AC的右上方存在点D，使得四边形ABCD为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为60°时，请直接写出CD的长． 【解答】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”； ②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”； ③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”； ④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”； 故答案为：②； （2）①解：BC＝DC，理由如下： ∵四边形ABCD为“豫式四边形”， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠D＝90°， ∵AB＝AD，AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴BC＝DC； ②证明：如图，过点A作∠EAC＝∠DAC，交BC于点E， ∵AC平分∠BCD， ∴∠ECA＝∠DCA， ∵∠DAC＝∠EAC，AC＝AC， ∴△ADC≌△AEC（ASA）， ∴AD＝AE，∠D＝∠AEC， ∵∠B+∠D＝180°，∠AEB+∠AEC＝180°， ∴∠B＝∠AEB， ∴AB＝AE＝AD， ∴四边形ABCD为“豫式四边形”； （3）解：要使四边形ABCD为“豫式四边形”，则∠B+∠D＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠D＝90°， 当∠BAD＝60°时，如图，作∠CFD＝30°，连接CF， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝1， ∴∠BAC＝45°，， ∴∠DAC＝15°， ∵∠CFD＝30°， ∴∠FCA＝15°， ∴FA＝FC， 设CD＝x，则，FA＝FC＝2x， ∴， 根据勾股定理可得AD2+CD2＝AC2， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ∴ ∴； 当∠BCD＝60°时，如图，作∠AGD＝30°，连接AG， 同理可得GA＝GC， 设AD＝x，则，GA＝GC＝2x， ∴， 根据勾股定理可得AD2+CD2＝AC2， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ∴ ∴， 综上，CD的值为或． 40．（2026•颍泉区校级一模）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2025）（b，c为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有，求m，n的值． 【解答】解：（1）由条件可知抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1， ∴， 解得； （2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0）， 代入解析式可得： ， ∴两式相加可得：， ∴， ∴c＞2025； （3）由（1）可知抛物线为：y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1， ∴y≤1， ∵0＜m＜n， 当m≤x≤n时， ∴， ∴，即m≥1， ∴1≤m＜n， ∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小， ∴当x＝m时，， 当x＝n时，， 又∵， ∴， 将①整理得2n3﹣4n2+n+1＝0， 变形得2n2﹣2n﹣1＝0， 解得舍去），， 同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0， ∵1≤m＜n， ∴2m2﹣2m﹣1＝0， 解得m1＝1，舍去），舍去）． 综上所述，m＝1，． 41．（2026•蜀山区校级一模）某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状．在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头A到水面x轴的距离为2m，抛物线C1；C2是从喷水头A处喷出的两股水流．经测量得，抛物线C2的最高点C距离水面2.5m，且与喷水头A的水平距离为2m，设抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距水面的高度． （1）求抛物线C2的表达式； （2）若抛物线C1可以看作是C2向左平移n个单位长度得到的． ①求n的值； ②求抛物线C1与x轴的交点B的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线C1，C2之间（阴影区域）飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于0.5m（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头A的水平距离为km，直接写出k的取值范围． 【解答】（1）根据题意h＝2，k＝2.5，则抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣2）2+2.5． 将点A（0，2）代入得：2＝a（0﹣2）2+2.5，． 所以抛物线C2的解析式为：y（x﹣2）2+2.5x2x+2． （2）①根据平移的性质，设抛物线C1的解析式为：y（x﹣2+n）2+2.5． 由于抛物线C1经过点A（0，2），则2（0﹣2+n）2+2.5． 解得：n＝4． ②由①可知抛物线C1解析式为：y（x+2）2+2.5． 令y＝0，则（x+2）2+2.5＝0． 解得：x＝22． ∴点B的横坐标为22． （3）根据题意yc2﹣yc1＞0.5且yc2＞0.5． 即（x﹣2）2+2.5﹣[（x+2）2+2.5]＞0.5且（x﹣2）2+2.5＞0.5． 解得：0.5＜x＜6． ∴0.5＜k＜6． 42．（2026•锡山区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝2OA，C点坐标（0，﹣2），连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在图1中，点D（x，y）是线段BC下方抛物线上一动点，连接DO交线段BC于E点，设，当∠ACD＝90°时，求k的值； （3）如图2，在线段BC上方有一条动直线EF始终与线段BC平行，且与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交于E、F两点，直线CE与BF交于点P，△BCP的面积能否为4，若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵OB＝OC＝2OA，C点坐标（0，﹣2）， 则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（2，0）， 由题意得：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）， 则﹣2a＝﹣2， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2； （2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣2， 当当∠ACD＝90°时，则直线CD的表达式为：yx﹣2， 联立直线AC和抛物线的表达式得：x﹣2＝x2﹣x﹣2， 解得：x＝0（舍去）或， 则点D（，）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2， 过点D作DH∥y轴交BC于点H，则点H（，），则HD， 则△HDE∽△COE， 则k＝OE：ED＝OC：HD＝2：； （3）设点E、F的坐标分别为：（m，m2﹣m﹣2）、（n，n2﹣n﹣2）， 由点E、F的坐标得，直线E、F的表达式为：y＝（m+n﹣1）（x﹣n）+n2﹣n﹣2， ∵FE∥BC，则m+n﹣1＝1，即m＝2﹣n， 由点E、C的坐标得，直线EC的表达式为：y＝（m﹣1）x﹣2， 同理可得：直线BF的表达式为：y＝（n+1）（x﹣2）， 联立直线EC和BF的表达式得：（n+1）（x﹣2）＝（m﹣1）x﹣2， 解得：x1， 即点P（1，﹣n﹣1）， 过点P作直线PN∥BC交y轴于点N，过点C作CT⊥PN于点T， 则直线PN的表达式为：y＝x﹣1﹣n﹣1＝x﹣n﹣2， 则点N（0，﹣n﹣2）， 则CN＝﹣2+n+2＝n， 则△BCP的面积BC×CTBCCN2n＝4， 解得：n＝4， 即点P（1，﹣5）． 43．（2026•西安模拟）问题提出 （1）如图①，矩形ABCD的对角线AC的长为8，⊙D的半径为2，点E是⊙D上的动点，则点B、E之间的最大距离为　10　 ； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，点B关于AC的对称点为点D，点G、F在AC上，连接BG并延长到点E，连接DE、DF、BF，若四边形FGED是平行四边形，求证：BF＝BG； 问题解决 （3）如图③，某区计划将△ABC区域建成一个户外健身区，AB＝AC＝500m，BC＝600m．现要在线段BC上找两点D、E（D、E是BC上的动点，点D在点E的左侧），DE＝300m，点F是一个出入口，且点F是AC的中点，连接AD、EF，为方便市民出入，沿四边形ADEF的四边修建人行通道．以DE为直径在BC下方作半圆O（半圆O随着DE移动而移动），将半圆O建成公园绿地运动区，点P是半圆O上的一个动点，从A到P沿直线修建一条塑胶跑道．设计人员要求在人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短的条件下，塑胶跑道AP的长度尽可能的长．请你帮设计人员求出当人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短时，塑胶跑道AP的最大长度．（人行通道与塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【解答】解：（1）当点E在BD延长线上时BE最大， 即BE＝BD+R＝8+2＝10． 故答案为：10； 证明：（2）∵点B关于AC的对称点为点D， ∴∠BFG＝∠DFG， ∵四边形FGED是平行四边形， ∴GE∥DF，即 BE∥DF， ∴∠BGF＝∠DFG， ∴∠BFG＝∠BGF， ∴BF＝BG． 解：（3）∵AB＝AC＝500m，点F是AC的中点， ∴AF＝CF＝250m， ∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝AD+300+EF+250＝AD+EF+550（m）， ∴当AD+EF的值最小时，此时四边形ADEF的周长最小． 作点A关于BC的对称点G，连接DG，将DG向右平移使点D与点E重合得到线段EH，连接GH，连接FH交BC于点E'， 则四边形DGHE是平行四边形，GH＝DE＝300m，AD＝GD＝EH， ∴AD+EF＝EH+EF≥FH， ∴当点F、E、H三点共线时，四边形ADEF的周长最小，此时点E与点E'重合． 在BE'上截取E'D'＝300m，以E'D'为直径作半圆O'，连接AO'并延长交半圆O'于点P'， AP'的长度即为四边形ADEF的周长最小时AP的最大长度． 连接GD'，分别过点A、F作 AM⊥BC，FN⊥BC，垂足分别为M、N，则四边形D'GHE'是平行四边形， ， ∵AB＝AC＝500m，BC＝600m， ∴BM＝CM＝300m， ∴． ∵AM⊥BC，FN⊥BC， ∴FN∥AM，易得， ∴ ∴FN＝200m，MN＝CN＝150m． ∵点A与点G关于BC对称， ∴∠AD'M＝∠GD'M． ∵四边形D'GHE'是平行四边形， ∴D'G∥E'H，即D'G∥FH， ∴∠FE'N＝∠GD'M ∴∠FE'N＝∠AD'M ∴△AMD'∽△FNE' ∴， ∴MD′＝2NE′， ∵D'E'＝D'M+MN+NE'＝2NE'+150+NE'＝300（m）， ∴NE'＝50m，MD'＝100m， ∵O'D'＝O'E'＝O'P'＝150n， ∴O'M＝O'D'﹣MD'＝50m， ∴． ∴， 综上，当人行通道的长度（即四边形ADEF的周长）最短时，塑胶跑道AP的最大长度为（50150）m． 44．（2026•合肥模拟）如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线y＝﹣2x2﹣4x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c位似，它们的顶点A，B是其中一对对应点，它们与y轴的交点C，D也是一对对应点，位似中心为坐标原点O，位似比为． （1）求a，b，c的值； （2）点P为抛物线y＝ax2+bx+c上一点，且在点B，D之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线OP将四边形ACBD分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求△ACP面积的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2﹣4x﹣2＝﹣2（x+1）2， ∴顶点A为（﹣1，0），即OA＝1． ∵， ∴OB＝2， ∴顶点B的坐标为（2，0）． ∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点的坐标为（2，0）， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2． 由y＝﹣2x2﹣4x﹣2知点C的坐标为（0，﹣2）， ∵C，D也是一对对应点， ∴点D的坐标为（0，4）． ∵点D在抛物线y＝a（x﹣2）2上， ∴4＝a（x﹣2）2， 解得a＝1． 此时y＝（x﹣2）2＝x﹣2﹣4x+4， ∴b＝﹣4，c＝4． （2）（i）∵tan∠CAO＝tan∠DBO， ∴∠CAO＝∠DBO， ∴AC∥BD， 所以当直线OP过BD中点时，直线OP将四边形ACBD一分为二， ∵B（2，0），D（0，4）， ∴BD中点M为（1，2）， ∴直线OP为y＝2x， 联立， 解得， ∵0≤x≤2， ∴， ∴； （ii）由题意可得：A（﹣1，0），C（0，﹣2）， 则直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2， 设P（m，m2﹣4m+4）（0≤m≤2）， 过点P作y轴的平行线，交AC的延长线于点N． 则N（m，﹣2m﹣2）， ∴PN＝m2﹣4m+4+2m+2＝m2﹣2m+6， ∴S△ACPPN•OA（m﹣1）2， 当m＝1时，， ∴△ACP面积的最小值为． 45．（2026•深圳模拟）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”． 【性质探究】 小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA，OC． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，BD的中点为O ， ∴，OC＝　BD ， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． 【性质应用】 （2）如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E． ①求证：四边形APED是“对直四边形”； ②若AB＝8，AD＝6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长． 【拓展提升】 （3）如图4，在矩形ABCD中，AB＝kBC（k为正实数）．点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F．请求出的值（用含k的式子表示）． 【解答】解：（1）如图2，连接对角线BD，取BD中点O，连接OA，OC． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，BD的中点为O， ∴，． ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上． 故答案为：BD的中点为O，BD； （2）①连接DP，设圆心为O， ∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴DP为⊙O的直径， ∴∠DEP＝90°， ∴四边形APED是“对直四边形”； ②∵矩形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且AB＝8，AD＝6， ∴CD＝8，BC＝6， ∴， ∵∠DPE＝∠DAE，∠PED＝∠ADC＝90°， ∴△PDE∽△ACD， ∴， ∴， ∵△ADE为等腰三角形， ∴当EA＝ED时，∠EAD＝∠EDA， ∵∠EDC+∠EDA＝90°，∠ECD+∠EAD＝90°， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴CE＝DE， ∴， ∴； 当AD＝AE＝6时，CE＝AC﹣AE＝4， 设⊙O与CD交点为F，连接AF，EF， ∵∠ADC＝90°， ∴AF是⊙O直径， ∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF＝90°， ∵， ∴EF＝3， ∴， ∴， ∴； 当DA＝DE＝6时，， 故PE的长为或或． （3）设圆心为点O，连接DP，DE，DF， ∵在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，且AB＝kBC（k为正实数）． ∴∠PAD＝90°， ∴DP是⊙O的直径， ∴∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠ADC＝90°， ∵∠DPE＝∠DAE， ∴△PDE∽△ACD， ∴， ∴DE＝kPE， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴C，D，E，F到线段DF的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以DF为直径的圆上， ∴∠DCE＝∠DFE， ∵∠DEF＝∠ADC＝90°， ∴△DFE∽△ACD， ∴， ∴EF＝kDE， ∴EF＝k2PE， ∴， 故的值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $