第七章 万有引力与宇宙航行 知识清单-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第七章《万有引力与宇宙航行》知识清单 一、重点知识回顾 （一）开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是_ ，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的_ 。 3．开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的 跟它的公转周期的 的比都相等。 （二）、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都_ ，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的 成正比，与它们之间 成反比。 2．公式：，其中 ，叫作引力常量，由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定。 （三）、万有引力定律在天体运动中的应用 1．基本思路 （1）万有引力提供向心力:即 （2）星球表面附近的物体所受重力近似等于万有引力，，可得 。 2．求中心天体的质量和密度 （1） 通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期、轨道半径，由万有引力提供向心力，即，得出中心天体质量 _。 （2） 若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径约等于天体半径，则天体密度 。只要测出卫星环绕天体表面运动的 ，就可求得中心天体的密度。 （四）、三种宇宙速度 第一宇宙速度（环绕速度） 是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度 第三宇宙 速度 是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度 （五）、人造卫星的运转规律 圆周轨道上人造卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系： 1．由得 ，越大， ； 2．由得 ，越大， ； 3．由得 ，越大， ; 4．由得 ，越大， 。 （六）、地球静止轨道卫星 1．轨道平面一定：轨道平面和 平面重合。 2．周期一定：与地球 周期相同，即。 3．角速度一定：与地球自转的角速度 。 4.高度一定：由得，卫星离地面高度（为恒量，其中为地球半径）。 5.速率一定：运行速率（为恒量）。 6．绕行方向一定：与地球自转的方向 。 二、自主检测 1．依据下面情境，判断下列说法对错。 （1） 八大行星的公转轨道都是圆，太阳位于圆的中心。（ ） （2） 八大行星的公转是太阳的万有引力作用的结果。（ ） （3） 在同一段时间内，地球与太阳的连线扫过的面积一定等于火星与太阳的连线扫过的面积。 （ ） （4） 对于地球绕太阳的公转和月球绕地球的公转，其轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比是相等的。（ ） （5） 八大行星的公转运动可以看成匀速圆周运动。（ ） 2．关于人造卫星的下列相关说法，请判断正误。 （1） 同步卫星可以定点在北京市的正上方。（ ） （2） 不同的同步卫星的质量可能不同，但离地面的高度一定相同。（ ） （3） 第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。（ ） （4） 第一宇宙速度的大小与地球质量有关。（ ） （5） 月球的第一宇宙速度也是。（ ） （6） 同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。（ ） （7） 若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。（ ） 3．木星绕太阳的公转，以及卫星绕木星的公转，均可以看作匀速圆周运动。已知引力常量，并且已经观测到木星和卫星的公转周期。要求得木星的质量，还需要测量的物理量是（ ） A. 太阳的质量 B. 卫星的质量 C. 木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 D. 卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径 4．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（ ） A. 第一宇宙速度又叫环绕速度 B. 第一宇宙速度又叫脱离速度 C. 第一宇宙速度跟地球的质量无关 D. 第一宇宙速度跟地球的半径无关 5．质量为的人造地球卫星，做匀速圆周运动。它离地面的高度等于地球半径，地面上的重力加速度为。则卫星的（ ） A. 周期为 B. 加速度为 C. 动能为 D. 速度为 6．（多选）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗静止卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，以下说法正确的是（ ） A. 5颗静止卫星的轨道半径都相同 B. 5颗静止卫星的运行轨道必定在同一平面内 C. 北斗卫星导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度 D. 北斗卫星导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小 三、经典例题分析 （一）开普勒行星运动定律 典例1、开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即，是一个对所有行星都相同的常量。 （1） 在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为的圆轨道。 .如图甲所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小，结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示:扇形面积 半径×弧长） .请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力与行星轨道半径的二次方成反比。 （2） 牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒行星运动定律。已知太阳质量为、行星质量为、太阳与行星间距离为、引力常量为，不考虑其他天体的影响。 .通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量的表达式； .实际上太阳并非保持静止不动，如图乙所示，太阳和行星绕二者连线上的点做周期均为的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为。请推导的表达式（用、、、和其他常数表示），并说明需要满足的条件。 （二）重力与万有引力的关系 典例2、万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1） 用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为，自转周期为，引力常量为。将地球视为半径为、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是。 .若在北极上空高出地面处称量，弹簧秤读数为，求比值的表达式，并就的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； .若在赤道地面称量，弹簧秤读数为，求比值的表达式。 （2） 设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径、太阳的半径和地球的半径三者均减小为现在的，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ （三）天体质量、密度的计算 典例3、卡文迪什发表关于引力常量的测量时，曾提到他的实验是为了确定出地球的密度。已知引力常量为，要想估测地球的密度，只需测得（ ） A. 地球的质量 B. 地球的半径 C. 近地卫星的运行周期 D. 地球表面的重力加速度 【导学提问】 要想测量地球的密度，所选择的研究体系中，地球必须处于中心天体位置还是环绕天体位置？ （四）宇宙速度相关问题 典例4、我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（ ） A. 火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B. 火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C. 火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D. 火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 【导学提问】 第一宇宙速度是最小的什么速度？最大的什么速度？ （五）、人造卫星的运行规律 典例5、2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射,实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动,距地面高度约为，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示,为了随时跟踪和观测太阳的活动,“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中,需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向,使太阳光能照射到“夸父一号”。下列说法正确的是（ ） A. “夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 B. “夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于 C. “夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D. 由题干信息，根据开普勒第三定律,可求出日地间平均距离 【导学提问】 夸父一号做圆周运动的向心力是哪个力提供的？ （六）卫星的变轨问题 典例6、如图是一次卫星发射过程，先将卫星发射进入绕地球的较低圆形轨道Ⅰ，然后在点使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ，再在椭圆轨道的远地点使卫星进入同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是（ ） A. 卫星在轨道Ⅰ的速率小于卫星在轨道Ⅲ的速率 B. 卫星在轨道Ⅰ的周期大于卫星在轨道Ⅲ的周期 C. 卫星运动到轨道Ⅰ的点时，需减速才可进入轨道Ⅱ D. 卫星运动到轨道Ⅱ的点时，需加速才可进入轨道Ⅲ 【导学提问】 卫星做圆周运动的基本条件是什么？卫星在什么情况下才会做椭圆运动？ （七）航天器的对接问题 典例7、如图所示，、为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，为地球同步卫星，、两卫星的轨道半径的比值为，地球自转周期为。某时刻、两卫星距离最近，从该时刻起到、间距离最远所经历的最短时间为（ ） A. B. C. D. （八）双星或多星问题 典例8、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ） A. B. C. D. 【导学提问】 双星问题中，万有引力之中两者之间的距离与天体做圆周运动的半径存在怎样的关系？ 参考答案： 一、重点知识回顾 （一）开普勒行星运动定律 1．【答案】椭圆 2．【答案】面积 3．【答案】三次方； 二次方 （二）、万有引力定律 1．【答案】相互吸引； 质量 和 的乘积； 距离 的二次方 2．【答案】 （三）、万有引力定律在天体运动中的应用 1．【答案】 2．【答案】（1） （2） ；周期 （四）、三种宇宙速度 【答案】7.9； 地球； 太阳 （五）、人造卫星的运转规律 1．【答案】； 越小 2．【答案】； 越小 3．【答案】； 越大 4．【答案】； 越小 （六）、地球静止轨道卫星 1．【答案】赤道 2．【答案】自转 3．【答案】相同 6．【答案】一致 二、自主检测 1、【答案】（1） × （2） √ （3） × （4） × （5） √ 2、【答案】（1） × （2） √ （3） × （4） √ （5） × （6） √ （7） √ 3、【答案】D 4、【答案】A 5、【答案】A 6、【答案】AB 三、精选例题分析 典例1、【答案】（1） 见解析 （2） 见解析 【解析】 （1） .由扇形面积公式可得，时间内行星扫过的扇形面积满足 联立解得设为左边扇形的弧长，为左边的速度，如图1所示 图1 由开普勒第二定律可知，在相等的时间内，右边的扇形面积为左边的扇形面积为 联立解得任意两点的线速度大小相等，即可证明行星做匀速圆周运动。.设行星质量为，太阳对行星的引力提供向心力，由开普勒第三定律可知联立解得，即 （2） .根据万有引力提供向心力，有 由开普勒第三定律得联立解得 图2 .设、分别为太阳到中心的距离和行星到中心的距离，太阳与行星转动的角速度为 ，如图2所示对太阳：根据万有引力提供向心力可得 对行星：根据万有引力提供向心力可得 ，，联立解得 当时， 典例2、【答案】（1） .0.98. （2） “设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同 【解析】 （1） .设小物体质量为，在北极地面有在北极上空高出地面处，有 得当时，。.在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有得。 （2） 地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳质量为，地球质量为，地球公转周期为，有 得其中 为太阳的密度。由上式可知，地球公转周期仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。 典例3、【答案】C 典例4、【答案】A 典例5、【答案】A 典例6、【答案】D 典例7、【答案】C 典例8、【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $