专题10 锐角三角函数及其应用（45题）（江西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题10 锐角三角函数及其应用（45题） 1．（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ． 2．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 3．（2023·江西·中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）    (1)连接，求证：； (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 4．（2023·江西·中考真题）（1）计算： （2）如图，，平分．求证：．    5．（2022·江西·中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 6．（2021·江西·中考真题）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 一、填空题 7．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，，，，则 ． 8．（2025·江西上饶·三模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 尺． 9．（2025·江西新余·二模）如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形，连接，则 ． 10．（2025·江西·二模）将图1所示的七巧板排成图2所示的矩形，则的值为 ． 11．（2025·江西景德镇·一模）已知含角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角顶点在刻度尺示数处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为，已知，若将三角尺绕点C顺时针旋转，则此时的长为 ． 12．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为 ． 二、解答题 13．（2025·江西鹰潭·二模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 14．（2025·江西·模拟预测）图1是总台蛇年春晚舞蹈《喜上枝头》的节目图片，节目汲取“喜鹊登枝”的美好寓意，将整个舞台打造成一幅展开的宋画．节目使用了春晚有史以来最大的道具，在画卷中搭建了一根长9.5米的“松枝”，松枝与喜鹊取“送喜”的吉祥寓意．如图2是“松枝”的简化图，已知，，，，点D到点C的垂直距离为，点D到点E的垂直距离为，，．（结果精确到） (1)求点A到点B的垂直距离； (2)求道具“松枝”的高度． （参考数据：，，，，，） 15．（2025·江西上饶·模拟预测）滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． (1)求斜坡的高度； (2)求滕王阁的高度． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）课本再现 （1）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高） 迁移应用 （2）如图2，和合塔位于丰城市丰水湖公园内，由我国著名古塔研究专家张驭寰大师主持设计，具有“明七层暗六层”的结构，共13层，展现了唐代古塔的风格．如图3，某数学实践小组想测量和合塔的高度，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为，然后从点A处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点B（A，B，N三点位于同一水平面内），且点B在点N南偏东方向上．根据以上信息，求和合塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 17．（2025·江西新余·三模）图1为一折叠画板，图2为其侧面示意图，支撑架的端点固定在上，另一端点可在上移动或固定，锁定杆的端点也固定在上，另一端点可在上移动或固定．移动点，当面板架与的夹角调整到合适的角度时，将点固定，则画板架即可使用．经测量知，，当锁定杆与面板架互相垂直时，． (1)求支撑架的长； (2)如图3，小明绘画时为达到最佳舒适感，调节面板架与的夹角，当时，支撑架与的夹角为18°，求此时的长．（参考数据：，，，） 18．（2025·江西新余·三模）如图1，三湾改编纪念碑是为了纪念1927年9月29日至10月3日毛泽东在我省永新县三湾村领导的三湾改编而建立的．某校数学实践小组利用无人机测量三湾改编纪念碑的高度．如图2，无人机操控者在纪念碑正前方的处操控无人机，当无人机飞到离地面的点处时，无人机测得与点的俯角为，测得纪念碑最高点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和纪念碑之间的距离为，点都在 同一平面上． (1)求此时无人机到纪念碑的距离（结果保留根号） (2)求纪念碑的高度（结果精确到；参考数据：，，，）． 19．（2025·江西上饶·三模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米.上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为米.一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为米，点，，，，，，均在同一竖直平面内.（结果精确到米，参考数据：，，，，，） (1)求点距离地面的高度； (2)当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ 20．（2025·江西萍乡·二模）如图，这是一个绿道休息凉棚，其侧面示意图大致为图，点在一条直线上，，，，，与地面平行，点到所在直线的距离为． (1)求，两点间的距离． (2)求点到地面的距离．（参考数据：，，） 21．（2025·江西抚州·二模）如图1，是南昌之星摩天轮，它是南昌市标志性建筑．某校数学兴趣小组把“如何测量南昌之星摩天轮的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间实地测量． 课题 如何测量南昌之星摩天轮的高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 如图2，在点处放置高为的测角仪，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为，再沿方向走到达点处，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为． 说明：点A，B，C，D，E，F，在同一平面内，点A，C，E在同一水平线上． (1)的度数为_____； (2)请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求南昌之星摩天轮的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 22．（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点A逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点A到CD的距离．（结果精确到，参考数据，，） 23．（2025·江西宜春·二模）以高安中学校门口广场上吴有训雕像为研究背景，某数学兴趣小组的同学为了测量此雕像的高度（顶端A到水平地面的距离），分成了甲、乙两组，他们分别设计了如下方案： 课题：测量雕像的高度 组别 甲组 乙组 测量示意图 测量方案与测量数据 如图①，组长小红在点D处用高的测角仪测得雕像顶端A的仰角 如图②，组长小军在C处测得，然后沿方向走了，到达点D处，这时测得 参考数据 ，， ，， 计算雕像的高度 … … (1)你认为哪组的测量方案存在问题？请提出修改建议． (2)请你选择一个合理的测量方案计算雕像的高度． 24．（2025·江西新余·一模）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，（结果都保留小数点后一位）． (1)连接，交于点，若，求的长（即雕塑的高度）； (2)求点到的距离（参考数据：，，）． 25．（2025·江西赣州·二模）坐落于赣州市阳明路与解放路交汇口的标准钟，曾是赣州唯一精确报时建筑，于年月日落成，建成时为赣州最高建筑．标准钟由基础层、塔身主体和顶部装饰层组成，总高度为米．某数学学习小组的同学想知道顶部装饰层的具体高度，分两小组各设计了一种方案： 课题 测量标准钟顶部装饰层的高度 测量工具 测角仪、皮尺及长的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 测量数据 从标杆顶端处测得点的仰角为，． 顶部装饰层落在地面上的影长，此时标杆的影长． (1)已知标准钟的总高度约为当前层住宅楼的高，那么的值应该是（    ） ．             ．             ． (2)结合（）中得到的数据，请你选择其中一个小组的方案，求出标准钟顶部装饰层的高度．（参考数据：，，） 26．（2025·江西新余·二模）如图1是广告展示牌，图2是广告展示牌的侧面示意图，点F，A，B，D在同一直线上，点A，C，E在同一直线上，是连接杆．经测量，，． (1)求连接杆的长度； (2)求广告展示牌最高点F到的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 27．（2025·江西抚州·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 28．（2025·江西南昌·二模）如图1是一款用于收集卡片的卡曼盒实物图，图2中的矩形是其主视图．如图3所示，四边形可绕点旋转得到四边形，设旋转角为，当，，三点共线时最大．经测量，，． (1)求的长度． (2)①当为何值时，点到边的距离最大，并求出最大距离； ②直接写出当为何值时，点到边的距离等于． （参考数据：，，） 29．（2025·江西九江·二模）图1所示是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，，，，，． (1)求的度数； (2)求的长．（结果精确到．参考数据：，，） 30．（2025·江西抚州·一模）如图（1）是一个雕塑的示意图，将其抽象为图（2），测得∠，，，，，，求点B到直线的距离．（结果精确到小数点后一位，参考数据：） 31．（2025·江西九江·一模）图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 32．（2025·江西吉安·一模）如图（1）是一款桌面可调节的学习桌，其侧面示意图如图（2）所示，为可调节桌面，其长度为，桌面倾斜程度可以根据需求自由调节．桌面的倾斜角为，桌面最大倾斜角为，桌面平放时高度为为． (1)当桌面由平放调节到最大倾斜角时，求点运动的路径长．（结果保留） (2)书写时桌面适宜的倾斜角，求点到地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 33．（2025·江西赣州·模拟预测）如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（计算的最后结果保留一位小数．） (1)若上臂与水平面平行，．计算点A到地面的距离． (2)如图2，在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，计算这时点A到地面的距离？（参考数据；，） 34．（2025·江西·二模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米．上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为2.6米．一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为4.0米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内． (1)求点距离地面的高度； (2)当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为4.5米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 35．（2025·江西·模拟预测）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，，连接，，，． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取3.14，，） 36．（2025·江西抚州·一模）如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为上的点C处，求点C距出水口的水平距离． 37．（2025·江西抚州·一模）如图1，这是某市的一个党建文化宣传栏，其主视图的一部分如图2所示，在图2中． (1)若，则的度数为_______； (2)若，求点D到的距离．（结果精确到，参考数据：） 38．（2025·江西宜春·一模）八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，． (1)求点B到地面的垂直高度； (2)求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 39．（2025·江西宜春·一模）水碓（duì）是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于谷物脱壳（如稻谷去壳成米）、粉碎药材或加工其他物料．水碓主要由水轮、碓体、碓臼组成，当水轮转动时利用杠杆原理使得凸轮或齿轮带动碓杆上下运动，图1为为水碓的结构简图，图2为碓体平面示意图．已知是垂直水平地面的支柱，碓杆可绕支点在竖直平面内转动，且垂直碓头于点．若米，米，米，米，当碓杆的一端点接触到水平地面时，碓头顶点抬升到最大高度．    (1)求碓头顶点抬升到最高时，的度数； (2)当碓头顶点抬升到最高时，求碓头点到水平地面的距离（精确到米，参考数据：）． 40．（2025·江西南昌·一模）图1是一款展示支架，图2是它的侧面示意图，可以在一定范围内伸缩且A，D，B三点共线，经测量，，. (1)求的度数； (2)若，求展示支架的高（点A到的距离）的取值范围. （参考数据：，，，结果精确到小数点后一位） 41．（2025·江西·模拟预测）如图1，在一次物理光学实验中，激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光线沿直线传播后恰好经过点B，加水至处时，光线经过折射后经过点C．图2是示意图，四边形为矩形，为法线（法线与液面互相垂直），．（参考数据：） (1)求入射角的度数； (2)若测得，求 C，D两点间的距离． 42．（2025·江西景德镇·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） (1)求漏斗口处点到底座的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 43．（2025·江西景德镇·一模）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 44．（2025·江西·一模）图1是一种柜厢可收纳的货车，图2，图3是其柜厢横截面简化示意图，忽略柜厢板的厚度，由上、下厢板，可对折侧厢板组成，已知．当厢板收起时，恰好与重合，点C，D重合均落在中点处，当厢板升起过程中，有． (1)如图2，当上厢板从重合到完全升起到时，求点C，D在此过程中运动的路程总长； (2)如图3，当上厢板EF升起到时，求此时点C，D之间的距离． （参考数据：，，，，结果保留整数） 45．（2025·江西新余·一模）绿色出行，健康出行，“你我同行”．某地为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是共享单车放在水平场地的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知车轮的半径为，．（参考数据：，，） (1)求证：； (2)求横杆到地面的距离（结果精确到）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 锐角三角函数及其应用（45题） 1．（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)“大碗”的口径的长为； (2)“大碗”的高度的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：“大碗”的高度的长为． 3．（2023·江西·中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）    (1)连接，求证：； (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为米 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ 即 ∴ 即 ∴； （2）如图所示，过点作，交的延长线于点，    在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 4．（2023·江西·中考真题）（1）计算： （2）如图，，平分．求证：．    【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可； （2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．（2022·江西·中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m，详见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论； （2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠CDG＝∠A， ∵∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG， ∴EF∥DG， ∵FG∥CD， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）如图，过点G作GP⊥AB于P， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝6.2， ∵AD＝1.6， ∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt△APG中，sinA= ， ∴=0.96， ∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5． 答：雕塑的高为7.5m. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题． 6．（2021·江西·中考真题）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析 【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解； （2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断． 【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形， ∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)， 在Rt△BMK中， ， ∴∠BMK， ∴∠MBK=90-=23.6， ∴∠ABC=23.6+90=113.6， 答：∠ABC的度数为113.6； （2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90， ∴∠BMN，∠BMK， ∴∠NMH， 在Rt△NMH中， ， ∴(cm)， ∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)， ∵， ∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 一、填空题 7．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，过点C作于点H，得到，，解直角三角形求出，求出，利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H， 则，都是直角三角形， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·江西上饶·三模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．根据题意得：尺，尺，，在中，利用，可求出的值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：尺，尺，， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 即第二时刻标杆的影长15尺． 故答案为：15 9．（2025·江西新余·二模）如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数．如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则小正方形的边长为， ∴， 如图，，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（2025·江西·二模）将图1所示的七巧板排成图2所示的矩形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，求正弦值，设七巧板排中小正方形的边长为，则小等腰直角三角形的直角边长为，进而求出，由勾股定理求出，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：设七巧板排中小正方形的边长为，则小等腰直角三角形的直角边长为， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·江西景德镇·一模）已知含角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角顶点在刻度尺示数处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为，已知，若将三角尺绕点C顺时针旋转，则此时的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查解直角三角形，由刻度尺度数可知，，求得，则，过点作，则在中，，，将三角尺绕点C顺时针旋转，此时点为图中所示位置，则，，由旋转可知，，则在中，，即可求解．作出图形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 【详解】解：由刻度尺度数可知，， ∵直尺的两边平行， ∴， 又∵， ∴，则， 过点作，则在中，， ∴， 将三角尺绕点C顺时针旋转，此时点为图中所示位置，则，， 由旋转可知，， ∴， 则在中，， 故答案为：6． 12．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】先求出，，由旋转可知，，，分三种情况：①当的垂直平分线经过的中点时，②当的垂直平分线经过的中点时，③当的垂直平分线经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质和解直角三角形求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 由旋转可知，，， ①当的垂直平分线经过的中点时，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ； ②当的垂直平分线经过的中点时，， ， ， ， ； ③当的垂直平分线经过的中点时，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． 二、解答题 13．（2025·江西鹰潭·二模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解； 【详解】（1）解：，， ， ∵， ， ， 故； （2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， 平分， 而 ∴在中，， 又， ， ∴在中，，， ， ， ， ， 到的距离为； 14．（2025·江西·模拟预测）图1是总台蛇年春晚舞蹈《喜上枝头》的节目图片，节目汲取“喜鹊登枝”的美好寓意，将整个舞台打造成一幅展开的宋画．节目使用了春晚有史以来最大的道具，在画卷中搭建了一根长9.5米的“松枝”，松枝与喜鹊取“送喜”的吉祥寓意．如图2是“松枝”的简化图，已知，，，，点D到点C的垂直距离为，点D到点E的垂直距离为，，．（结果精确到） (1)求点A到点B的垂直距离； (2)求道具“松枝”的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)点A到点B的垂直距离 (2)道具“松枝”的高度 【分析】本题主要考查解直角三角形和点与点的垂直距离， （1）过点A作交的延长线于点I，根据题意得，利用解直角三角形，即可求得； （2）过点D作的延长线于点J，过点D和点E作相交于点K，根据题意得和，结合即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点I， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 则点A到点B的垂直距离； （2）解：过点D作的延长线于点J，过点D和点E作相交于点K， ∵点D到点C的垂直距离为， ∴， ∵点D到点E的垂直距离为， ∴， 则道具“松枝”的高度． 15．（2025·江西上饶·模拟预测）滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． (1)求斜坡的高度； (2)求滕王阁的高度． 【答案】(1)6米； (2)米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用. （1）由题意得，则，在中求得，即可列出，求得； （2）过点A作，垂足为点F，则米，，在中求得，设 米，则，在中求得，在中求得，根据解，即可知． 【详解】（1）解：由题意得， ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴在中， ， ∴（米）， 答：斜坡的高度为6米； （2）解：如图，过点A作，垂足为点F， ∵由题意得 米，，在中，米， ∴（米）， 设 米， ∴米， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：滕王阁的高度为米． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）课本再现 （1）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高） 迁移应用 （2）如图2，和合塔位于丰城市丰水湖公园内，由我国著名古塔研究专家张驭寰大师主持设计，具有“明七层暗六层”的结构，共13层，展现了唐代古塔的风格．如图3，某数学实践小组想测量和合塔的高度，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为，然后从点A处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点B（A，B，N三点位于同一水平面内），且点B在点N南偏东方向上．根据以上信息，求和合塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，仰角俯角． （1）过A点作于D点，过C作于E点，如图1，根据正弦的定义得到，，则，所以，同理可得，所以； （2）如图3，根据题意，，，则，利用（1）的结论得，则可计算出，然后在中利用正切的定义计算出的长． 【详解】解：（1）过A点作于D点，过C作于E点，如图1， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴即； （2）如图3， 根据题意，，， ∴， 由（1）的结论得， 即， ∴， 在中，∵， ∴． 答：和合塔的高度为． 17．（2025·江西新余·三模）图1为一折叠画板，图2为其侧面示意图，支撑架的端点固定在上，另一端点可在上移动或固定，锁定杆的端点也固定在上，另一端点可在上移动或固定．移动点，当面板架与的夹角调整到合适的角度时，将点固定，则画板架即可使用．经测量知，，当锁定杆与面板架互相垂直时，． (1)求支撑架的长； (2)如图3，小明绘画时为达到最佳舒适感，调节面板架与的夹角，当时，支撑架与的夹角为18°，求此时的长．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据题意，，利用勾股定理求得的长，据此即可求得支撑架的长； （2）过点作，在和中，分别利用三角函数的定义求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为， 在中， ， 在中， ， ． 18．（2025·江西新余·三模）如图1，三湾改编纪念碑是为了纪念1927年9月29日至10月3日毛泽东在我省永新县三湾村领导的三湾改编而建立的．某校数学实践小组利用无人机测量三湾改编纪念碑的高度．如图2，无人机操控者在纪念碑正前方的处操控无人机，当无人机飞到离地面的点处时，无人机测得与点的俯角为，测得纪念碑最高点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和纪念碑之间的距离为，点都在 同一平面上． (1)求此时无人机到纪念碑的距离（结果保留根号） (2)求纪念碑的高度（结果精确到；参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点作于点，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）过点作，垂足为，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，则． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得， ∴， ∴， 答：此时无人机到纪念碑的距离为． （2）解：如图，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：纪念碑的高度约为． 19．（2025·江西上饶·三模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米.上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为米.一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为米，点，，，，，，均在同一竖直平面内.（结果精确到米，参考数据：，，，，，） (1)求点距离地面的高度； (2)当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ 【答案】(1)米 (2)向下移动米 【分析】（1）过点作于点，交于点，则四边形为矩形，米，设的长度为米，则，．建立方程解答即可； （2）设改变后的长度为米，同理，米，根据题意，解得，，从而得到点需在原高度的基础上向下移动米． 本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点， 则四边形为矩形，米， 设的长度为米， 由题意得，在中，，，， ． 在中，，，， ． 米，米， 米， 米， 即． 解得：， 米． 答：点距离地面的高度约为米； （2）解：由（1）知， ∴米， ∴米， 设改变后的长度为米， 同理，米， ∵为米， ∴，解得， ， ∴点需在原高度的基础上向下移动米． 20．（2025·江西萍乡·二模）如图，这是一个绿道休息凉棚，其侧面示意图大致为图，点在一条直线上，，，，，与地面平行，点到所在直线的距离为． (1)求，两点间的距离． (2)求点到地面的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1)，两点间的距离为； (2)点到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，过作于点，则有，，通过勾股定理求出长，最后由线段和差即可求解； （）过作于点，则求得，又，，故有，，在中，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过作于点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，两点间的距离为； （2）解：如图，过作于点， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点到地面的距离为． 21．（2025·江西抚州·二模）如图1，是南昌之星摩天轮，它是南昌市标志性建筑．某校数学兴趣小组把“如何测量南昌之星摩天轮的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间实地测量． 课题 如何测量南昌之星摩天轮的高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 如图2，在点处放置高为的测角仪，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为，再沿方向走到达点处，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为． 说明：点A，B，C，D，E，F，在同一平面内，点A，C，E在同一水平线上． (1)的度数为_____； (2)请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求南昌之星摩天轮的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，三角形外角性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质进行列式计算，即可作答． （2）先证明四边形，是矩形，得，，证明是等腰直角三角形．则把数值代入，得．即，解得的值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，延长交于点， 则， ∴， ∴四边形是矩形， 同理得四边形是矩形， ∴，， ∵，， 是等腰直角三角形． 设， ， 在中，，， ． ， 即， 解得， ， ， 南昌之星摩天轮的高度约为． 22．（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点A逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点A到CD的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解； 【详解】（1）解：，， ， ∵， ， ， 故； （2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， 平分， 而 ∴在中，， 又， ， ∴在中，，， ， ， ， ， 到的距离为； 23．（2025·江西宜春·二模）以高安中学校门口广场上吴有训雕像为研究背景，某数学兴趣小组的同学为了测量此雕像的高度（顶端A到水平地面的距离），分成了甲、乙两组，他们分别设计了如下方案： 课题：测量雕像的高度 组别 甲组 乙组 测量示意图 测量方案与测量数据 如图①，组长小红在点D处用高的测角仪测得雕像顶端A的仰角 如图②，组长小军在C处测得，然后沿方向走了，到达点D处，这时测得 参考数据 ，， ，， 计算雕像的高度 … … (1)你认为哪组的测量方案存在问题？请提出修改建议． (2)请你选择一个合理的测量方案计算雕像的高度． 【答案】(1)甲组的测量方案存在问题；建议：测量出测角仪与雕像之间的距离 (2)选择甲， 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够灵活运用直角三角形中边角的关系是解题的关键． （1）小红组测量数据缺少测角仪与雕像底部的距离，由此可判断存在问题的是小红的方案，修改建议只要再测量出测角仪与雕像底部的距离即可； （2）用表示出，再利用列方程即可求出． 【详解】（1）解：甲组的测量方案存在问题 建议：测量出测角仪与雕像之间的距离； （2）解：过点A作于点B， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴ ∴， ∵米，， ∴， 解得（米）， 答：雕像的高度为3.6米． 24．（2025·江西新余·一模）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，（结果都保留小数点后一位）． (1)连接，交于点，若，求的长（即雕塑的高度）； (2)求点到的距离（参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，解直角三角形，分别求出，即可得出结果． （2）先证明四边形是矩形，得，把数值代入以及进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ， ， ，， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， ， 答：（即雕塑的高度）的长为． （2）解：如图，过点分别作，， ∴， 则四边形是矩形， ． ，且由（1）得 则在中， 由（1）得 ． 25．（2025·江西赣州·二模）坐落于赣州市阳明路与解放路交汇口的标准钟，曾是赣州唯一精确报时建筑，于年月日落成，建成时为赣州最高建筑．标准钟由基础层、塔身主体和顶部装饰层组成，总高度为米．某数学学习小组的同学想知道顶部装饰层的具体高度，分两小组各设计了一种方案： 课题 测量标准钟顶部装饰层的高度 测量工具 测角仪、皮尺及长的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 测量数据 从标杆顶端处测得点的仰角为，． 顶部装饰层落在地面上的影长，此时标杆的影长． (1)已知标准钟的总高度约为当前层住宅楼的高，那么的值应该是（    ） ．             ．             ． (2)结合（）中得到的数据，请你选择其中一个小组的方案，求出标准钟顶部装饰层的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）如图，延长交于，可得四边形是矩形，即得，，解可得，即得，如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，即得，利用平行投影的性质可得，即得，进而求出即可求解； （）如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，即得，利用平行投影的性质可得，据此即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，平行投影，掌握锐角三角函数的定义及平行投影的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，延长交于，则，四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴， 由平行投影可得，， ∴， 解得， ∴， 即， 故选：； （2）解：选择第二小组． 如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴， 由平行投影可得，， ∴， 解得， ∴标准钟顶部装饰层的高度为． 26．（2025·江西新余·二模）如图1是广告展示牌，图2是广告展示牌的侧面示意图，点F，A，B，D在同一直线上，点A，C，E在同一直线上，是连接杆．经测量，，． (1)求连接杆的长度； (2)求广告展示牌最高点F到的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1)连接杆的长度为； (2)广告展示牌最高点F到的距离约为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到，即可求解； （2）分别过点A，F作的垂线，垂足分别为点G，H，求出，根据解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：连接杆的长度为． （2）解：如图，分别过点A，F作的垂线，垂足分别为点G，H， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，． 答：广告展示牌最高点F到的距离约为． 27．（2025·江西抚州·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)遮蔽宽度BC为 (2)点E下降的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据正切的定义求出，得到； （2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【详解】（1）解：由对称性可知， ． 在中，， ， ， ． 答：遮蔽宽度为． （2）解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， 当时，； 当时，， ． 答：点下降的高度约为． 28．（2025·江西南昌·二模）如图1是一款用于收集卡片的卡曼盒实物图，图2中的矩形是其主视图．如图3所示，四边形可绕点旋转得到四边形，设旋转角为，当，，三点共线时最大．经测量，，． (1)求的长度． (2)①当为何值时，点到边的距离最大，并求出最大距离； ②直接写出当为何值时，点到边的距离等于． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①，最大距离为；②或 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，，证明四边形是矩形，得到，，得到，最后根据勾股定理即可求解； （2）①由旋转可得：，，由（1）知，，，得到，推出，结合当，，三点共线时，点到边的距离最大，即可求解；②当，即点与点重合时，点到边的距离等于；过点作交的延长线于点，则，根据三角函数可推出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，， 在矩形中，， ， 四边形是矩形， ，， ， ； （2）由旋转可得：，， ①由（1）知，，， ， ， 当，，三点共线时，点到边的距离最大，此时， 最大距离为； ② ， 当，即点与点    重合时，点到边的距离等于； 过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ； 综上所述，当为或时，点到边的距离等于． 29．（2025·江西九江·二模）图1所示是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，，，，，． (1)求的度数； (2)求的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形内角和、含度角直角三角形的性质、矩形的判定和性质和解直角三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据四边形内角和为即可求解； （2）过点作，，垂足分别为，，得到四边形为矩形，再根据矩形的性质和度角直角三角形的性质可得，然后根据解直角三角形的知识即可求解； 【详解】（1）解：∵在四边形中，，，， ∴． （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的长约为； 30．（2025·江西抚州·一模）如图（1）是一个雕塑的示意图，将其抽象为图（2），测得∠，，，，，，求点B到直线的距离．（结果精确到小数点后一位，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． 过点A作，再分别过点E，B作的垂线，垂足分别为点F，G，先 ，，然后分别求出，，然后根据点B到的距离为求解即可． 【详解】解：如图，过点A作，再分别过点E，B作的垂线，垂足分别为点F，G ∴， ∴．       ∵ ∴，   ∴ ∵    ∴ ∴ ∵， ∴点B到的距离为． 31．（2025·江西九江·一模）图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点作于点，则，．先求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． 在中，， ， ． 答：路灯顶部到地面的距离约为． 32．（2025·江西吉安·一模）如图（1）是一款桌面可调节的学习桌，其侧面示意图如图（2）所示，为可调节桌面，其长度为，桌面倾斜程度可以根据需求自由调节．桌面的倾斜角为，桌面最大倾斜角为，桌面平放时高度为为． (1)当桌面由平放调节到最大倾斜角时，求点运动的路径长．（结果保留） (2)书写时桌面适宜的倾斜角，求点到地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式，解直三角形等知识，解题的关键是正确理解正弦函数的定义式，将线段、角度代入，转化为待求线段的方程求解． （1）利用弧长公式求解； （2）利用正弦的定义式求解，代入已知线段和角度，转化为关于的方程求解，再利用线段和求出点到地面的高度． 【详解】（1）解：当桌面由平放调节到最大倾斜角时，， 点运动的路径长为：． （2）解：过点作于点， ∵在中，，，， ∴， 解得：， ， 点到地面的高度为=． 33．（2025·江西赣州·模拟预测）如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（计算的最后结果保留一位小数．） (1)若上臂与水平面平行，．计算点A到地面的距离． (2)如图2，在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，计算这时点A到地面的距离？（参考数据；，） 【答案】(1)点A到地面的距离为 (2) 【分析】（1）过点C作，垂足为M，在中，由，即可得出的值，进而可得的值； （2）过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，求出，，，根据三角函数的定义可求出，，求出点A到地面的距离的长，即可解决问题． 本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，过点作，垂足为M， 则在中，， ，， ∴， ∴， ， 点A到地面的距离为； （2）解：如图2，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， 则四边形是矩形， ∴，， ，， ，，， ∴， ， 点A到地面的距离为． 34．（2025·江西·二模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米．上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为2.6米．一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为4.0米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内． (1)求点距离地面的高度； (2)当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为4.5米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)点距离地面的高度约为米； (2)点需在原高度的基础上向下移动米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造图形是解题的关键． （1）过点作于点，交于点，设的长度为米，解得到，解中得到，，而米，则米，据此列式计算即可求解； （2）由（1）的结论求得的长，根据点上下移动，的长不变，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点， 则四边形为矩形，米， 设的长度为米， 由题意得，在中，，，， ． 在中，，，， ． 米，米， 米， 米， 即． 解得：， 米． 答：点距离地面的高度约为米； （2）解：由（1）知， ∴米， ∴米， 设改变后的长度为米， 同理，米， ∵为4.5米， ∴，解得， ， ∴点需在原高度的基础上向下移动米． 35．（2025·江西·模拟预测）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，，连接，，，． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取3.14，，） 【答案】(1)的长度约为 (2)点到台面的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）在中，利用余弦函数的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦函数的定义求的长度，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． ∴点到台面的距离约为． 36．（2025·江西抚州·一模）如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为上的点C处，求点C距出水口的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的关键， （1）根据坡比，求出的长，从而得到点，点坐标，再由题意设抛物线的表达式为，代入即可求得抛物线的解析式； （2）设直线的解析式为，由点，点坐标求得直线的解析式，再由点是直线和抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：， ， 设，则． ， ， 解得， ， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 由条件可设抛物线的表达式为， 将代入，可得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点代入得：， 解得， 直线的解析式为． 联立， 得， 解得， 点C的横坐标为， 点C距出水口的水平距离为． 37．（2025·江西抚州·一模）如图1，这是某市的一个党建文化宣传栏，其主视图的一部分如图2所示，在图2中． (1)若，则的度数为_______； (2)若，求点D到的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2)点D到的距离约为 【分析】本题主要考查四边形内角和，解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． （1）根据四边形内角和进行求解即可； （2）过点D分别作于点于点F，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形求出，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为，， ∴， ∵， ∴，； （2）解：如图，过点D分别作于点于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， ∴点D到的距离约为． 38．（2025·江西宜春·一模）八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，． (1)求点B到地面的垂直高度； (2)求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)点B到地面的垂直高度为3 (2)纪念塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题， （1）如图，过点B作交于点F．由得到，求出即可得到答案； （2）首先求出，然后利用，求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图，过点B作交于点F． ∵，坡度， ∴，， ∴，． 答：点B到地面的垂直高度为． （2）由（1）可知． ∵， ∴． ∵在点B处看塔尖的仰角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：纪念塔的高度为． 39．（2025·江西宜春·一模）水碓（duì）是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于谷物脱壳（如稻谷去壳成米）、粉碎药材或加工其他物料．水碓主要由水轮、碓体、碓臼组成，当水轮转动时利用杠杆原理使得凸轮或齿轮带动碓杆上下运动，图1为为水碓的结构简图，图2为碓体平面示意图．已知是垂直水平地面的支柱，碓杆可绕支点在竖直平面内转动，且垂直碓头于点．若米，米，米，米，当碓杆的一端点接触到水平地面时，碓头顶点抬升到最大高度．    (1)求碓头顶点抬升到最高时，的度数； (2)当碓头顶点抬升到最高时，求碓头点到水平地面的距离（精确到米，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的函数比和构造直角三角形． （1）根据题意，利用即可求得角的度数； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用三角函数比依次求得、的长即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即的度数为； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 由图可知，四边形为矩形， ∴， 在中，, ,, ， 在中，， ， ， （米）， 所以，点到水平地面的距离为米． 40．（2025·江西南昌·一模）图1是一款展示支架，图2是它的侧面示意图，可以在一定范围内伸缩且A，D，B三点共线，经测量，，. (1)求的度数； (2)若，求展示支架的高（点A到的距离）的取值范围. （参考数据：，，，结果精确到小数点后一位） 【答案】(1) (2). 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、解直角三角形的应用等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键。 （1）根据三角形外角的性质列式计算即可； （2）如图：过A作，垂足为E.先求得，再解直角三角形可得，然后根据的边界点求得的取值范围即可解答。 【详解】（1）解：∵是的外角，，， ∴. ∴. （2）解：如图：过A作，垂足为E. ∴. 在中，. ∴. 当时，. 当时，. 答：展示支架的高的取值范围为. 41．（2025·江西·模拟预测）如图1，在一次物理光学实验中，激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光线沿直线传播后恰好经过点B，加水至处时，光线经过折射后经过点C．图2是示意图，四边形为矩形，为法线（法线与液面互相垂直），．（参考数据：） (1)求入射角的度数； (2)若测得，求 C，D两点间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练三角函数求角度是解题的关键． （1）求得，再利用平行线的性质可得； （2）延长，与相交于点，求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 根据题意得， ； （2）解：如图，延长，与相交于点H， 可得四边形为矩形， ， ， 在中，， 故 C，D 两点间的距离是． 42．（2025·江西景德镇·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） (1)求漏斗口处点到底座的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解； （2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， 延长交，则， 在中，，则， ∴， ∴点到底座的高度； （2）过点作，交于，过点作， 由题意可知，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， 此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为， 即玻璃棒顶端点到桌面的距离为． 43．（2025·江西景德镇·一模）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，， 可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， 即点与点之间的距离为； （2）过点作于点，交于点， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是， ， ， 到的最大距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 44．（2025·江西·一模）图1是一种柜厢可收纳的货车，图2，图3是其柜厢横截面简化示意图，忽略柜厢板的厚度，由上、下厢板，可对折侧厢板组成，已知．当厢板收起时，恰好与重合，点C，D重合均落在中点处，当厢板升起过程中，有． (1)如图2，当上厢板从重合到完全升起到时，求点C，D在此过程中运动的路程总长； (2)如图3，当上厢板EF升起到时，求此时点C，D之间的距离． （参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）根据题意可得，然后根据弧长公式求解即可； （2）如图（2），分别过点C，D作，垂足分别为点M，N．由(1)知，易证可得，再解直角三角形可得，最后根据点C，D之间的距离为求解即可． 【详解】（1）解：如图（1）：当厢板收起时恰好与重合，点C，D重合均落在中点处，， ∴， ∴点C，D在此过程中运动的路径的总长度为． （2）解：如图（2），分别过点C，D作，垂足分别为点M，N．由(1)知， 又∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点C，D之间的距离为． 45．（2025·江西新余·一模）绿色出行，健康出行，“你我同行”．某地为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是共享单车放在水平场地的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知车轮的半径为，．（参考数据：，，） (1)求证：； (2)求横杆到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，都与地面平行，得，结合，得到 ，结合，得到，于是可证． （2）过点C作于点E，交地面于点F，过点D作交地面于点G， 则四边形是矩形，根据正弦函数解答即可． 【详解】（1）证明：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点C作于点E，交地面于点F，过点D作交地面于点G， 则四边形是矩形， ∴， ∵车轮的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：横杆到地面的距离约为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正弦函数的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，正弦函数的应用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$