专题01 专题01 直线、圆的综合问题的9种模型（高效培优期中专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题01 直线、圆的综合问题的9种模型 考点1 直线的倾斜角与斜率 考点2 两条直线的位置关系 考点3 距离问题 考点4 圆的方程 考点5直线与圆的位置关系 考点6弦长问题 考点7切线问题 考点8对称问题 考点9与圆有关的最值问题 考点1 直线的倾斜角与斜率 解｜题｜策｜略 解决直线的倾斜角与斜率问题的方法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性求解； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 1.若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角 【答案】 【解析】由结论1可得直线l与x轴垂直，∴直线l的倾斜角是 2.直线过点且不过第四象限，那么直线的斜率的取值范围为 【答案】 【解析】∵直线 过点 ，且不过第四象限，∴直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件， 结合结论可得直线斜率取最小值 当直线过 时，直线斜率取最大值 ∴直线的斜率的取值范围是 3.直线的倾斜角的取值范围 【答案】 【解析】∵直线的斜率,， 设直线的倾斜角为，则，解得 4.已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故选. 5.已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】直线的方向向量，即，故选C. 6.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 【答案】D 【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2. 考点2 两条直线的位置关系 解｜题｜策｜略 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 7．若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等，． 8．若两条直线和互相垂直，则__________. 【答案】 【解析】因为两条直线和互相垂直， 则，所以. 9．直线与直线的夹角大小为___________. 【答案】 【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为，两直线夹角为， 由两条直线的夹角公式可知， 所以， 10．直线与直线的夹角的大小为___________．（用反三角表示） 【答案】 【解析】设直线与直线的夹角为， 由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为， 直线的斜率，其方向向量可以为， 则， 所以直线与直线的夹角为. 11.已知直线经过点，，且与直线：平行，则（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C 【解析】直线的斜率，直线的斜率，所以，解得，故选C 12.“”是“直线与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵对于任意，恒成立，∴直线与垂直恒成立， 考点3 距离问题 解｜题｜策｜略 求解距离问题的思路 （1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式； （2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式. 13.点(0，﹣1)到直线距离的最大值 【答案】 【解析】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为 14.圆的圆心到直线的距离为 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为 15.在平面直角坐标系中，已知点，，那么 【答案】2 【解析】 16.已知直线，则直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由两平行直线间的距离公式可得其距离为：，故选A. 17.平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行，所以，即， 则，也就是，所以两直线间的距离为，故选D 18.若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线：与直线：平行， 所以，所以，所以直线：即， 所以这两条直线间的距离为.故选B. 考点4 圆的方程 解｜题｜策｜略 求圆的方程的两种方法 19．已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 【答案】 【解析】，所以半径， 又∵，，∴线段的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 20.圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 21．已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 【答案】 【解析】设圆的标准方程为，， 由题意可得，解得， 故圆的标准方程为， 22．以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】设圆的半径为，因为圆与直线相切，所以， 所以圆的方程为. 故答案为：. 23．已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 【答案】， 【解析】设圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为， 圆心到的距离为， 所以直线上截得弦长为， 故，解得， 故此圆的方程为或. 24.设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【答案】 【解析】∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 方法二：由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 考点5直线与圆的位置关系 解｜题｜策｜略 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系判断； （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断； （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 25．点在圆外，则直线与该圆的位置关系为______. 【答案】相交 【解析】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 26．已知直线与圆有唯一交点，则___________. 【答案】4 【解析】由题意，可知直线与圆相切，由直线和圆的方程可知圆心到直线的距离，圆的半径，所以由可得，解得. 27．已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______. 【答案】 【解析】直线与圆有且仅有一个公共点， 圆心为，半径为， 则，所以. 28．已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】的圆心为 则当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离小于半径，则解得： 29.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 30.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 考点6弦长问题 解｜题｜策｜略 直线被圆截得的弦长的两种求法 31．直线被圆C：所截得的弦长为______. 【答案】 【解析】圆C：，圆心为，半径，圆心到直线距离为： ，弦长为：. 32．直线被圆截得的弦长等于_____ 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径. 圆心到直线的距离. 故直线被圆截得的弦长等于. 33．已知直线与圆相交于、两点，则________. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 34.已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 35.，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 36.已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离，则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得，故选C. 考点7切线问题 解｜题｜策｜略 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 37．若直线与圆相切，则实数___________. 【答案】 【解析】由题意可得：， 解得：. 38．过点作圆的切线，则切线方程为__________. 【答案】或 【解析】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为， 化简得到，故； 另一条应为不存在的情况，即满足题意. 39．圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：，即. 40．若直线与圆相切，则实数_______． 【答案】或 【解析】圆的圆心为，半径为， 由于直线与圆相切， 所以， 解得或. 41.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【答案】 【解析】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 42.由直线上一点P 向 圆 C：引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】点P为直线上到圆心C距离最小的点时，切线长最小，故有．切线长最小值为：．故选D． 考点8对称问题 解｜题｜策｜略 对称问题的求解策略 （1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. （2）中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 43．若直线与关于直线对称，则实数a= . 【答案】 【解析】直线过点，点关于直线对称点为， 依题意可知点在直线上，所以. 44．点关于直线对称的点在x轴上，则______． 【答案】 【解析】设点关于直线对称的点的坐标为， 所以，解得，． 45．点关于直线的对称点为______. 【答案】 【解析】设对称点为，则， 解得，即对称点为. 46．直线关于点对称的直线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】设对称直线为，根据点到两条直线的距离相等， 则有，即，解得（舍）或. 所以对称直线的方程为. 47．已知，，从点处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数______． 【答案】4或14 【解析】因为，故可设反射光线的方程为， 因为B到该直线的距离为，故，解得或－10． 当时，反射光线的方程为， 点关于x轴对称的点坐标为，显然点在反射光线上， 把点代入方程得，故； 当时，反射光线的方程为， 将点代入方程解得．综上，或14． 48．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 49.已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（    ） A．2， B．－2， C．－2， D．2， 【答案】A 【解析】易知，则直线的斜率为-2， 所以，即．又AB的中点坐标为， 代入，得，故选A. 考点9 与圆有关的最值问题 解｜题｜策｜略 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 50.已知实数满足，则的取值范围 . 【解析】设直线的方程为y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋3＋k＝0. ∵直线与圆有交点，∴，可得， 51．若实数满足，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】可化为，圆心坐标为，半径为. 令，即，则表示直线的纵截距，如图. 圆心到直线的距离为. 直线与圆有交点的条件为，即，解得， 所以的取值范围为. 52．已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 因此． 53．（2025·北京西城·一模）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】由知圆心为，半径为， 又，所以Q点的轨迹方程为， 则圆心为，半径，故，所以．故选：B． 54.设是圆上的任意点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】表示点到的距离的平方， 是圆上一点， 的最大值为圆心到的距离与半径之和的平方， 即.故选：. 55.已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【解析】令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得，故选C. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线、圆的综合问题的9种模型 考点1 直线的倾斜角与斜率 考点2 两条直线的位置关系 考点3 距离问题 考点4 圆的方程 考点5直线与圆的位置关系 考点6弦长问题 考点7切线问题 考点8对称问题 考点9与圆有关的最值问题 考点1 直线的倾斜角与斜率 解｜题｜策｜略 解决直线的倾斜角与斜率问题的方法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性求解； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 1.若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角 2.直线过点且不过第四象限，那么直线的斜率的取值范围为 3.直线的倾斜角的取值范围 4.已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 5.已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 6.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 考点2 两条直线的位置关系 解｜题｜策｜略 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 7．若直线与直线平行，则实数a的值为________． 8．若两条直线和互相垂直，则__________. 9．直线与直线的夹角大小为___________. 10．直线与直线的夹角的大小为___________．（用反三角表示） 11.已知直线经过点，，且与直线：平行，则（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 12.“”是“直线与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 考点3 距离问题 解｜题｜策｜略 求解距离问题的思路 （1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式； （2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式. 13.点(0，﹣1)到直线距离的最大值 14.圆的圆心到直线的距离为 A． B． C． D． 15.在平面直角坐标系中，已知点，，那么 16.已知直线，则直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 17.平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 18.若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 考点4 圆的方程 解｜题｜策｜略 求圆的方程的两种方法 19．已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 20.圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 21．已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 22．以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是______． 23．已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 24.设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 考点5直线与圆的位置关系 解｜题｜策｜略 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系判断； （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断； （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 25．点在圆外，则直线与该圆的位置关系为______. 26．已知直线与圆有唯一交点，则___________. 27．已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______. 28．已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是______． 29.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 30.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 考点6弦长问题 解｜题｜策｜略 直线被圆截得的弦长的两种求法 31．直线被圆C：所截得的弦长为______. 32．直线被圆截得的弦长等于_____ 33．已知直线与圆相交于、两点，则________. 34.已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 35.，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 36.已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 考点7切线问题 解｜题｜策｜略 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 37．若直线与圆相切，则实数___________. 38．过点作圆的切线，则切线方程为__________. 39．圆在点处的切线方程为______. 40．若直线与圆相切，则实数_______． 41.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 42.由直线上一点P 向 圆 C：引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D．1 考点8对称问题 解｜题｜策｜略 对称问题的求解策略 （1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. （2）中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 43．若直线与关于直线对称，则实数a= . 44．点关于直线对称的点在x轴上，则______． 45．点关于直线的对称点为______. 46．直线关于点对称的直线的一般式方程为______． 47．已知，，从点处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数______． 48．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 49.已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（    ） A．2， B．－2， C．－2， D．2， 考点9 与圆有关的最值问题 解｜题｜策｜略 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决. 50.已知实数满足，则的取值范围 . 51．若实数满足，则的取值范围是______ 52．已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 53．（2025·北京西城·一模）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 54.设是圆上的任意点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $