【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-13）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-13） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•包河区一模）如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PD′C′Q，则下列结论错误的是（　　） A．若PQ交对角线BD于点E，则QE＝2PE B．若点D′在AD边上时，BQ＝2CQ C．若射线QC'经过点A，则线段AP、C′D′互相平分 D．若AB＝3cm，，点A、C′两点间距离最小为 2．（2026•宁波一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线L2，点A（m，y1），B（m+2，y2）均在抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧，若y1＜y2，则m的取值范围为（　　） A．1＜m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．﹣1＜m＜1 4．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y的图象恰好经过点M，则k的值为（　　） A． B． C． D．12 5．（2026•蜀山区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN，MN．则下列结论错误的是（　　） A．△PMN面积的最大值为2 B．点P到直线MN的最短距离是 C．若BM＝1，则PM+PN的最小值为 D．若PM+PN＝4，则线段PC的长为 6．（2026•汝阳县一模）如图，点P1的坐标为（1，0），P2为y轴正半轴上一点，且∠OP2P1＝30°，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从P1跳到P2处，第二步从P2跳到P3处，且P1P2＝P1P3，第三步从P3跳到P4处，且P2P3＝P2P4，第四步从P4跳到P5处，且P3P4＝P3P5，…，按此规律一直跳下去，则P10的坐标为（　　） A． B． C．（27，0） D．（0，81） 7．（2026•禅城区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　） A． B． C． D．2 8．（2026•丰泽区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+2a（ab＜0）与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作MN⊥OM交抛物线的对称轴于点N，若MN＝AN，则OM的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．4 9．（2026•阜阳一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M是平面内的一动点，∠BAM+∠ABM＝90°，连接CM，N是AC的中点，连接MN，则下列结论错误的是（　　） A．CM的最小值是 B．CM的最大值是 C．MN的最小值是1 D．点N到AM的最大距离为 10．（2025•齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025•新抚区模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP＝x，CE＝y，那么y与x之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 12．（2026•湖南一模）有一组数字不重复的三位数密码，老师给出5组数：875，273，109，965，403，其中每一组数与真正的密码恰好在同一个数位有一个相同的数字，则这个密码是（　　） A．803 B．205 C．469 D．869 13．（2026•陕西模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a是常数，且a＞0），点（x1，y1），（x2，y2）是该抛物线上的两点，给出下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③若x1＜x2＜0，则y1＞y2；④当1＜x≤2时，y有最大值是1；⑤当x＝3时，y＜0．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③⑤ 14．（2026•凉州区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②x为任意实数时，y＞0；③2a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 二．填空题（共16小题） 16．（2026•包河区一模）若函数图象上存在点（a，b）与点（﹣b，﹣a）（其中a2≠b2≠0），则称该函数为“关联函数”，如函数的图象上，存在点（2，5）和（﹣5，﹣2），所以函数称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数y＝kx+2026（k≠0）是“关联函数”，则k的值为　 　 ． （2）若关于x的二次函数是“关联函数”，则正整数m的值最大为　 　 ． 17．（2026•宁波一模）如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则的值是　 　 ． 18．（2018•黑龙江）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　 　 ． 19．（2026•天山区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④4a﹣2b+c＞0； ⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0． 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 20．（2026•蜀山区一模）足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与门边框两端点的夹角就是射门角．如图1，如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点P表示射门点，连接PA，PB，则∠APB就是射门角．在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，进球的可能性就越大．当∠APB最大时，点P是最佳射门点，∠APB是最佳射门角．如图2，点C是球门前一点，与点A，B构成等边△ABC，运动员带球在经过点C的直线l上跑动． （1）如图3，当l∥AB时，最佳射门角∠APB的度数是　 　 °； （2）如图4，当l⊥AC时，若最佳射门点P到球门AB的距离为d，则　 　 ． 21．（2026•汝阳县一模）如图，在锐角三角形ABC中，以AC为边作等边三角形AEC，以AB为边作等腰三角形AFB，其中AF＝BF，∠AFB＝120°，D为BC的中点，分别连接FD和ED，若FD的长为6，则DE的长为 　 　 ． 22．（2026•凉州区一模）如图，△OAB的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数的图象经过点A和点C．若△OAB的面积为9，则k的值为　 　 ． 23．（2026•丰泽区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△DCE，连接AE交DC于点F．取AC的中点G，连接AD，FG．若BD∥AC，FG＝3，，则AC的长为 　 　 ． 24．（2026•阜阳一模）对于正实数n，根据n是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数m：若n为有理数，则；若n为无理数，则m＝n2+2．这种得到m的过程称为对n进行一次变换．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，…依此类推．例如，正实数n＝5为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为8；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为3． （1）对正实数1进行三次变换，得到的数为　 　 ． （2）若对正实数n进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的n的值之和为　 　 ． 25．（2026•头屯河区校级模拟）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣2n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成m2﹣2n的过程，称为“方减分解”．例如：因为579＝252﹣2×23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成579＝252﹣2×23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是　 　 ；把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣2n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足m﹣n的值最大，则满足条件的正整数A为　 　 ． 26．（2026•兴庆区校级一模）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知C为AB的黄金分割点，且，若AB＝4cm，则BC的长为　 　 cm（结果保留根号）． 27．（2026•湖南一模）从﹣1，1，2，3这四个数中任取一个数作为b的值，则关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数根的概率为　 　 ． 28．（2026•陕西模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点E，F分别是边AD，对角线BD上的动点，且DE＝BF，连接CE，CF，当CE+CF取得最小值时，AB的长为　 　 cm． 29．（2026•凉州区一模）如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为　 　 ． 30．（2026•定海区模拟）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处，连接CF和BF，延长BF交CD于点G，AE和BG相交于点H，若∠FCG＝2∠GBC，AB＝5，，则BG的长为 　 　 ． 31．（2026•雁塔区校级一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，P是平面内一点，且DP＝1，连接BP、CP．将线段BP绕点P顺时针旋转90°得到线段B′P，连接AB′．当AB′取得最大值时，四边形AB′BC的面积为　 　 ． 三．解答题（共14小题） 32．（2026•包河区一模）已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax（a≠0）与直线l：y＝x﹣2交于A、B两点，其中B点在x轴上． （1）若A点横坐标为﹣1，直线l与y轴交于点C． ①求a的值； ②P为线段BC上一点，过P点作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求四边形PBQO面积最大时P点的坐标． （2）若M（s，t）、N（m，n）为该抛物线上不同的两点，a＞0，且满足（sm≠0，m≠1，s≠1），已知抛物线G存在最小值﹣2a2+1，设k，请判断k是否为定值，若为定值，请求出k，若不是定值，请确定其范围． 33．（2026•宁波一模）如图，AB为⊙O直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC，BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点N． （1）如图1，连结OM，求证：OM∥BC； （2）如图2，连结ON，AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值； （3）如图3，作MH⊥AB于H，∠BMK＝∠BAC，与⊙O交于点K（点K在AB下方），MK与AB交于点E．若，求：①⊙O的直径；②EK的长． 34．（2026•雁塔区校级模拟）问题提出 （1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个Rt△ABC； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝45°，点C到AB的距离CD为6，求AB的最小值； 问题解决 （3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的．如图③，四边形ABCD是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中AB＝10dm，，CD＝6dm，∠B＝∠C＝90°，∠BAD＝60°，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为4dm，且点P在∠BAD的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线EF（E，F分别在AD，AB上）裁掉一个△AEF后，求五边形板材BCDEF面积的最大值．（结果保留根号） 35．（2023•南充）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC． （1）求证：ED＝EC； （2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长． 36．（2026•蜀山区一模）已知抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，若对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11，此时抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 37．（2026•汝阳县一模）综合与实践 【情境】用直角三角板在如图1所示的纸片Rt△ABC（∠BAC＝90°）中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）． 【操作】小云和君君尝试用不同方法解决问题． 小云的思路如下：如图2，过点A作边BC上的高AH，AH即为裁剪线． 君君的思路如下：如图3． Ⅰ．在边BC上取一点M，过点M作MP⊥AB，垂足为P； Ⅱ．　 　 ，即PM，MQ为裁剪线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）如图2，求证：△ABH∽△CAH； （2）君君的思路中，若点Q在AC上． ①请你在Ⅱ中的横线上补全内容，并在图3中补全图形； ②若PM：AC＝2：3，BP＝8，求MQ的长； 【应用】 （3）如图4，在四边形纸片ABCD中，AB⊥CB，DC⊥CB，AB＝8，CD＝3，BC＝10．在边BC上找一点N，连接AN，DN，若沿AN，DN裁剪出的△NAB与△NCD相似，直接写出BN的长． 38．（2026•禅城区一模）已知：正方形ABCD的边长为6，点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），记AE＝x，△ADE的外接圆与对角线AC交于点F，连接DF、EF． （1）由图1，试说明△DEF是等腰直角三角形． （2）DE与AC交于点G，将△EFG沿EF翻折得到△EFM． ①如图2，连接DM交EF于点N．当x＝3时，求tan∠EDM的值并证明MF2＝MD•MN． ②如图3，设S＝S△ADG﹣S△EFM，求S与x之间的函数关系式． 39．（2026•丰泽区一模）已知抛物线y＝﹣x2﹣2（m+2）x﹣m（m+4）． （1）当m＝1时，证明此抛物线与x轴必有两个交点； （2）设抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C．已知点D（a，4﹣a2）在第一象限，若OC＝AB，且S△ACD＝3． ①求证：∠ADC＝2∠DAB； ②过y轴上的点P的直线交抛物线于E，F两点，过EF的中点G作y轴的平行线交抛物线于点H．若是一个定值，求点P的坐标． 40．（2026•阜阳一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0，a为整数）经过点A（﹣3，0）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若点P（x1，y1）在抛物线y＝ax2+bx﹣3a上，点B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x﹣8上． ①若a＝2，且x1＝x2，试比较y1与y2的大小． ②若x2＝x1﹣1，w＝y1﹣y2，且w存在最大值，求a，b的值． 41．（2025•深圳）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为：　 　 ；②AC2　 　 AD•BC．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由． 42．（2026•兴庆区校级一模）阅读材料，解决问题： 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． （1）初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是　 　 ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）性质探究：已知四边形ABCD是“等补四边形”，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，如图1，连接AC，试探究AC是否平分∠BCD，并说明理由． （3）应用拓展：在“等补四边形”ABCD中，AB＝AD＝2，∠B＝90°，∠BCD＝120°，如图2，求AC的长． 43．（2026•湖南一模）如图1，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，点D为边AB上一点，且AD＝2，经过D，B，C三点的圆交边AC于点E，连接BE，DC交于点F，连接DE． （1）当DE⊥AB时，求证：△ABC是等腰直角三角形； （2）如图2，当BE＝BC时，求cos∠CDB的值； （3）如图3，当BE⊥CD时，求AE的长． 44．（2026•陕西模拟）问题提出 （1）如图1，在等边三角形ABC中，AB＝8cm，D是边BC上的一点，且BD＝3cm，连接AD，求△ABD的面积； 问题解决 （2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地ABCD用来种植花卉，并在其中修一条观赏小路BE（小路的宽度不计），点E在AD边上．若要求：∠ABC＝120°，AE＝2ED，BE＝200m．请问是否存在满足上述条件的面积最大的▱ABCD？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 45．（2026•凉州区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC． ①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标； ②如图2，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-13） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B D B A B D A B 题号 12 13 14 15 答案 B B A D 一．选择题（共15小题） 1．（2026•包河区一模）如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PD′C′Q，则下列结论错误的是（　　） A．若PQ交对角线BD于点E，则QE＝2PE B．若点D′在AD边上时，BQ＝2CQ C．若射线QC'经过点A，则线段AP、C′D′互相平分 D．若AB＝3cm，，点A、C′两点间距离最小为 【解答】解：如图1， 设运动时间是t，则BQ＝2t，PD＝t， ∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD，∠DPE＝∠BQE， ∴△PDE∽△QBE， ∴， ∴QE＝2PE， 故A正确； 如图2， 由轴对称的性质得， ∠DPQ＝∠D′PQ， ∵点D′在AD上， ∴∠D′PD＝180°， ∴∠DPQ＝∠D′PQ＝90°， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDPQ是矩形， ∴CQ＝PD， ∵BD＝2PD， ∴BQ＝2CQ， 故B正确； 如图3， 设PD′＝PD＝a，BQ＝2a，C′Q＝CQ＝b，则AP＝AD﹣PD＝BC﹣PD＝a+b， 由折叠得：∠C′QP＝∠CQP， ∵AD∥BC， ∴∠APQ＝∠CQP， ∴∠C′QP＝∠APQ， ∴AQ＝AP＝a+b， ∴AC′＝AQ﹣C′Q＝a， ∴AC′＝PD′， ∵PD∥CQ， ∴PD′∥C′Q， °∴四边形AC′PD′是平行四边形， ∴AP和C′D′互相平分， 故C正确； 如图4， 作EF⊥CD于F，作EG⊥AD于G， ∴∠DFE＝∠ACD＝90°， ∵∠EDF＝∠BDC， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 由A知：， ∴， ∴， ∴EF，DF＝1， ∴CF＝CD﹣DF＝2， 在Rt△CEF中，由勾股定理得， CE， 由轴对称的性质得：C′E＝CE， ∵DG＝EF，AD＝BC＝3， ∴AG＝AD﹣DG＝2， ∵EG＝DF＝1， ∴AE3， ∴AC′≥AE﹣C′E＝3， 故D错误， 故选：D． 2．（2026•宁波一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接AG，CG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB， ∵FG⊥BD， ∴∠BGF＝90°， 又∵∠CBG＝45°， ∴△GBF是等腰直角三角形， ∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°， 在△GCF和△GEB中， ， ∴△GCF≌△GEB（SAS）， ∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB， ∴AG＝EG， ∴△GAE是等腰三角形， ∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB， ∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°， ∴△GAE是等腰直角三角形， 在Rt△GAE中，由勾股定理得：AEEG， ∴为定值． 故选：A． 3．（2026•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线L2，点A（m，y1），B（m+2，y2）均在抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧，若y1＜y2，则m的取值范围为（　　） A．1＜m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．﹣1＜m＜1 【解答】解：∵抛物线（a、c为常数，且a＜0）， ∴抛物线L1开口向下，对称轴为直线x1， ∵将抛物线（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线L2， ∴抛物线L2开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵点A（m，y1），B（m+2，y2）均在抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧， ∴m＜2，m+2＞2， ∴0＜m＜2， ∵y1＜y2， ∴2﹣m＞m+2﹣2， ∴m＜1， 综上，0＜m＜1． 故选：B． 4．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y的图象恰好经过点M，则k的值为（　　） A． B． C． D．12 【解答】解：过点M作MH⊥OB于H． ∵AD∥OB， ∴△ADM∽△BOM， ∴（）2， ∵S△ADM＝4， ∴S△BOM＝9， ∵DB⊥OB，MH⊥OB， ∴MH∥DB， ∴， ∴OHOB， ∴S△MOHS△OBM， ∵， ∴k， 故选：B． 5．（2026•蜀山区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN，MN．则下列结论错误的是（　　） A．△PMN面积的最大值为2 B．点P到直线MN的最短距离是 C．若BM＝1，则PM+PN的最小值为 D．若PM+PN＝4，则线段PC的长为 【解答】解：题目是选出错误的结论， 过点N作NH⊥EC，C为垂足， 由题意得出∠MNB＝∠ECB＝45°， ∴MN∥CE， ∴△PMN以MN为底，三角形的高就是NH， 设BN＝x，则NC＝4﹣x， 根据勾股定理得出MN，NH（4﹣x）， ∴△PMN的面积S， ∴S， 当x＝2时，S＝2， ∴△PMN面积的最大值为2， 故A选项不符合题意； ∵点P到直线MN的最距离为NH的长，随x的增大NH减小， 当x＝3时，NH 最小为， 故B选项不符合结论； 连接MD，与CE的交点为P， ∵BM＝1，∴BN＝1，∴NC＝ED，四边形ENCD是正方形， ∴点N关于EC的对称点是D， ∴NP＝PD，此时MD的长就是PM+PN的最小值， ∵AM＝3﹣1＝2，AD＝4，根据勾股定理得出MD＝2， 故C选项不符合题意； 如图，过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∵DE＝CD＝3，∠D＝90°， ∴∠ECD＝45°， ∴∠ECB＝45°， ∴PG＝PF， ∵PM≥PH，PN≥PG， ∴PM+PN≥PH+PG＝4， ∵PM+PN＝4， ∴PM与PH重合，PN与PG重合， ∴四边形PHBG为正方形， ∴PH＝PG＝2， ∴PC＝2， 故选项D符合题意． 故选：D． 6．（2026•汝阳县一模）如图，点P1的坐标为（1，0），P2为y轴正半轴上一点，且∠OP2P1＝30°，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从P1跳到P2处，第二步从P2跳到P3处，且P1P2＝P1P3，第三步从P3跳到P4处，且P2P3＝P2P4，第四步从P4跳到P5处，且P3P4＝P3P5，…，按此规律一直跳下去，则P10的坐标为（　　） A． B． C．（27，0） D．（0，81） 【解答】解：∵P1（2，0）， ∴OP1＝2， ∵∠P1OP2＝90°，∠OP2P1＝30°， ∴P1P2＝2P1O＝4，∠P2P1O＝60°， ∴OP2， ∵P1P2＝P1P3， ∴∠P1P2P3＝∠P1P3P2P2P1O＝30°， ∴OP3＝OP3OP2＝22×（）2，， 同理OP4＝2×（）3，OP5＝2×（）4， ......， ∴P10＝2×（）9＝81， ∴P10的坐标为（0，81）， 故选：B． 7．（2026•禅城区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：取格点M，连接AM，BM，如图所示： 由正方形网格的特点得：BM经过格点N，∠CGN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°， ∴CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90， ∴∠B＝∠CPB，△ABM是直角三角形， 在Rt△ABM中，tanB， ∴tan∠CPB， 又∵正方形网格中的小正方形的边长为1， ∴由勾股定理得：AM，BM， ∴tan∠CPB， 即tan∠CPB的值为． 故选：A． 8．（2026•丰泽区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+2a（ab＜0）与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作MN⊥OM交抛物线的对称轴于点N，若MN＝AN，则OM的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．4 【解答】解：设点M（x，y），，抛物线对称轴为直线， ∵MN⊥OM，由勾股定理得：OM2+MN2＝ON2， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵M（x，y）在抛物线上， ∴y＝ax2+bx+2a， 两边除以a得：， 设A（x1，0）是抛物线与x轴交点， ∴， 两边除以a得：， ∵MN＝AN， ∴MN2＝AN2， 代入坐标得：， 展开化简并代入，得： ， ∴， ∴把代入， 得：2x2+2y2+（﹣x2﹣y2﹣2+2ny）﹣2ny＝0， 化简得：x2+y2＝2， ∵， ∴， 故选：B． 9．（2026•阜阳一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M是平面内的一动点，∠BAM+∠ABM＝90°，连接CM，N是AC的中点，连接MN，则下列结论错误的是（　　） A．CM的最小值是 B．CM的最大值是 C．MN的最小值是1 D．点N到AM的最大距离为 【解答】解：∵∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴点M在以AB为直径的圆上运动． 取AB的中点O，连接CO，ON． 如图1，当点M在OC上时，CM最小． ∵BC＝6，AB＝8， ∴，OB＝4， ∴， ∴CM的最小值为，故A正确，不符合题意； 如图2，当点M在CO的延长线上时，CM最大，CM的最大值为，故B正确，不符合题意； ∵O、N分别是AB、AC的中点， ∴， ∴MN≥OM﹣ON＝1， 如图3，当O、N、M三点共线，即MN的延长线经过点O时，MN最小，MN的最小值为OM﹣ON＝4﹣3＝1，故C正确，不符合题意； 如图4，过点N作ND⊥AM于点D，ND≤NA，即ND的最大值为，故D错误，符合题意， 故选项D符合题意． 故选：D． 10．（2025•齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当点E在AB上时，如图， ∵∠A＝60°，l⊥AD， ∴∠AEF＝30°， ∴，， ∴， ∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD，如图， ∵∠A＝60°，BH⊥AD， ∴∠ABH＝30°， ∴，， ∴y＝S△ABH+S矩形BEFH， ∴此时图象为直线一部分； 当点E在BC上且l与CD相交时，如图， ∵∠C＝∠A＝60°，l⊥BC，CE＝AB+BC﹣x＝8﹣x， ∴， ∴， ∴， ∴此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选：A． 11．（2025•新抚区模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP＝x，CE＝y，那么y与x之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵等边△ABC中，AB＝4，BP＝x， ∴BD＝2，PC＝4﹣x，∠B＝∠C＝60°， ∵∠MPN＝60°， ∴∠DPB+∠EPC＝120°， ∵∠EPC+∠PEC＝120°， ∴∠DPB＝∠PEC， ∴△BPD∽△CEP， ∴，即， ∴yx（4﹣x）（x﹣2）2+2，（0≤x≤4）． 故选：B． 12．（2026•湖南一模）有一组数字不重复的三位数密码，老师给出5组数：875，273，109，965，403，其中每一组数与真正的密码恰好在同一个数位有一个相同的数字，则这个密码是（　　） A．803 B．205 C．469 D．869 【解答】解：根据“每组数与正确密码恰有一个数位数字相同，密码数字不重复”的条件逐项分析判断如下： A选项803：与965对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除； C选项469：与875对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除； D选项869：与403对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除； B选项205：逐一验证所有数组： ∵与875，仅个位数字5相同，符合要求； 与273，仅百位数字2相同，符合要求； 与109，仅十位数字0相同，符合要求； 与965，仅个位数字5相同，符合要求； 与403，仅十位数字0相同，符合要求； 且密码三个数字不重复，满足所有条件． 故选：B． 13．（2026•陕西模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a是常数，且a＞0），点（x1，y1），（x2，y2）是该抛物线上的两点，给出下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③若x1＜x2＜0，则y1＞y2；④当1＜x≤2时，y有最大值是1；⑤当x＝3时，y＜0．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③⑤ 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a是常数，且a＞0）， 当x＝0时，y＝1， ∴抛物线与y轴的交点是（0，1）， 故结论①正确，此结论符合题意； ∵抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ∵a＞0， ∴开口向上， 当x＜1时，y随x的增加而减小， 故x1＜x2＜0时，（x1，y1），（x2，y2）两点位于对称轴的左侧， ∴y1＞y2 故结论③正确，此结论符合题意； 当1＜x≤2时，y随x的增大而增大， 当x＝2时，y有最大值，最大值为y＝4a﹣4a+1＝1， 故结论④正确，此结论符合题意； 当x＝3时，y＝9a﹣6a+1＝3a+1， ∵a＞0， ∴y＝3a+1＞1， 故结论⑤错误，此结论不符合题意； 综上所述，正确的结论为①③④， 故选：B． 14．（2026•凉州区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②x为任意实数时，y＞0；③2a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：由图象可得，抛物线与y轴交于正半轴，抛物线开口向上，抛物线对称轴为x＝1， ∴a＞0，对称轴为，常数项c＞0， ∴b＝﹣2a， ∴b＜0； ∴abc＜0，①正确； ∵抛物线顶点坐标为（1，1），即函数的最小值为1，且抛物线开口向上， ∴对任意实数x，都有y≥1＞0，②正确； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，③正确； 由题意得，ax2+（b﹣1）x+c＜0， ax2+bx﹣x+c＜0 ax2+bx+c＜x， ∴二次函数值小于一次函数y＝x的值， ∵二次函数过点（1，1）和（3，3），这两个点也在直线y＝x上， ∴两个函数的交点为（1，1）和（3，3）， 由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线y＝x的下方， ∴不等式成立的范围是1＜x＜3，④正确． 故选：A． 15．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【解答】解：设，则E点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得x＝2m， ∴， ∴B点横坐标为3m， ∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式， 得， ∴， ∴， ∵△AEF的面积为2， ∴△ACF的面积为4， ∵AB＝3m﹣m＝2m， ∴， 解得k＝6． 故选：D． 二．填空题（共16小题） 16．（2026•包河区一模）若函数图象上存在点（a，b）与点（﹣b，﹣a）（其中a2≠b2≠0），则称该函数为“关联函数”，如函数的图象上，存在点（2，5）和（﹣5，﹣2），所以函数称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数y＝kx+2026（k≠0）是“关联函数”，则k的值为　1　 ． （2）若关于x的二次函数是“关联函数”，则正整数m的值最大为　2　 ． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一次函数y＝kx+2026（k≠0）是“关联函数”， 所以函数图象上存在点（a，b）与点（﹣b，﹣a）， 则， 两式相减得， （a+b）k＝b+a， 则（a+b）（k﹣1）＝0， 因为a2≠b2≠0， 所以a+b≠0， 所以k＝1． 故答案为：1； （2）因为关于x的二次函数是“关联函数”， 所以函数图象上存在点（a，b）与点（﹣b，﹣a）， 则， 两式相减得， ）＝a+b， 则（a+b）[]＝0， 因为a2≠b2≠0， 所以a+b≠0， 所以， 则a＝b+m． 将a＝b+m代入得， b， 整理得，b2+mb+m2﹣3m＝0． 因为该方程有实数根， 所以Δ＝m2﹣4（m2﹣3m）≥0， 3m（﹣m+4）≥0， 因为m＞0， 所以﹣m+4≥0， 解得m≤4， 当m＝4时，b＝﹣2，a＝﹣2， 此情况不符合题意，故舍去； 当m＝3时，b＝﹣3，a＝0， 此情况不符合题意，故舍去； 当m＝2时，b＝﹣1， 此情况符合题意， 所以正整数m的最大值为2． 故答案为：2． 17．（2026•宁波一模）如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则的值是　　 ． 【解答】解：在BC的延长线上取一点K，使得EK＝EC，过点E作EJ⊥CK于点J． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠B＝∠D， ∵EC＝EK， ∴∠ECK＝∠K， ∵AB＝AF， ∴∠B＝∠AFB， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠ECK＝∠K， 设CJ＝JK＝a，则CE＝EK＝5a，CK＝2a， 由翻折变换的性质可知，∠D＝∠AFE＝∠B＝∠AFB， ∵∠EFK+2∠B＝180°，∠KEC+2∠B＝180°， ∴∠CEK＝∠EFK， ∵∠K＝∠K， ∴△KEC∽△KFE， ∴， ∴， ∴EF＝KFa， ∴DE， ∴． 故答案为：． 18．（2018•黑龙江）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　2　 ． 【解答】解：如图： 取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆． 连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E． 由以上作图可知，BG⊥EC于G． PD+PG＝PD′+PG＝D′G 由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小． ∵D′C′＝4，OC′＝6 ∴D′O ∴D′G＝2 ∴PD+PG的最小值为2 故答案为：2 19．（2026•天山区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④4a﹣2b+c＞0； ⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0． 其中所有正确结论的序号是　①②③④⑤　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n）， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∵抛物线经过点（1，0），根据二次函数的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， 又∵抛物线经过（0，m），且3＜m＜4，即点（0，m）在x轴上方，可得抛物线开口向下，即a＜0， ①关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0可变形为ax2+bx+c＝n﹣1， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标n， ∴n﹣1＜n，直线y＝n﹣1与抛物线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ③设抛物线的交点式为y＝a（x﹣1）（x+3），展开得y＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， 当x＝0时，y＝﹣3a＝m，即m＝﹣3a， ∵3＜m＜4， ∴3＜﹣3a＜4， 不等式三边同除以﹣3，不等号方向改变，得，故③正确； ④4a﹣2b+c是x＝﹣2时的函数值， ∵﹣3＜﹣2＜1，抛物线开口向下，且x＝﹣3和x＝1处函数值为0， ∴当﹣3＜x＜1时，y＞0， ∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确； ⑤由对称轴公式，可得b＝2a， 将b＝2a代入式子左边： （t+1）（at﹣a+b） ＝（t+1）（at﹣a+2a） ＝（t+1）（at+a） ＝a（t+1）2， ∵a＜0，（t+1）2≥0， ∴a（t+1）2≤0，即对任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 20．（2026•蜀山区一模）足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与门边框两端点的夹角就是射门角．如图1，如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点P表示射门点，连接PA，PB，则∠APB就是射门角．在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，进球的可能性就越大．当∠APB最大时，点P是最佳射门点，∠APB是最佳射门角．如图2，点C是球门前一点，与点A，B构成等边△ABC，运动员带球在经过点C的直线l上跑动． （1）如图3，当l∥AB时，最佳射门角∠APB的度数是　60　 °； （2）如图4，当l⊥AC时，若最佳射门点P到球门AB的距离为d，则　　 ． 【解答】解：（1）取等边△ABC 的中心O，连接OA、OB、OC，以点O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O经过点A、B、C，即⊙O是△ABC的外接圆， 设BP交⊙O于点D，连接AD， ∵点O是等边△ABC的中心， ∴， 又∵l∥AB， ∴∠ACP＝∠CAB＝60°， ∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝90°， 又∵OC是⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相切于点C， ∴当点P不在点C处时，∠APB＝∠ADB﹣∠PAD＜∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴当点P在点C处时，∠APBmax＝∠ACB＝60°，即最佳射门角∠APB 的度数是60°， 故答案为：60； （2）作⊙O，使得⊙O经过点A、B，且与直线相切于点P'，连接OA、OB、OC、OP′、AP′、BP'，则∠OP'C＝90°， 设OA＝OB＝OP'＝r， 同理可得：此时∠AP′B是最佳射门角， ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上， 又∵AC＝BC， ∴点C在AB 的垂直平分线上， ∴OC垂直平分AB，， 延长CO交AB于点E，则点E是AB的中点，且∠AEO＝90°， ∵l⊥AC，∠ACO＝30°， ∴∠OCP'＝60°， ∴OC＝2CP'， ∵， ∴，， 延长AB，CP'交于点D，则∠D＝30°，过点P'作P′F⊥AB于点F，则， 设AE＝BE＝a，则，AB＝2a，，， ∵OE+OC＝CE， ∴， ∴， 两边平方整理得：r2﹣12ar+12a2＝0， ∴或， ∵， ∴， ∵，即不合题意， ∴， ∴， ∴DP'＝DC﹣CP'a﹣（）aa， 又∵∠D＝30°，P'F⊥AB， ∴， ∴． 21．（2026•汝阳县一模）如图，在锐角三角形ABC中，以AC为边作等边三角形AEC，以AB为边作等腰三角形AFB，其中AF＝BF，∠AFB＝120°，D为BC的中点，分别连接FD和ED，若FD的长为6，则DE的长为 　　 ． 【解答】解：过点E作EH⊥AC于点H，过点F作FG⊥AB于点G，连接DH，DG，如图所示： ∴∠AHE＝∠AGF＝∠EHC＝∠FHB＝90°， ∴△AHE和△AGF都是直角三角形， ∵△AEC是等边三角形，EH⊥AC于点H， ∴AH＝CHAC，∠EAH＝60°， ∵△AFB是等腰三角形，且AF＝BF，∠AFB＝120°， ∴AG＝BGAB，∠AFG∠AFB＝60°， ∵点D是BC的中点，AH＝CH，AG＝BG， ∴DH和DG都是△ABC的中位线， ∴DHAB＝AG，DGAC＝AH，DH∥AB，DG∥AC， ∴∠DHC＝∠BAC，∠DGB＝∠BAC， ∴∠DHC＝∠DGB， ∴∠EHC+∠DHC＝∠FHB+∠DGB， ∴∠DHE＝∠FGD， 在RtAHE中，tan∠EAH， ∴tan60°， 在Rt△AGF中，tan∠AFG， ∴tan60°， ∴， 在△DHE和△FGD中， ，∠DHE＝∠FGD， ∴△DHE∽△FGD， ∴， ∴DEFD， ∴FD的长为6， ∴DE， ∴DE的长为． 故答案为：． 22．（2026•凉州区一模）如图，△OAB的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数的图象经过点A和点C．若△OAB的面积为9，则k的值为　6　 ． 【解答】解：过A作AD⊥OB于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设A（m，n），则有mn＝k， ∵△OAB的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是AB的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴mn＝6， ∴k＝6， 故答案为：6． 23．（2026•丰泽区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△DCE，连接AE交DC于点F．取AC的中点G，连接AD，FG．若BD∥AC，FG＝3，，则AC的长为 　8　 ． 【解答】解：如图，作AH⊥CD于点H，设BC＝3x， 在直角△ABC中，AB5x， 由勾股定理可得，AC4x， 由旋转的性质可知，CD＝AC＝4x，CE＝ BC＝3x，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∵AH⊥CD， ∴∠AHF＝90°＝∠DCE， ∵BD∥AC． ∴S△ACD＝S△ABCAC•BC4x×3x＝6x2： ∵S△ACDCD•AH， ∴AH3x， ∴AH＝CE， 在△AFH和△EFC中， ， ∴△AFH≌△EFC（AAS）， ∴AF＝EF，即点F是AE的中点， ∵点G是AC的中点， ∴FG是△ACE的中位线， ∴CE＝2FG＝6， ∴3x＝6，解得x＝2， ∴AC＝4x＝8． 故答案为：8． 24．（2026•阜阳一模）对于正实数n，根据n是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数m：若n为有理数，则；若n为无理数，则m＝n2+2．这种得到m的过程称为对n进行一次变换．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，…依此类推．例如，正实数n＝5为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为8；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为3． （1）对正实数1进行三次变换，得到的数为　　 ． （2）若对正实数n进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的n的值之和为　　 ． 【解答】解：（1）若n为有理数，则；若n为无理数，则m＝n2+2．这种得到m的过程称为对n进行一次变换．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，…依此类推．则： ∵1是有理数， ∴对正实数1进行一次变换，得到的数为， ∵是无理数， ∴对正实数1进行二次变换，即对无理数进行一次变换，得到的数为， ∵4是有理数， ∴对正实数1进行三次变换，即对有理数4进行一次变换，得到的数为， （2）设对正实数n进行一次变换得到的数为t，则对正实数n进行二次变换就是对t进行一次变换得到3， ①当t为有理数时，则， 解得t＝8， 当n为有理数时，则， 解得n＝63， 当n为无理数时，则n2+2＝8， 解得（负值舍去）； ②当t为无理数时，则t2+2＝3， 解得t＝1（负值舍去）， 又t为无理数， 故此情况不符合题意， ∴所有满足条件的n的值之和为． 25．（2026•头屯河区校级模拟）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣2n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成m2﹣2n的过程，称为“方减分解”．例如：因为579＝252﹣2×23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成579＝252﹣2×23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是　64　 ；把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣2n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足m﹣n的值最大，则满足条件的正整数A为　267　 ． 【解答】解：因为“方减2倍数”A＝m2﹣2n，m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，所以设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b． 观察可知，m的值越小，A就越小．因为m是两位数，最小的两位数是10，所以A最小时m＝10，此时a＝1，b＝0． 将a＝1，b＝0代入n＝10a+8﹣b， 可得n＝10×1+8﹣0＝18．那么最小的“方减2倍数”A＝102﹣2×18＝100﹣36＝64． 设m＝10a+b，n＝10a+8﹣b（1≤a\≤9，0≤b≤8）．新的四位数B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8．因为B能被19整除，所以53a+5b， 即为整数． 又因为m﹣n＝（10a+b）﹣（10a+8﹣b）＝2b﹣8，要使m﹣n的值最大，且0≤b≤8，则b要尽可能大． b＝7时，k，则a12， 当k＝3时，a＝7， 所以满足条件的正整数A＝5787． 26．（2026•兴庆区校级一模）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知C为AB的黄金分割点，且，若AB＝4cm，则BC的长为　（6﹣2）　 cm（结果保留根号）． 【解答】解：∵C为AB的黄金分割点，且，AB＝4cm， ∴ACAB＝（22）cm， ∴BC＝AB﹣AC＝4﹣（22）＝（6﹣2）cm， 故答案为：（6﹣2）． 27．（2026•湖南一模）从﹣1，1，2，3这四个数中任取一个数作为b的值，则关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数根的概率为　　 ． 【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4×1×1≥0， ∴b≥2或b≤﹣2， ∴符合条件的b值有2和3， ∴从﹣1，1，2，3这四个数中任取一个数作为b的值，一元二次方程x2+bx+1＝0有实数根的概率为． 28．（2026•陕西模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点E，F分别是边AD，对角线BD上的动点，且DE＝BF，连接CE，CF，当CE+CF取得最小值时，AB的长为　5　 cm． 【解答】如图，在AD的上方作∠ADG＝30°，且使得DG＝AD，连接GE，GC． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴． 在△CBF和△GDE中， ， ∴△CBF≌△GDE（SAS）， ∴CF＝GE． ∵CD＝BC＝GD，∠CDG＝∠ADC+∠ADG＝60°+30°＝90°， ∴． ∵CE+CF＝CE+GE≥GC， ∴当G，E，C三点共线时，CE+CF取最小值，即为GC的长． ∵GC的长为， ∴CD＝5cm，即AB的长为5cm． 29．（2026•凉州区一模）如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为　544　 ． 【解答】解：根据题意可知，这个几何体是倒放的三棱柱， 结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是8， 则AB＝2×6＝12，， ∴， 则这个零件的表面积为：48×2+14×10+14×10+14×12＝544． 故答案为：544． 30．（2026•定海区模拟）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处，连接CF和BF，延长BF交CD于点G，AE和BG相交于点H，若∠FCG＝2∠GBC，AB＝5，，则BG的长为 　　 ． 【解答】解：∵将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处， ∴点F与点B关于直线AE对称，∠AEF＝∠AEB， ∴AE垂直平分BF， ∴BH＝FH，∠AHB＝∠BHE＝90°， ∵点E是BC的中点，BC＝2， ∴BE＝CEBC， ∴CF∥EH，CF＝2EH， ∴∠BFC＝∠BHE＝90°， ∴FE＝CE＝BEBC，∠CFG＝90°， ∴∠GBC＝∠EFB，∠EFC＝∠ECF， ∴∠CEF＝∠GBC+∠EFB＝2∠GBC， ∵∠FCG＝2∠GBC， ∴∠FCG＝∠CEF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠CGF＝∠ABH， ∴∠FCG＝90°﹣∠CGF＝90°﹣∠ABH＝∠BAE， ∴∠CEF＝∠BAE， ∵∠EFC＝∠AEF＝∠AEB， ∴△CEF∽△BAE， ∴∠ECF＝∠ABE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE＝5， ∵AB2﹣AH2＝BE2﹣EH2＝BH2， ∴52﹣AH2＝（）2﹣（5﹣AH）2， 解得AH＝4， ∴EH＝5﹣AH＝5﹣4＝1，BH3， ∴BF＝2BH＝6，CF＝2EH＝2， ∵∠CFG＝∠AHB＝90°，∠CGF＝∠ABH， ∴△CFG∽△AHB， ∴， ∵GFBH， ∴BG＝BF+GF＝6， 故答案为：． 31．（2026•雁塔区校级一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，P是平面内一点，且DP＝1，连接BP、CP．将线段BP绕点P顺时针旋转90°得到线段B′P，连接AB′．当AB′取得最大值时，四边形AB′BC的面积为　　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， 由勾股定理得：，且∠ABC＝45°， ∴， ∵线段BP绕点P顺时针旋转90°得到线段B′P， ∴∠BPB′＝90°，BP＝B′P， ∴∠PBB′＝45°，， ∴∠B′BA＝∠PBC，， ∴△B′BA∽△PBC， ∴，即， ∴当CP取最大值时，AB′最大， 又∵DP＝1， ∴点P在以点D为圆心，以DP长为半径的⊙D上，当点C、D、P在同一直线上时，CP取得最大值，此时PC⊥AB， ∴CP的最大值为， ∴AB′的最大值为， 如图，连接AP，过B′作B′E⊥AB于E， ∵PC⊥AB，AD＝BD， ∴PB＝PA＝PB′， ∴A，B，B′在⊙P上， ∵∠BPB′＝90°， ∴∠BAB′＝45°＝∠AB′E， ∴， ∴四边形AB′BC的面积为， 故答案为：． 三．解答题（共14小题） 32．（2026•包河区一模）已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax（a≠0）与直线l：y＝x﹣2交于A、B两点，其中B点在x轴上． （1）若A点横坐标为﹣1，直线l与y轴交于点C． ①求a的值； ②P为线段BC上一点，过P点作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求四边形PBQO面积最大时P点的坐标． （2）若M（s，t）、N（m，n）为该抛物线上不同的两点，a＞0，且满足（sm≠0，m≠1，s≠1），已知抛物线G存在最小值﹣2a2+1，设k，请判断k是否为定值，若为定值，请求出k，若不是定值，请确定其范围． 【解答】解：（1）①在y＝x﹣2中，令x＝﹣1得y＝﹣3，令y＝0得 x＝2， ∴A（﹣1，﹣3），B（2，0）， 把A（﹣1，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax得：﹣3＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）， 解得：a＝﹣1； ②如图： 由①得抛物线解析式为y＝﹣x2+2x， 在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， 由P在线段BC上，设P（p，p﹣2），其中0≤p≤2， ∵PQ∥y轴交抛物线于Q， ∴Q（p，﹣p2+2p）， ∴PQ＝﹣p2+2p﹣（p﹣2）＝﹣p2+p+2， ∴S四边形PBQOPQ•|xB﹣xO|（﹣p2+p+2）×2＝﹣p2+p+2＝﹣（p）2， ∴当p时，S四边形PBQO取最大值，此时点P坐标为（，）； （2）k为定值4，理由如下： ∵y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，且抛物线G的最小值为﹣2a2+1， ∴﹣a＝﹣2a2+1， 解得：a＝1或a（不符合a＞0，舍去）， 当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x， ∵M（s，t）、N（m，n）在抛物线上， ∴t＝s2﹣2s，n＝m2﹣2m， ∵， ∴ms﹣s﹣m+1＝ms， ∴m＝1﹣s， ∴n＝m2﹣2m＝（1﹣s）2﹣2（1﹣s）＝s2﹣1， ∴t﹣n＝s2﹣2s﹣（s2﹣1）＝﹣2s+1， ∴t﹣n+1＝﹣2s+2＝﹣2（s﹣1）， 又t+1＝s2﹣2s+1＝（s﹣1）2， ∴k4． 33．（2026•宁波一模）如图，AB为⊙O直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC，BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点N． （1）如图1，连结OM，求证：OM∥BC； （2）如图2，连结ON，AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值； （3）如图3，作MH⊥AB于H，∠BMK＝∠BAC，与⊙O交于点K（点K在AB下方），MK与AB交于点E．若，求：①⊙O的直径；②EK的长． 【解答】（1）证明：∵点M为中点， ∴OM⊥AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即CB⊥AC， ∴OM∥BC； （2）解：如图，连接OM交AC于点G， ∵点M为中点， ∴OM⊥AC，AG＝CG， ∵O为AB的中点， ∴OG为△ABC的中位线， ∴BC＝2OG， ∵ON⊥BM， ∴BN＝MN， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， 在△BCN和△MGN中， ， ∴△BCN≌△MGN（AAS）， ∴MG＝BC＝2OG， ∴OM＝OG+MG＝3OG， ∴OA＝OM＝3OG， ∴， ∴， ∴； （3）解：①延长MH交⊙O于点F， ∵点M为中点， ∴， ∵MH⊥AB，且AB为直径， ∴，∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴AC＝MF＝2MH＝2， ∴AB3； ②设AH＝a，则BH＝AB﹣AH＝3a， ∵AB为直径，MH⊥AB， ∴∠AMB＝∠AHM＝∠BHM＝90°， ∴∠AMH+∠MAH＝∠AMH+∠BMH＝90°， ∴∠MAH＝∠BMH， ∴△AMH∽△MBH， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴，BH＝2， ∴AM3，， ∴， 由①可得：，tan∠BAC， ∵∠BMK＝∠BAC， ∴tan∠BMK＝tan∠BAC， 过点E作EP⊥BM于点P， 设， ∵，tan∠BMK， ∴BP＝2b，MP＝4b， ∴BM＝MP+BP＝6b， ∴6b＝3， ∴b， ∴PE＝1，BP，， ∴BE，ME3， ∴AE＝AB﹣BE＝2， 连接BK，则∠MAB＝∠MKB， ∵∠AEM＝∠BEK， ∴△AEM∽△KEB， ∴， ∴， ∴EK＝2． 34．（2026•雁塔区校级模拟）问题提出 （1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个Rt△ABC； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝45°，点C到AB的距离CD为6，求AB的最小值； 问题解决 （3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的．如图③，四边形ABCD是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中AB＝10dm，，CD＝6dm，∠B＝∠C＝90°，∠BAD＝60°，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为4dm，且点P在∠BAD的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线EF（E，F分别在AD，AB上）裁掉一个△AEF后，求五边形板材BCDEF面积的最大值．（结果保留根号） 【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求． （2）如图②，作△ABC 的外接⊙O，连接OA，OB，OC， 如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E． ∴OA＝OB＝OC， ∵∠ACB＝45° ∴∠AOB＝90° ∴△AOB 是等腰直角三角形， 过点O作OE⊥AB于点E， ∵OE⊥AB， ∴， ∴ 当OC取得最小值时，AB取得最小值， ∵CD＝6， ∴OC+OE＝CD，即， ∴， ∴当点C，O，E共线时， 即点E与点D重合时，OC取到最小值， ∴AB的最小值为； （3）如答案图③，连接AP，过点P分别作AB，AD的垂线，垂足记为G，H， ∵∠BAD＝60°，点P在∠BAD的平分线上，且AP＝4dm， ∴PG＝PH，∠PAG＝30°，∠GPH＝120°， ∴， 同理可得 PH＝2dm，AH＝2.5dm， ∴， 要使剩余板材的面积最大，则裁下的△AEF板材的面积需要取得最小值， 如图③，将△PEH 绕点P逆时针旋转120°得到△PE'G，作△PE'F的外接圆⊙O，连接OE'，OF，OP，过点O作OM⊥AB于点M， 设⊙O的半径为r， ∵S四边形ACPH为定值，S△EPF＝S△EPH+S△GPF，PG为定值， ∴△AEF板材的面积取得最小值时，E′F值最小， ∵∠E′PF＝∠E′PG+∠FPG＝∠EPH+∠FPG＝180°﹣∠GPH＝60°， ∴∠E′OF＝2∠E′PF＝120°， ∴， ∴， ∴， 如图④，当且仅当P，O，M三点共线时，即点G与M重合时，E′F取得最小值， ∴S△E′PFE′F•PG2（dm2）， ∴S△AEF4（dm2）， ∴五边形板材BCDEF面积的最大值＝四边形ABCD的面积﹣△AEF的面积（CD+AB）•BC（6+10）×4（dm2）， ∴五边形板材BCDEF面积的最大值为． 35．（2023•南充）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC． （1）求证：ED＝EC； （2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵E为AM的中点， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠EAD＝∠EBC， 在△EAD和△EBC中， ， ∴△EAD≌△EBC（SAS）， ∴ED＝EC； （2）解：△CMB′是等腰直角三角形，理由如下： 根据旋转的性质可得，EB′＝EB， ∵EB＝AE＝ME， ∴EB′＝AE＝ME， ∴∠EAB′＝∠EB′A，∠EMB′＝∠EB′M， ∵∠EAB′+∠EB′A+∠EB′M+∠EMB′＝180°， ∴∠AB′M＝90°， ∴∠MB′C＝90°， 在正方形ABCD中，∠ACB＝45°， ∴∠B′MC＝45°， ∴B′M＝B′C， ∴△CMB′是等腰直角三角形； （3）解：延长BE交AD于点F，如图所示： ∵∠BEM＝2∠BAE，∠B′EM＝2∠B′AE， ∵∠BAB′＝45°， ∴∠BEB′＝90°， ∴∠B′EF＝90°， ∵∠DEB′＝45°， ∴∠DEF＝45°， ∵△EAD≌△EBC， ∴∠AED＝∠BEC， ∵∠AEF＝∠BEM， ∴∠CEM＝∠DEF＝45°， ∵∠MCA＝45°， ∴∠CEM＝∠MCA， 又∵∠CME＝∠AMC， ∴△CME∽△AMC， ∴CM：AM＝EM：CM， ∵EMAM， ∴， 在正方形ABCD中，BC＝AB＝1， 设BM＝x，则CM＝1﹣x， 根据勾股定理，AM2＝1+x2， ∴（1﹣x）2， 解得x或x＝2（舍去）， ∴BM． 36．（2026•蜀山区一模）已知抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，若对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11，此时抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 【解答】解：（1）①∵y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）．和（0，﹣1）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1； ②抛物线y＝x2﹣1的对称轴为x＝0， B（3，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣3，y2）， ∵对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2， ∴由图象性质得3t+1≤﹣3或t﹣1≥3， 解得t或t≥4； （2）∵抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）， ∴4+2（4m﹣4）+n＝3， 则n＝7﹣8m， ∵对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11， ∴x2+4mx﹣4﹣8m≥0对任意实数x都成立， ∴Δ＝16m2﹣4（﹣4﹣8m）≤0， （m+1）2≤0， ∴m＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣8x+15， 联立抛物线y＝x2﹣8x+15与直线y＝4， 得x2﹣8x+15＝4， 解得x＝4±， ∴交点M，N的横坐标分别为4和4， ∴MN＝4（4）＝2． 37．（2026•汝阳县一模）综合与实践 【情境】用直角三角板在如图1所示的纸片Rt△ABC（∠BAC＝90°）中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）． 【操作】小云和君君尝试用不同方法解决问题． 小云的思路如下：如图2，过点A作边BC上的高AH，AH即为裁剪线． 君君的思路如下：如图3． Ⅰ．在边BC上取一点M，过点M作MP⊥AB，垂足为P； Ⅱ．　过点M作MQ⊥AC，垂足为Q ，即PM，MQ为裁剪线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）如图2，求证：△ABH∽△CAH； （2）君君的思路中，若点Q在AC上． ①请你在Ⅱ中的横线上补全内容，并在图3中补全图形； ②若PM：AC＝2：3，BP＝8，求MQ的长； 【应用】 （3）如图4，在四边形纸片ABCD中，AB⊥CB，DC⊥CB，AB＝8，CD＝3，BC＝10．在边BC上找一点N，连接AN，DN，若沿AN，DN裁剪出的△NAB与△NCD相似，直接写出BN的长． 【解答】（1）证明：根据题意可知∠AHB＝∠CHA＝90°，∠BAC＝∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝90°﹣∠HAB＝∠CAH． ∴△ABH∽△CAH． （2）解：①过点M作MQ⊥AC，垂足为Q， 补全图形如下： ②∵MP⊥AB，MQ⊥AC，∠BAC＝90° ∴四边形MQAP是矩形． ∴PM＝AQ． ∵PM：AC＝2：3， ∴． ∵∠BAC＝90°， ∴MQ∥AB． ∴∠B＝∠QMC． 又∵∠BPM＝∠MQC＝90°， ∴△BMP∽△MCQ． ∴． ∵BP＝8， ∴MQ＝4． （3）根据题意∠B＝∠C＝90°， 当△NAB∽△NDC时，， 即， 解得BN， 当△NAB∽△DNC时，， 即， 解得BN＝4或6； 综上，BN的长为或4或6． 38．（2026•禅城区一模）已知：正方形ABCD的边长为6，点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），记AE＝x，△ADE的外接圆与对角线AC交于点F，连接DF、EF． （1）由图1，试说明△DEF是等腰直角三角形． （2）DE与AC交于点G，将△EFG沿EF翻折得到△EFM． ①如图2，连接DM交EF于点N．当x＝3时，求tan∠EDM的值并证明MF2＝MD•MN． ②如图3，设S＝S△ADG﹣S△EFM，求S与x之间的函数关系式． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AC平分∠DAB， ∴， 在对应的圆周角中，∠EDF＝∠EAF＝45°， 在对应的圆周角中，∠DAF＝∠DEF＝45°， ∴∠FDE＝∠DEF＝45°， ∴∠DFE＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形； （2）①证明：由折叠可得△FGE≌△FME（SSS）， ∵∠DEF＝45°， ∴∠MEF＝∠DEF＝45°，即∠DEM＝90°， ∵DC∥AB，∠DGC＝∠EGA， ∴△DGC∽△EGA， ∴，即， ∴， ∴． 在Rt△DEM中，， 如图，过点M作MH⊥AB于H， ∵∠AED+∠MEH＝∠AED+∠ADE＝90°， ∴∠MEH＝∠ADE， 又∵∠DAE＝∠MHE＝90°， ∴△ADE∽△HEM， ∴， ∴MH＝1，EH＝2， ∴BH＝BE﹣EH＝1， 连接MB， ∵HM＝HB＝1，∠MHB＝90°， ∴∠HMB＝∠MBH＝45°， ∵∠DBA＝45°， ∴点D，M，B三点共线， ∴∠ADM＝45°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠ADE＝∠MDF， ∵∠ADE＝∠AFE， ∴∠MDF＝∠ADE＝∠AFE＝∠EFM， ∵∠FMD＝∠NMF， ∴△MFN∽△MDF， ∴， ∴MF2＝MD•MN； ②∵AE＝x， ∴， ∵△DGC∽△EGA， ∴， ∴， ∴， ∵∠AGD＝∠FGE，∠ADE＝∠AFE， ∴△ADG∽△EFG， ∴， ∵AD2＝62＝36， ∴DE2＝AD2+AE2＝36+x2， 又∵， ∴， ∴， ∴S＝S△ADG﹣S△EFM． 39．（2026•丰泽区一模）已知抛物线y＝﹣x2﹣2（m+2）x﹣m（m+4）． （1）当m＝1时，证明此抛物线与x轴必有两个交点； （2）设抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C．已知点D（a，4﹣a2）在第一象限，若OC＝AB，且S△ACD＝3． ①求证：∠ADC＝2∠DAB； ②过y轴上的点P的直线交抛物线于E，F两点，过EF的中点G作y轴的平行线交抛物线于点H．若是一个定值，求点P的坐标． 【解答】（1）证明：当m＝1时，抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5， 因为Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×（﹣5）＝36﹣20＝16＞0， 所以抛物线与x轴有两个交点； （2）①证明：方法一：因为抛物线为y＝﹣x2﹣2（m+2）x﹣m（m+4）， 所以y＝﹣[x2+2（m+2）x+m（m+4）]＝﹣（x+m）（x+m+4）， 令y＝0得：x＝﹣m或x＝﹣m﹣4， 因为A在B的左侧， 所以A（﹣m﹣4，0），B（﹣m，0），AB＝4， 所以OC＝AB＝4， 令x＝0得：y＝﹣m（m+4）， 因为C在y轴正半轴， 所以C（0．，4）， 则﹣m（m+4）＝4， 解得m＝﹣2， 所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，A（﹣2，0），B（2，0）， 因为D（a，4﹣a2）在第一象限， 设直线AD的解析式为y＝px+q，AD交y轴于N， 联立方程， 解得：， 所以直线AD的解析式为：y＝（2﹣a）x+（4﹣2a）， 令x＝0，得y＝4﹣2a， 所以N（0，4﹣2a），CN＝2a， ∴， 解得：a＝1或a＝﹣3（舍去）， 所以D（1，3）， 在抛物线y＝﹣x2+4上，过D作DM⊥AB于M，得：M（1，0），DM＝AM＝3， 所以∠DAB＝45°， 过D作DQ⊥y轴于点Q， 所以DQ∥AB， 所以∠DQA＝∠DAB＝45°，CQ＝4﹣3＝1，DQ＝CQ，∠CDQ＝45°， 所以∠ADC＝90°， 所以∠ADC＝2∠DAB； 方法二：因为抛物线为y＝﹣x2﹣2（m+2）x﹣m（m+4）， 所以y＝﹣[x2+2（m+2）x+m（m+4）]， y＝﹣（x+m）（x+m+4）， 令y＝0得：x＝﹣m或x＝﹣m﹣4， 因为A在B的左侧， 所以A（﹣m﹣4，0），B（﹣m，0），AB＝4， 所以OC＝AB＝4， 令x＝0得：y＝﹣m（m+4）， 因为C在y轴正半轴， 所以C（0，4）， ∴﹣m（m+4）＝4， 解得m＝﹣2， 因为， ，， 所以， 解得：a＝1或a＝﹣3（舍去）， 所以D（1，3）， 在抛物线y＝﹣x2+4上，过D作DM⊥AB于M，得：M（1，0），DM＝AM＝3， 所以∠DAB＝45°， 因为AD2＝（﹣2﹣1）2+（0﹣3）2＝18，CD2＝（1﹣0）2+（3﹣4）2＝2，AC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20， 所以AD2+CD2＝AC2， 所以△ACD为直角三角形，且∠ADC＝90°， 所以∠ADC＝2∠DAB； ②解：设P（0，t），经过点P的直线解析式为y＝kx+t（k≠0）， 联立，得x2+kx+t﹣4＝0， 所以xE+xF＝﹣k，xE•xF＝t﹣4， 因为G为EF中点， 所以， ∴G（，t）， 因为GH∥y轴交抛物线于H， 所以，yH4， ∴GH4﹣（t）4﹣t（k2﹣4t+16）， 在Rt△EFK，根据勾股定理得：， 因为， 所以， 因为为定值， 所以为定值， 方法一：设， 所以1+k2＝sk2﹣4st+16s， 即（s﹣1）k2﹣4st+16s﹣1＝0， 所以s＝1， ∴﹣4t+16﹣1＝0， 解得：， 所以点P的坐标为． 方法二：因为， 所以当﹣4t+15＝0时，为定值， 即时，点P的坐标为． 40．（2026•阜阳一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0，a为整数）经过点A（﹣3，0）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若点P（x1，y1）在抛物线y＝ax2+bx﹣3a上，点B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x﹣8上． ①若a＝2，且x1＝x2，试比较y1与y2的大小． ②若x2＝x1﹣1，w＝y1﹣y2，且w存在最大值，求a，b的值． 【解答】解：（1）由条件可得9a﹣3b﹣3a＝0， ∴b＝2a， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）根据题意可得，． ①当a＝2时，． ∵x1＝x2， ∴， ∴ ． ∴， ∴y1＞y2． ②∵x2＝x1﹣1， ∴， ∴． ∵w存在最大值， ∴a﹣1＜0，即a＜1，且a为整数． ∵的对称轴为直线． 当时，w取得最大值， ∴， 整理得8a2+a﹣7＝0，解得a1＝﹣1，． ∵a＜1，且a为整数， ∴a＝﹣1，b＝2a＝﹣2． 41．（2025•深圳）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为：　平行　 ；②AC2　＝　 AD•BC．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由． 【解答】【问题解决】解：①∵AB＝AC，DA＝DC，∠BAC＝∠ADC， ∴，， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴AD∥BC； ②∵∠DAC＝∠ACB，∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DAC， ∴， ∴AC2＝BC•CD， ∵CD＝AD， ∴AC2＝BC•AD； 故答案为：①平行；②＝； 【方法应用】①证明：∵△ADE为△ABC旋转得到， ∴AB＝AD， 令∠B＝α，则∠ADB＝α，∠BAD＝180°﹣2α， ∴∠ADE＝∠B＝a， 由旋转得，DE＝BC，AE＝AC， 又∵AC＝BC， ∴EA＝ED， ∴∠DAE＝∠ADE＝α， ∴∠E＝180°﹣2α， ∴∠E＝∠BAD， ∴四边形ABDE为双等四边形； ②解：作AH⊥BC于点H， ∴AB＝5， ∴BH＝3，AH＝4， 设CH＝x，则AC＝BC＝x+3， 在Rt△AHC中，CH2+AH2＝AC2， 即x2+42＝（x+3）2， 解得：， ∴，， 第一种情况：若∠ACB＝∠D＝∠CAD，CA＝CD时，CD＝AC； 第二种情况：若∠ACB＝∠D＝∠ACD，AD＝AC时， ∴AD＝AC， 作AM⊥CD于点M， ∴CM＝DM， ∴， ∴CMAC， ∴； 第三种情况：若∠D＝∠ACB，DA＝DC时，如图， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝∠ABC， ∴△CAB∽△DAC， ∴， ∴， ∴； 综上所述：满足条件时，或或． 42．（2026•兴庆区校级一模）阅读材料，解决问题： 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． （1）初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是D ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）性质探究：已知四边形ABCD是“等补四边形”，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，如图1，连接AC，试探究AC是否平分∠BCD，并说明理由． （3）应用拓展：在“等补四边形”ABCD中，AB＝AD＝2，∠B＝90°，∠BCD＝120°，如图2，求AC的长． 【解答】解：（1）∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是90°，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故答案为：D； （2）AC平分∠BCD；理由如下： 如图1，延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，作AF⊥CD于点F，则∠AFD＝∠AEB＝90°， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠D＝∠ABE， 在△ADF和△ABE中， ， ∴△ADF≌△ABE（AAS）， ∴AE＝AF， ∵∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴△AFC和△AEC是直角三角形， 在Rt△AFC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）， ∴∠ACF＝∠ACE， ∴AC平分∠BCD； （3）在“等补四边形”ABCD中，AB＝AD＝2，∠B＝90°，∠BCD＝120°， 根据解析（2）可知：AC平分∠BCD， ∴， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴AC的长为． 43．（2026•湖南一模）如图1，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，点D为边AB上一点，且AD＝2，经过D，B，C三点的圆交边AC于点E，连接BE，DC交于点F，连接DE． （1）当DE⊥AB时，求证：△ABC是等腰直角三角形； （2）如图2，当BE＝BC时，求cos∠CDB的值； （3）如图3，当BE⊥CD时，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB， ∴∠BDE＝90°， ∴BE是直径， ∴∠BCA＝90°， 又∵∠A＝45°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝BC，△ABC是等腰直角三角形； （2）解：如图2，BE＝BC，过点B作BG⊥AC于点G，过点D作DO⊥BG于点O，连接CO，过点C作CH⊥AB于点H， ∴圆心在直线BG上，OC＝OE， ∵BG⊥AC，∠A＝45°， ∴∠ABG＝45°，△ABG是等腰直角三角形， 又∵DO⊥BG， ∴∠ODB＝45°， ∴OB＝OD，△BOD是等腰直角三角形，且圆心在BD的垂直平分线上， ∴圆心是BD的垂直平分线和直线BG的交点， ∴点O即为这个圆的圆心， ∵△ABG是等腰直角三角形，AB＝8， ∴， ∵AB＝8，AD＝2， ∴BD＝AB﹣AD＝6， ∴， ∴， 在直角三角形COG中，由勾股定理得：， ∴， 同理可得：△ACH是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形CDH中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：如图2，BE⊥CD，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EH⊥AC交AB于点H，设∠ABE＝x， ∴∠DCG＝90°﹣∠BCD＝∠ABE＝x， ∵， ∴∠DCE＝∠EBD，即∠ACD＝∠ABE， ∵CG⊥AB，∠A＝45°，EH⊥AC， ∴△ACG和△AEH是等腰直角三角形， ∴∠ACG＝45°，∠AHE＝45°， ∴∠ACG＝45°＝∠ACD+∠DCG＝∠ABE+∠DCG＝2x， ∴∠ABE＝x＝22.5°， ∴∠BEH＝∠AHE﹣∠ABE＝22.5°＝∠ABE， ∴EH＝BH＝AE， ∴， ∴ 44．（2026•陕西模拟）问题提出 （1）如图1，在等边三角形ABC中，AB＝8cm，D是边BC上的一点，且BD＝3cm，连接AD，求△ABD的面积； 问题解决 （2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地ABCD用来种植花卉，并在其中修一条观赏小路BE（小路的宽度不计），点E在AD边上．若要求：∠ABC＝120°，AE＝2ED，BE＝200m．请问是否存在满足上述条件的面积最大的▱ABCD？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝8cm， ∴， ∴． ∵BD＝3cm， ∴； （2）存在满足条件的面积最大的平行四边形ABCD． ∵在▱ABCD中，ADBC， ∴∠ABC＝120°，∠A+∠ABC＝180°， ∴∠A＝60°． 如图，连接BD， ∵S▱ABCD＝2S△ABD， ∴， ∵AE＝2ED， ∴， ∴S▱ABCD＝3S△ABE， ∵BE＝200m，∠A＝60°， ∴点A在△ABE的外接圆O的优弧BAE（不含B，E）上运动，如图所示， ∴当AO⊥BE，即A′O⊥BE时，S△ABE最大，此时△ABE为等边三角形， ∴S△ABE的最大值， ∴▱ABCD面积的最大值为：， 综上可知，存在满足条件的面积最大的平行四边形ABCD，其最大面积为． 45．（2026•凉州区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC． ①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标； ②如图2，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+3x﹣4； （2）①如图1，点C（0，﹣4），过点C作CQ⊥DP于点Q， ∴OC＝4， ∵∠CPD＝45°， ∴△CPQ为等腰直角三角形， ∴PQ＝CQ， 设点P（m，m2+3m﹣4），则OD＝﹣m， ∵PD⊥x轴， ∴∠COD＝∠ODQ＝∠DQC＝90°， ∴四边形OCQD为矩形， ∴QC＝OD＝PQ＝﹣m，DQ＝OC＝4， ∵PQ＝﹣4﹣（m2+3m﹣4）＝﹣m2﹣3m， ∴﹣m＝﹣m2﹣3m， 解得：m1＝﹣2，m2＝0（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为（﹣2，﹣6）； ②如图2，过点E作EF∥x轴，交y轴于点F， 当y＝0时，得：x2+3x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（﹣4，0）， ∴OB＝4， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， 设直线BC的解析式为y＝kx+n，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4， ∵点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上， ∴CE＝CE′，PE＝PE′，∠PCE＝∠PCE′， ∵PD⊥x轴， ∴PD∥CE′， ∴∠CPE＝∠PCE′， ∴∠CPE＝∠PCE， ∴CE＝PE， ∴CE＝PE＝CE′＝PE′， ∴四边形PECE′为菱形， ∵EF∥x轴， ∴△CEF∽△CBO， ∴， 设点P（t，t2+3t﹣4），则E（t，﹣t﹣4）， 当点P在y轴左侧时，则EF＝﹣t， 当﹣4＜t＜0时，PE＝（﹣t﹣4）﹣（t2+3t﹣4）＝﹣t2﹣4t， ∴CE＝PE＝﹣t2﹣4t， ∴， 解得：，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴， ∴四边形PECE′的周长为； 当t≤﹣4时，PE＝（t2+3t﹣4）﹣（﹣t﹣4）＝t2+4t， ∴， 解得：，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴， ∴四边形PECE′的周长为； 当点P在y轴右侧时，如图3，点E关于直线PC的对称点E′不会落在y轴上， 综上所述，四边形PECE′的周长为或． 第1页（共1页） 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