16.3.1 平方差公式 教学设计 2025--2026学年人教版八年级数学上册

案例题目 《16.3.1平方差公式》教学设计 课标要求 知道平方差公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理 内容解读 平方差公式是在学习多项式乘法等知识的基础上，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，体现教材从一般到特殊的意图教材为学生在数学活动中“获得数学”的思想方法、能力素质提供了良好的契机。对它的学习和研究，不仅得到了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在教材中有承上启下的作用，是初中阶段一个重要的公式。 学情分析 学生已熟练掌握了整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常会确定错某些项符号及漏项等问题。学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的理解。 教学目标 1. 认识平方差公式，并了解公式的意义 2. 会用平方差公式简化计算并解决简单的实际问题 3.在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括的能力 教学重难点 重点：理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题 难点：理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来 教学突破 1.让学生经历探究得到平方差公式的过程，了解平方差公式适用于一类特殊的多项式相乘。从公式的等号左右两边加深对公式结构特征的理解，从而判断两个多项式相乘能否适用平方差公式，若能，该怎样计算? 结果等于什么? 要注重结合例题对公式进行解读，并通过练习题加以巩固，使学生达到一定的熟练程度。 2.让学生经历探究得到平方差公式的过程，理解平方差公式的适用条件，理解平方差公式的结构特征。运用公式时，准确、熟练地找到公式中的“”和“”是关键，有时需要对算式进行变形。 教学设想 本节课从“多项式乘以多项式”开始，通过复习计算，发现平方差公式的计算规律，明确平方差公式的结构特征，准确找到。为了让学生对平方差公式有一个全面的认识和了解，在教学设计方面融入几何解释。先让学生从代数的角度入手，利用多项式乘多项式的知识，推导出平方差公式，紧接着从几何角度加以解释。在此基础上，通过分析公式的结构特征，加深对公式的理解。引导学生反思练习过程，得出“谁是，谁是，并不以先后为准，而是以符号为准”这一结论。紧接着给出两组例题，考查学生对公式的应用。最后，通过一组判断题和补充练习，拓展学生的思维水平。 教学准备 教师准备：多媒体、课件、一块大正方形纸板、剪刀、彩色粉笔 学生准备：正方形纸板、剪刀、练习本 学习过程设计 时间 教学环节 教师活动 学生活动 3min 情境导入 新知引入 阅读小故事，并回答问题 小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为米的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？ 不妨我们来算一下：， 这是多项式乘以多项式，应如何计算呢？前面我们已经学过法则： 小明说的不对，长方形面积比正方形面积少了25平方米. 【设计意图】：一方面通过小故事激发学生的学习兴趣，让学生真正动手计算得到结论.另一方面引出本节课的要学习的公式，为后续公式的代数推导和几何推导做铺垫. 学生根据所学知识回答 8min 探究新知 探究新知 二．探究新知 1.自主探究 计算下面多项式的积，你发现什么规律？ 问题1：根据以上算式的结构和所得结果，你能发现什么规律吗？ （等式的左边是两个多项式相乘，这两个多项式分别是两个数的和与这两个数的差；等式的右边是这两个数的平方之差） 问题2：你能否用含字母的式子来表示你所发现的一般规律呢？ （不妨设这两个数分别为,则一般形式可以表示为： 这种形式） 【设计意图】：通过计算得出结果后，进一步分析所给这3个式子的结构，通过比较可以总结出等式两边的特点.学生根据所观察到的特点，表达成一般形式，自然而然的引出新知，衔接紧凑，过程流畅. 2.归纳新知 由上面的几个例子不难发现，都是形如的多项式和的多项式相乘，运用多项式乘以多项式的运算法则，可以得到： ， 乘完后是四项，而化简之后仅剩两项。 所以，这类式子是多项式乘法中比较特殊的一类，在遇到具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即： 让我们的计算更加的快速和准确。 对于这个公式，它有自身的结构特点，用语言来描述，就是“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”。 所以我们称这个公式为乘法的平方差公式。 问题3：观察上述公式，其结构上有什么特征？ 我们不难发现，等号左边的两个多项式中，“第一个数”符号相同，“第二个数”符号相反，等号右边是符号相同项的平方减去符号相反项的平方。所以，我们若想利用平方差公式进行计算，可以先观察多项式中是否有符号相同项，相反项，若满足公式结构，便可以直接使用公式计算，而无需再运用多项式乘以多项式的法则. 3.深入探索 大家想一下，我们除了可以从多项式乘法的法则角度来说明平方差公式，还能从什么角度说明呢？还记得引例中的面积问题吗？我们可以尝试利用长方形面积，从几何角度说明平方差公式. 图1 图2 如图1，是一个长为宽为的长方形，其面积是，而这块面积可以分割成两长方形，将其中长为，宽为的长方形剪下，拼到如图2的位置，在剪切的过程中，总面积不变。我们发现在图2中的面积是边长为的大正方形面积，减去空白部分，即边长为的小正方形面积.利用面积的方法，我们再次从几何的角度证明了平方差公式 【设计意图】：从几何角度再次证明平方差公式，有利于让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想. 学生通过小组讨论自主探究、合作交流，发现规律后学生发言得出结论 学生利用多项式乘法法则合并同类项进行计算推导，指定学生板演 学生动手操作，观察，思考，回答问题 15min 例题讲解 例题讲解 三.例题讲解 例1.运用平方差公式计算 （1） （2） 【分析】：能否利用平方差公式进行计算，我们需要观察所给式子是否满足平方差公式的结构.也就是说我们需要找到公式中的相同项，相反项，所得结果应为相同项的的平方减去相反项的平方. （1）中为相同项，这个整体看成，为相反项，看成.最后应为，是；为，最终结果为. （2）中首先要进行观察，这里是相同项，这个整体相当于，而相当于，最后化简完是. 解：（1） （2） 练习：下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1） （2） 【分析】：若能利用平方差公式，则需要在式子中找到相同项，相反项,若两项均为相同项，或者均为相反项，则无法利用公式计算. 【设计意图】：例1和练习可以帮助学生正向认识公式的结构，辨析使用公式所需的条件，为下面应用公式计算打下基础. 例2：计算： （1） （2） 【分析】：（1）中只有前半部分符合公式条件，可以利用平方差公式简便运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；（2）是两个数字相乘，通过观察发现这两个数字很有特点，一个是，，可以利用平方差公式进行简便运算。 解： 练习：运用平方差公式计算： （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 【设计意图】：这两道例题的选取目的是让学生理解公式的结构特征.公式中的既可以表示具体的数字，也可以表示单项式，甚至可以表示多项式.只要符合公式的结构，就可以利用它简便运算.例题从不同角度强化了公式的灵活运用，让学生对公式中的字母含义有了更深刻的理解，同时培养学生利用类比迁移解决问题。 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导 学生独立思考完成 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导 学生独立思考完成，指定学生板演 10min 拓展提升 例3：在括号中填入适当的整式 （1） （2） （3） （4） 【分析】：观察此题左右，可以利用平方差公式.根据给出化简后的结果，及等号右边的式子，可从化简后的形如结果入手，找出谁相当于原公式的.对应公式，我们发现是两个多项式中相同的项，而和是多项式中相反的项，由此可推断出括号中的多项式. （1）中相同项为，相反项为，故括号里应该为 （2）中结果为，故相同项为，相反项为，故括号里应该为 （3）中结果为，相同项为，相反项为，故括号里应该为 （4）中相同项为，相反项为，故括号里应该为 【设计意图】：此题从反方向考察对平方差公式结构的理解和掌握，再次强化了公式的结构。公式的反向运用本质为因式分解，所以此题也为后续利用平方差公式因式分解做一个铺垫. 例4：已知则 。 【分析】：此题给出和的值，由，求出。已知了，，即得到一个方程组，可求得的值，从而的值也可以求出. 解：由，且，. 得：，所以 又因为，解得，所以. 学生先独立思考，组内交流，小组代表说结果 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导 1.5min 归纳总结 本节课我们学习了平方差公式，和公式推导. 1.平方差公式： 文字描述：“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”. 2.平方差公式的推导 （1） 代数推导： （2） 几何推导： 作业设计 必做题： 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　） A． B． C． D． 3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________． 选做题： 4. 利用平方差公式计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 板书设计 平方差公式 1.平常差公式： 2.文字语言表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.例1 运用平方差公式计算 （1） （2） 解：（1） （2） 4.特点：左边是两个二次式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 右边是相同项的平方减去相反项的平方； 公式中的和可以是单项式，也可以是多项式。 5.例2 计算： （1） （2） 解：（1） （2） 教学反思 1.还有少部分学生不能准确地找出公式中的，在以后得授课过程中，找出公式中的时可以用不同颜色的粉笔加以区分强调，或让每小组的组长逐一检查掌握的情况，同时给掌握的不够好的同学辅导，抓落实。 2.当公式中的是式时，部分学生出现忘记加括号的错误，在以后例题的学习中要强调这个问题，在板书时加括号也可用不同颜色的粉笔加以强调并说明。 3.对于那些表面不能运用平方差公式的题目要加强练习，指出只要两个二项式的积中有一项相同，一项相反，不必在乎正、负和数、式，都可以运用平方差公式。 学科网（北京）股份有限公司 $