专题12 数列的融合交汇问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

专题12　数列的融合交汇问题 题型01 数列与不等式、导数结合解决最值、范围问题 1．（25-26高三下·安徽安庆·月考）在数列中，已知， (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列满足，，设数列的前项和为． 　　①求，并证明； 　　②证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)①，证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合等差数列的定义证明结论，求出； （2）利用累乘法求出，进而证明结论；利用裂项相消法求和，再化简不等式，利用函数单调性证明结论． 【详解】（1）在数列中，，成立，取，则， 已知，则， 是首项为2公差为2的等差数列，通项公式为． （2）①已知，则， ， 当时，，符合题意，； ，， ， ，， ； ②， ， ， 要证，即， ，两边平方得， 化简得， 令，求导得， 当时，，函数单调递增， 当时，， 当时，， 对恒成立， ，命题得证． 2．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. (1)求、； (2)求的通项公式； (3)已知数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得出，分别令、，可求得、的值； （2）当时，由可得，两式作差可得出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （3）当时，推导出，且（当且仅当时，等号成立），于是得出，再利用不等式的基本性质结合累加法可证得结论成立. 【详解】（1）由题意得. 当时，，得. 当时，，得. （2）当时，由可得， 两式作差得， 得，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. 故，得. （3），所以. 令函数，得，所以在上是增函数. 当时，，得. 因为，所以， 所以. 令函数，得. 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 故，得，当且仅当时，等号成立， 令，得，得， 则 . 故. 3．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，结合三角函数性质分析可知，即可得单调性； （2）（i）先利用平方关系求，时利用诱导公式分析可知的对称轴和周期性，结合单调性可得； （ⅱ）先求 方法一：利用数学归纳法证明结论， 方法二：令，证明，由此证明结论； 方法三：由，结合利用放缩法证明结论. 【详解】（1）因为 当时，则， 所以， 可得，且， 则， 即， 可得，所以函数在上单调递增， （2）（2）（i）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递增， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又因为 可知关于对称， 则在，处取到最大值，在，处取到最小值， 可得， 综上所述： （ii） 方法一：数学归纳法证明不等式 成立， 当时，左边，右边，因为，所以不等式成立， 假设当时不等式成立， 即成立， 则当时， 左边 所以当时，不等式也成立， 综上所述：可证得不等式恒成立； 方法二：构造新数列方法证明不等式. 令， 所以， 即 ， 综上所述：可证得不等式恒成立. 方法三： ， 4．（2026·山东济南·一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. (1)若，比较与的大小； (2)从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） (3)若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）先根据导函数确定极值点，再通过作差法比较 与 的大小； （2）选择①，构造函数，选择②，构造函数求导计算可得 ，结合（1）中可得的正负，通过分析函数的单调性来判断相邻两项的差值； （3）先分析函数在给定区间上的单调性，再根据单调性求出函数在该区间上的最值，可得，构造函数，通过单调性判断进而得出，确定的最小值. 【详解】（1）令，得， 因为为的变号零点，所以. 当时，，且. ， . 故. （2）选择①， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，. 故单调递减，从而有， 即， 即，从而数列为递减数列. 选择②， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，， 故单调递增，从而有， 即， 即，从而数列为递增数列. （3）由（2）知，在区间上，的最大值为，的最小值为. 对任意，都有成立， 当且仅当. 因为为正整数，所以当时，令， 则， 注意到，且， 从而有， 故单调递增. 故，即，故. 从而的最小值为1. 5．（25-26高三上·陕西西安·月考）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 【答案】B 【分析】由题可得，因此为常数列，可求得为等差数列，进而求得，随后将化简为，借助对勾函数的性质研究其单调性，并求得最小值即可. 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故， 则. 设，，解得，由对勾函数的单调性， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故可能在或处取得最小值. 而，， 得的最小值为，则的最小值为. 故选：B. 6．（25-26高三下·四川南充·月考）已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对递推式取倒数累加求通项,再裂项相消求前 项和并确定其上界,接着转化为关于 的一次函数恒成立问题,最后利用区间端点列不等式组,求解得出实数 的取值范围。 【详解】由，两边同除以得， 当 时,得 , 累加得 , 可得 ,则 , 前项和， 因此，因为对于任意的，不等式恒成立. 所以对任意恒成立， 令，，由一次函数端点值条件可知 即，解得或. 题型02 数列与解析几何结合 7．（2026高三·全国·专题练习）已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D 【分析】利用圆平分另一圆周长的条件，推导出公共弦必过圆心，从而得到数列项的关系，再通过倒序相加法求出所有项的和. 【详解】由题意联立， 两式相减可得公共弦所在直线方程为，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， 则， 两式相加得， 则. 故选：D 8．（25-26高三上·四川凉山·期末）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为． (1)求t的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)1 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）把点代入抛物线方程，可求t的值； （2）过且斜率为-1的直线方程为，与抛物线联立方程组，求得方程的两根，得到，结合等差数列的定义，即可得证数列是等差数列，并可求出； （3）由错位相减法数列的前n项和. 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴，解得． （2）由（1）知，即， 当时，∵点在抛物线上，则，且， 过，且斜率为的直线， 联立方程组，得， 解得或， ∴，可得， ∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列， ∴. （3）， ， ， 两式相减得： ， 所以. 9．（25-26高三下·山西太原·月考）（多选）如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（    ） A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C错误； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 10．（25-26高三上·宁夏中卫·期末）已知点和是椭圆上的两个点． (1)求的方程； (2)过点作的切线，切点为，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的标准方程为，先把椭圆上两点的坐标代入方程，得到关于的方程组，再解方程组即可确定椭圆方程； （2）利用“切线过已知点”这一条件，将点坐标代入切线方程，即可建立关于切点纵坐标的等式，进而求出通项； 【详解】（1）将点代入椭圆方程，可得，即， 将与点的坐标代入椭圆方程，可得，，解得， 因为，，所以椭圆的方程为. （2）设过点的切线方程为， 将代入椭圆方程，得到， 展开并整理可得， 因为直线与椭圆相切，所以：， 化简得，所以，即，解得， 将，代入， 可得，即， 因为直线与椭圆相切，所以， 将代入，可得， 将代入上式，可得， 所以数列的通项公式为： . 11．（25-26高三上·北京·月考）已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆与圆相交时，圆平分圆的周长，且,则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案. 【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， ， 因为，且, 所以， 故选：D 12．（25-26高三上·湖南永州·期末）抛物线上有一系列点，对于所有正整数，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆又彼此外切．已知，点到的准线的距离为，记圆的面积为． (1)求的方程； (2)证明：数列是等差数列； (3)设，判断数列中是否存在互不相同的三项构成等比数列，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义建立方程求出参数即可. （2）由给定各圆的特征建立等式并化简变形，结合等差数列定义推理得证. （3）由（2）求出数列的通项公式，结合反证法推理得证.. 【详解】（1）依题意，点的坐标为，而抛物线准线方程为，则， 解得，所以抛物线C的方程为. （2）由圆、圆与y轴相切，得圆的半径长为，圆的半径长为， 由圆与圆相外切，得，即， 则， 又，因此，即，而， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （3）数列中不存在互不相同的三项构成等比数列， 证明如下：由（2）得，则，而 因此，， 假设数列中存在不同三项（）构成等比数列， 即，于是， 整理得，由，得， 即，因此，整理得， 即，与矛盾，假设不成立， 所以数列中不存在互不相同的三项构成等比数列. 题型03 数列与三角结合 13．（25-26高三上·天津津南·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是_____. 【答案】 【分析】应用等比数列及等差数列的下标和性质得出，，再代入结合特殊值的三角函数值求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，又，， 则，，所以，， 则. 故答案为：. 14．（2025高三上·河北石家庄·专题练习）设等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求得，由等差数列项之间的关系求得公差和首项，即得数列通项，然后化简数列的通项公式，利用裂项相消法即得答案. 【详解】设等差数列的公差为，，解得， 则，∴， ∴， ∴， 设数列的前项和为， 则 . 故选：B 15．（25-26高三上·湖南长沙·月考）（多选）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断. 【详解】令，解得或， 因此 对于A：，因此不为等差数列，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， ， ，故C正确； 对于D： ，故，故D正确. 故选：BCD. 16．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简即得. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，进而求出数列的通项，再利用周期性及并项求和法求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 于是，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，，而，则，又，则由正弦定理得， 因此，函数的最小正周期为3， 因此数列是以3为周期的周期数列， ，而， 所以. 17．（2025·福建漳州·模拟预测）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助三角恒等变换可先将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得； （2）由正弦函数性质可得所有的正零点，则可得数列的奇数项及偶数项的通项公式，再利用等差数列求和公式分组计算即可得. 【详解】（1）因为， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，又，所以， 所以， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为； （2）因为，令，得， 所以或，， 即或，， 所以所有的正零点为或，， 所以是以为首项，π为公差的等差数列， 所以是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . 18．（25-26高三上·辽宁营口·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)若外接圆的半径为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出； （2）由(1)知，又，可求出边，进而求出周长； （3）由正弦定理可求出，进而求出，再用求和公式即可求出. 【详解】（1）因为， 所以，即，     所以.         因为，所以. （2）由，得，     解得（负根已舍去），         所以的周长为 （3）设外接圆的半径为，则，     所以，得，         所以. 题型04 数列与概率结合 19．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【分析】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 20．（2026高三下·山东烟台·专题练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 【答案】C 【分析】根据题意，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可判断ABC，然后逐一列举，即可判断D. 【详解】由题意可知，要使得次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中， 所以，，即， 因为，则，所以，， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 则，即， 对于A，，故A正确； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应于， 则不同的传球方式有：①，②， ③，④，⑤， ⑥，故共有6种情况，故D正确. 21．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 22．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)（i），其最大值为；（ii）. 【分析】（1）分析给定信息，将问题转化为两个互斥事件的和，并结合概率的乘法公式计算即得. （2）（i）由给定信息可得，，再利用构造法求出数列通项，按分奇偶求出最大值；（ii）由（i）的结论求出，进而求出，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）第1次传球后必为学员控球，第2次传球后教练控球的概率为，学员控球的概率为， 若第2次传球后教练控球，则第3次传球后必为学员控球，学员控球的概率为1； 若第2次传球后学员控球，则第3次传球后教练控球的概率为， 四人进行了3次传球，教练控球2次的事件是初始控球及只在第2次控球的事件， 与初始控球及只在第3次控球的事件的和，概率为， 所以四人进行了3次传球，教练控球2次的概率为. （2）（i）因规则对学员B, C, D完全对称，且第1次传球后他们控球的概率相等，故之后任意一次传球后他们控球的概率均相等， 可记为，则，又， 因此，即，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 于是，当为正奇数时，， 当为正偶数时，，而数列单调递减，则当时，取最大值， 所以的表达式为，其最大值为. （ii）由（i）得，， 因此，，， 两式相减得， 所以. 23．（2026·江西·模拟预测）某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. (1)求与的值. (2)证明：. (3)求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算可得结果； （2）记事件为第次操作抽调到类部件，则，利用全概率公式计算可得，可得出结论； （3）利用两点分布以及公式计算可得，再构造数列，可知，再根据累加法计算可得结果. 【详解】（1）由题可知，. （2）证明： 设的所有可能取值为，则， 记事件为第次操作抽调到类部件，则， 根据全概率公式可得， 在的条件下，系统内共有个部件，其中有个类部件，则事件发生的概率， 则， 因为，所以， 则. （3）设随机变量满足若第次操作抽调到类部件，则， 若第次操作抽调到类部件，则，所以服从两点分布，且. 由题可知，第次操作后系统内类部件比上一次的增量为，则； 因为，所以. 由（2）可知，，则， 则当时，有， 则，即， 当时，，，满足上式， 故，，则. 令，则，， 则， 则， 则. 24．（2026高三·全国·专题练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) 0 1 2 (2) 【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解； 【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）（2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. 强化训练 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，其中e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数并应用导数得到（当时等号成立），结合已知递推关系得，应用累加得，再由得，应用累加得，即可得. 【详解】令，则，故，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则（当时等号成立）， 所以，当时，所以， 所以，，整理得，即， 即，，…，， 将个不等式相加得，即，所以， 由， 当时，，， 即，，，即， 同理利用累加法可得，即， 所以，则. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，据此可得，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】由题，则在点处的切线斜率为. 斜率为：，则. 则，数列通项. 从而，所以. 故选：D． 3．（25-26高三上·广东广州·期末）已知数列，对任意的，满足圆与圆的公共弦长为．记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的圆心的坐标和半径，将两圆方程作差，可得出公共弦所在直线的方程，分析可知，公共弦所在直线过圆心，即可得出的值，再利用并项求和法可求得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 将圆方程作差得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为， 因为公共弦长为，则直线过点， 所以，整理可得， 所以. 故选：D. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用等差数列及等比数列的项的性质结合已知得出，再结合特殊角的余弦计算求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，且 ， 则 ， 所以， 则 . 故选：A. 5．（25-26高三上·广东·月考）（多选）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C． D． 【答案】BC 【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断. 【详解】由，令，得或，， 由正弦函数的图象和性质可得函数的极值点为或，， 又，则，，，，…， 对于A，数列的奇数项成首项为，公差为的等差数列，偶数项成首项为，公差为的等差数列，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ， ，故C正确； 对于D，由，则，故D错误. 故选：BC. 6．（25-26高三上·湖北荆州·月考）（多选）已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求抛物线方程得，由，根据抛物线的定义得，进而得，即可求，进而判断A，根据等差数列的定义即可判断B，利用并项求和即可判断C，由得，令，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】由题意有：，所以抛物线方程为，又点在上，所以， 所以， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以，故A正确； 又，不是固定不变的常数， 所以数列不是等差数列，故B错误； 由，故C正确； 由，即，令， 所以，所以在单调递增，又， 所以当时，，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 7．（25-26高三上·四川成都·期末）（多选）已知函数，数列满足，下列说法正确的是（   ） A．，使得既是的零点，也是的极值点 B．当为偶数时，有 C．在区间内有唯一极值点，且为极大值点 D．数列的前100项和等于10200 【答案】BCD 【分析】对于A，时，对函数求导，求出函数的所有零点，检验零点处导数值是否为零即可判断；对于B，根据递推关系式变形，当为偶数时，可得；对于C，根据导数求其极大值即可判断；对于D，根据题意，带入求和即可判断. 【详解】对于A，当时，由知，的零点为， ，当时，，故A错误； 对于B，， 当为偶数时，有，所以，，故B正确； 对于C，， 易知函数在上单调递减，且 时，， 时，， 所以存在唯一，使， 当时，，当时，， 是唯一的极大值点，所以C正确； 对于D，由选项B可得，， 又 ， ，故D正确. 故选：BCD. 8．（25-26高三上·天津西青·期末）若直线与圆相切. 给出下列四个结论： ①；②数列为等差数列；③圆可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23. 其中，正确结论的序号为______. 【答案】②③④ 【分析】根据点到直线的距离公式可求得的通项公式，进而利用等差数列的定义和求和公式逐项判断即可. 【详解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为半径， 即，整理得. 对于①，，故①错误； 对于②，因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故②正确； 对于③，假设圆经过坐标原点，则，解得， 令，解得，满足题意，故③正确； 对于④，数列的前10项和为， 故④正确. 故答案为：②③④. 9．（25-26高三上·广西·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则______． 【答案】 【分析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可． 【详解】由是等比数列可得，是等差数列可得， 所以. 故答案为：. 34．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列的通项公式．若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将含参数的不等式转化为求数列的最大值问题，再通过作差法，结合导数确定其最大值，即可求出的取值范围. 【详解】由题意可得：，整理得：， 因为，两边同除以得：， 令，则问题转化为对恒成立，等价于. 因为， 令，所以， 即是关于的二次函数，且开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减，即， 则在上也单调递减， 因为当时，，所以； 当时，，所以； 当时，是单调递减的三次函数，故，即. 由且，可知的最大值为， 即，所以. 【点睛】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为数列最值问题，借助做差法判断数列的单调性，精准锁定最值，是解决本题的关键. 10．（25-26高一上·河北邯郸·期末）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为，过点F作斜率为k（k为常数，）的直线与C交于两点，其中点在第二象限，按照如下方法依次构造点（），令为关于y轴的对称点，过点作斜率为k（k为常数，k＞0）的直线与C交于另一点，记的坐标为． (1)求C的方程； (2)求证：数列是等差数列； (3)设为△的面积，证明：对任意正整数n，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标确定抛物线方程即可； （2）根据题干中点的构造方法，以及抛物线方程，列出方程组，求出和之间的关系，进而得到即可证明； （3）要证，即证，再根据（2）的结论即可证明． 【详解】（1）抛物线焦点为， ，解得， 所以C的方程为； （2）证明：因为为关于y轴的对称点， 所以，过点且斜率为k的直线方程为， 与联立，得， 根据韦达定理得：，又， 所以，所以， 即对都成立，所以数列是公差为2k的等差数列； （3）证明：要证，只需证， 即证，又在抛物线C：上， 所以等价于证明， 即证，由（2）可知它们都等于，所以等式成立， 所以，即对任意正整数n，得证． 11．（25-26高三下·河南南阳·月考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式结合互斥事件的概率公式求解； （2）求出递推关系，构造等比数列，利用累加法求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，，. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式，所以． 12．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若函数在上的零点从小到大依次为，设数列的前项和为，求的值； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，若，，边上的中线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简计算可得.法一：利用换元法（令），结合零点的定义和正弦曲线的对称性求出和即可；法二：作出的图象，利用正弦曲线的对称性直接求解即可. （2）由求得，结合和正、余弦定理计算即可求解. 【详解】（1） . 方法一：令， 在上有4个零点.依次为，，，. 又..，， ，，同理得， . 方法二：作出函数的图象， 其对称轴为，， 由图可知，，. （2）依题意，即，，. ，. 即，. 在中，， ，由正弦定理得. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12　数列的融合交汇问题 题型01 数列与不等式、导数结合解决最值、范围问题 1．（25-26高三下·安徽安庆·月考）在数列中，已知， (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列满足，，设数列的前项和为． 　　①求，并证明； 　　②证明：． 2．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. (1)求、； (2)求的通项公式； (3)已知数列的前项和为，证明：. 3．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 4．（2026·山东济南·一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. (1)若，比较与的大小； (2)从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） (3)若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 5．（25-26高三上·陕西西安·月考）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 6．（25-26高三下·四川南充·月考）已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02 数列与解析几何结合 7．（2026高三·全国·专题练习）已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 8．（25-26高三上·四川凉山·期末）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为． (1)求t的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)记，求数列的前n项和． 9．（25-26高三下·山西太原·月考）（多选）如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（    ） A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 10．（25-26高三上·宁夏中卫·期末）已知点和是椭圆上的两个点． (1)求的方程； (2)过点作的切线，切点为，求数列的通项公式． 11．（25-26高三上·北京·月考）已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆与圆相交时，圆平分圆的周长，且,则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 12．（25-26高三上·湖南永州·期末）抛物线上有一系列点，对于所有正整数，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆又彼此外切．已知，点到的准线的距离为，记圆的面积为． (1)求的方程； (2)证明：数列是等差数列； (3)设，判断数列中是否存在互不相同的三项构成等比数列，请说明理由． 题型03 数列与三角结合 13．（25-26高三上·天津津南·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是_____. 14．（2025高三上·河北石家庄·专题练习）设等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（  ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·湖南长沙·月考）（多选）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C． D． 16．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 17．（2025·福建漳州·模拟预测）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和. 18．（25-26高三上·辽宁营口·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)若外接圆的半径为，求数列的前项和. 题型04 数列与概率结合 19．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 20．（2026高三下·山东烟台·专题练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 21．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 22．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 23．（2026·江西·模拟预测）某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. (1)求与的值. (2)证明：. (3)求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 24．（2026高三·全国·专题练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； 强化训练 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，其中e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东广州·期末）已知数列，对任意的，满足圆与圆的公共弦长为．记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东·月考）（多选）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C． D． 6．（25-26高三上·湖北荆州·月考）（多选）已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 7．（25-26高三上·四川成都·期末）（多选）已知函数，数列满足，下列说法正确的是（   ） A．，使得既是的零点，也是的极值点 B．当为偶数时，有 C．在区间内有唯一极值点，且为极大值点 D．数列的前100项和等于10200 8．（25-26高三上·天津西青·期末）若直线与圆相切. 给出下列四个结论： ①；②数列为等差数列；③圆可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23. 其中，正确结论的序号为______. 9．（25-26高三上·广西·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则______． 34．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列的通项公式．若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围为______． 10．（25-26高一上·河北邯郸·期末）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为，过点F作斜率为k（k为常数，）的直线与C交于两点，其中点在第二象限，按照如下方法依次构造点（），令为关于y轴的对称点，过点作斜率为k（k为常数，k＞0）的直线与C交于另一点，记的坐标为． (1)求C的方程； (2)求证：数列是等差数列； (3)设为△的面积，证明：对任意正整数n，． 11．（25-26高三下·河南南阳·月考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 12．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若函数在上的零点从小到大依次为，设数列的前项和为，求的值； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，若，，边上的中线，求的值. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $