平行线的性质与角平分线的计算综合问题讲义-2025-2026学年 人教版七年级数学下册

平行线的性质与角平分线的计算综合问题讲义 平行线的性质与角平分线的计算综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 依托平行线的3条核心性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合对顶角、邻补角等基础角的关系，实现角度的等量转化与和差推导，本质是“由线的平行，推角的数量关系”。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定平行，找截线：明确题干中的平行线组，锁定截得角的截线（关键），标注由平行线和截线形成的同位角、内错角、同旁内角； 1. 用性质，转等角/补角：直接套用平行线性质，将未知角转化为已知角（同位角/内错角相等），或转化为互补角（同旁内角和为180°）； 1. 结合基础角关系，推最终结论：利用对顶角相等、邻补角互补等，对转化后的角度做和差计算，探究所求角的等量/和差/倍数关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 无截线作辅助线：若已知平行但无公共截线，过角的顶点作已知平行线的平行线，构造截线和内错角/同旁内角； 1. 多平行线找传递性：多条平行线时，利用“平行于同一直线的两直线平行”，依次转化角度； 1. 角的对应要精准：认准截线两侧的角的位置，勿混淆同位角、内错角与同旁内角。 例题分析 例1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）直线与直线互相平行，是射线上一点，且点不在直线，上，射线，分别是和的平分线． (1)如图，若点在线段上，试判断与的位置关系，并证明； (2)若点在线段的延长线上， （）中与的位置关系是否发生变化？并说明理由；（注：说理时不能使用没有学过的定理） 当时，若，分别是直线，上的动点，且，请画出符合条件的图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析； (2)与的位置关系发生变化，，理由见解析；画图见解析，的度数为或． 【分析】（）由得，又射线，分别是和的平分线，知，，故，； （）反向延长射线交于，过作，由得，根据射线，分别是和的平分线，可得，而，有，，故，即，得； 分两种情况：当在左侧时，由，得，，而平分，可得，，又，故，可得；当在右侧时，同理可得，即可得，． 【详解】（1）解：， 证明： 如图： ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与的位置关系发生变化，，理由如下： 反向延长射线交于，过作，如图， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 当在左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 例2．（24-25七年级下·广东广州·期中）综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的性质求和的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：已知：如图①，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， ． 例3．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 例4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的平分线，，则也是的平分线，完成下列推理过程： 证明：是的平分线（已知） ∴ ∵ （已知） ∴_______（______________） ∴ （等量代换） 又∵ （已知） ∴_________ （______________） ∴ （______________） ∴ （等量代换） 是的平分线（角平分线定义） 【答案】2；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据每一步的推理得出推理依据即可． 根据平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决问题即可． 【详解】证明：是的平分线（已知） ∴ ∵ （已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴ （等量代换） 又∵ （已知） ∴ （内错角相等，两直线平行） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） 是的平分线（角平分线定义） 故答案为：2；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 变式训练 变式1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②结论： 【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可； （2）①利用基本结论求解即可； ②利用基本结论，，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过作， ， ， ， , ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：①如图2中，由题意，， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ②结论：． 理由：如图3中，由题意，，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图1，，直线分别交于点E，点F，的平分线与的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点M，得到图2，求的度数； (3)如图3，，直线分别交于点E，点F．点O在直线之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点P，请直接写出与之间满足的数量关系，不需证明． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解答即可； （2）利用基本结论求解即可； （3）利用基本结论，，求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 由三角形内角和定理可得： ∴； （2）解：由题意可得： 过点作，如下图：    ∵ ∴ ∴， ∴， ∵平分，平分 ∴， ∴ （3），理由如下： 由（2）可得，，， ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴． 变式3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）已知，A和B分别是直线和上的点，C是这两条直线之间的一点． (1)如图1，①已知，那么________． ②在①的条件下，作与的平分线与相交于点D，求的度数． (2)如图2，作与的平分线与相交于点D，若，求的度数（用含的代数式表示），并证明你的结论． (3)如图3，作的平分线与的平分线所在的直线与相交于点D，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①，② (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）①作，利用平行线的性质可得和，再进行角的和差运算即可； ②作，利用①的结论可得，结合角平分线的定义求解即可； （2）由（1）①的方法可得：，，结合角平分线的定义求解即可； （3）作，根据平行线的性质可得，利用①的结论可得，结合角平分线的定义和邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）①作，如图所示， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵与分别是与的平分线， ∴，， ∴， 同①的方法可得： ； （2），证明如下： ∵与分别平分与， ∴，， ∴， 由（1）①的方法可得：，， ∵， ∴， ∴ ∴， （3）作，如图所示， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵与分别是与的平分线， ∴， ∴ 由（1）①得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 变式4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）【问题提出】 （1）如图1，点D是的边上一点，过点D作直线，是的平分线，是的平分线，连接．试探究：与的数量关系； 【探究应用】 （2）如图2，某地进行商业区的地下管道铺设，，，是三条原有主干道管道，其中，与交于点D，为满足商业区商户的顺利用水，分别沿和的平分线，铺设新的管道，为使区域管道形成闭环，沿也铺设管道，工作人员为了减少后续管道堵塞的问题，需要知道与之间的数量关系，请帮助工作人员做出判断，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，采用数形结合是解答本题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （2）根据内错角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ （2），理由： ∵ ∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴ ∴ ∴ ∴． 实战演练 1．（24-25七年级下·黑龙江黑河·月考）如图所示，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线． (1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系； 证明：∵， ∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．） ∵GM是∠BGE的平分线， ∴______＝______ ∵HN是∠DHG的平分线 ∴______＝______ ∴∠MGE＝∠NHG（等量代换） ∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）． (2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明） (3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明． 【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；；同位角相等，两直线平行； (2)成立 (3)不成立，GM⊥HN． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠MGE=∠NHG，再利用平行线的判定即可； （2）根据平行线的性质可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM=∠NHG，再利用平行线的判定即可； （3）设GM与HN交于点P，根据平行线的性质可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形内角和定理可求出∠GPH=90°即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴∠BGE＝∠DHG（两直线平行，同位角相等．） ∵GM是∠BGE的平分线， ∴∠BGM＝∠MGE＝∠BGE ∵HN是∠DHG的平分线 ∴∠DHN＝∠NHG＝∠DHG ∴∠MGE＝∠NHG（等量代换） ∴GM和HN的位置关系是（同位角相等，两直线平行）． （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： ∵ABCD， ∴∠AGH=∠DHG， ∵GM是∠AGH的平分线， ∴∠AGM= ∠HGM=∠AGH， ∵HN是∠DHG的平分线， ∴∠GHN=∠DHN=∠DHG， ∴∠HGM=∠NHG（等量代换） ∴GMHN． （3）（3）（1）中的结论不成立，GM⊥HN，理由： 如图：设GM与HN交于点P， ∵ABCD， ∴∠BGH+∠DHG=180°， ∵GM是∠BGH的平分线， ∴∠BGM= ∠HGM=∠BGH， ∵HN是∠DHG的平分线， ∴∠GHN=∠DHN=∠DHG， ∴∠HGM+ ∠NHG=∠BGH+∠DHG=90°， ∴∠GPH=180°-（∠HGM+ ∠NHG）=90° ∴GM⊥HN． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和和外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）过点作的平行线，利用平行线的判定和性质即可解答； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，根据三角形内角和求得，即可解答； （3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ； （2）解：， ， 是的平分线， ， ，， ， ； （3）解：当点在点左边时，如图， ，，平分， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ，即； 当点在点右边时，如图， ，， 平分， ， ， ，即， 综上，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平行线的性质与角平分线的计算综合问题讲义 平行线的性质与角平分线的计算综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 依托平行线的3条核心性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合对顶角、邻补角等基础角的关系，实现角度的等量转化与和差推导，本质是“由线的平行，推角的数量关系”。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定平行，找截线：明确题干中的平行线组，锁定截得角的截线（关键），标注由平行线和截线形成的同位角、内错角、同旁内角； 1. 用性质，转等角/补角：直接套用平行线性质，将未知角转化为已知角（同位角/内错角相等），或转化为互补角（同旁内角和为180°）； 1. 结合基础角关系，推最终结论：利用对顶角相等、邻补角互补等，对转化后的角度做和差计算，探究所求角的等量/和差/倍数关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 无截线作辅助线：若已知平行但无公共截线，过角的顶点作已知平行线的平行线，构造截线和内错角/同旁内角； 1. 多平行线找传递性：多条平行线时，利用“平行于同一直线的两直线平行”，依次转化角度； 1. 角的对应要精准：认准截线两侧的角的位置，勿混淆同位角、内错角与同旁内角。 例题分析 例1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）直线与直线互相平行，是射线上一点，且点不在直线，上，射线，分别是和的平分线． (1)如图，若点在线段上，试判断与的位置关系，并证明； (2)若点在线段的延长线上， （）中与的位置关系是否发生变化？并说明理由；（注：说理时不能使用没有学过的定理） 当时，若，分别是直线，上的动点，且，请画出符合条件的图形，并直接写出的度数． 例2．（24-25七年级下·广东广州·期中）综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 例3．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 例4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的平分线，，则也是的平分线，完成下列推理过程： 证明：是的平分线（已知） ∴ ∵ （已知） ∴_______（______________） ∴ （等量代换） 又∵ （已知） ∴_________ （______________） ∴ （______________） ∴ （等量代换） 是的平分线（角平分线定义） 变式训练 变式1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 变式2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图1，，直线分别交于点E，点F，的平分线与的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点M，得到图2，求的度数； (3)如图3，，直线分别交于点E，点F．点O在直线之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点P，请直接写出与之间满足的数量关系，不需证明． 变式3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）已知，A和B分别是直线和上的点，C是这两条直线之间的一点． (1)如图1，①已知，那么________． ②在①的条件下，作与的平分线与相交于点D，求的度数． (2)如图2，作与的平分线与相交于点D，若，求的度数（用含的代数式表示），并证明你的结论． (3)如图3，作的平分线与的平分线所在的直线与相交于点D，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 变式4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）【问题提出】 （1）如图1，点D是的边上一点，过点D作直线，是的平分线，是的平分线，连接．试探究：与的数量关系； 【探究应用】 （2）如图2，某地进行商业区的地下管道铺设，，，是三条原有主干道管道，其中，与交于点D，为满足商业区商户的顺利用水，分别沿和的平分线，铺设新的管道，为使区域管道形成闭环，沿也铺设管道，工作人员为了减少后续管道堵塞的问题，需要知道与之间的数量关系，请帮助工作人员做出判断，并说明理由． 实战演练 1．（24-25七年级下·黑龙江黑河·月考）如图所示，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线． (1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系； 证明：∵， ∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．） ∵GM是∠BGE的平分线， ∴______＝______ ∵HN是∠DHG的平分线 ∴______＝______ ∴∠MGE＝∠NHG（等量代换） ∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）． (2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明） (3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $