上海市宝山区2025-2026学年第二学期期中高三数学教学质量监测试题

2025学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）. 1. 已知集合，则__________. 2. 已知，则__________． 3. 已知是虚数单位，且复数满足，则________． 4. 若是直线的一个法向量，则实数的值为__________. 5. 将边长为2的正方形绕其一边旋转一周，所得几何体的体积为__________． 6. 已知随机变量，且，那么__________. 7. 设，则的最小值为____________． 8. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 9. 若，则__________. 10. 如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________. 11. 已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 12. 已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）· 13. 两个变量x与y之间的回归方程（ ） A. 表示x与y之间的函数关系； B. 表示x与y之间的不确定关系； C. 反映x与y之间的真实关系； D. 是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 14. 在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（ ） A. 为定值，为定值 B. 为定值，不为定值 C. 不为定值，为定值 D. 不为定值，不为定值 16. 设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“数列”； B. 若是“数列”，则可能为常数列： C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足； D. 对任意，若，且满足，则是“数列”. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 18. 已知. （1）若，求的值； （2）当时恒成立，求的取值范围. 19. 为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表： （1）调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值； （2）当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人. ①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率； ②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值. 男生 女生 合计 了解 不了解 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 20. 将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. （1）求抛物线的标准方程； （2）证明：直线的斜率； （3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 21. 已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）. （1）若满足，求实数的值； （2）设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由： （3）若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 2025学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】； 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】4 【8题答案】 【答案】1 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】12 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）· 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三､解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）当时无解; 当时 【19题答案】 【答案】（1） （2）①；② 【20题答案】 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【21题答案】 【答案】（1）或 （2）存在，证明见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $