【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-7）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-7） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•芜湖二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．M，N，P分别是AC，BC，AB的中点，D在AP上运动（不与A，P重合），连接CD．点E与点N关于CD对称，连接EM并延长交CD于点Q，则AQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•昌平区二模）连接正五边形ABCDE的对角线，形成如图的图形，中心为点O．BD与CE交于点F，连接OA与BE交于点G，连接OB，OC，OD，OE． 观察后得出如下结论：①∠CAD＝30°；②连接OF，则有OG+OF＝AG；③∠CFD＝2∠COD；④连接BC，则有BC＝BF．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 3．（2026•梁园区校级一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶点B的坐标为（0，4），点A在第一象限，∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转60°，旋转第一次得到四边形OA1B1C1（点C1与点A重合），则旋转第2026次得到的点B2026的坐标（　　） A．（0，﹣4） B． C． D． 4．（2026•锡山区一模）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图像上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 5．（2026•武威一模）已知抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣3）与y轴负半轴交于点C，抛物线L的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，当时，a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 6．（2026•六盘水模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G．若点G刚好是BC的中点，则DE的长是（　　） A．1 B． C． D．3 7．（2025•重庆二模）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，若∠EAF＝45°，AB＝4，BC＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2026•平南县模拟）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 9．（2026•中原区校级一模）5G无人物品派送车已应用于实际生活中，如图1所示为无人物品派送车．该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图2所示（不完整）．下列分析正确的是（　　） A．派送车从出发点到派送点往返行驶的路程为3.2km B．在5～9min内，派送车的速度逐渐增大 C．在0～5min内，派送车的平均速度为0.12km/min D．在9～12min内，派送车匀速行驶 10．（2026•雁塔区校级一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其对称轴为直线x＝1，函数的最大值为m，且与x轴的一个交点的横坐标在3和4之间，则下列结论正确的是（　　） A．4a﹣2b+c＞0 B．2a+b＝1 C．b2﹣4ac+4am＝0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有实数根 11．（2026•乌鲁木齐模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线过点E B．当AE＝AD时，△ABC是等边三角形 C．∠BDC＝3∠ABD D．当E为AB中点时， 12．（2026•西山区校级模拟）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（　　） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 13．（2025•南京）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y＝x+2的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°．其中，能使函数y＝2x+4的图象经过一种变换后过点P（2，2）的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2026•阎良区一模）二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 ﹣0.6 m n … 则下列关于该二次函数的描述错误的是（　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝3 C．当x＜3时，y随x的增大而减小 D．当y＝1时，x＝0 15．（2025秋•福田区校级期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段AB＝2，点P恰好是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（　　） A． B． C． D． 二．解答题（共15小题） 16．（2026•芜湖二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，并且经过点（﹣1，3），求抛物线对应的函数表达式． （2）若直线y＝ax+c经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②A（p﹣4，y1），B（p，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围． 17．（2026•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段PO（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转90°得到线段PO'，延长PO'至点Q，使得PQ＝2OP，若点M为线段PQ上一点（点M可与线段PQ端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”． 已知点A（0，1）、点B（0，2）． （1）M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，是线段AB的“二倍点”的是 　 　 ； （2）直线y＝k（x﹣1）（k≠0）存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围； （3）⊙A的半径为1，M是⊙A的“二倍点”，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，点N在线段CD上（N可与线段CD端点重合），当点N在线段CD上运动时，直接写出线段MN的最大值和最小值． 18．（2026•梁园区校级一模）等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为射线BC上不与B，C重合的一个动点，连接AP，以点A为顶点，AP为直角边在AP左侧作等腰直角三角形APQ，以点P为旋转中心将线段PC逆时针旋转90°得到线段PM，连接BM，交PQ于点N． （1）如图1，当点P为BC中点时，线段PN与线段QN的数量关系为　 　 ； （2）如图2，当点P为射线BC上一点时，线段PN与线段QN的数量关系是否发生变化？若不变，请证明，若变化，请说明理由； （3）若时，请直接写出AN的长． 19．（2026•锡山区一模）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AD，交AC于点F，将△AEF沿AC折叠得△AGF． （1）若点G落在边BC上，BG＝ 　 　 ； （2）若点G到BC的距离为2，求△ABG的面积； （3）如图2，若点H为BC的中点，连接GH、FH，当△FHG为直角三角形时，请直接写出AE的长． 20．（2026•定海区一模）问题提出 （1）如图①，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，连接AE、DE，当∠AED＝90°时，∠A+∠D＝　 　 °． 问题探究 （2）如图②，在边长为6的等边△ABC中，D为AB的中点，E为BC边上任意一点，连接DE，并作∠DEF＝60°，使得∠DEF的一边与AC交于点F，试求出CF的最大值． 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD为某美食商业区的平面示意图，其中AD∥BC，∠B＝90°，AB＝80m，BC＝CD＝100m．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在BC上选取一点M，CD上选取一点N，连接AM、AN、MN，构造△AMN．已知点A为美食商业区的出入口，，设BM＝xm，NC＝ym． （i）求y与x之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点N与点C的距离足够远，请你根据需求计算出当NC最大时△AMN的面积． 21．（2024•青岛）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ （2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 22．（2026•江门校级一模）如图1，直线AB：y＝mx﹣n（n＞0）与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作AE⊥x轴于点E，点F为x轴上一点，直线AB与直线AF关于直线AE对称． （1）若m＝1，AC：CD＝2：1，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； （2）如图2，过点F作FG⊥x轴交AB于点G，过点A作AP⊥FG于点P，连接DP．若k为定值，求证：△ADP的面积为定值； （3）在（1）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3﹣a+1（a≠0）的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使|FQ﹣DQ|最大，请直接写出点Q的坐标． 23．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 24．（2025•嘉峪关一模）在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是：1的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形 【操作判断】 如图1，已知矩形ABCD是一个标准矩形，其中ABBC＝2，M，N分别是AB，CD的中点，连接MN． （1）矩形BCNM　 　 标准矩形（填“是”或“不是”）． 【深入探究】 将矩形BCNM绕点B顺时针旋转得到矩形BC′N′M′， （2）如图2，当M′N′恰好经过点C时，旋转角∠MBM′的度数是　 　 ，线段CN′的长是　 　 ． （3）如图3，当矩形BC′N′M′在平面内绕点B旋转时，连接CC′，NN′，直线CC′与线段NN′交于点E，猜想NE与N′E的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形BC′N′M′旋转过程中，当A，M′，N′三点共线时，请直接写出线段CE的长． 25．（2026•雁塔区校级一模）问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，求△ABC面积的最大值　 　 ； 问题探究 （2）如图②，点A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，求△BCD的面积最大值； 问题解决 （3）如图③，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝40，BC＝20，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC上方作Rt△PCD，使∠DCP＝60°，连接AD，求△ACD的面积最大值． 26．（2026•乌鲁木齐模拟）已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． 【问题初探】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF； 【类比探究】（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，AD＝2CD，且DE⊥CF，猜想DE与CF的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AD＝2CD，当∠B＝∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 27．（2026•西山区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，且CA＝CB，点N为边BC上一点，连接AN，过点C作CF⊥AN于点F，交直径AB于点E，连接BF，且∠BFN＝45°，过点A作AD，使得∠BAD＝∠BAC，且AB2＝AC•AD，连接BD． （1）求∠CBA的度数； （2）证明：BD与⊙O相切． （3）试探索：是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是定值，请说明理由． 28．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 29．（2026•阎良区一模）【问题探究】 （1）如图1，P、Q是正方形ABCD的对角线BD上的点，且DP＝BQ，连接AP、CQ，试判断AP与CQ的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，E为AD边上一点，且BC＝DE＝3AE＝3，CD＝2，P、Q是对角线BD上的两个动点，且BQ＝DP，连接EP、AQ，求EP+AQ的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形ABCD的森林生态公园，沿其对角线BD修建一条景观水渠，其中AB＞BC，BC＝2km，∠CBD＝60°．现在计划在水渠BD上找两个点，沿AP修建笔直的健身步道，沿CQ修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/km，修建塑胶跑道的费用是40万元/km．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 30．（2026•浙江一模）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 三．填空题（共15小题） 31．（2026•芜湖二模）如图，已知矩形ABCD，连接BD，点P是AD上一点，且∠PBD＝∠CBD． （1）若AB＝4，BC＝6，则AP＝　 　 ； （2）连接CP交BD于点Q，若CQ＝CD，则　 　 ． 32．（2022•东城区一模）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 　 　 尺，立夏的晷长为 　 　 尺． 33．（2026•梁园区校级一模）如图，矩形ABCD中，点P为AB上一个动点，以DP为对称轴折叠△APD得到△DQP，点A的对应点为点Q，连接CQ，BQ，若AD＝6，AB＝8，当△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形时，AP的长为　 　 ． 34．（2026•锡山区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上一动点（不与A、D重合），连接BP，过C点作CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点． （1）当点P为AD中点时，CE＝　 　 ； （2）线段DF的最小值是　 　 ． 35．（2026•碑林区校级一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，EF⊥BE与CD交于点F，当时，则的值为　 　 ． 36．（2026•深圳一模）如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为 　 　 ． 37．（2025•南京一模）如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，AB长为半径画弧，得到BC，则的长为 　 　 （结果保留π）． 38．（2026•深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为边AD上一个动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，点C的对应点为点Q，连接BQ，CQ，则BQ的最小值为 　 　 ． 39．（2023秋•东港区期末）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若，AD＝1．在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 　 　 ． 40．（2026•雁塔区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，点E在AD边上，AE＝1，点M、N在对角线BD上，MN＝2，连接AM、EN，则AM+EN的最小值是　 　 ． 41．（2025秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为边向外作正方形AOEB和正方形BCFH．点P、Q分别为线段DE和线段BC上的动点，在运动过程中，△APQ周长的最小值为　 　 ． 42．（2026•阎良区一模）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在CD、AD边上，CM＝DN，连接BM、BN．若，则线段BM的长为　 　 ． 43．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 　 　 ． 44．（2026•西山区校级模拟）如图，圆锥的母线长AB＝10cm，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的侧面积等于　 　 cm2（结果用含π的式子表示）． 45．（2026•乌鲁木齐模拟）记一个四位自然数，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”．例如：四位数4279就是“双11数”．设N是一个“双11数”，记，若是整数，则满足条件的N的最小值是　 　 ． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-7） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B D A B A B C C D 题号 12 13 14 15 答案 B B D C 一．选择题（共15小题） 1．（2026•芜湖二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．M，N，P分别是AC，BC，AB的中点，D在AP上运动（不与A，P重合），连接CD．点E与点N关于CD对称，连接EM并延长交CD于点Q，则AQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接QN， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM＝CNACBC＝2， ∵折叠， ∴EC＝NC＝2，∠EQC＝∠NQC，∠NCQ＝∠ECQ， ∴EC＝MC， ∴∠E＝∠CME， 设∠E＝∠CME＝α，则∠ECM＝180°﹣2α， 设∠ACD＝β，则∠BCD＝90°﹣β， ∴180°﹣2α+β＝90°﹣β， ∴α﹣β＝45°， 又∠MQC＝∠EMC﹣∠MCD＝α﹣β， ∴∠MQC＝45°， ∴∠NQC＝∠EQC＝45°， ∴∠MQN＝90°， 连接MN， ∴， ∴点Q在以MN为直径的圆上运动， 取MN中点O，连接OQ，AO， ∴当A、Q、O三点共线，且Q在AO上时，AQ最小，最小值为AO﹣OQ， ∵O为MN中点，∠MQN＝90°， ∴， 取CM中点H，连接OH， ∴， ∵O、H分别是MN，MC的中点， ∴，OH∥CN， ∴AH＝AC﹣CH＝3，∠AHO＝∠ACB＝90°， ∴， ∴AQ的最小值为， 故选：D． 2．（2025•昌平区二模）连接正五边形ABCDE的对角线，形成如图的图形，中心为点O．BD与CE交于点F，连接OA与BE交于点G，连接OB，OC，OD，OE． 观察后得出如下结论： ①∠CAD＝30°； ②连接OF，则有OG+OF＝AG； ③∠CFD＝2∠COD； ④连接BC，则有BC＝BF． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【解答】解：①∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠COD72°， ∴∠CAD∠COD＝36°， 因此①不正确； ②如图，连接AB，AE，→对称性可知，点P、O、G、A共线， ∵∠COD＝36°，∠BCF∠BOE＝72°， ∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠BCF， ∴BC＝BF， 因此④正确； ∵AB＝BC， ∴AB＝BF， 同理AE＝EF， ∴AB＝BF＝FE＝AE， ∴四边形ABFE是菱形， ∴AG＝GF， ∴AG＝OG+OF， 因此②正确； ③由题意可得∠CFD＝108°，∠COD＝72°； ∴∠CFD≠2∠COD， 因此③不正确； 综上所述，正确的结论有：②④， 故选：B． 3．（2026•梁园区校级一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶点B的坐标为（0，4），点A在第一象限，∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转60°，旋转第一次得到四边形OA1B1C1（点C1与点A重合），则旋转第2026次得到的点B2026的坐标（　　） A．（0，﹣4） B． C． D． 【解答】解：过B1作B1H⊥x轴于H，连接OB1， ∵将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转60°， ∴每6次一个循环， ∵2026÷6＝337…4， ∵四边形OABC是菱形，OB＝4，∠AOC＝60° ∴B1HOB1＝2，∠BOC∠AOC＝30°， ∵B的坐标是（0，4）， ∵cos30°， ∴B1K＝AB+AK＝2， ∴B1的坐标为（2，2）， B2与B1关于x轴对称，B3与B关于x轴对称，B4与B1关于原点对称， ∴B4（﹣2，﹣2）， ∴第2026次旋转结束时点B的对应点， 点B的对应点的坐标为（﹣2，﹣2）， 故选：B． 4．（2026•锡山区一模）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 【解答】解：∵|x1+y2|+|x2+y1|＝0， ∴x2+y1＝0，x1+y2＝0， ∴x2＝﹣y1，y2＝﹣x1， A、∵， 当点（x1，y1）在反比例函数上时，则x1y1＝2， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴x2y2＝﹣x1•（﹣y1）＝x1y1＝2； ∴点（x1，y1）的反射点（x2，y2），必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”；正确，不符合题意； B、对于y＝x2+1，若点（x1，y1），（x2，y2）是反射点，则，， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故二次函数函数y＝x2+1的图象上没有“反射点”；正确，不符合题意； C、∵y＝kx﹣4是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2），即（x1，y1），（﹣y1，﹣x1）在直线y＝kx﹣4上， ∴， ∴y1+x1＝k（x1+y1）， ∵y1≠﹣x1， ∴y1+x1≠0， ∴k＝1， ∴y＝x﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝x﹣4＝0时，x＝4， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为（0，﹣4），（4，0）， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为；正确，不符合题意； D、∵二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2）， ∴，， ∴， ∴， ∴x2+x1＝1或x2﹣x1＝0， 当x2﹣x1＝0时，即x2＝x1，则； ∴x2+x1＝1， ∴x2＝﹣x1+1， ∴， ∴， 当时，，此时； 故；错误，符合题意； 故选：D． 5．（2026•武威一模）已知抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣3）与y轴负半轴交于点C，抛物线L的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，当时，a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，3a）． 因为抛物线与y轴交于负半轴， 所以3a＜0， 解得a＜0． 因为抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x， 则对称轴与x轴的交点E坐标为（2，0）． 将x＝2代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）得， y＝﹣a， 所以顶点D的坐标为（2，﹣a）． 过点C作抛物线对称轴的垂线，垂足为M， 则点M坐标为（2，3a）， 所以CM＝2，DM＝﹣a﹣3a＝﹣4a． 在Rt△CDM中， tan∠CDE， 解得a＝﹣1． 故选：A． 6．（2026•六盘水模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G．若点G刚好是BC的中点，则DE的长是（　　） A．1 B． C． D．3 【解答】解：连接AG， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝8， ∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝BC＝CD＝8（正方形的每条边都相等，每个角都是90°）， ∵点G是BC的中点， ∴， ∵△ADE沿AE折叠至△AFE， ∴AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°， ∵AG＝AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG＝FG＝4， 设DE＝x，则CE＝8﹣x， 根据图形翻折的性质可知，EF＝DE＝x， 在Rt△ECG中，CG2+CE2＝EG2， ∴42+（8﹣x）2＝（x+4）2， 解得， ∴DE的长是． 故选：B． 7．（2025•重庆二模）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，若∠EAF＝45°，AB＝4，BC＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴D＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4， ∵AF平分∠CAB， ∴∠BAF＝∠CAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAE+∠BAF＝45°， ∵∠EAC+∠CAF＝45°， ∴∠DAE＝∠CAE， ∵∠D＝∠EHA＝90°，AE＝AE， ∴△AED≌△AEH（AAS）， ∴AD＝AH＝3，DE＝EH， 设DE＝EH＝x， ∵AC5， ∴CH＝5﹣3＝2， ∵EC2＝EH2+CH2， ∴（4﹣x）2＝x2+22， ∴x， ∴DE， ∴AE， ∴． 故选：A． 8．（2026•平南县模拟）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 【解答】解：∵矩形ABCD与矩形EABF相似， ∴，即， 解得，AD＝6， 故选：B． 9．（2026•中原区校级一模）5G无人物品派送车已应用于实际生活中，如图1所示为无人物品派送车．该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图2所示（不完整）．下列分析正确的是（　　） A．派送车从出发点到派送点往返行驶的路程为3.2km B．在5～9min内，派送车的速度逐渐增大 C．在0～5min内，派送车的平均速度为0.12km/min D．在9～12min内，派送车匀速行驶 【解答】解：由图象，可知0～9min为派送车从出发点到派送点，9～12min为派送车在派送点停留，12～18min为派送车从派送点返回出发点， 故派送车从出发点到派送点行驶的路程为1.0km，故选项A，D不符合题意； 由图象，可知在5～9min内，相同时间段内增加的路程越来越少，说明派送车的速度逐渐减小，故选项B不符合题意； 在0～5min内派送车行驶的路程为0.6km，故平均速度为0.6÷5＝0.12（km/min），故选项C符合题意． 故选：C． 10．（2026•雁塔区校级一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其对称轴为直线x＝1，函数的最大值为m，且与x轴的一个交点的横坐标在3和4之间，则下列结论正确的是（　　） A．4a﹣2b+c＞0 B．2a+b＝1 C．b2﹣4ac+4am＝0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有实数根 【解答】解：由题意知，函数的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则另一个交点应在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， 补全图象，如图， A：由图象可知，当x＝﹣2时，函数值小于0，即y＝4a﹣2b+c＜0，错误； B：对称轴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，错误； C：函数的最大值为m，即顶点纵坐标为m， ∴， ∴4ac﹣b2＝4am， ∴b2﹣4ac+4am＝0，正确； D：∵函数最大值为m， ∴ax2+bx+c≤m， ∴ax2+bx+c＝m+1没有实数根，错误． 故选：C． 11．（2026•乌鲁木齐模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线过点E B．当AE＝AD时，△ABC是等边三角形 C．∠BDC＝3∠ABD D．当E为AB中点时， 【解答】解：连接DE， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∵D是AC的中点， ∴DEAC， ∴DE＝CD， ∵BE＝CD， ∴DE＝BE， ∴BD的垂直平分线经过点E， 故A不符合题意； ∵∠AEC＝90°，D是AC的中点， ∴EDAC， ∴ED＝AD， ∵AE＝AD， ∴△AED是等边三角形， ∴∠AED＝∠ADE＝60°， ∵BE＝CD，AE＝CD， ∴AE＝BE， ∵D是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ED∥BC， ∴∠ABC＝∠AED＝60°，∠ADE＝∠ACB＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故B不符合题意； ∵AD＝ED，DE＝BE， ∴∠A＝∠AED，∠ABD＝∠BDE， ∵∠AED＝∠ABD+∠BDE＝2∠ABD， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠ABD， 故C不符合题意； ∵E是AB的中点，D是AC的中点， ∴ED是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴△DOE∽△BOC， ∴OE：OC＝DE：BC＝1：2， ∴△BOC的面积：△BCE的面积＝2：3， ∵E是AB的中点， ∴△AEC的面积＝△BCE的面积， ∴△BOC的面积：△BCE的面积＝2：3， 故D符合题意． 故选：D． 12．（2026•西山区校级模拟）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（　　） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， ∴估算的值在1和2之间， 故选：B． 13．（2025•南京）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y＝x+2的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°．其中，能使函数y＝2x+4的图象经过一种变换后过点P（2，2）的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①点P（2，2）关于y轴的对称点为（﹣2，2），把x＝﹣2代入y＝2x+4得，y＝2×（﹣2）+4＝0≠2， ∴函数y＝2x+4的图象沿y轴翻折后不过点P（2，2）； ②设点P（2，2）关于直线y＝x+2的对称点Q为（a，b），则点（，）在直线y＝x+2上， ∴2， ∴b＝a+4， ∴对称点为（a，a+4）， ∵直线PQ与直线y＝x+2垂直， ∴设直线PQ为y＝﹣x+t， 则，解得a＝0， ∴对称点为（0，4）， 当x＝0时，y＝2x+4＝4， ∴函数y＝2x+4的图象沿函数y＝x+2的图象翻折后过点P（2，2）； ③点P（2，2）绕原点按逆时针方向旋转45°得到（0，2）， 当x＝0时，y＝2x+4＝4， ∴函数y＝2x+4的图象绕原点按顺时针方向旋转45°后不过点P（2，2）； ④点P（2，2）绕点（1，﹣1）按逆时针方向旋转90°得到（﹣2，0）， 当x＝﹣2时，y＝2x+4＝0， ∴函数y＝2x+4的图象绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°过点P（2，2）； 故选：B． 14．（2026•阎良区一模）二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 ﹣0.6 m n … 则下列关于该二次函数的描述错误的是（　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝3 C．当x＜3时，y随x的增大而减小 D．当y＝1时，x＝0 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c， ∴该函数图象的对称轴为直线x＝3，故选项B正确，不符合题意； 由表格中的数据可知，该函数图象开口向上，故选项A不符合题意； 当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意； 当y＝1时，x＝0或x＝6，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 15．（2025秋•福田区校级期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段AB＝2，点P恰好是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据黄金分割的定义可知：BP2＝AP•AB， ∴BP2＝2（2﹣BP）， 整理得：BP2+2BP﹣4＝0， 解得：（负值已舍去）， 故选：C． 二．解答题（共15小题） 16．（2026•芜湖二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，并且经过点（﹣1，3），求抛物线对应的函数表达式． （2）若直线y＝ax+c经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②A（p﹣4，y1），B（p，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． 根据题意，得抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）． 设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 把（﹣1，3）代入，可得3＝4a﹣1 解得a＝1， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x； （2）①根据y＝ax2+bx+c， 可得二次函数的顶点为， 把代入y＝ax+c， 得， 化简，得． ∵， ∴， ∴b＝2a， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）； ②设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2﹣1． ∴，． ＝a（p﹣3）2﹣a（p+1）2 ＝8a（1﹣p）． ∵y1＞y2， ∴8a（1﹣p）＞0， ∵a＞0， ∴1﹣p＞0， ∴p＜1． 17．（2026•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段PO（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转90°得到线段PO'，延长PO'至点Q，使得PQ＝2OP，若点M为线段PQ上一点（点M可与线段PQ端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”． 已知点A（0，1）、点B（0，2）． （1）M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，是线段AB的“二倍点”的是 M1（1，1），M3（1，2）　 ； （2）直线y＝k（x﹣1）（k≠0）存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围； （3）⊙A的半径为1，M是⊙A的“二倍点”，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，点N在线段CD上（N可与线段CD端点重合），当点N在线段CD上运动时，直接写出线段MN的最大值和最小值． 【解答】解：（1）如图： ∵A（0，1）、B（0，2）， ∴线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部， ∴在M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，M1（1，1），M3（1，2）是线段AB的“二倍点”， 故答案为：M1（1，1），M3（1，2）； （2）如图： ∵A（0，1）、B（0，2）， ∴线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部， 直线y＝k（x﹣1）过定点（1，0）， 当直线y＝k（x﹣1）过C（4，2）时， 3k＝2， 解得k， 当y＝k（x﹣1）过A（0，1）时， ﹣k＝1， ∴k＝﹣1， 观察图形可知，直线y＝k（x﹣1）（k≠0）存在线段AB的“二倍点”，则k或k≤﹣1； （3）设P为⊙A上一点，连接OP，将OP绕P逆时针旋转90°，并延长到M，使PM＝2OP，取K（2，1），连接PA，OM，KM，OK，过K作KT⊥x轴于T，如图： ∵PM＝2OP，∠OPM＝90°， ∴tan∠PMO，， ∵K（2，1），A（0，1）， ∴tan∠KOT，， ∴∠PMO＝∠KOT，， ∴∠POA＝90°﹣∠AOM﹣∠PMO＝90°﹣∠AOM﹣∠KOT＝∠MOK， ∴△POA∽△MOK， ∴， ∴MK， ∴M的运动轨迹是以K为圆心，为半径的⊙K，则⊙A的“二倍点”是⊙K及其内部和⊙A及其内部， 过A作AN⊥CD于N，交⊙O于M，如图： 此时MN最小， 由y＝x+4得C（﹣4，0），D（0，4）， ∴OC＝OD，AD＝3， ∴∠DCO＝∠CDO＝45°， ∴∠NRC＝45°， ∴△NDA是等腰直角三角形， ∴AN， MN＝AN﹣AM1， ∴线段MN的最小值为1； 连接CK并延长交⊙K于M，此时若N与C重合，则MN最大，如图： 在Rt△KNT中， NK， ∴MN＝NK+MK； ∴线段MN的最大值为． 综上所述，线段MN的最小值为1，线段MN的最大值为． 18．（2026•梁园区校级一模）等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为射线BC上不与B，C重合的一个动点，连接AP，以点A为顶点，AP为直角边在AP左侧作等腰直角三角形APQ，以点P为旋转中心将线段PC逆时针旋转90°得到线段PM，连接BM，交PQ于点N． （1）如图1，当点P为BC中点时，线段PN与线段QN的数量关系为PN＝QN ； （2）如图2，当点P为射线BC上一点时，线段PN与线段QN的数量关系是否发生变化？若不变，请证明，若变化，请说明理由； （3）若时，请直接写出AN的长． 【解答】解：（1）连接BQ， ∵点P为BC中点， ∴APBC＝BP，AP⊥BC， ∵AP＝AQ， ∴AQ＝BP， ∵∠PAQ＝90°＝∠ABP， ∴∠PAQ+∠APB＝180°， ∴AQ∥PB， ∴四边形APBQ是平行四边形， ∴PN＝QN， 故答案为：PN＝QN； （2）线段PN与线段QN的数量关系不发生变化， 证明：如图，连接BQ， ∵△ABC和△AQP是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠QAP＝90°，AB＝AC，AQ＝AP， ∴∠BAC﹣∠QAC＝∠QAP﹣∠QAC， ∴∠BAQ＝∠CAP， ∴△BAQ≌△CAP（SAS）， ∴∠ABQ＝∠ACP＝180°﹣∠ACB＝135°，BQ＝CP， ∴∠QBP＝∠ABQ﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴∠QBP＝∠BPM＝90°， ∴BQ∥PM， ∵CP＝PM， ∴BQ＝PM， ∴四边形BQMP是矩形， ∴PN＝QN； （3）或； 当点P在BC的延长线上时，作AD⊥BC于D，如图， ∵∠ACB＝45°，， ∴CD＝AD＝2， ∴PD＝CD+CP＝2+1＝3， ∴， 由（2）知：QN＝PN， ∴AN⊥QP， ∴∠ANP＝90°， ∴； 当点P在BC上时，作AD⊥BC于D，如图， 由上知：AD＝2，CD＝2， ∴PD＝CD﹣CP＝2﹣1＝1， ∴， ∴； 综上所述：或． 19．（2026•锡山区一模）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AD，交AC于点F，将△AEF沿AC折叠得△AGF． （1）若点G落在边BC上，BG＝ 　3　 ； （2）若点G到BC的距离为2，求△ABG的面积； （3）如图2，若点H为BC的中点，连接GH、FH，当△FHG为直角三角形时，请直接写出AE的长． 【解答】解：（1）延长EF交BC于点M， ∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，AD∥CB， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABME是矩形， ∴FM＝EM﹣EF， 设AE＝2x，， ∴EF＝x， ∴FM＝4﹣x，， ∴CM＝2FM＝8﹣2x， 由折叠的性质得AG＝AE＝2x，GF＝EF＝x，∠AGF＝∠AEF＝90°， ∴∠BAG＝90°﹣∠AGB＝∠FGM， ∴△BAG∽△MGF， ∴， 即， ∴GM＝2，BG＝8﹣2x， ∵BG+GM+CM＝BC＝8， ∴8﹣2x+2+8﹣2x＝8，解得， ∴BG＝3； 故答案为：3； （2）当点G在矩形ABCD内时，如图，延长EF交BC于点M，过点G作PQ⊥EM于点Q，交AB于点P，则四边形BPQM是矩形， 同（1）AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x，FQ＝4﹣EF﹣QM＝4﹣x﹣2＝2﹣x，AP＝4﹣BP＝2，AG＝AE＝2x，GF＝EF＝x， 同理△PAG﹣△QGF， ∴， 即， ∴GQ＝1，PG＝4﹣2x， 即MN＝1，BN＝4﹣2x， ∵BN+MN+CM＝BC＝8， ∴4﹣2x+1+8﹣2x＝8， 解得， ∴， ∴； 当点G在矩形ABCD外时，如图，延长EF交BC于点M，过点G作PQ⊥EM交EM的延长线于点Q，交AB的延长线于点P，则四边形BPQM是矩形， 同（1）AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x，FQ＝4﹣EF+QM＝4﹣x+2＝6﹣x，AP＝4+BP＝6，AG＝AE＝2x，GF＝EF＝x， 同理△PAG∽△QGF， ∴， 即， ∴GQ＝3，PG＝12﹣2x， 即MN＝3，BN＝12﹣2x， ∵BN+MN+CM＝BC＝8， ∴12﹣2x+3+8﹣2x＝8， 解得， ∴， ∴； 综上，△ABG的面积为3或9； （3）如图，当∠GFH＝90°时，延长EF交BC于点M， ∵∠AGF＝90°，∠GAF＝∠EAF， ∴FH∥AG， ∴∠HFC＝∠GAF＝∠EAF＝∠ACB， ∴， 同理，AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x， ∴MH＝4﹣2x， 在Rt△FHM中，由勾股定理得FM2+HM2＝FH2， 即（4﹣x）2+（4﹣2x）2＝42， 解得x＝4 （舍去）或则AE的长为； 如图，当∠GHF＝90°时，延长EF交BC于点M，过点G作GN⊥BC于点N，记AG与BC交于点R， 由折叠的性质得∠RAC＝∠EAC， ∵AD∥CB， ∴∠ACR＝∠EAC， ∴∠ACR＝∠RAC， ∴RA＝RC， 设RA＝RC＝m， ∴BR＝8﹣m， 在Rt△ABR中，由勾股定理得AB2+BR2＝AR2， 即42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5， ∴BR＝3，RA＝RC＝5，RG＝2x﹣5， ∵AB∥GN， ∴△ABR﹣△GNR， ∴， 即， ∴，RN， ∴HN＝BR+RN﹣BH＝3， 同（1）AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x， ∴HM＝2x﹣4， ∵∠GNH＝∠HMF＝∠GHF＝90°， ∴∠NGH＝90°﹣∠NHG＝∠MHF， ∴△NGH∽△MHF， ∴，即， 整理得20x2﹣116x+160＝0， ∴x， 则AE的长为． 综上，AE的长为或． 20．（2026•定海区一模）问题提出 （1）如图①，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，连接AE、DE，当∠AED＝90°时，∠A+∠D＝　90　 °． 问题探究 （2）如图②，在边长为6的等边△ABC中，D为AB的中点，E为BC边上任意一点，连接DE，并作∠DEF＝60°，使得∠DEF的一边与AC交于点F，试求出CF的最大值． 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD为某美食商业区的平面示意图，其中AD∥BC，∠B＝90°，AB＝80m，BC＝CD＝100m．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在BC上选取一点M，CD上选取一点N，连接AM、AN、MN，构造△AMN．已知点A为美食商业区的出入口，，设BM＝xm，NC＝ym． （i）求y与x之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点N与点C的距离足够远，请你根据需求计算出当NC最大时△AMN的面积． 【解答】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠A+∠AEB＝90°，∠D+∠DEC＝90°， ∴∠A+∠AEB+∠D+∠DEC＝180°， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠A+∠D＝90°． 故答案为：90； （2）∵△ABC是等边三角形，∠DEF＝60°， ∴∠B＝∠C＝60°＝∠DEF，AB＝BC＝6． ， ∴∠BDE＝∠FEC， ∴△DBE∽△ECF， ∴△DBE∽△ECF， ∴． 设BE＝m，CF＝n，则EC＝6﹣m， ∵D为AB的中点， ∴， ∴，整理得， ∴当m＝3时，n有最大值，最大值为3，即CF的最大值为3． （3）（i）如图，延长CB至点E，使得，连接AE，过点D作DF⊥BC， 根据题意可知，DF＝AB＝80m，CD＝100m， ∴， ∴，， ∵， ∴tanE＝tan∠AMN＝tanC， ∴∠E＝∠AMN＝∠C， ∵∠E+∠EAM+∠AME＝180°，∠AME+∠AMN+∠NMC＝180°， ∴∠EAM＝∠NMC， ∴△AEM∽△MCN， ∴． 设BM＝xm，NC＝ym． ∵， ∴， 整理得． （ii）如图，过点N作BC的垂线，与AD的延长线交于点G，与BC交于点H． 由（i）可知，， ∴当x＝20时，y取得最大值为64， 即当BM＝20m时，CN有最大值为64m， ∵， ∴设NH＝4am，CH＝3am， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵CF＝60m，BM＝20m，CM＝80m， ∴AD＝BF＝BC﹣CF＝40m， ∴，，，， ∴， ∴当NC最大时，△AMN的面积为2176m2． 21．（2024•青岛）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ （2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO， 根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm， ∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm， ∵点A在线段OE的垂直平分线上， ∴AE＝AO，即2+t＝2t， 解得：t＝2，符合题意， ∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上； （2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO， 则∠OGA＝∠BHO＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得：AB10cm， ∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm， ∴OG∥BC，OH∥AC， ∴，，即，， 解得：OG，OH， 由平移可知PC∥FD，且DE＝DF， ∴， ∴CP＝CE＝6﹣t， ∴S＝S△PCO+S△CEO ； （3）过点P作PM⊥OB于点M， ∴∠BMP＝∠ACB＝90°， ∵∠MBP＝∠ABC， ∴△BMP∽△BCA， ∴，即， ∴BM，PM， ∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10， ∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称， ∴tan∠OAQ，即， ∴OH＝OQ， ∵tan∠MOP，tan∠OBH， ∵PO∥BH， ∴∠MOP＝∠OBH， ∴， 解得t，故符合题意， ∴当t为秒时，PO∥BH． 22．（2026•江门校级一模）如图1，直线AB：y＝mx﹣n（n＞0）与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作AE⊥x轴于点E，点F为x轴上一点，直线AB与直线AF关于直线AE对称． （1）若m＝1，AC：CD＝2：1，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； （2）如图2，过点F作FG⊥x轴交AB于点G，过点A作AP⊥FG于点P，连接DP．若k为定值，求证：△ADP的面积为定值； （3）在（1）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3﹣a+1（a≠0）的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使|FQ﹣DQ|最大，请直接写出点Q的坐标． 【解答】（1）解：当m＝1时，直线AB的解析式为y＝x﹣n（n＞0）， 把y＝0代入y＝x﹣n得x﹣n＝0， 把x＝0代入y＝x﹣n得y＝﹣n， 解得：x＝n， ∴D（0，﹣n），C（n，0）， ∴OC＝OD＝n， ∵AE⊥x轴， ∴∠CEA＝∠COD＝90°， 又∠ACE＝∠DCO， ∴△CEA∽△COD． ∴， ∵AC：CD＝2：1，点A的横坐标为3， ∴， ∴A（3，2），OC＝n＝1， 将A（3，2）代入，得， 解得：k＝6， ∴． （2）证明：把x＝0代入y＝mx﹣n得：y＝﹣n， 把y＝0代入y＝mx﹣n得：0＝mx﹣n， 解得：， ∴D（0，﹣n），， ∴，OD＝n， ∵AP⊥FG，AE⊥x轴，FG⊥x轴， ∴四边形AEFP是矩形， 又直线AB与直线AF关于直线AE对称， ∴AP＝EF＝CE． 根据（1）可知：△COD∽△CEA， ∴， ∴， 设AP＝CE＝t，则AE＝mt， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 即若k为定值，则△ADP的面积为定值． （3）由（1）得C（1，0），A（3，2），D（0，﹣1），E（3，0）， ∵直线AB与直线AF关于直线AE对称， ∴F（5，0）， ∵y＝ax2﹣2a2x+a3﹣a+1＝a（x2﹣2ax+a2）﹣a+1＝a（x﹣a）2﹣a+1， ∴抛物线的顶点Q的坐标为（a，﹣a+1）， ∴点Q是直线y＝﹣x+1（x≠0）上一点． 把y＝0代入y＝﹣x+1得：﹣x+1＝0， 解得：x＝1， ∴C（1，0）在直线y＝﹣x+1， 把x＝0代入y＝﹣x+1得：y＝1，设y＝﹣x+1与y轴交于点N， ∴N（0，1）， ∴DN＝2，，， ∴DN2＝NC2+CD2， ∴△CDN为直角三角形，∠NCD＝90°， ∴AB⊥CN， 作点D关于直线y＝﹣x+1的对称点D′，连接DQ，D′Q，如图所示： 根据轴对称可知，DQ＝D′Q， ∴|FQ﹣DQ|＝|FQ﹣D′Q|≤D′F，当Q、D′、F共线时取最大值D′F， 此时，∵CD⊥直线y＝﹣x+1， ∴点D′在直线CD上，且CD＝CD′， ∴根据中点坐标可知：点D′的坐标为（2，1）， 设直线D′F的解析式为y＝ex+b， 将D′（2，1），F（5，0）代入， 得， 解得， ∴直线D′F的解析式为． 联立， 解得， ∴在平面直角坐标系中存在点Q，使|FQ﹣DQ|最大，则点Q的坐标为（﹣1，2）． 23．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　45°　 ，k的值为　　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB＝∠DAC＝45°，ADOA， ∴旋转角为45°，k， ∴k， 故答案为：45°，； （2）根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF＝∠OAB，， ∴∠FAB＝∠EAO，， ∴△AFB∽△AEO， ∴， ∠OAB＝45°，∠AOB＝90°， ∴， ∴， （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证△AFB∽△AEO， ∴， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OG⊥AB于点G， ∴AB＝2BG，cos∠ABO， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）同理可证，∠BAO，2cos， ∴BF＝OE•2cos，BA＝OB•2cos， ∵BE＝OE+OB， ∴BF+BA＝OE•2cos ＝2（OE+OB）cos， 即BF+BA＝2BEcos． 24．（2025•嘉峪关一模）在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是：1的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形 【操作判断】 如图1，已知矩形ABCD是一个标准矩形，其中ABBC＝2，M，N分别是AB，CD的中点，连接MN． （1）矩形BCNM　是　 标准矩形（填“是”或“不是”）． 【深入探究】 将矩形BCNM绕点B顺时针旋转得到矩形BC′N′M′， （2）如图2，当M′N′恰好经过点C时，旋转角∠MBM′的度数是　45°　 ，线段CN′的长是　　 ． （3）如图3，当矩形BC′N′M′在平面内绕点B旋转时，连接CC′，NN′，直线CC′与线段NN′交于点E，猜想NE与N′E的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形BC′N′M′旋转过程中，当A，M′，N′三点共线时，请直接写出线段CE的长． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴BM＝CN＝1， ∴， ∴矩形BCNM是标准矩形， 故答案为：是； （2）当M′N′恰好经过点C时， ∵Rt△BCM′中，， ∴， ∴∠CBM′＝45°，BM′＝CM′＝1， ∵∠ABC＝90°， ∴∠MBM′＝90°﹣45°＝45°， ∴， 故答案为：； （3）如图1，分别过点N，N′作直线CC′的垂线，垂足分别为F，G， 由旋转的性质，可知N′C′＝NC，BC′＝BC，∠BC′N′＝∠BCN＝90°， ∴∠BC′C+∠CC′N′＝∠BCC′+∠NCF＝90°， ∵BC′＝BC， ∴∠BCC′＝∠BC′C， ∴∠NCF＝∠CC′N′， 在△NFC与△N′GC′中， ， ∴△NFC≌△N′GC′（AAS）， ∴NF＝N′G， ∵∠NFE＝∠N′GE＝90°，∠NEF＝∠N′EG， ∴△NEF≌△N′EG（AAS）， ∴NE＝N′E； （4）①如图3，当点M′在线段AN′上时，∠AM′B＝90°， ∵AB＝2，BM′＝1，∠AM′B＝90°， ∴， ∴∠BAM′＝30°， ∴∠ABM′＝60°， 连接BN，BN′，则BN＝BN′， ∵∠M′BN′＝∠MBN， ∴∠ABM′＝∠NBN′＝60°， ∴△BNN′是等边三角形， ∴， 由（3）可知，，′ ∵∠NBC＝∠N′BC′，∠NBC+∠N′BC＝∠NBN′＝60°， ∴∠N′BC+∠N′BC′＝∠CBC′＝60°， ∵BC＝BC′， ∴△BCC′是等边三角形， 过点N′作N′G⊥EC′于G， ∵∠BC′N′＝90°， ∴∠GC′N′＝30°， ∴，， 在Rt△EN′G中，， ∴； ②如图，当点M′在线段AN′的延长线上时，连接BN，BN′，过点N作NF⊥EC于点F， 同理可得△BNN′是等边三角形， ， 综上所述，线段CE的长为或． 25．（2026•雁塔区校级一模）问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，求△ABC面积的最大值　　 ； 问题探究 （2）如图②，点A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，求△BCD的面积最大值； 问题解决 （3）如图③，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝40，BC＝20，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC上方作Rt△PCD，使∠DCP＝60°，连接AD，求△ACD的面积最大值． 【解答】解：（1）如图1，作出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，当△ABC的BC边上的高经过点O时，△ABC面积最大，过点O作OD⊥BC，并延长DO交圆于点A′，连接A′B，A′C， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOD＝30°，OB＝OA′＝BC＝4， ∴， ∴， ∴． 即△ABC面积的最大值， 故答案为：， （2）如图2，以BC为边作等边△BCE，连接DE， ∵△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝60°， ∵△BCE是等边三角形， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝60°， ∴∠BCA＝∠ECD， 在△DCE和△ACB中， ， ∴△DCE≌△ACB（SAS）， ∴DE＝AB＝2， ∴点D在以点E为圆心的圆上，且半径DE＝2，过点E作EF⊥BC于点F，即EF是BC的垂直平分线，当点D在EF上且在点E的上方时，△BCD的面积取得最大值， ∴在△BCE中，BC＝CE＝BE＝4，∠BCE＝60°，EF⊥BC， ∴， ∴，且DE＝2， ∴， ∴， （3）∵AB＝40，BC＝20， ∴，OC＝40， 如图3，连接OP，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则，，∠OCP＝∠ECD， ∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°， ∴CP＝2CD， ∴， ∴△COP∽△CED， ∴， 即（定长）， ∵点E是定点，DE是定长， ∴点D在半径为10的⊙E上， 过E点作EH⊥AC，交⊙E于点D，则当点D在点E的上方时，△ACD的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 26．（2026•乌鲁木齐模拟）已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． 【问题初探】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF； 【类比探究】（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，AD＝2CD，且DE⊥CF，猜想DE与CF的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AD＝2CD，当∠B＝∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC，∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠CFD， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF； （2）解：DE＝2CF； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD＝∠DCF+∠CFD＝90°， ∴∠ADE＝∠DCF， ∴△ADE∽△DCF， ∴， ∴DE＝2CF； （3）解：当∠B＝∠EGF时，DE＝2CF成立； 证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF， ∴∠CMF＝∠CFM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠CDM， ∵AD∥BC， ∴∠B+∠A＝180°， ∵∠B＝∠EGF， ∴∠EGF+∠A＝180°， ∴∠AED+∠AFG＝180°， ∵∠CFM+∠AFG＝180°， ∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF， ∴△ADE∽△DCM， ∴，即，即DE＝2CF． 27．（2026•西山区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，且CA＝CB，点N为边BC上一点，连接AN，过点C作CF⊥AN于点F，交直径AB于点E，连接BF，且∠BFN＝45°，过点A作AD，使得∠BAD＝∠BAC，且AB2＝AC•AD，连接BD． （1）求∠CBA的度数； （2）证明：BD与⊙O相切． （3）试探索：是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是定值，请说明理由． 【解答】（1）解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°； （2）证明：∵AB2＝AC•AD， ∴，∵∠BAD＝∠BAC， ∴△BAC∽△DAB， ∴∠ABD＝∠ACB＝90°， ∴AB⊥BD， ∵AB是直径， ∴BD是⊙O的切线； （3）解：是定值． 理由：如图，连接DF，延长AN交⊙O于点T，连接BT．过点B作BH⊥FE交FE的延长线于点H，连接DH． ∵AB是直径， ∴∠FTB＝90°， ∵∠BFB＝45°， ∴∠TBF＝∠NFB＝45°， ∴TF＝TB， ∵AT⊥CE， ∴∠TFH＝90°， ∵BH⊥FE， ∴∠FHB＝90°， ∴四边形TFHB是矩形， ∵TF＝TB， ∴四边形TFHB是正方形， ∴BT＝BH，∠TBH＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠TBH， ∴∠ABT＝∠DBH， ∵BA＝BD，BT＝BH， ∴△ABT≌△DBH（SAS）， ∴∠ATB＝∠BHD＝90°， ∴∠FHD＝180°， ∴C，H，D三点共线， ∵△ABC，△ABD都是等腰直角三角形， ∴ADABAC＝2AC， ∵∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝90°， ∴tan∠ADC， ∵∠CAN+∠NAD＝90°，∠ADC+∠NAD＝90°， ∴∠CAN＝∠ADC， 同法可证∠NCF＝∠CAN， ∴∠NCF＝∠CAF＝∠ADC， ∵∠T＝∠CFN＝90°， ∴CF∥BT， ∴∠TBN＝∠NCF， ∴∠TBN＝∠NCF＝∠CAF＝∠ADC， ∴tan∠TBN＝tan∠NCF＝tan∠CAF＝tan∠ADC， 设FN＝a，则CF＝2a，AF＝4a，BT＝2TN， ∵TF＝TB， ∴NT＝NF＝a， ∴BT＝TF＝2a， ∴BF＝2a， ∴． 28．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3． 故点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 故解得， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3． （2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中， 可得，， ∴， 配方得． 故当时，y1+2y2的最大值为10． 故不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一得． 当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0． ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′， 作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′， 则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4． ∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）． ∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0）， 点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）． ∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|． ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°． ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP． ∴， ∴，即MD＝ND． ∵MM′∥NN′， ∴△MM′D∽△NN′D． ∴，即MM′＝NN′， ∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）． ∴，即m2﹣m﹣1＝0或﹣4m＝﹣2， 解得或或m（此时P与M重合，舍去）， 故或． 29．（2026•阎良区一模）【问题探究】 （1）如图1，P、Q是正方形ABCD的对角线BD上的点，且DP＝BQ，连接AP、CQ，试判断AP与CQ的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，E为AD边上一点，且BC＝DE＝3AE＝3，CD＝2，P、Q是对角线BD上的两个动点，且BQ＝DP，连接EP、AQ，求EP+AQ的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形ABCD的森林生态公园，沿其对角线BD修建一条景观水渠，其中AB＞BC，BC＝2km，∠CBD＝60°．现在计划在水渠BD上找两个点，沿AP修建笔直的健身步道，沿CQ修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/km，修建塑胶跑道的费用是40万元/km．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【解答】解：（1）AP＝CQ； 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADP＝∠CBQ， ∵DP＝BQ， ∴△ADP≌△CBQ（SAS）， ∴AP＝CQ； （2）如图2，连接AC、CQ， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴AD∥BC， ∴∠EDP＝∠CBQ， ∵BQ＝DP，BC＝DE， ∴△EDP≌△CBQ（SAS）， ∴EP＝CQ， ∴EP+AQ＝CQ+AQ≥AC， ∵DE＝3AE＝3， ∴AE＝1，AD＝4， 在Rt△ADC中，AD＝4，CD＝2， ∴， ∴当Q位于AC与BD的交点处时，EP+AQ取得最小值，最小值为； （3）由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用， 如图3，取DP的中点E，AD的中点F，连接EF、AE，作点A关于BD的对称点A'，AA'交BD于点K，过点A'作A'G⊥AD交AD的延长线于点G，连接A'E、A'F． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝2，AD∥BC， ∴∠CBQ＝∠ADE＝60°， ∵DP＝2BQ，DE＝PE， ∴BQ＝DE， ∴△CBQ≌△ADE（SAS）， ∴CQ＝AE， ∵DE＝EP，AF＝DF，EF是△ADP的中位线， ∴， ∵A、A'关于BD对称， ∴A'E＝AE＝CQ， ∴AP+CQ＝EF+A'E≥A'F， 在Rt△AKD中，∠ADK＝60°， ∴， ∴AA'＝2AK＝2， 在Rt△A'AG中，∠KAD＝30°， ∴A'GAA'，AGA'G＝3， ∴DG＝AF＝DF＝1， ∴FG＝AD＝2， ∴A'F， ∴， ∴的最小值为， 故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元． 30．（2026•浙江一模）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 【解答】（1）证明：∵EB＝ED， ∴∠EBA＝∠EDB， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC＝∠EDB＝∠EBA， 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CED， ∴∠AEB﹣∠AED＝∠CED﹣∠AED， 即∠DEB＝∠AEC． （2）解：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F， ∵△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE＝6， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵∠DEB＝∠AEC， ∴，即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵BE＝4，CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10，AE＝CE＝6， ∴， ∴EF＝CE﹣CF＝1， ∴， ∴． （3）解：过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM， ∴∠CEG＝∠EAN，∠CGE＝∠ENA， ∵EA＝EC， ∴△CEG≌△EAN（AAS）， ∴EG＝AN， ∵∠DEB＝∠AEC，∠EMA＝∠DEB， ∴∠EMA＝∠EAM， ∴EM＝EA， ∴AM＝2AN， ∵∠MAD＝∠B＝∠BDE＝∠MDA， ∴MA＝MD， ∵∠FAD＝90°， ∴∠F＝∠FAM， ∴MF＝MA， ∴FD＝2AM＝4AN， ∴． 三．填空题（共15小题） 31．（2026•芜湖二模）如图，已知矩形ABCD，连接BD，点P是AD上一点，且∠PBD＝∠CBD． （1）若AB＝4，BC＝6，则AP＝　　 ； （2）连接CP交BD于点Q，若CQ＝CD，则　　 ． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠PDB＝∠CBD， ∵∠PBD＝∠CBD， ∴∠PBD＝∠PDB， ∴BP＝DP， 设AP＝x，则BP＝DP＝6﹣x， 在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2， 即42+x2＝（6﹣x）2， 解得， 则； （2）∵CQ＝CD， ∴∠CDQ＝∠CQD， 又∵∠PBD＝∠CBD，∠CDQ+∠PDB＝∠ADC＝90°，∠CQD＝∠PQB， ∴∠PBD+∠PQB＝90°， ∴∠BPC＝90°， 设AP＝m，DP＝n，则BC＝AD＝m+n，BP＝DP＝n， ∴CP2＝CD2+DP2＝2n2﹣m2，AB2＝CD2＝BP2﹣AP2＝n2﹣m2， 在Rt△BPC中，BP2+CP2＝BC2， 即n2+2n2﹣m2＝（m+n）2， 整理得m2+mn﹣n2＝0， 即， 设，即t2+t﹣1＝0， 解得或（舍去）， ∴． 32．（2022•东城区一模）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 　1　 尺，立夏的晷长为 　4.5　 尺． 【解答】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从冬至到夏至晷长变化12次， ∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为（13.5﹣1.5）÷12＝1（尺）， 立夏的晷长为1.5+3×1＝4.5（尺）， 故答案为：1，4.5． 33．（2026•梁园区校级一模）如图，矩形ABCD中，点P为AB上一个动点，以DP为对称轴折叠△APD得到△DQP，点A的对应点为点Q，连接CQ，BQ，若AD＝6，AB＝8，当△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形时，AP的长为　2或9﹣3　 ． 【解答】解：由折叠的性质可得DQ＝DA＝6，PA＝PQ，∠PQD＝∠A＝90°， 当CQ＝BQ时，如图，过Q作MN∥AD交AB于点N，交CD于点M， ∵CQ＝BQ， ∴Q在BC垂直平分线上， ∴MQ＝NQ＝3， 在Rt△DMQ中，MQDQ， ∴∠MDQ＝30°， ∴∠PDQ＝∠PDA＝30°， ∴AP＝AD•tan30°＝2； 当CQ＝CB＝6时，如图，过Q作MN∥AD交AB于点N，交CD于点M， 此时CQ＝DQ， ∴DM＝CMCD＝4，AN＝BN4， ∵∠DMQ＝∠PQD＝∠PNQ＝90°， ∴∠DQM＝∠QPN＝90°﹣∠PQN， ∴△DQM∽△QPN， ∴， 设QN＝2x，则PQ＝AP＝3x， ∴PN＝4﹣3x， 在Rt△PQN中，PN2+QN2＝PQ2， ∴（4﹣3x）2+4x2＝9x2， 整理得x2﹣6x+4＝0， 解得x＝3或x＝3（舍去）， 此时AP＝3x＝9﹣3； 综上，AP的长为2或9﹣3； 故答案为：2或9﹣3． 34．（2026•锡山区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上一动点（不与A、D重合），连接BP，过C点作CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点． （1）当点P为AD中点时，CE＝　　 ； （2）线段DF的最小值是　　 ． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∵点P为AD的中点， ∴， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠CBE＝∠APB， ∴sin∠CBE＝sin∠APB， ∵CE⊥BP， ∴∠BEC＝90°， ∴， 故答案为：； （2）如图，取BC中点G，取CG中点H，连接EG，FH，DH， ∵CE⊥BP， ∴∠BEC＝90°， ∵G是BC的中点， ∴， ∵F、H分别是CE，CG的中点， ∴FH是△CEG的中位线， ∴， ∵DF≥DH﹣FH， ∴当D、F、H三点共线时，DF有最小值，最小值为DH﹣FH的值， 在Rt△CDH中，由矩形的性质可得CD＝AB＝6，∠HCD＝90°， ∴， ∴DF的最小值为， 故答案为：． 35．（2026•碑林区校级一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，EF⊥BE与CD交于点F，当时，则的值为　　 ． 【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，EH⊥DC，垂足分别为G、H， ∴∠EHC＝∠EGC＝∠EGB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴EG＝EH，四边形EGCH是矩形， ∴四边形EGCH是正方形， ∴∠GEH＝90°，EH＝CH； ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°＝∠GEH， ∴∠BEF﹣∠FEG＝∠GEH﹣∠FEG， ∴∠GEB＝∠HEF， 在△GEB和△HEF中， ， ∴△GEB≌△HEF（ASA）， ∴S△EHF＝S△EGB， ∴S四边形BEFC＝S△EGB+S四边形EGCF＝S△EHF+S四边形EGCF＝S正方形EGCH， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∵∠EHC＝∠ADC＝90°，∠ECH＝∠ACD， ∴△EHC∽△ADC， ∴． 故答案为：． 36．（2026•深圳一模）如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为 　6　 ． 【解答】解：∵点C是OB的中点， ∴OC＝BC， 又由反比例函数的对称性可知，OD＝OC， ∴OB：BD＝2：3， ∴S△AOBS△ABD18＝12， 设点C的横坐标为m，则C（m，）， ∴B（2m，）， ∴A（2m，0）， ∴OA＝2m，AB， ∴•2m•12， 解得，k＝6． 故答案为：6． 37．（2025•南京一模）如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，AB长为半径画弧，得到BC，则的长为 　　 （结果保留π）． 【解答】解：∵∠BAD和∠CAD分别是正六边形和正五边形的内角，且正六边形和正五边形的边长均为6， ∴∠BAD（6﹣2）×180°＝120°，∠BAD（5﹣2）×180°＝108°，AB＝AC＝6， ∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°， ∵是以顶点A为圆心，AB长为半径画弧， ∴， 故答案为：． 38．（2026•深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为边AD上一个动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，点C的对应点为点Q，连接BQ，CQ，则BQ的最小值为 　5　 ． 【解答】解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴、BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点D的坐标为（4，3）， 过点P作GH⊥x轴于点H，作QG⊥GH于点G， ∴∠PHC＝∠QGP＝90°， ∴∠GPQ+∠GQP＝90°， ∵∠ABH＝90°， ∴四边形ABHP是矩形， ∴PH＝AB＝3，AP＝BH， ∵CP绕点P逆时针旋转90°得到PQ， ∴CP＝QP，∠CPQ＝90°， ∴∠QPG+∠CPH＝90°， ∵∠G＝∠PHC＝90°， ∴∠GPQ+∠GQP＝90°， ∴∠CPH＝∠PQG， ∴△CPH≌△PQG（AAS）， ∴PH＝GQ＝3，CH＝GP， 设点P（m，3），则BH＝AP＝m，CH＝4﹣m＝GP， ∴GH＝GP+PH＝4﹣m+3＝7﹣m， ∴Q（m+3，7﹣m）， ∴， ∵2（m﹣2）2≥0， ∴BQ的最小值是（当m＝2时取得最小值）； 故答案为：． 39．（2023秋•东港区期末）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若，AD＝1．在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 　　 ． 【解答】解：以A为圆心，AD为半径画圆，如图： ∵∠BMC＝90°， ∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小， ∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°， ∵AE＝AD， ∴四边形AEMD是正方形， ∴MD＝AE＝1， ∵， ∴， ∴BM＝BD﹣MD1， ∴， ∴CE＝BD，BM＝BD﹣MD1， ∴， ∴△MBC的面积为， 故答案为：． 40．（2026•雁塔区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，点E在AD边上，AE＝1，点M、N在对角线BD上，MN＝2，连接AM、EN，则AM+EN的最小值是　　 ． 【解答】解：如图，在DC上截取线段DF＝DE，以NM、NF为边构造平行四边形NMGF，边FG交BC于点H，连接AC，交FG于点I，交BD于点O，连接AG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC＝4，∠DAB＝∠DCB＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，∠ADB＝∠CDB， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝4，∠CDB＝∠CBD＝60°，， 由勾股定理可得， ∴， 在△DEN和△DFN中， ， ∴△DEN≌△DFN（SAS）， ∴EN＝FN， ∵四边形NMGF是平行四边形， ∴FG∥DB，MN＝FG＝2，GM＝FN＝EN， ∴AM+EN＝AM+GM≥AG， ∴当A、M、G三点共线时，AM+EN取得最小值AG， ∵FD＝ED＝AD﹣AE＝3， ∴CF＝CD﹣FD＝1， ∵FG∥DB，AC⊥DB， ∴∠CHF＝∠CBD＝60°，AC⊥FG，∠CFH＝∠CDB＝60°， ∴△CFH是等边三角形， ∴FH＝CF＝1， ∵AC⊥FG， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角△AIG中，， ∴AM+EN的最小值为． 41．（2025秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为边向外作正方形AOEB和正方形BCFH．点P、Q分别为线段DE和线段BC上的动点，在运动过程中，△APQ周长的最小值为　10　 ． 【解答】解：延长AD，截取DA′＝DA，连接A′F，延长FA，过点A′，作A′M⊥FM于点M， ∵AC＝BC＝5，∠ACB＝90°， ∴AB＝5， ∵四边形ABED和BCFH是正方形， ∴AB＝AD＝5，AC＝BC＝CF＝5，∠EDA＝∠FCB＝90°， ∴BC⊥AF，DE⊥AA′， ∴BC垂直平分AF，DE垂直平分AA′， ∴AP＝A′P，AQ＝FQ， ∴AP+AQ+PQ＝A′P+PQ+FQ， ∴当A′、P、Q、F在同一直线上时，△APQ的周长最小，且此时△APQ的周长等于A′F的长， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∴∠MAA′＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵A′M⊥AM， ∴∠AMA′＝90°， ∴∠AA′M＝90°﹣45°＝45°， ∴AM＝A′M， ∵AM2+A′M2＝A′A2＝200， ∴AM＝A′M＝10， ∴MF＝MA+AC+CF＝10+5+5＝20， ∴A′F10， 即△APQ的周长最小值为， 故答案为：． 42．（2026•阎良区一模）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在CD、AD边上，CM＝DN，连接BM、BN．若，则线段BM的长为　　 ． 【解答】解：连接BD，过点B分别作 BG⊥CD于点G，BH⊥AD于点H， A 根据菱形的面积公式求出， 根据△BCM和△BDN等底等高得S△BCM＝S△BDN， ∵， ∴， ∴， ∴CM＝2， 在 Rt△BCG 中， 由勾股定理求出 CG＝3， GM＝CG﹣CM＝3﹣2＝1， 在Rt△BGM中， 根据勾股定理，得，BM2＝BG2+GM2． ∵，GM＝1， ∴， GM2＝12＝1． BM2＝40+1＝41， 因为线段长度为正， ∴． 43．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 　　 ． 【解答】解：∵四边形DAEF为平行四边形， ∴EF＝AD，DF＝AE， ∵E为线段AC上的动点， ∴可以看作EF是定线段，平行四边形DAEF在AC方向上水平运动， 则如图，点B的运动轨迹为线段MN， 过点E作关于线段MN的对称点E'， 由对称性得BE＝BE'， ∴BE+BF＝BE'+BF≥E'F， 当且仅当E'、B、F依次共线时，B'E+BF取得最小值E'F，此时如图， 设AC与BD交于点O，E'E交MN于点H，延长E'E交FD延长线于点G， 菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2， ∴，BO＝DOBD＝1，AC⊥BD， 由题可得AC∥MN， ∴由对称性可得EH⊥HB， ∴AC⊥GH， ∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°， ∴四边形EOBH是矩形， ∴EH＝EH＝OB＝1， ∵四边形DAEF为平行四边形， ∴DF＝AE，DF∥AC， ∴GD⊥DO， ∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°， ∴四边形DOEG是矩形， ∴GD＝EO，GE＝DO＝1， ∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝2，GE'＝GE+EH+E'H＝3， ∴， 即BE+BF 的最小值为， 故答案为：． 44．（2026•西山区校级模拟）如图，圆锥的母线长AB＝10cm，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的侧面积等于　20π　 cm2（结果用含π的式子表示）． 【解答】解：这个圆锥的侧面展开图是半径为10cm，弧长为2π×2＝4π cm的扇形， 所以这个扇形的面积为4π×10＝20π（cm2）， 即圆锥的侧面积为20π cm2， 故答案为：20π． 45．（2026•乌鲁木齐模拟）记一个四位自然数，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”．例如：四位数4279就是“双11数”．设N是一个“双11数”，记，若是整数，则满足条件的N的最小值是　2794　 ． 【解答】解：根据双11数的定义设N＝1000a+100b+10c+d，其中1≤a≤9，0≤b，c，d≤9， 由a+c＝b+d＝11，得c＝11﹣a，d＝11﹣b， 因为c≤9，d≤9， 因此11﹣a≤9，11﹣b≤9， ∴a≥2，b≥2， ∵N＝990a+99b+121， ∴， 则， ∴90a+9b+16能被7整除， ∵90a+9b+16＝7（12a+b+2）+6a+2b+2， ∴6a+2b+2能被7整除， ∴2（3a+b+1）能被7整除， ∵2与7互质， ∴3a+b+1能被7整除， 要使N最小，需千位a最小， 因此取a＝2，此时3×2+b+1＝7+b能被7整除，即b能被7整除， 又∵b≥2，且b为一位整数，因此满足条件的最小b＝7， 此时c＝11﹣2＝9，d＝11﹣7＝4， ∴N＝2×1000+7×100+9×10+4＝2794， 故答案为：2794 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $