专题02 椭圆、双曲线及抛物线的综合问题的11种模型（高效培优期中专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题02 椭圆、双曲线及抛物线的综合问题的11种模型 考点1 圆锥曲线的定义及其应用 考点2 圆锥曲线的标准方程 考点3 圆锥曲线的几何性质 考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 考点5 弦长问题 考点6 中点弦问题 考点7 证明问题 考点8 最值与范围 考点9 定点问题 考点10 定值问题 考点11 定直线问题 考点1 圆锥曲线的定义及其应用 解｜题｜策｜略 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” “定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴； “计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 1.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝ . 2.若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值 3.过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 4.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为 . 5．一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 考点2 圆锥曲线的标准方程 解｜题｜策｜略 求圆锥曲线标准方程的步骤 （1）设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程； （2）求方程：利用待定系数法求出方程中的系数.特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0），椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n），双曲线方程常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）. 7.在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 8.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 9.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 10．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 . 11．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 12.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程. 考点3 圆锥曲线的几何性质 解｜题｜策｜略 1.椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法 求椭圆、双曲线的离心率（范围），关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值. 2.双曲线的渐近线的求法及用法 （1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得； （2）用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 3.利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 13.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使线段的中垂线过点，则C的离心率的最小值是 ． 15.设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 16.设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17.若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．8 18.已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 解｜题｜策｜略 1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆（圆）必相切；若直线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）. 19.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 20.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 ． 21．若直线与双曲线有公共点，则可取的一个值是________． 22.已知双曲线与直线没有公共点，则符合题意的一个的值为______． 23．（2025·山东菏泽一模）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 24.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个 考点5 弦长问题 解｜题｜策｜略 求解弦长的常用方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． 25．已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________． 26．过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则______． 27．经过椭圆的的右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于A，B两点，则______． 28．过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于AB两点，则_______ 29.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 30.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 考点6 中点弦问题 解｜题｜策｜略 用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤 31.已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 32.已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 33．已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 34．已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 35.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 36.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 考点7 证明问题 解｜题｜策｜略 圆锥曲线中的证明问题常见的有: (1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等. (2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明. 37.已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 38.在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 考点8 最值与范围 解｜题｜策｜略 1.利用不等关系求最值（范围）的三种方法 2.构造基本不等式求最值的步骤 39.．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上． (1)若，求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线的距离不小于，求的取值范围． 40.（2025·陕西西安二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． 考点9 定点问题 解｜题｜策｜略 圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参； （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 41.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 42.已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 考点10 定值问题 解｜题｜策｜略 定值问题的解题思路 (1) 引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值． (2) 特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 43.已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：面积为定值，并求出该定值. 44.已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 考点11 定直线问题 解｜题｜策｜略 1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. 2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数. 3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”. 45.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 46.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 椭圆、双曲线及抛物线的综合问题的11种模型 考点1 圆锥曲线的定义及其应用 考点2 圆锥曲线的标准方程 考点3 圆锥曲线的几何性质 考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 考点5 弦长问题 考点6 中点弦问题 考点7 证明问题 考点8 最值与范围 考点9 定点问题 考点10 定值问题 考点11 定直线问题 考点1 圆锥曲线的定义及其应用 解｜题｜策｜略 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” “定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴； “计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 1.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝ . 【答案】1 【解析】法一:　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点， 则 从而c2＝a2＋4，又，从而a＝1. 法二:　由题意得，，得b2＝4， 又且c2＝a2＋b2，所以a＝1. 2.若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值 【答案】 【解析】， 因为，所以直线与抛物线相离. 所以P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值 为抛物线的焦点到直线的距离.. 3.过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 【答案】24 【解析】由双曲线定义知：， 所以，，而， 故，故的周长为. 4.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为 . 【答案】 【解析】根据题意，由y2＝－4x得p＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图， . 因为等于到准线的距离，所以， 可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小， 此时点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线方程求得， 所以点P的坐标为. 5．一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 【答案】A 【解析】设动圆的半径为r, 又圆半径为1，圆半径为8， 则，，可得，又 则动圆的圆心的轨迹是以为焦点长轴长为9的椭圆，故选A 6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则，故选D. 考点2 圆锥曲线的标准方程 解｜题｜策｜略 求圆锥曲线标准方程的步骤 （1）设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程； （2）求方程：利用待定系数法求出方程中的系数.特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0），椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n），双曲线方程常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）. 7.在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【解析】设，可得以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切，可得，整理得． 8.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 9.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 【答案】 【解析】法一：椭圆的焦点坐标是(±，0). 设双曲线标准方程为(a＞0，b＞0) 因为双曲线过点P(2，1)， 所以，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1， 所以所求双曲线的标准方程是 法二：设所求双曲线标准方程为(1＜λ＜4)， 将点P(2，1)的坐标代入可得， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线标准方程为 10．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 . 【答案】 【解析】椭圆的标准方程为，其焦点坐标为， 设所求椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得， 所以，，则， 因此，所求椭圆的方程为. 11．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为动点到点的距离比到直线的距离小， 所以，点到点的距离和到直线的距离相等， 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线． 所以，，则，故点的轨迹方程为．故选D. 12.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程. 【解析】设，则. ， 又，，即.解得：.[来源:学科网 所求椭圆的标准方程为或. 考点3 圆锥曲线的几何性质 解｜题｜策｜略 1.椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法 求椭圆、双曲线的离心率（范围），关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值. 2.双曲线的渐近线的求法及用法 （1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得； （2）用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 3.利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 13.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 【答案】4 【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得， 又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距. 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使线段的中垂线过点，则C的离心率的最小值是 ． 【答案】 【解析】设椭圆C的半焦距为，由题意可知：， 根据存在性结合椭圆性质可知：，解得， 可得C的离心率，所以C的离心率的最小值是. 15.设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，因此，而，所以，故选A 16.设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 17.若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由题意知，（）的焦点为， 的右顶点为，所以，解得.故选D 18.已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即，故选B. 考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 解｜题｜策｜略 1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆（圆）必相切；若直线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）. 19.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【答案】2（满足皆可） 【解析】，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点” 所以，又因为，所以， 20.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】把代入，得，化简得， 设直线与双曲线的右支交于不同的两点。 由题意知，即，解得． 21．若直线与双曲线有公共点，则可取的一个值是________． 【答案】（只需，答案不唯一） 【解析】的渐近线方程为， 要想直线与双曲线有公共点，则， 解得，故不妨取 22.已知双曲线与直线没有公共点，则符合题意的一个的值为______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】联立和方程， ，， 易知，即时，双曲线和直线无交点. 所以解得，(时) 要使方程无实数解，需满足， 即，即， 同时，原方程是双曲线，所以， 综上，. 一个符合题意的值：可取， 23．（2025·山东菏泽一模）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，直线符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条，故选C 24.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个 【答案】A 【解析】直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径 ，即，点在以原点为圆心，半径为2的圆内， 又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内， 则过点的直线与椭圆的交点个数为2个，故选A. 考点5 弦长问题 解｜题｜策｜略 求解弦长的常用方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． 25．已知过椭圆，的焦点的最短弦长为2，则________． 【答案】 【解析】过椭圆焦点的最短弦即为通径，椭圆的通径长为，由题可知，解得. 26．过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则______． 【答案】 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以直线的方程为，与抛物线方程联立， 得， ，设，， . 27．经过椭圆的的右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于A，B两点，则______． 【答案】/ 【解析】，直线方程为. 联立，得，解得，. 当时，；当时，. 即，（或交换顺序）. 所以. 28．过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于AB两点，则_______ 【答案】 【解析】因为直线过点且倾斜角为， 所以该直线的斜率为，即该直线的方程为. 与抛物线方程联立得，， ， 设，， 所以. 29.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 【答案】13 【解析】由抛物线 的焦点为 ，可得 ，即 ， 抛物线方程为 ， 过焦点 且斜率为 的直线 方程为 ， 联立抛物线方程与直线方程：， 得 ，整理得 ， 设 ， ，则 ， ， 弦长公式为： 30.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 考点6 中点弦问题 解｜题｜策｜略 用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤 31.已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 【答案】2 【解析】设，代入抛物线，得， 则①， 因为两点A，B关于点对称，则， 所以由①得，直线AB的斜率为2. 则直线AB：与代入抛物线联立， 得，，解得，所以直线AB的斜率为2. 32.已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 【答案】/0.5 【解析】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 33．已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题意直线过点且双曲线的右顶点为， 又双曲线的渐近线方程为， 因此由题意，解得， 所以b的取值范围为. 34．已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 【答案】 【解析】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 35.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设椭圆方程为，有，， 设，，的中点为，，． ，． 由，．两式相减得，即， ，可得：，， 化为：，解得，因，，故选A． 36.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 考点7 证明问题 解｜题｜策｜略 圆锥曲线中的证明问题常见的有: (1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等. (2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明. 37.已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 38.在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【解】（1）设,则，两边同平方化简得， 故. （2）设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，    则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则， 易知 则令, 令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， 故,即. 当时,,且， 即时等号成立，矛盾，故,得证. 考点8 最值与范围 解｜题｜策｜略 1.利用不等关系求最值（范围）的三种方法 2.构造基本不等式求最值的步骤 39.．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上． (1)若，求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线的距离不小于，求的取值范围． 【解】（1）由题意及抛物线的定义得：， 又因为点在抛物线上，所以， 由 可得或， 所以抛物线的标准方程为或． （2）设，， 联立消去可得：， 则，， 因为， 所以 ， 所以，可得， 由原点到直线的距离不小于，可得，解得或， 因为，所以不成立，所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围为． 40.（2025·陕西西安二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． 【解】（1）由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，， 设点，则，， 由消去得，，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 考点9 定点问题 解｜题｜策｜略 圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参； （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 41.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【解】（1）设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 即 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得显然成立， 综上，可得直线HN过定点 42.已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【解】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上， 所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上， 所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则， 设关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令得： ． 直线过定点． 考点10 定值问题 解｜题｜策｜略 定值问题的解题思路 (1) 引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值． (2) 特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 43.已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：面积为定值，并求出该定值. 【解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则双曲线的方程为； （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则消得， ，① 设与轴交于一点，， ， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立，联立， 则（定值）. 44.已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解】（1）由椭圆满足，且右焦点， 可得，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）解：由题意知：椭圆的左、右焦点为， 设，且， 再设，其中， 则，可得， 整理得，同理可得， 则， 所以存在为定值，定值为. 考点11 定直线问题 解｜题｜策｜略 1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. 2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数. 3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”. 45.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 46.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【解】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $