10.3～10.4实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解法寒假预习讲义-2025-2026学年人教版七年级下学期数学（知识归纳+题型精讲+综合测试）

10.3～10.4实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解法寒假预习讲义（人教版） 💧 课前预习★目标 ◆ 熟练掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，能够熟练的列方程解应用题； ◆ 理解基本等量关系，能够熟练的根据题目设出未知数列出方程并解决实际问题； ◆ 掌握三元一次方程（组）的概念并能够准确的进行判断； ◆ 学会三元一次方程组的解法并能够熟练的解三元一次方程组． 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1列二元一次方程组解决实际问题】 1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤： （1）审题：弄清题意已经题目中的等量关系． （2）设未知数：根据题意设出两个未知数表示题目中的两个未知量． （3）列方程：根据所设未知数以及等量关系列出方程组． （4）解方程：解出所列的方程组． （5）检验：检验方程组的解是否满足实际问题． （6）答：写出答案． 【知识点2常见的基本等量关系】 （1）行程问题：速度×时间＝路程   顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 （2）配套问题：实际数量比＝配套比 （3）商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100% （4）工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率 【知识点3三元一次方程（组）的定义】 1.含有3个未知数且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程． 2.三元一次方程组的定义： 方程组中含有3个未知数，含未知数的项的次数都是1且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组． 【知识点4解三元一次方程组】 1.基本思想：三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再进行消元转化成一元一次方程． 2.基本步骤：（1）变形：通过加减消元或代入消元把三元一次方程组变为二元一次方程． （2）求解：求解二元一次方程组．（3）回代：将求得的二元一次方程组的两个解代入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程． （4）求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值．（5）写解：用｛写出方程组的解． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1根据实际问题列二元一次方程组 例1．某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生人，女生人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“班级总人数为49人；男生请假1人后人数为女生人数的一半”列方程组即可． 【详解】解：∵该班共有49名学生，男生人，女生人， ∴， ∵一男生请假后，男生人数为女生人数的一半， ∴，变形得， ∴可列方程组为， 故选：D． 变式1．某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为米，小悦的飞机飞行的距离为米，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】根据题意，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米，由此列出二元一次方程组． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小康的飞机飞行距离为 米，小悦的飞机飞行距离为 米．根据题意，得 ． 故答案为：． 变式2．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 题型2根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 由图示可得等量关系：①2个长个长个宽，②一个长一个宽，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据题意，得： ，即． 故选：C． 变式1．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；根据图形及题意可直接列出方程组即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴依据题意可得二元一次方程组为； 故答案为． 变式2．如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 例3．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】先设派辆大车，辆小车，根据有货物，大卡车一次能装，小车一次能运，列出方程，再进行讨论，即可得出答案；本题考查了列二元一次方程并分类讨论求解的实际应用，找到等量关系并设未知数列方程是解题的关键． 【详解】解：设派辆大车，辆小车， 由题意（、为正整数）， 当派大车1辆时，小车辆； 当派大车2辆时，小车辆； 当派大车3辆时，小车辆； 当派大车4辆时，小车辆； 则共有4种派车方案； 故选：D． 变式1．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 【答案】4 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程解决实际问题，解题的关键是利用特殊值分类进行讨论． 假设2元的有张，5元的有张，根据花费钱数，列出二元一次方程，然后利用特殊值进行讨论即可． 【详解】解：假设2元的有张，5元的有张，根据题意得， ， 整理得， 根据题意得，都是正整数， ∴是2的正整数倍， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴付款方式共有4种， 故答案为：4． 变式2．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车厢数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 第二批 (1)试问每节火车车厢和每辆汽车平均各装物资多少吨？ (2)现有物资280吨，若需要安排相同数量的火车车厢和汽车，则如何安排恰好将这批物资全部运走？ 【答案】(1)每节火车车厢平均装50吨，每辆汽车平均装6吨 (2)安排火车车厢5节和汽车5辆恰好将这批物资全部运走 【分析】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的应用． （1）通过设未知数，结合两批物资的运输数据列出二元一次方程组，求解得到每节火车车厢与每辆汽车的平均装载量． （2）利用第一问的结果，设相同数量的火车车厢和汽车为未知数，根据总物资量列一元一次方程求解运输工具的数量． 【详解】（1）解：设每节火车车厢平均装物资吨，每辆汽车平均装物资吨，根据题意得， 解得： 答：每节火车车厢平均装物资50（吨），每辆汽车平均装物资6（吨）. （2）解：设安排火车车厢和汽车的数量均为（为正整数）. 根据题意得， 合并同类项得， 解得． 答：安排火车车厢5（节）和汽车5（辆）恰好将这批物资全部运走． 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 例4．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 变式1．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是 ． 【答案】2.2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲地到乙地的上坡路长，平路长，根据“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进而可求出结论． 【详解】解：设甲地到乙地的上坡路长，平路长， 依题意，得：， 解得：， ∴． 即甲地到乙地全程是． 故答案为：2.2． 变式2．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 例5．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 变式1．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 变式2． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 题型6数学问题（二元一次方程组的应用） 例6．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 变式1．若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解问题．设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则，再利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则 ， 整理得：， ∵都是正整数且都小于或等于9， ∴，，，， ∴符合条件的两位数有4个． 故答案为：4． 变式2．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 例7．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 变式1．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 【详解】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 变式2．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 例8．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 变式1．某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则 ． 【答案】60 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 【详解】解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 变式2．某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10元，乙种每本8元． (1)若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？ (2)若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】(1)甲、乙各买10本 (2)最多买7本甲种笔记本 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列方程或不等式． （1）设甲、乙笔记本数量为未知数，根据总数和总花费列方程求解； （2）设甲笔记本数量，根据乙与甲的数量关系表示乙的数量，再根据总花费不超过的条件列不等式求解． 【详解】（1）解：设购买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 由题意得： 由得，代入， ， ， ． ，则． 答：甲、乙两种笔记本各买了10本． （2）解：设购买甲种笔记本本，则乙种笔记本本． 由题意得： 因为为正整数，且笔记本数量必须为正整数.因此， m 的最大整数值为 7． 答：最多可以购买甲种笔记本7本． 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 例9．小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收入减今年成本，今年收入比去年高，成本比去年低，列出方程组． 【详解】解：去年收入为元，成本为元，节余元， ， 今年收入比去年高， 今年收入为， 今年成本比去年低， 今年成本为， 今年节余元， ， 可列方程组． 故选：C． 变式1．某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了 本． 【答案】2000 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本，根据总本数和总花费建立方程组，求解即可． 【详解】解：设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本， 由题意得，， 解得， 即丁种练习本共买了2000本． 故答案为：2000． 变式2．自年1月1日起，全面禁止生产含汞体温计，为响应水银温度计停产政策，某药店计划采购电子体温计和红外耳温枪两种新型测温工具．已知采购2支电子体温计和3支红外耳温枪共需元，采购4支电子体温计和5支红外耳温枪共需元． (1)求每支电子体温计和每支红外耳温枪的进价分别是多少元？ (2)该药店准备再次采购这两种测温工具共支，且电子体温计的数量比红外耳温枪多4支，此次采购总费用是多少元？ 【答案】(1)每支电子体温计的进价是元，每支红外耳温枪的进价是元 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程组求解． （1）设每支电子体温计和每支红外耳温枪的进价分别是x元、y元，根据采购2支电子体温计和3支红外耳温枪共需元，采购4支电子体温计和5支红外耳温枪共需元，列方程组求解； （2）设电子体温计和红外耳温枪的数量分别是a支、b支，这两种测温工具共支，且电子体温计的数量比红外耳温枪多4支，列方程组求解后再计算总费用． 【详解】（1）解：设每支电子体温计和每支红外耳温枪的进价分别是x元、y元， 根据题意得： ， 解得：， 答：每支电子体温计的进价是元，每支红外耳温枪的进价是元； （2）解：设再次采购的电子体温计和红外耳温枪的数量分别是a支、b支， 根据题意得： ， 解得：， ∴总费用为：（元）， 答：此次采购总费用是元． 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 例10．某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；得到关于总分的关系式是解决本题的难点．题目难度相对不大，属于基础题，注重考查同学们的基础知识，同学们平时需要多加积累基础知识，认真审题，正确解答．根据及格人数和不及格人数之和为150，及总分的关系式得到的两个关系式求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得 ， 故选：A． 变式1．在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有 人，女生有 人． 【答案】 5 10 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设男生有x人，女生有y人，然后根据题意可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人，由题意得： ， 解得：， ∴男生有5人，女生有10人； 故答案为5；10． 变式2．若干学生前往某工地进行社会实践活动．男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽．休息的时候坐在一起，大家发现一个有趣的现象，每个男生看到白色与红色的安全帽都一样多，而每个女生看到的白色安全帽是红色安全帽的2倍，则这群学生中男女生人数分别是多少？ 【答案】男生人数是4，女生人数是3． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设男生人数为，根据题意得到女生比男生少一人，女生减去一人后是男生的一半，进而列方程求解即可． 【详解】解：∵每个男生看到白色与红色的安全帽都一样多， ∴从一个男生的视角看，剩下的男生和女生总数一样多， 即女生比男生少一人， 设男生人数为，则女生人数是， ∵每个女生看到的白色安全帽是红色安全帽的2倍， ∴从一个女生的视角看，男生人数是剩下女生人数的两倍， 根据题意，列方程得：， 解得：， ∴， 答：这群学生中男生人数是4，女生人数是3． 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 例11．如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：∵长方形的周长为64，， ∴． 设小长方形的长为x，宽为y，依题意得， ， 解得， ∴图中阴影部分面积． 故选：B． 变式1．已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设的最长边为a，最短边为c，利用差与和的关系求出a和c，再通过周长求出第三边b． 【详解】解：设的最长边为a，最短边为c，第三边为b 则， 得， 解得； 得， 解得． 由周长，得， 解得． 故答案为：，，． 变式2．如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】一个小长方形的长与宽分别是16，5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解决本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，再根据图象列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图象可得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， ∴一个小长方形的长与宽分别是16，5． 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 例12．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得： ， ∴一个杯子为8元． 故选：D． 变式1．学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则 ． x 2y y 6 【答案】6 【分析】本题考查代数推理，方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．利用幻方中各行、各列及对角线上的三个数之和相等，列出方程并求解，得到x与y的关系． 【详解】解：设右下角数字为， ∵图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， 即， 则． 故答案为：6． 变式2．已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 【答案】，表格见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及有理数的加法，利用已知条件列出方程组是解题的关键． 利用已知条件列出方程组求解，然后根据表格填写数据即可． 【详解】解：∵图中各行、各列及对角线上的3个数之和都相等， ∴． 解得， ∴， ∴各行、各列及对角线上的3个数之和都为3， 填表如下： 3 2 5 1 0 4 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 例13．我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有个人，共分两银子， 根据题意，得． 故选：A． 变式1．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键． 根据题意，一匹7尺绫布和一匹9尺罗布价格相等，可得方程；每尺罗布比绫布便宜36文，可得方程，即可解答． 【详解】解：设绫布每尺文，罗布每尺文，由“绫七尺，罗九尺，共价适等”得， 由“罗每尺价比绫每尺少钱三十六文”得， 故方程组为； 故答案为：． 变式2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】有5人，物价为28钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【详解】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 题型14开放型问题（二元一次方程组的应用） 例14．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； 【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分， 依题意得：， ∴解这个方程组为：， ∴大壮的得分为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 题型15其他问题（二元一次方程组的应用） 例15．某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设小组数为个，该班的学生人数为人，根据总人数不变列方程求解小组数，再求总人数即可． 【详解】解：设小组数为个，该班的学生人数为人，根据题意得： ， 解得：， 答：该班的学生人数为56． 故选：B 变式1．、、各代表一个数，已知：，，，那么 ． 【答案】17 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据条件可得，将代入中，得到，与联立，解方程组求出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由可得， 代入可得：， ∵， ∴两式相减可得：，即， ∴， 代入可得：， 故答案为：． 变式2．“十·一”国庆期间，学校组织466名九年级学生参加社会实践活动，准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，问49座和37座客车各多少辆？ 【答案】49座客车有8辆，37座客车有2辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准两个等量关系：客车总数量为10辆，两种客车载客总人数为466人，设未知数列出方程组求解即可. 【详解】解：设49座客车有辆，37座客车有辆，根据题意得 解得： 答：49座客车有8辆，37座客车有2辆. 题型16三元一次方程组的定义及解 例16．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 变式1．在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ： . 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 【详解】　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 变式2．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 题型17三元一次方程组的应用 例17．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【详解】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 变式1．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜 场、平 场、负 场． 【答案】 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 变式2．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，合理列出方程是解题的关键． 根据题意，列出方程即可． 【详解】∵绳子剩余4.5尺， ∴， ∵对折绳子量木，木剩余尺， ∴， ∴方程组为 故选：C． 2．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 3．一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱．大纸箱能装20包糖果，小纸箱能装12包糖果．现在共有136包糖果，用了8个纸箱刚好装完．其中小纸箱用了（   ）个． A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】这道题主要考查了鸡兔同笼问题的相关知识点，运用了假设法来解决实际的数量分配问题，掌握这种方法是解题的关键． 通过先假设全部使用大纸箱，计算出与实际包装数量的差值，再根据大、小纸箱装货量的差异，求出小纸箱的数量． 【详解】解：假设全用大纸箱：8个大纸箱能装（包）， 多装的数量：（包）， 小纸箱个数：每个大纸箱比小纸箱多装 (包）， 所以小纸箱有（个）． 故选：D． 4．小杰买了单价分别为2元和3元的练习本若干本（每种至少买一本），总共花了20元，则有（   ）种购买方案． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解在实际购买问题中的应用．解题的关键是根据题意列出方程，结合“每种至少买一本”的条件确定未知数的取值范围，进而找出所有符合题意的整数解． 设单价2元、3元的练习本分别买了x本、y本，列出方程；根据且均为正整数，求出方程的所有整数解，即可确定购买方案的数量． 【详解】解：设单价为2元的练习本买了x本，单价为3元的练习本买了y本，其中x、y为正整数． 根据题意，得，则． 因为，所以，解得； 又因为且为偶数，x为整数，所以为偶数，即y为偶数． 则y可取2、4、6： 当时，； 当时，； 当时，． 共3种购买方案． 故选：B． 5．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 6．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 【详解】解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 7．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据表格中的内容，可用含的代数式表示出，及时看到里程表上的数，根据“时里程碑上的两个数字之和是，及行驶的路程与时间成正比”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设：时里程碑上的这个两位数十位数字为，个位数字为， 根据题意得：时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：时里程碑上的数为． 故选：D. 8．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 二、填空题 9．已知是方程组的解，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 10．有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 11．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 【答案】100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 12．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为 元 【答案】120 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论． 【详解】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元， 依题意可得：， 解得：， ∴大套装的单价为120元． 故答案为：120． 13．将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解此题的关键是能准确地从图中找出角之间的数量关系，从而列出方程组． 【详解】解：由的度数比的度数大可得：， 再从图中可看出， 即， 由此可列二元一次方程组为：． 故答案为：． 14．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 【答案】18 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意直接列出二元一次方程组，再整理得到的值，即可解题． 【详解】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元， 由图知，， 由①②得：， 整理得：， 第三束气球的价格为元． 故答案为：． 15．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，设每尺绫分，每尺绢分（注：1钱＝10分），则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设每尺绫值分，每尺绢值分，根据购买方式列出方程组即可． 【详解】解：设每尺绫值分，每尺绢值分，根据题意得， ， 故答案为：． 16．西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了 条大船， 条小船． 【答案】 6 4 【分析】通过建立二元一次方程组，根据总船数和总人数列出方程，并利用消元法求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设租大船x条，小船y条， 根据题意，得方程组：， 解得， 故租大船6条，小船4条， 故答案为：6，4． 三、解答题 17．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 18．学校捐资购买了一批物资吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 汽车运费（元辆） (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆? (2)若学校决定用甲、乙、丙三种车共辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完?哪种方案运费最省? 【答案】(1)需要辆甲型车，辆乙型车； (2)共有种运输方案，方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车， 方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车；其中方案运费最省． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，读懂题意列出方程组是解题的关键． （）设需要辆甲型车，辆乙型车，根据题意得，然后解方程组即可； （）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据题意得，所以，然后求出正整数解或，再分别求出运输方案的所需运费，最后比较即可． 【详解】（1）解：设需要辆甲型车，辆乙型车， 根据题意得：， 解得：， 答：需要辆甲型车，辆乙型车； （2）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ∴， 又∵，，均为正整数， ∴或， ∴共有种运输方案， 方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车，所需运费为（元）； 方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车，所需运费为（元）． ∵， ∴使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车时，运费最省， 答：共有种运输方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车；或使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车时，此时运费最省． 19．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 20．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 21．某车间为提高生产总量，在原有20名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求新调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个A零件或400个B零件，1个A零件和5个B零件刚好配套，为使每天生产的A零件和B零件刚好配套，应该安排生产A零件和B零件的工人各多少名？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应安排7名工人生产A零件，21名工人生产B零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人”列方程求解即可； （2）设y名工人生产A零件，则名工人生产B零件，根据每天生产的A零件和B零件刚好配套列方程求解． 【详解】（1）解：设新调入x名工人， 根据题意得：， 解得， 答：新调入8名工人． （2）解：由（1）知，调入8名工人后，车间有工人名， 设y名工人生产A零件，则名工人生产B零件， 因为每天生产的A零件和B零件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 答：应安排7名工人生产A零件，21名工人生产B零件． 22．为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 【答案】(1)打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元； (2)篮球和足球打8折出售． 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元”列方程组求解． （2）设篮球和足球打m折，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元． 根据题意，得． 解得． 答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元． （2）解：设篮球和足球打m折出售． 由题意，得． 解得． 答：篮球和足球打8折出售． 23．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，根据图形回答下列问题． (1)求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？ (2)求大长方形的面积？ 【答案】(1)每个小长方形地砖的长是，宽是 (2)面积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每个小长方形地砖的长是，宽是，根据图形列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）由图知大长方形的长是，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个小长方形地砖的长是，宽是， 则由图知， 解得， 所以每个小长方形地砖的长是，宽是； （2）解：由图知大长方形的长是， 则面积是． 24．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解． （1）根据表格收费标准，及小王家4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可； （2）先判断用水量超过，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理得：， 解得：； （2）解：当用水量为时，水费为：元，元， ∵， ∴小王家6月份的用水量超过， 设小王家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， ∴小王家6月份最多用水． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3～10.4实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解法寒假预习讲义（人教版） 💧 课前预习★目标 ◆ 熟练掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，能够熟练的列方程解应用题； ◆ 理解基本等量关系，能够熟练的根据题目设出未知数列出方程并解决实际问题； ◆ 掌握三元一次方程（组）的概念并能够准确的进行判断； ◆ 学会三元一次方程组的解法并能够熟练的解三元一次方程组． 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1列二元一次方程组解决实际问题】 1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤： （1）审题：弄清题意已经题目中的等量关系． （2）设未知数：根据题意设出两个未知数表示题目中的两个未知量． （3）列方程：根据所设未知数以及等量关系列出方程组． （4）解方程：解出所列的方程组． （5）检验：检验方程组的解是否满足实际问题． （6）答：写出答案． 【知识点2常见的基本等量关系】 （1）行程问题：速度×时间＝路程   顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 （2）配套问题：实际数量比＝配套比 （3）商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100% （4）工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率 【知识点3三元一次方程（组）的定义】 1.含有3个未知数且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程． 2.三元一次方程组的定义： 方程组中含有3个未知数，含未知数的项的次数都是1且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组． 【知识点4解三元一次方程组】 1.基本思想：三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再进行消元转化成一元一次方程． 2.基本步骤：（1）变形：通过加减消元或代入消元把三元一次方程组变为二元一次方程． （2）求解：求解二元一次方程组．（3）回代：将求得的二元一次方程组的两个解代入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程． （4）求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值．（5）写解：用｛写出方程组的解． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1根据实际问题列二元一次方程组 例1．某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生人，女生人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 变式1．某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为米，小悦的飞机飞行的距离为米，则可列方程组 ． 变式2．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 题型2根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为 变式2．如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 例3．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 变式1．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 变式2．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车厢数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 第二批 (1)试问每节火车车厢和每辆汽车平均各装物资多少吨？ (2)现有物资280吨，若需要安排相同数量的火车车厢和汽车，则如何安排恰好将这批物资全部运走？ 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 例4．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是 ． 变式2．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 例5．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 变式1．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 变式2． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 题型6数学问题（二元一次方程组的应用） 例6．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 变式1．若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有 个． 变式2．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 例7．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 变式1．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 变式2．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 例8．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则 ． 变式2．某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10元，乙种每本8元． (1)若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？ (2)若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多少本？ 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 例9．小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了 本． 变式2．自年1月1日起，全面禁止生产含汞体温计，为响应水银温度计停产政策，某药店计划采购电子体温计和红外耳温枪两种新型测温工具．已知采购2支电子体温计和3支红外耳温枪共需元，采购4支电子体温计和5支红外耳温枪共需元． (1)求每支电子体温计和每支红外耳温枪的进价分别是多少元？ (2)该药店准备再次采购这两种测温工具共支，且电子体温计的数量比红外耳温枪多4支，此次采购总费用是多少元？ 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 例10．某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 变式1．在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有 人，女生有 人． 变式2．若干学生前往某工地进行社会实践活动．男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽．休息的时候坐在一起，大家发现一个有趣的现象，每个男生看到白色与红色的安全帽都一样多，而每个女生看到的白色安全帽是红色安全帽的2倍，则这群学生中男女生人数分别是多少？ 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 例11．如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 变式1．已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为 ． 变式2．如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 例12．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 变式1．学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则 ． x 2y y 6 变式2．已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 例13．我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A．B． C． D． 变式1．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，则可列方程组为 ． 变式2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 题型14开放型问题（二元一次方程组的应用） 例14．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 题型15其他问题（二元一次方程组的应用） 例15．某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 变式1．、、各代表一个数，已知：，，，那么 ． 变式2．“十·一”国庆期间，学校组织466名九年级学生参加社会实践活动，准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，问49座和37座客车各多少辆？ 题型16三元一次方程组的定义及解 例16．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 变式1．在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ： . 变式2．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 题型17三元一次方程组的应用 例17．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 变式1．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜 场、平 场、负 场． 变式2．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A． B． C． D． 2．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱．大纸箱能装20包糖果，小纸箱能装12包糖果．现在共有136包糖果，用了8个纸箱刚好装完．其中小纸箱用了（   ）个． A．8 B．5 C．4 D．3 4．小杰买了单价分别为2元和3元的练习本若干本（每种至少买一本），总共花了20元，则有（   ）种购买方案． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 6．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 7．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 8．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 二、填空题 9．已知是方程组的解，则 ． 10．有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 11．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 12．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为 元 13．将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组 ． 14．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 15．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，设每尺绫分，每尺绢分（注：1钱＝10分），则可列方程组为 ． 16．西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了 条大船， 条小船． 三、解答题 17．解下列方程组： (1)； (2)． 18．学校捐资购买了一批物资吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 汽车运费（元辆） (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆? (2)若学校决定用甲、乙、丙三种车共辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完?哪种方案运费最省? 19．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 20．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 21．某车间为提高生产总量，在原有20名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求新调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个A零件或400个B零件，1个A零件和5个B零件刚好配套，为使每天生产的A零件和B零件刚好配套，应该安排生产A零件和B零件的工人各多少名？ 22．为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 23．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，根据图形回答下列问题． (1)求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？ (2)求大长方形的面积？ 24．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $