精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年下学期4月月考高二数学试题（文）

新蔡一高2025-2026学年下学期4月月考 高二数学试题（文） 一、单选题 1. 已知数列满足，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据递推公式求解即可. 【详解】由，且， 得，所以. 故选：A. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 4. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. －1 B. 0 C. －8 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求导，解得，得到求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 则， 解得， 则， 所以， 故选：C 6. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据，确定数列的正负项，可得当取得最小值时. 【详解】令，则，解得， 所以，，，当时，， 所以当取得最小值时. 7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，再利用关系即可求解. 【详解】∵，又因为等差数列的前项和分别为， 则设 ∴. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二、多选题 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确； 对于B，C，由题图易知在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值，故BC，正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误. 10. 已知等差数列的前项和存在最小值，且，则下列说法正确的是（ ） A. 首项 B. C. 当时，取得最小值 D. 时，最小为19 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据等差数列前项和存在最小值确定公差，首项，再分别对各选项利用等差数列通项公式，前项和公式及性质进行分析判断. 【详解】已知等差数列的前项和存在最小值， 所以数列公差，首项， 在A选项中， 首项，A错误， 在B选项中， 利用等差数列通项公式可得：  ， 又因为，故， 即，B正确， 在C选项中， 已知，且， 因此，， 所以前10项均为负数，从第11项开始为正数， 前项和在时取得最小值，C正确， 在D选项中， 利用等差数列前项和性质可得：  （），  （）， 因此时，最小为，D错误. 11. 已知函数，过点且与图象相切的直线有且只有一条，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】ACD 【解析】 【分析】设切点横坐标为 ，将切线过点 条件转化为 ，分析 的单调性与极值后， 需大于极大值 或小于极小值 ，进一步结合选项得出答案. 【详解】由，求导得. 设切点为，则切线方程为. 因为切线过点，代入得， 即. 将与代入并整理： . 令. 所以过点的切线有且只有一条等价于： 方程有唯一实数解. . 令，易得或函数两极值点，计算极值：，. 易得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故的极小值为，极大值为. 方程有唯一解的条件为或. 结合选项： ，符合条件； 为极大值，不符合条件. 故的值为. 三、填空题 12. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在区间内恒成立，整理可得，结合对勾函数单调性运算求解. 【详解】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立， 因为在区间内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为. 13. 已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 【答案】32 【解析】 【分析】根据，求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前8项的和即可. 【详解】已知，. 当时，. 满足上式，所以，. 则当时，；当时，； 所以 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案； （2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程. 【小问1详解】 ，因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 16. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由已知条件得，解得， 所以， 【小问2详解】 由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 17. 已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合等比数列通项公式可得，分析可知数列为常数列，即可得数列的通项公式； （2）整理可得，结合裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为， 则，即， 且， 可知数列是以首项为1，公比为3的等比数列， 则， 即，可得， 可知数列为常数列， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以. 18. 已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【小问1详解】 是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； 【小问2详解】 由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （3）结合（2）可得时，有极小值，进而结合题意可得，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年下学期4月月考 高二数学试题（文） 一、单选题 1. 已知数列满足，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 4. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 5. 已知函数，则（ ） A. －1 B. 0 C. －8 D. 1 6. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 10. 已知等差数列的前项和存在最小值，且，则下列说法正确的是（ ） A. 首项 B. C. 当时，取得最小值 D. 时，最小为19 11. 已知函数，过点且与图象相切的直线有且只有一条，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 0 三、填空题 12. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为_____________. 13. 已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 四、解答题 15. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 16. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 17. 已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $