高二数学下学期期中模拟卷（沪教版选择性必修第一册第一章～第三章，高效培优）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 2． 3． 4．6 5． 6． 7．6 8．或或 9．3 10． 11． 12．2 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 D A C D 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， ……………………2分 解得，所以垂心； …………………………3分 （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， ………………………4分 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， …………………………6分 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. ………………………8分    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， ………………………10分 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． ………………………14分 18．（本小题满分14分） 【解】（1）根据题意建立以底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于方向为轴的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以， …………………………3分 所以，， ， ， 设异面直线所成角为，则 …………………………6分 所以异面直线与所成角为 …………………………7分 （2），，， ……………………8分 设平面的法向量为， 则由，，得， 令，则，，所以 …………………………11分 设点到平面的距离为， 则 …………………………14分 19．（本小题满分14分） 【解】（1）作，由几何关系知， 故点为中点，于是，而， 故，于是， …………………………3分 而平面平面，故， …………………………4分 而平面平面，， 故平面． …………………………6分 （2），而平面，故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， …………………………8分 则，． 易知平面的一个法向量， …………………………9分 记平面的一个法向量，由， 化简得，令，可得， …………………………11分 记平面与平面的夹角为， 则， …………………………13分 故平面与平面夹角的余弦值为 …………………………14分 20．（本小题满分18分） 【解】（1）依题意可得 ， …………………………2分 解得， …………………………4分 所以椭圆的方程为． …………………………5分 （2）设，则，，其中，．          则直线的方程为， …………………………6分 令，可得，所以， …………………………7分 又直线的方程为， 由，消去整理得，   所以， …………………………9分 设，所以，解得． 所以，所以．               …………………………11分    由题意，点均不在轴上，所以直线的斜率均存在， 且                             …………………………13分 ， …………………………17分 即，所以、、三点共线． …………………………18分    21．（本小题满分18分） 【解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点， ………………1分 当时， ， ∴，∴直线， …………………………3分 故到l的距离； …………………………5分 （2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为， ∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D， ∴， …………………………6分 由得交点C的横坐标为， …………………………7分 由得交点D的横坐标为， …………………………8分 ∴，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴； …………………………10分 （3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 设， 由，消去y得， ∴且， 解得且， …………………………12分 ， AB的中点， 所以AB的垂直平分线方程为， 令，则， …………………………14分 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， …………………………6分 ∴，解得，又， 故，点， 即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为__________． 2．直线所过定点为______ 3．抛物线的焦点坐标是______. 4．已知空间三点共线，则_________． 5．若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 6．如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为________. 7．已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，则该椭圆的长轴长为_____. 8．若圆与圆相切，则a的值为___________. 9．已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_________. 10．双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 _______. 11．已知圆C经过点和点，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为__________． 12．抛物线的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则______ 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 13．直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知菱形的边长为 ，.将菱形沿对角线折成二面角.若，则异面直线与距离的最大值为. A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 18．（本小题满分14分）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 19．（本小题满分14分）古人在修建城垣时，常将其修成直棱柱．右图为一城垣，其中，，，，平面． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 20．（本小题满分18分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设点是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线． 21．（本小题满分18分）已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B． (1)当时，求到 l 的距离； (2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴； (3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为__________． 【答案】 【解析】因为，所以所求直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为，由直线方程的斜截式得：， 化为一般式得：． 2．直线所过定点为______ 【答案】 【解析】， 因为直线恒过定点， 所以有，因此该直线恒过点. 3．抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】由得，所以，， 所以抛物线的焦点坐标是. 4．已知空间三点共线，则_________． 【答案】 【解析】，， 共线，， ，，，. 5．若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 【答案】 【解析】由题意可知，则该双曲线的两渐近线方程分别为，， 因为该双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则这两渐近线互相垂直， 所以，解得. 6．如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为________. 【答案】 【解析】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 7．已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，则该椭圆的长轴长为_____. 【答案】6 【解析】已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，化为标准方程得到，则，则该椭圆的长轴长为. 8．若圆与圆相切，则a的值为___________. 【答案】或或 【解析】由的圆心为，半径为1；的圆心为，半径为5， ∴若两圆内切，则，即； 若两圆外切，则，即. 9．已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_________. 【答案】3 【解析】因为直线与直线平行， 则，解得， 可知两直线分别为，，符合题意， 所以两直线的距离为. 10．双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 _______. 【答案】/ 【解析】根据双曲线的定义可得：，所以. 又，所以.所以双曲线的离心率为：. 11．已知圆C经过点和点，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为__________． 【答案】 【解析】因为，， 所以直线的斜率为，线段中点为， 所以中垂线方程为，即， 联立，解得， 所以圆心的坐标为. 根据两点间的距离公式，得半径， 因此，所求的圆的方程为. 12．抛物线的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则______ 【答案】2 【解析】由抛物线，可得准线方程为，焦点， 设第一象限的点，则可得， 由为中点，所以，，解得， 所以，，， 所以为直角三角形且， 由，所以，所以， 所以. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 13．直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由直线，即，可知斜率，纵截距为， 所以直线不经过第四象限.故选D. 14．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，所以点到平面的距离. 故选A. 15．已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与横轴的交点为， 根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为， 在直角中，设， 因为， 即，于是， 因为的面积为， 所以， ， 所以由， 所以双曲线的方程为. 16．已知菱形的边长为 ，.将菱形沿对角线折成二面角.若，则异面直线与距离的最大值为. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】（1）如图，沿折成二面角，设为的中点.由，，得平面.故.过作于，则为与的距离. 由，得. 故. 当 时，. （2）沿折成二面角，设为的中点. 类似（1）可得. 故. 当时，. 比较（1）、（2）知，所求最大值为 . 选D. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， ……………………2分 解得，所以垂心； …………………………3分 （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， ………………………4分 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， …………………………6分 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. ………………………8分    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， ………………………10分 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． ………………………14分 18．（本小题满分14分）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 【解】（1）根据题意建立以底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于方向为轴的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以， …………………………3分 所以，， ， ， 设异面直线所成角为，则 …………………………6分 所以异面直线与所成角为 …………………………7分 （2），，， ……………………8分 设平面的法向量为， 则由，，得， 令，则，，所以 …………………………11分 设点到平面的距离为， 则 …………………………14分 19．（本小题满分14分）古人在修建城垣时，常将其修成直棱柱．右图为一城垣，其中，，，，平面． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解】（1）作，由几何关系知， 故点为中点，于是，而， 故，于是， …………………………3分 而平面平面，故， …………………………4分 而平面平面，， 故平面． …………………………6分 （2），而平面，故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， …………………………8分 则，． 易知平面的一个法向量， …………………………9分 记平面的一个法向量，由， 化简得，令，可得， …………………………11分 记平面与平面的夹角为， 则， …………………………13分 故平面与平面夹角的余弦值为 …………………………14分 20．（本小题满分18分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设点是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线． 【解】（1）依题意可得 ， …………………………2分 解得， …………………………4分 所以椭圆的方程为． …………………………5分 （2）设，则，，其中，．          则直线的方程为， …………………………6分 令，可得，所以， …………………………7分 又直线的方程为， 由，消去整理得，   所以， …………………………9分 设，所以，解得． 所以，所以．               …………………………11分    由题意，点均不在轴上，所以直线的斜率均存在， 且                             …………………………13分 ， …………………………17分 即，所以、、三点共线． …………………………18分    21．（本小题满分18分）已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B． (1)当时，求到 l 的距离； (2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴； (3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点， ………………1分 当时， ， ∴，∴直线， …………………………3分 故到l的距离； …………………………5分 （2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为， ∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D， ∴， …………………………6分 由得交点C的横坐标为， …………………………7分 由得交点D的横坐标为， …………………………8分 ∴，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴； …………………………10分 （3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 设， 由，消去y得， ∴且， 解得且， …………………………12分 ， AB的中点， 所以AB的垂直平分线方程为， 令，则， …………………………14分 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， …………………………6分 ∴，解得，又， 故，点， 即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $