专题03概率初步专项训练(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题03概率初步专项训练 题型01.事件的分类 题型02.事件发生可能性大小判定 题型03.求某事件的频率 题型04.概率的意义理解 题型05.由频率估计概率 题型06.频率估计概率的综合应用 题型07.列举随机实验结果 题型08.判断结果等可能性 题型09.列举法求概率 题型10.根据概率公式求概率 题型11.由概率求数量 题型12.游戏的公平性 题型13.几何概率计算 题型14.概率的综合应用与判断 解答题7题 知识点01.【事件三分法】精准辨类型・无混淆 核心逻辑：按结果是否确定划分，三类事件特征鲜明，概率值是核心区分标志 确定事件（结果唯一，无任何意外） ✔必然事件：在一定条件下必然会发生的事件， 例：太阳东升西落、三角形内角和为 180°，概率 = 1 ❌ 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件， 例：掷骰子掷出 7、负数大于正数，概率 = 0 随机事件（结果不确定，有多种可能）：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，例：掷硬币正面朝上、摸球摸到红球，0 < 概率 < 1 小技巧：判断前先明确 “试验条件”，同一事件不同条件下类型可能不同（如：“掷骰子掷出偶数” 是随机事件，“掷骰子掷出大于 0 的数” 是必然事件） 知识点02.【概率核心概念】吃透定义・记死铁律 1.定义：专门刻画随机事件发生可能性大小的数值，是客观存在的规律，与试验次数无关 2.取值铁律：事件，超范围的概率计算一定错误 3.意义解读：概率越大，事件发生的可能性越大；概率越小，可能性越小（例：P (A)=0.8 表示事件 A 发生的可能性为 80%） 知识点03.【频率 VS 概率】别再搞混啦 频率：试验算出来→随试验变（公式：发生次数 ÷ 总次数） 概率：客观固定值→不随试验变 关键结论：大量重复试验，频率稳在概率旁（用频率估概率） 知识点04.【等可能概率】计算天花板 前提：所有结果机会均等（无偏向是关键！） 核心公式：P(A)= 列举大招（不重不漏）： 列表法→适配两步试验（如摸两次球、掷两次骰子） 树状图→适配两步及以上（如三次抽取、连续转盘） 知识点05.【实际应用】游戏公平性 判断：双方获胜概率相等→公平，不等→不公平 设计：调整条件，让双方概率一致即可 1.把频率当概率（频率是 “试验值”，概率是 “理论值”） 2.忽略 “等可能性”（如不均匀转盘、变形骰子不能用公式） 3.列举结果漏 / 重（复杂试验必用列表 / 树状图，别手算！） 题型01.事件的分类 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．明天是晴天，是随机事件，不符合题意； B．车辆随机到达路口遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C．生肖共有12种，因此13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，符合题意； D．任意买一张电影票座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意． 2．下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）守株待兔，可能发生也可能不发生，是随机事件； （2）拔苗助长不可能发生，是不可能事件； （3）海枯石烂不可能发生，是不可能事件； （4）日出东方一定发生，是必然事件； （5）心想事成可能发生也可能不发生，是随机事件； （6）水中捞月一定不可能成功，是不可能事件； 综上，随机事件共有2个． 3．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（   ） A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件 B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件 C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件 D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件、必然事件、不确定事件的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》不是不可能事件，故选项不符合题意； B、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件，正确，故选项符合题意； C、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是不确定事件，故选项不符合题意； D、随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则不确定全市学生都没看过《哪吒2》，故选项不符合题意； 故选：B． 题型02.事件发生可能性大小判定 4．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 5．不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查的是对可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，然后再比较即可． 【详解】解：摸到标号为1的球的可能性为， 摸到标号为2的球的可能性为， 摸到标号为3的球的可能性为， ∵， ∴摸到标号为3的球的可能性最大． 故选：C． 6．下列说法正确的是（   ） A．“抛出的铅球会下落”是随机事件 B．“随机翻开一本日历，这一天正好是星期六”是必然事件 C．从一副扑克牌中任意抽取一张，它的花色为红桃的可能性大于花色为方块的可能性 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数的可能性大于座位号是的倍数的可能性 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类（必然事件、不可能事件以及随机事件），以及概率的基本概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据事件的分类以及概率的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：A、“抛出的铅球会下落”是必然事件，故A选项错误； B、“随机翻开一本日历，这一天正好是星期六”是随机事件，故B选项错误； C、从一副扑克牌中任意抽取一张，它的花色为红桃的可能性等于花色为方块的可能性，故C选项错误； D、任意买一张电影票，座位号是的倍数的可能性大于座位号是的倍数的可能性，故D选项正确； 故选：D． 题型03.求某事件的频率 7．今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用频率公式计算即可． 【详解】解：日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 8．欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 9．在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是_____． 【答案】 【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数． 【详解】解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%， ∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%， ∴蓝色球的个数为：20×55%=11个， 故答案为：11． 【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值． 题型04.概率的意义理解 10．小明同学抛一枚硬币10次，其中8次正面朝上，2次反面朝上，则第11次抛正面朝上的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．根据抛硬币正面朝上与反面朝上出现的可能性即可求解． 【详解】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同， 其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关， 所以抛正面朝上的概率为． 故答案为：． 11．某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【答案】D 【分析】本题考查降水概率的定义，降水概率表示某地区下雨的可能性大小，而非时间或区域的占比，据此判断各选项即可． 【详解】∵降水概率的含义是指某地区下雨的可能性大小． ∴选项中“的时间下雨”、选项中“的地方下雨”均错误． ∵的概率说明下雨可能性较大． ∴选项错误． ∵降水概率即表示明天该地区下雨的可能性是． ∴选项正确． 故选：D． 12．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 题型05.由频率估计概率 13．2023年石家庄市举办了首届业余羽毛球公开赛：小明为打好比赛到运动场练球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率可近似估计概率，通过计算有效发球的频率来估计概率即可． 【详解】∵小明发球1000次，有效951次， ∴有效发球的频率为， ∵当试验次数足够多时，频率可近似代替概率， ∴估计他有效发球的概率大约为0.95， 故选：A 14．山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 15．如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 题型06.频率估计概率的综合应用 16．七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有_______人． 【答案】 【分析】本题考查频率估计概率，设第一次确定的同学中，女生有人，由题意可得，解一元一次方程即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设第一次确定的同学中，女生有人， 抽中女生的概率是， ，解得， 故答案为：． 17．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.901左右．根据频率稳定性，当试验种子数较大时，发芽频率趋近于概率，取1000粒时的频率0.901作为概率估计值，再计算种子中能发芽的重量． 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901， 该值可作为发芽概率的估计值． 因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为． 故答案为∶． 18．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 【答案】C 【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数． 【详解】解：由题可得：312（个）． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 题型07.列举随机实验结果 19．把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有______种不同的分法． 【答案】4 【分析】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可． 【详解】解：首先把10拆成3个数，，，，， 共有4种分法， 故答案为：4． 【点睛】本题考查数的组成，把10拆成3个数以及正确理解题意是关键． 20．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有______种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为______． 4 【答案】 6 9182 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 21．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 题型08.判断结果等可能性 22．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 23．下列说法中，正确的是（    ） A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是 B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为 C．小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，所以投中的概率为 D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是 【答案】D 【分析】A．根据概率公式解答； B．用列举法列举出所有可能结果，然后根据概率公式解答； C．先判断是否为等可能事件，即可作出判断； D．1、2、3、4、5、6中，合数为4、6，根据概率公式解答即可． 【详解】解：A．摸到红球的概率是，故该选项错误； B．掷一枚硬币两次，出现的可能结果为: 正正、正反、反正、反反，所以出现两次都是反面的概率为，故该选项错误； C．小明参加篮球投篮游戏，投中和不投中的可能性不一样，所以不是等可能事件，无法计算其概率，故该选项错误； D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是，故该选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查等可能事件的概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．注意：只有等可能事件，才能依此计算概率． 24．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 题型09.列举法求概率 25．社会主义核心价值观内容如图所示，某校教师在“我学习·我践行”抽签即兴演讲活动中，抽到公民层面内容的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算．根据等可能事件的概率计算思路，先确定所有等可能的抽到的结果总数与抽到公民层面的结果总数，再代入概率公式求解即可． 【详解】解：∵抽签的结果一共有种等可能结果，其中抽到公民层面的有种结果， ∴抽到公民层面内容的概率是． 26．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查利用列举法求随机事件的概率，解题关键是正确分析电路通路情况，列举出所有等可能的结果．首先确定随机闭合两个开关的所有等可能结果，再逐一分析每种结果下、的点亮情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合开关、、中的两个，所有可能的结果有：、、，共3种等可能的结果． ∵当闭合和时，电路形成通路，能同时点亮灯泡、；闭合和时，无法形成通路，均不亮；闭合和时，只有亮． ∴能同时点亮灯泡、的结果只有1种． 根据概率公式，． 故答案为：． 27．若一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，不是“平稳数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用列举法求概率，先列出所有可能的三位数，再根据平稳数的定义找出非平稳数的个数，最后计算概率． 【详解】解：∵用1，2，3组成无重复数字的三位数，总共有6种：123，132，213，231，312，321． 其中平稳数为123和321，共2个． ∴非平稳数有4个． ∴非平稳数的概率为． 故选B． 题型10.根据概率公式求概率 28．在一个不透明的袋子内装有2个白球、3个红球和4黑球，它们除了颜色外其余均相同，从中任意摸出一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，直接用红球个数除以球的总个数即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中球的总个数为，每个球被摸出的概率相等，其中红球有3个， ∴从中任意摸出一个球是红球的概率为． 29．巴渝春早，马跃青山！现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“歇马镇”、“石马河”、“马蹄街”、“马王场”、“走马镇”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“镇”字的概率为___________ 【答案】 【分析】先确定所有等可能结果总数，再确定符合条件的结果数，代入概率公式，求解即可． 【详解】解：由题意得，随机抽取一张卡片，所有等可能的结果共有种，其中抽到卡片上含有“镇”字的结果有种， ． 30．有四张正面分别标有数字，，0，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，从剩下的卡片中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则为非负数的概率为____． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，准确掌握相关计算方法是解题关键．先计算所有等可能的抽取结果总数，再得到为非负数的结果个数，根据概率公式计算所求概率即可． 【详解】解：由题意可知，抽取为不放回抽取，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，，，，一共12种，其中为非负数的结果有，，，，，，，共8种， 根据概率公式可得，为非负数的概率为 ． 故答案为：． 31．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列举出所有可能表示的数，再找到能被5整除的数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，所有可能的情况有： 两粒算珠在同一档： 百位：200,600；十位：20,60；个位：2,6； 两粒算珠在不同档： 十位、个位组合：， 百位、个位组合：， 百位、十位组合：， ∴一共可以表示个数，其中能被整除的数（个位为或）有：，共个， ∴这个数能够被5整除的概率是． 题型11.由概率求数量 32．已知一个不透明的袋子里装有2个黑球，m个白球，这些球除颜色外其余都相同，若从该袋子里随机摸出一个球，是黑球的概率为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式列方程是解决本题的关键． 根据概率公式，摸出黑球的概率等于黑球数量除以总球数，建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的概率为， ∴， 两边同时乘以得：， 即， 解得． 故选：C． 33．为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积． 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 34．一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 摸到白球的概率会接近， 袋中白球的个数为， 估计袋子中共有（个）球， 可估计袋子中黑球的个数为（个）， 故选：C． 题型12.游戏的公平性 35．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 36．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 37．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 题型13.几何概率计算 38．如图是一个转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指针落在区域的圆心角除以周角可得到指针落在区域的概率． 【详解】解：， 故选：D ． 39．小亮用“频率估计概率”的方法求不规则图案的面积．具体方法如下：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球（如图1），记录小球落在不规则图案上的次数，并将若干次试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，则被估计不规则图案的面积大约是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， ∴， 解得．即被估计不规则图案的面积大约是， 故选：B ． 40．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键掌握根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 故答案为：． 题型14.概率的综合应用与判断 41．电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 【答案】A 【分析】根据图形发现B、C中只有一个地雷，所以知道A必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷， 所以A必定有地雷， 所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 42．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 43．小南观查某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用概率的意义即可求出出遇到绿灯的概率. 【详解】解：∵红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， ∴遇到绿灯的概率是＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键. 44．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 45．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 46．一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____． （2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球． 【答案】 红 20 【分析】（1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）∵如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒． ∴若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球， 故答案为：红； （2）根据题意可知，取两个球往盒子中放入有以下4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1个； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个； ④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个； ∵红球和黑球的个数一样， ∴①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机； ∵乙盒中最终有5个红球， ∴①的情况有5次， ∴红球至少有10个， ∵红球、黑球各占一半， ∴黑球至少也有10个， ∴袋中原来最少有20个球， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了对立事件和互斥事件，属于基础题． 解答题 47．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 【答案】（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小．因为分所在的圆环面积最大，分所在的圆面积最小．（2）见解析 【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键是数形结合． （1）设三个圆的半径分别为、、，分别求出三个分区的面积，再比较面积的大小，即可求解； （2）只要保证分的区域面积最小，分的区域面积最大即可． 【详解】解：（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小，理由如下： 由小到大三个圆半径的比是， 设三个圆的半径分别为、、， 分区的面积为， 分区的面积为：， 分区的面积为：， ， 得分的可能性最大，得分的可能性最小； （2）如图即为所求． 48．如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据频率的计算方法计算出空格部分的频率，再填入表格即可求解； （）根据频率估计概率即可； 本题考查了用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ∴表格补充完整如下： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 （2）解：由表中数据可知，随着实验次数的增大，指针落在“洗发水”的频率稳定在左右， ∴转动该转盘一次，获得洗发水的概率约是， 故答案为：． 49．某市林业局积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如下图所示的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为______（结果精确到）． (2)该林业局已经移植这种花卉200000棵，估计这批花卉成活的棵数． 【答案】(1) (2)估计这批花卉成活的棵数为 【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）用乘成活概率即可． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在附近，估计成活概率为． 故答案为：． （2）解：（棵） 答：估计这批花卉成活棵． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解题关键． 50．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个，从纸箱中任意摸出1个球，摸到红球、黄球的概率分别是，． (1)试求出纸箱中蓝球的个数； (2)假设向纸箱中再放进x个红球，这时从纸箱中任意取出1个球是红球的概率为，试求x的值． 【答案】(1)纸箱中蓝球的个数为50个 (2) 【分析】（1）先用1减去红球和黄球的概率，得到蓝色球的概率，再用所有的球数乘以蓝色球的概率，即可得出答案； （2）设放进x个红球，根据红球的概率为列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：（个）； 答：纸箱中蓝色球的数量为50个； （2）解：∵放进x个红球后，从纸箱中任意取出1个球是红球的概率为， ∴， 解得． 51．如图，一个均匀的转盘被平均分成9等份，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．小亮和小芳两人玩转盘游戏，对游戏规则，小芳提议：若转出的数字是3的倍数，则小芳获胜，若转出的数字是4的倍数，则小亮获胜．小芳提议的游戏规则对两人公平吗？为什么？ 【答案】小芳提议的游戏规则对两人不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是概率，熟练掌握概率是解题的关键． 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率， 分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可． 【详解】解：小芳提议的游戏规则对两人不公平． 理由如下：转盘被平均分成9等份，转出的数字是3的倍数的情况有3种，转出的数字是4的倍数的情况有2种，所以小芳获胜的概率，小亮获胜的概率，而，所以这个游戏规则对两人不公平． 52．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、红两种球共40个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 400 700 1500 摸到黑球的次数m 59 92 114 232 424 902 摸到黑球的频率 0.59 a 0.57 b 0.606 0.601 (1)求出表格中的a、b，则___，____(精确到0.01)． (2)请你估计，当n很大时，摸到黑球的频率将会接近___(精确到 0.1)． (3)假如你去摸一次，你摸到黑球的概率是 ，摸到红球的概率是 (4)试估算口袋中红色的球有多少个? 【答案】(1) ， (2) (3) ， (4) 口袋中红色的球有个． 【分析】（1）根据摸到黑球的频率摸到黑球的次数摸球的次数即可求解； （2）根据表格数据即可估计出摸到黑球的频率； （3）根据摸到黑球的概率，即可求出摸到红球的概率． （4）根据口袋中红色的球的概率和球的总数，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格知，当n很大时，摸到黑球的频率将会接近； （3）解：由（2）知，摸到黑球的频率将会接近； 摸到黑球的概率约是， 口袋里装有仅颜色不同的黑、红两种球， 摸到红球的概率是； （4）解：（个） 答：口袋中红色的球有个． 53．按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03概率初步专项训练 题型01.事件的分类 题型02.事件发生可能性大小判定 题型03.求某事件的频率 题型04.概率的意义理解 题型05.由频率估计概率 题型06.频率估计概率的综合应用 题型07.列举随机实验结果 题型08.判断结果等可能性 题型09.列举法求概率 题型10.根据概率公式求概率 题型11.由概率求数量 题型12.游戏的公平性 题型13.几何概率计算 题型14.概率的综合应用与判断 解答题7题 知识点01.【事件三分法】精准辨类型・无混淆 核心逻辑：按结果是否确定划分，三类事件特征鲜明，概率值是核心区分标志 确定事件（结果唯一，无任何意外） ✔必然事件：在一定条件下必然会发生的事件， 例：太阳东升西落、三角形内角和为 180°，概率 = 1 ❌ 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件， 例：掷骰子掷出 7、负数大于正数，概率 = 0 随机事件（结果不确定，有多种可能）：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，例：掷硬币正面朝上、摸球摸到红球，0 < 概率 < 1 小技巧：判断前先明确 “试验条件”，同一事件不同条件下类型可能不同（如：“掷骰子掷出偶数” 是随机事件，“掷骰子掷出大于 0 的数” 是必然事件） 知识点02.【概率核心概念】吃透定义・记死铁律 1.定义：专门刻画随机事件发生可能性大小的数值，是客观存在的规律，与试验次数无关 2.取值铁律：事件，超范围的概率计算一定错误 3.意义解读：概率越大，事件发生的可能性越大；概率越小，可能性越小（例：P (A)=0.8 表示事件 A 发生的可能性为 80%） 知识点03.【频率 VS 概率】别再搞混啦 频率：试验算出来→随试验变（公式：发生次数 ÷ 总次数） 概率：客观固定值→不随试验变 关键结论：大量重复试验，频率稳在概率旁（用频率估概率） 知识点04.【等可能概率】计算天花板 前提：所有结果机会均等（无偏向是关键！） 核心公式：P(A)= 列举大招（不重不漏）： 列表法→适配两步试验（如摸两次球、掷两次骰子） 树状图→适配两步及以上（如三次抽取、连续转盘） 知识点05.【实际应用】游戏公平性 判断：双方获胜概率相等→公平，不等→不公平 设计：调整条件，让双方概率一致即可 1.把频率当概率（频率是 “试验值”，概率是 “理论值”） 2.忽略 “等可能性”（如不均匀转盘、变形骰子不能用公式） 3.列举结果漏 / 重（复杂试验必用列表 / 树状图，别手算！） 题型01.事件的分类 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 2．下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（   ） A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件 B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件 C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件 D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0 题型02.事件发生可能性大小判定 4．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 5．不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 6．下列说法正确的是（   ） A．“抛出的铅球会下落”是随机事件 B．“随机翻开一本日历，这一天正好是星期六”是必然事件 C．从一副扑克牌中任意抽取一张，它的花色为红桃的可能性大于花色为方块的可能性 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数的可能性大于座位号是的倍数的可能性 题型03.求某事件的频率 7．今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是______． 8．欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 9．在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是_____． 题型04.概率的意义理解 10．小明同学抛一枚硬币10次，其中8次正面朝上，2次反面朝上，则第11次抛正面朝上的概率为___________． 11．某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 12．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 题型05.由频率估计概率 13．2023年石家庄市举办了首届业余羽毛球公开赛：小明为打好比赛到运动场练球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 14．山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 15．如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 题型06.频率估计概率的综合应用 16．七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有_______人． 17．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 18．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 题型07.列举随机实验结果 19．把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有______种不同的分法． 20．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有______种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为______． 4 21．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 题型08.判断结果等可能性 22．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 23．下列说法中，正确的是（    ） A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是 B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为 C．小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，所以投中的概率为 D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是 24．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型09.列举法求概率 25．社会主义核心价值观内容如图所示，某校教师在“我学习·我践行”抽签即兴演讲活动中，抽到公民层面内容的概率是__________． 26．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 27．若一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，不是“平稳数”的概率为（    ） A． B． C． D． 题型10.根据概率公式求概率 28．在一个不透明的袋子内装有2个白球、3个红球和4黑球，它们除了颜色外其余均相同，从中任意摸出一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 29．巴渝春早，马跃青山！现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“歇马镇”、“石马河”、“马蹄街”、“马王场”、“走马镇”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“镇”字的概率为___________ 30．有四张正面分别标有数字，，0，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，从剩下的卡片中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则为非负数的概率为____． 31．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 题型11.由概率求数量 32．已知一个不透明的袋子里装有2个黑球，m个白球，这些球除颜色外其余都相同，若从该袋子里随机摸出一个球，是黑球的概率为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 34．一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 题型12.游戏的公平性 35．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 36．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 37．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 题型13.几何概率计算 38．如图是一个转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在区域的概率是（    ） A． B． C． D． 39．小亮用“频率估计概率”的方法求不规则图案的面积．具体方法如下：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球（如图1），记录小球落在不规则图案上的次数，并将若干次试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，则被估计不规则图案的面积大约是（    ）    A． B． C． D． 40．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____． 题型14.概率的综合应用与判断 41．电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 42．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 43．小南观查某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 44．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 45．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 46．一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____． （2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球． 解答题 47．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 48．如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 49．某市林业局积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如下图所示的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为______（结果精确到）． (2)该林业局已经移植这种花卉200000棵，估计这批花卉成活的棵数． 50．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个，从纸箱中任意摸出1个球，摸到红球、黄球的概率分别是，． (1)试求出纸箱中蓝球的个数； (2)假设向纸箱中再放进x个红球，这时从纸箱中任意取出1个球是红球的概率为，试求x的值． 51．如图，一个均匀的转盘被平均分成9等份，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．小亮和小芳两人玩转盘游戏，对游戏规则，小芳提议：若转出的数字是3的倍数，则小芳获胜，若转出的数字是4的倍数，则小亮获胜．小芳提议的游戏规则对两人公平吗？为什么？ 52．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、红两种球共40个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 400 700 1500 摸到黑球的次数m 59 92 114 232 424 902 摸到黑球的频率 0.59 a 0.57 b 0.606 0.601 (1)求出表格中的a、b，则___，____(精确到0.01)． (2)请你估计，当n很大时，摸到黑球的频率将会接近___(精确到 0.1)． (3)假如你去摸一次，你摸到黑球的概率是 ，摸到红球的概率是 (4)试估算口袋中红色的球有多少个? 53．按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $