专题1.3 乘法公式 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

乘法公式 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平方差公式 考点梳理 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 典例引领 考向01 运用平方差公式进行运算 【例1】计算： (1)； (2)． 考向02 平方差公式与几何图形 【例2】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 对点提升 【对点1】计算： (1) (2) 【对点2】从前，一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加7米，相邻的另一边减少7米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 考点02 完全平方公式 考点梳理 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 典例引领 考向01 运用完全平方公式进行运算 【例1】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 考向02 完全平方公式在几何图形中的应用 【例2】如图所示，两个正方形的边长分别为，．如果，． (1)求的值； (2)求阴影部分的面积． 对点提升 【对点1】如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【对点2】某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 考点03 平方差和完全平方差区别 考点梳理 1、平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 2、完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 注：平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍。 典例引领 考向01 整式乘法混合运算 【例1】计算：． 考向02 多项式乘多项式——化简求值 【例2】先化简，再求值：，其中，． 考向03 通过对完全平方公式变形求值 【例3】若，，则 ． 考向04 求完全平方式中的字母系数 【例4】若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 对点提升 【对点1】如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为 ． 【对点2】化简并求值：已知，，求代数式的值． 【对点3】实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 【对点4】多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 2．现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 3．如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 4．如果多项式是完全平方式，那么m的值是（   ） A．5 B．10 C． D． 5．已知，则代数式的值是（   ） A．8 B． C． D．7 6．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．计算：（   ） A．1 B． C． D． 9．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 10．设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2、 填空题 11．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；…若，则的值为 ；若时，则的值为 （用含m的式子表示）． 12．小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为 ． 13．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是 ． 14．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为 ． 15．若，则的最大值是 ． 3、 解答题 16．计算 (1)； (2)． 17．计算： (1)； (2)． 18．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 19．已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 20．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 乘法公式 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平方差公式 考点梳理 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 典例引领 考向01 运用平方差公式进行运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式乘法运算，涉及幂的乘方、同底数幂的乘除、平方差公式、多项式乘多项式以及合并同类项的知识点．关键是严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，熟练运用整式运算法则计算． （1）先分别计算乘方、乘法、除法运算，再合并同类项得到结果； （2）先利用平方差公式计算第一部分，利用多项式乘多项式法则计算第二部分，再去括号合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考向02 平方差公式与几何图形 【例2】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 对点提升 【对点1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，零指数幂，负整数指数幂． （1）根据平方差公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【对点2】从前，一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加7米，相邻的另一边减少7米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 计算原正方形面积和变化后矩形面积，比较大小即可． 【详解】解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为平方米， ， 面积变小了． 故选：C． 考点02 完全平方公式 考点梳理 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 典例引领 考向01 运用完全平方公式进行运算 【例1】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则、完全平方公式、合并同类项的知识点，关键是熟练掌握各运算的基本法则：幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂相除底数不变指数相减，完全平方公式展开式为三项式，同类项合并时仅系数相加、字母及指数保持不变 【详解】解：根据幂的乘方法则，，故A错误； 根据同底数幂的除法法则，，故B正确； 根据完全平方公式，，故C错误； 根据合并同类项法则，，故D错误； 故选：B． 考向02 完全平方公式在几何图形中的应用 【例2】如图所示，两个正方形的边长分别为，．如果，． (1)求的值； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、代数式求值，关键是公式变形的灵活应用； （1）根据完全平方公式变形即可得出； （2）先表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 对点提升 【对点1】如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）把，代入（1）所求结果中，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，平方米， 绿化的总面积为平方米． 【对点2】某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 【答案】(1) (2)116000元 【分析】本题考查的是整式的乘法与图形面积，求解代数式的值. （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形的面积可得答案. （2）把，代入（1）中的代数式求解面积，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设阴影部分的面积为，由图可知： ． （2）解：当，时， ∴（元）． 答：完成种植共需116000元． 考点03 平方差和完全平方差区别 考点梳理 1、平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 2、完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 注：平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍。 典例引领 考向01 整式乘法混合运算 【例1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 考向02 多项式乘多项式——化简求值 【例2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，多项式乘多项式法则展开，然后去括号并合并同类项，最后将已知数值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 考向03 通过对完全平方公式变形求值 【例3】若，，则 ． 【答案】 60或68/68或60 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用完全平方公式将表示为，再根据求出的值，代入计算． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴或， 当时， ； 当时，， 故答案为：或． 考向04 求完全平方式中的字母系数 【例4】若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式，对比原式确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴根据完全平方公式，可得， ∴． 故选：A． 对点提升 【对点1】如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 【对点2】化简并求值：已知，，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式运算法则将原式化简为，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【对点3】实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，运用完全平方公式的非负性进行变形，结合已知等式列出关于的不等式，进而求出的最大值． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 当且仅当时，等号成立， 此时为最大值25． 故选：D． 【对点4】多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 【详解】解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 2．现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片4张， 面积为， 小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为， 还需4张丙纸片，即， 故选：A． 3．如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故选：D． 4．如果多项式是完全平方式，那么m的值是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，需根据完全平方公式的两种形式推导m的值． 【详解】解：∵完全平方式的形式为 又∵多项式是完全平方式，且， ∴， 根据多项式恒等，对应项系数相等，可得． 故选：C． 5．已知，则代数式的值是（   ） A．8 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算与代数式求值，解题关键是利用平方差公式简化 的计算，抵消含的项． 【详解】解：， ，， ， 故选：A． 6．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 即， ， ， 所需防滑瓷砖的面积为， 故选：B． 7．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 8．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【详解】解：∵ ∴原式 故选：B． 9．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 10．设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 【详解】解：， . 又 ，且 ， ， . 故选：C． 2、 填空题 11．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；…若，则的值为 ；若时，则的值为 （用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 当时，有，，，，，，，，，，，十二种取法，则； 依次类推， 当为偶数时，，当为奇数时，， 为偶数，即为奇数， ∴当时，则的值为． 故答案为：，． 12．小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】4047 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式． 根据完全平方公式将两式展开后得到、的值，进而根据平方差公式计算即可． 【详解】解：，即， ，即， ∴． 故答案为：4047． 13．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是 ． 【答案】22 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：，， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：22． 14．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 15．若，则的最大值是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用、非负数的性质，根据连等式将都转化为同一个参数是解题的关键． 设，用含的式子分别表示，通过计算可得，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为17， 即的最大值是17． 故答案为：17． 3、 解答题 16．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，包括积的乘方，幂的乘方、同底数幂的乘法以及多项式的乘法； （1）根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解． （2）根据多项式乘以多项式，平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）87；（2）8． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，整式的化简求值，整体代入思想，掌握完全平方公式的变形，整式化简后结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，代入已知数值计算； （2）先展开并化简代数式，得到含的式子，再结合已知条件整体代入求值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2） ． ∵， ∴，即， ∴原式． 19．已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 20．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)是， (3)证明见解析 (4)5000 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用． （1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果； （2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可； （3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数； （4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可． 【详解】（1）解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11． （2）解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差． （3）证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （4）解： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $