专题1.2 整式的乘法 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

整式的乘法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 单项式与单项式相乘 考点梳理 1、 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 2、 示例： 3、 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 典例引领 考向01 计算单项式与单项式相乘 【例1】下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则. 逐一计算各选项并判断正误即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 考向02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 对点提升 【对点1】长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 【详解】解：长方形的面积=长×宽． 故选：D． 【对点2】小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 考点02 单项式与多项式相乘 考点梳理 1、单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 2、示例： 3、单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 典例引领 考向01 计算单项式乘多项式及求值 【例1】（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解； （2）根据单项式乘以多项式进行计算，进而将代入化简结果即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式 考向02 单项式乘多项式的应用 【例2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，熟练应用运算法则计算是关键；根据乘法、乘方、除法运算法则和整式的乘法进行计算即可. 【详解】解：∵ 选项A: ， ∴ A错误. ∵ 选项B: ， ∴ B正确. ∵ 选项C: ， ∴ C错误. ∵ 选项D: ， ∴ D错误. 故选：B. 考向03 利用单项式乘多项式求字母的值 【例3】要使成立，则 ， ． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 对点提升 【对点1】化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 【对点2】如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的几何背景．根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， ， 当，时，． 【对点3】若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 考点03 多项式与多项式相乘 考点梳理 1、 多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、示例： 3、多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 典例引领 考向01 计算多项式乘多项式 【例1】计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可得到结果 【详解】解：， 故选：B． 考向02 多项式乘多项式与图形面积 【例2】有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 考向03 (x+p)(x+q)型多项式乘法 【例3】已知，为常数，且为恒等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 考向04 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例4】若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 考向05 多项式乘法中的规律性问题 【例5】观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则 【答案】 【分析】本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键；观察给出的运算规律，发现个位数为的两位数的平方等于十位数字与的乘积乘以再加． 【详解】解：∵，，， ∴对于任意个位为的两位数，其十位数字为，则其数为，其平方为，可表示为； 故答案为：． 对点提升 【对点1】已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开等式左边的多项式，再利用多项式相等时对应项系数相等的性质求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】解：， 根据多项式相等对应项系数相等，得，， ∴． 故选：C． 【对点2】下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【对点3】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为0 【分析】本题考查整式的乘法运算及化简求值，核心是掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法．先依据整式乘法法则展开原式的各项，再通过去括号、合并同类项将整式化简为最简形式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 【对点4】已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 【对点5】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为自然数）展开式的各项的次数和系数规律，后人也将此称为“杨辉三角”．如图，请你仔细观察这两个规律，写出展开式中的第二项 ． 【答案】 【分析】本题考查整式规律题，正确发现规律是解题的关键；根据二项式展开规律，的第二项为，代入，，计算即可． 【详解】解：由二项式展开规律可知，的第二项为； ，有，，， ∴代入得：第二项为． 故答案为：． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法则、合并同类项法则、单项式乘法法则，负整数指数幂，对各选项逐一计算判断对错. 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的运算、多项式的乘法和除法,通过直接计算每个选项，判断其正确性． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误． 故选：B． 3．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】先计算，合并同类项以后，计算需要的张数即可． 本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片， 共需要张， 故选：C． 4．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 6．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 7．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律的探究．根据图形中的规律，即可求出的展开式中从左起第三项的系数． 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 8．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 9．数轴原点为，数轴上点，，表示的数分别为，，（其中都不是整数）．若，且，则下列判断正确的是（   ） A．当时，点分别在点的左侧，右侧 B．当时，点分别在点的右侧，左侧 C．当时，点分别在点的左侧，右侧 D．当时，点分别在点的右侧，左侧 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的乘法，等式的性质．根据已知条件判断即p和q一个大于1，一个小于1，结合，可知大于1的那个数离1更远，然后分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即p和q一个大于1，一个小于1， ∵，可知大于1的那个数离1更远， 若，则即点分别在点的右侧，左侧，且，，此时； 若，则即点分别在点的左侧，右侧，此时； 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】B 【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，依题意得，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的余数，即可获得答案． 【详解】解：∵，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… ∴展开后系数分别为1，3，… ∴展开后系数分别为1，4，… ∴展开后系数分别为1，10，… ∵， 依题意，， ∵， ∴的余数为2，即的余数为2， ∴今天是星期三，则经过天后是星期五． 故选：B． 二、填空题 11．已知，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 12．“三角”表示，“方框”表示，则 ． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 13．观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为 （提示：） 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据前几个式子得到规律，，即可求解． 【详解】解：根据规律可得 故答案为：． 14．如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为 ．（用含或的式子表示） 【答案】b 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为，则大长方形的面积可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是找到阴影部分的面积与大长方形面积的关系；设小正方形边长为，大正方形边长为，利用小正方形和大正方形的面积比，得到，代入阴影部分的面积与大长方形的面积即可. 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ∵小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为， ∴，， 即：， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16．在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)13；8 (2)猜想正确；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，规律探索，多项式乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干的信息，得出答案即可； （2）根据，，求出，即可证明结论正确． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴； （2）解：猜想正确；理由如下： ∵，， ∴ ， 即， ∴这个猜想正确． 17．日历与人们日常生活密切相关，其中蕴含着丰富的数学问题．如图是某月的日历，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：________，________，不难发现，结果都是________．    (1)请将上面三个空补充完整； (2)设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】(1)7，7，7 (2)见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给算式进行计算即可； （2）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论． 【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都是7， 故答案为：7；7；7； （2）解：设左上角的数字为a，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为． 则． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键； （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可； （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算即可； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， ． 19．一个长方形可不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶容正长方形”． (1)图是一个周长为的阶容正长方形，求这个阶容正长方形的面积； (2)请画出两个用不同方法分割的阶容正长方形，若这两个阶容正长方形的周长相等，求这两个阶容正长方形的面积比； (3)若长方形可按图所示的方式分割为个大小不等的正方形，设最小一个正方形①的边长为，相邻正方形②的边长为，求的值． 【答案】(1) (2)作图见解析； (3) 【分析】（1）设周长为的阶容正长方形的宽为，推出它的长为，得，得到，可得答案； （2）如图，图①、图②即为所作．设这两个阶容正长方形的周长为，如图①中，设这个阶容正长方形的宽为，则三个正方形的边长为，得，解得，可得这个阶容正长方形的面积为：；如图②中，设，则，，继而得到，，进一步得，求解后可得这个阶容正长方形的面积为：；可得答案； （3）如图，按图中标号顺序，将个正方形的边长依次表示为，，⋯，，设，，可得，，，，，根据得，继而得到，，，，再根据可推出，可得答案． 【详解】（1）解：设周长为的阶容正长方形的宽为， ∴正方形的边长为， ∴周长为的阶容正长方形的长为， ∴， ∴， ∴， ∴周长为的阶容正长方形的长为，宽为， ∴， ∴这个阶容正长方形的面积为； （2）解：如图，图①、图②即为所作． 设这两个阶容正长方形的周长为， 如图①中，设这个阶容正长方形的宽为，则三个正方形的边长为， ∴这个阶容正长方形的长为， ∴， ∴， ∴， ∴这个阶容正长方形的面积为：； 如图②中，标注字母如图，设， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴这个阶容正长方形的长为，宽， ∴这个阶容正长方形的面积为：； ∴， 即这两个阶容正长方形的面积比为； （3）解：如图，按图中标号顺序，将个正方形的边长依次表示为，，⋯，， 设，， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵四边形是长方形， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∴． 20．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式的乘法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 单项式与单项式相乘 考点梳理 1、 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 2、 示例： 3、 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 典例引领 考向01 计算单项式与单项式相乘 【例1】下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 考向02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】若，，则 ． 对点提升 【对点1】长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【对点2】小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 考点02 单项式与多项式相乘 考点梳理 1、单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 2、示例： 3、单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 典例引领 考向01 计算单项式乘多项式及求值 【例1】（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 考向02 单项式乘多项式的应用 【例2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考向03 利用单项式乘多项式求字母的值 【例3】要使成立，则 ， ． 对点提升 【对点1】化简： 【对点2】如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 【对点3】若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 考点03 多项式与多项式相乘 考点梳理 1、 多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、示例： 3、多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 典例引领 考向01 计算多项式乘多项式 【例1】计算结果为（ ） A． B． C． D． 考向02 多项式乘多项式与图形面积 【例2】有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 考向03 (x+p)(x+q)型多项式乘法 【例3】已知，为常数，且为恒等式，则 ． 考向04 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例4】若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 考向05 多项式乘法中的规律性问题 【例5】观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则 对点提升 【对点1】已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【对点2】下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【对点3】先化简，再求值：，其中． 【对点4】已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【对点5】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为自然数）展开式的各项的次数和系数规律，后人也将此称为“杨辉三角”．如图，请你仔细观察这两个规律，写出展开式中的第二项 ． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 7．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 8．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 9．数轴原点为，数轴上点，，表示的数分别为，，（其中都不是整数）．若，且，则下列判断正确的是（   ） A．当时，点分别在点的左侧，右侧 B．当时，点分别在点的右侧，左侧 C．当时，点分别在点的左侧，右侧 D．当时，点分别在点的右侧，左侧 10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 二、填空题 11．已知，，则M与N的大小关系是 ． 12．“三角”表示，“方框”表示，则 ． 13．观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为 （提示：） 14．如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为 ．（用含或的式子表示） 15．如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为，则大长方形的面积可以表示为 ． 三、解答题 16．在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 17．日历与人们日常生活密切相关，其中蕴含着丰富的数学问题．如图是某月的日历，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：________，________，不难发现，结果都是________．    (1)请将上面三个空补充完整； (2)设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．一个长方形可不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶容正长方形”． (1)图是一个周长为的阶容正长方形，求这个阶容正长方形的面积； (2)请画出两个用不同方法分割的阶容正长方形，若这两个阶容正长方形的周长相等，求这两个阶容正长方形的面积比； (3)若长方形可按图所示的方式分割为个大小不等的正方形，设最小一个正方形①的边长为，相邻正方形②的边长为，求的值． 20．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $