专题2 代数式的三大重点题型的方法技巧-求值求最值及求字母取值范围-2026年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题2 代数式的三大重点题型的方法技巧-求值求最值及求字母取值范围 专题诠释： 代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，其最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。 类型一 利用整体思想求代数式的值 【例1】（2025秋•龙岗区期末）已知x2﹣2x＝1，则3x2﹣6x﹣4的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．﹣7 【分析】首先把3x2﹣6x﹣4华为3（x2﹣2x）﹣4；然后把x2﹣2x＝1代入计算即可． 【解答】解：∵x2﹣2x＝1， ∴3x2﹣6x﹣4 ＝3（x2﹣2x）﹣4 ＝3×1﹣4 ＝3﹣4 ＝﹣1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：（1）已知条件不化简，所给代数式化简；（2）已知条件化简，所给代数式不化简；（3）已知条件和所给代数式都要化简． 【变式训练】 1．（2025春•茶陵县期末）点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝ 　5　 ． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝﹣2a+3，即2a+b＝3，将其代入“4a+2b﹣1＝2（2a+b）﹣1”中即可求出结论． 【解答】解：∵点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上， ∴b＝﹣2a+3，即2a+b＝3， ∴4a+2b﹣1＝2（2a+b）﹣1＝2×3﹣1＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出2a+b＝3是解题的关键． 类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值 【典例2】（2025秋•浏阳市期末）【举一】教材118页“拓广探索”的第7题如下： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为a+b＝5，所以（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25． 因为ab＝3，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2． ①x2+y2＝　5　 ； ②求（x+y）2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值． 【分析】（1）类比题目中的方法，变形运用完全平方公式进行求解； （2）运用（x+y）2＝x2+2xy+y2和（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2进行计算、求解． 【解答】解：（1）①∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2， ∴x2+y2 ＝（x﹣y）2+2xy ＝（﹣3）2+2×（﹣2） ＝9﹣4 ＝5， 故答案为：5； ②∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2， ∴（x+y）2 ＝（x﹣y）2+4xy ＝（﹣3）2+4×（﹣2） ＝9﹣8 ＝1； （2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2 ＝（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝4xy； ＝（x2+2xy+y2）+（x2﹣2xy+y2） ＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2 ＝2（x2+y2）， ∴xy4， x2+y217， ∴xy的值是4，x2+y2的值是17． 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行变形、计算． 【变式训练】 1．（2025秋•汉阳区期末）（1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy的值． 【分析】（1）已知a+b和ab的值，可利用完全平方公式的变形a2+b2＝（a+b）2﹣2ab来求解； （2）已知（x+y）2和（x﹣y）2的值，可将两式展开后相减，消去x2和y2，从而求出xy的值． 【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝3， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝52﹣2×3 ＝25﹣6 ＝19； （2）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）＝25﹣9， ∴4xy＝16， ∴xy＝4． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 2．（2025秋•红花岗区期末）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可； （2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 类型三 通过配方法求代数式的值 【典例3】（2026春•姜堰区月考）利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解因式（a±b）2，而对于m2+2m﹣3，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即m2+2m﹣3＝（m2+2m+1）﹣4＝（m+1）2﹣22＝… （1）题干中，因式分解的最后结果是：　（m+3）（m﹣1）　 ； （2）运用配方法解决：若a﹣b＝2，a2﹣4ab+3b2＝5，求a﹣3b的值； （3）对于x3+3x2﹣4，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． x3+3x2﹣4＝（x3+2x2）+（x2﹣4） ＝… 【分析】（1）先通过配方法将二次三项式转化为完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解． （2）首先通过配方法和平方差公式分解因式，再整体代入求值． （3）在已有步骤的提示下，首先对分组后的两部分分别进行因式分解，再提取公因式，接着使用配方法，利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）m2+2m﹣3 ＝m2+2m+1﹣1﹣3 ＝m2+2m+1﹣4 ＝（m+1）2﹣22， ＝（m+1+2）（m+1﹣2）， ＝（m+3）（m﹣1）； （2）a2﹣4ab+3b2 ＝a2﹣4ab+4b2﹣b2 ＝（a﹣2b）2﹣b2， ＝（a﹣2b+b）（a﹣2b﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣3b）， ∵a﹣b＝2，a2﹣4ab+3b2＝5， ∴2（a﹣3b）＝5， 即； （3）x3+3x2﹣4 ＝（x3+2x2）+（x2﹣4） ＝x2（x+2）+（x+2）（x﹣2） ＝（x+2）（x2+x﹣2） ＝（x+2）（x+2）（x﹣1） ＝（x+2）2（x﹣1）． 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是掌握配方法在因式分解中的应用． 【变式训练】 1．（2024秋•仁寿县月考）若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是　0　 ． 【分析】根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m﹣1）2+（n﹣1）2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解． 【解答】解：由题意，得m+n＝2a，mn＝1， 则（m﹣1）2+（n﹣1）2 ＝m2+n2﹣2（m+n）+2 ＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2 ＝4a2﹣4a， ＝4（a）2﹣1， ∵a≥1， ∴a＝1时，（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为0． 故答案为0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了二次函数的最值问题． 2．（2025春•鲤城区期末）定义：若点P（x，y）中的x，y满足（t为常数，且x≠y），则称点P为“生长点”．下列各点是一次函数y＝2x﹣4图象上的“生长点”的为（　　） A．（﹣1，﹣6） B．（1，﹣2） C．（2，0） D．（3，﹣4） 【分析】利用“生长点”的定义，可求出x+y＝﹣1，代入各选项中的点的坐标，可判定各点是否为“生长点”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，判定各“生长点”是否在一次函数y＝2x﹣4的图象上． 【解答】解：， ①﹣②得：（x﹣y）（x+y）＝y﹣x， ∴x+y＝﹣1． A．∵﹣1+（﹣6）＝﹣7，﹣7≠﹣1， ∴点（﹣1，﹣6）不是“生长点”，选项A不符合题意； B．∵1+（﹣2）＝﹣1，﹣1＝﹣1， ∴点（1，﹣2）是“生长点”， 当x＝1时，y＝2×1﹣4＝﹣2，﹣2＝﹣2， ∴点（1，﹣2）在一次函数y＝2x﹣4的图象上，选项B符合题意； C．∵2+0＝2，2≠﹣1， ∴点（2，0）不是“生长点”，选项C不符合题意； D．∵3+（﹣4）＝﹣1，﹣1＝﹣1， ∴点（3，﹣4）是“生长点”， 当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，2≠﹣4， ∴点（3，﹣4）不在一次函数y＝2x﹣4的图象上，选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键． 3．（2025•无锡二模）定义：若x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（　　） A．m＜5 B．m＜3 C．3＜m＜5或m＜3 D．3＜m＜4或m＜3 【分析】首先通过已知条件x2＝2y+t，y2＝2x+t（x≠y），利用等式相减因式分解得出x+y的值，进而得到y关于x的表达式，然后将其代入反比例函数，得到一个一元二次方程．最后根据一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质来确定m的取值范围． 【解答】解：∵x2＝2y+t，y2＝2x+t（x≠y）， ∴x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝2（y﹣x）， 即（x﹣y）（x+y+2）＝0， ∵x≠y， ∴x+y+2＝0，即y＝﹣x﹣2， ∵点（x，y）在反比例函数的图象上 ∴﹣x﹣2 整理可得x2+2x+（m﹣3）＝0， ∵反比例函数图象上总存在两个关联点，意味着方程x2+2x+（m﹣3）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣3）＝16﹣4m＞0， ∴m＜4， ∵若反比例函数中m﹣3≠0， ∴m的取值范围为3＜m＜4或m＜3． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了代数变形能力、方程思想以及函数性质的应用，熟练掌握以上知识点时解题的关键． 类型四 利用非负数的性质求代数式的值 【典例4】（2024春•安庆期中）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3． （1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n2＝　1　 ； （2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，多项式A的值为多少？ 【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可； （2）根据题意可得（m+1）2+n2＝0，再根据实数的非负性解答即可； 【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式， ∴n2＝1， 故答案为：1； （2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1， ∴m2+2m+1+n2＝0， ∴（m+1）2+n2＝0， ∵（m+1）2≥0，n2≥0， ∴x＝m＝﹣1，n＝0， ∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3； 【点睛】本题考查了完全平方式，整式的混合运算，记住完全平方式的特征以及整式的运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025秋•如皋市月考）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 类型五 利用一元二次方程的根与系数关系求代数式的值 【典例5】（2025秋•崂山区期中）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　　 ，x1x2＝　　 ； （2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求（s﹣t）2的值． 【分析】（1）根据，计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，然后利用m2+n2＝（m+n）2﹣2mn计算即可； （3）由题意可知，，然后根据（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st进行计算即可． 【解答】解：（1）由条件可得：， 故答案为：，； （2）由条件可知， ∴； （3）由条件可知s，t是2x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，掌握其运算规则是解题的关键． 【变式训练】 1．（2026•雅安模拟）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2025的值是　2024　 ． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2+4m的值，再根据根与系数的关系求出m+n的值，最后将所求式子变形后代入计算即可． 【解答】解：将x＝m代入方程得： m2+4m﹣3＝0， 移项得m2+4m＝3， 又因为m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣4， m2+5m+n+2025 ＝（m2+4m）+（m+n）+2025， 代入m2+4m＝3，m+n＝﹣4得： 3+（﹣4）+2025＝2024． 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•鼓楼区月考）已知实数p，q满足p2+3p﹣2＝0，2q2﹣3q﹣1＝0（pq≠1），则的值是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣7 【分析】先判断出q≠0，再将方程2q2﹣3q﹣1＝0变形为，再根据题意得出p、可以看作是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的两个实数根，由根与系数的关系得出，，再化简分式，代入求值即可． 【解答】解：当q＝0时，2q2﹣3q﹣1＝﹣1，得﹣1＝0不成立， ∴q≠0， 方程2q2﹣3q﹣1＝0两边同除以﹣q2，得﹣20，即， ∵pq≠1， ∴， ∴p、可以看作是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的两个实数根， ∴，， ∴3+2×（﹣2）＝﹣7， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的值，正确计算是解题的关键． 类型六 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围 【典例6】（2025•杭州三模）已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0 （1）用含x的代数式分别表示a，b； （2）当a≤4＜b时，求x的取值范围． 【分析】（1）直接利用已知将原式变形求出答案； （2）利用a≤4＜b得出关于x的不等式求出答案． 【解答】解：（1）由2a﹣3x+1＝0，得a， 由3b﹣2x﹣16＝0，得b； （2）∵a≤4＜b， ∴a4，b4， 解得：﹣2＜x≤3． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键． 类型七 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小 【典例7】已知A＝a2+2，B＝a2﹣a+5，C＝a2+5a﹣13，其中a＞3． （1）求证：B﹣A＜0，并指出A与B的大小关系； （2）A与C哪个大？请说明理由． 【分析】计算B﹣A后结论，从而判断A与B的大小；同理计算C﹣A，根据结果来比较A与C的大小． 【解答】（1）证明：B﹣A＝a2﹣a+5﹣（a2+2）＝﹣a+3，∵a＞3， ∴﹣a+3＜0，∴B＜A． （2）解：C﹣A＝a2+5a﹣13﹣（a2+2）， ＝5a﹣15， ∵a＞3， ∴5a﹣15＞0， ∴C＞A． 【点睛】本题考查了整式的减法，渗透了求差比较大小的思想． 【变式训练】 1．（2025春•鼓楼区期中）已知：P＝x+2，Q． （1）当x＝1时，P﹣Q的值为 　　 ； （2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； （3）设y，求当x为非负整数时，y的整数值． 【分析】（1）代入计算即可； （2）利用作差法，计算P﹣Q的结果，根据结果的符号判定P与Q的大小； （3）把P＝x+2，Q代入y，化简后，根据x为非负整数，求y的整数值即可． 【解答】解：（1）当x＝1时，P＝1+2＝3，， ∴， 故答案为：； （2）x＞0时，P≥Q，理由如下： ∵P＝x+2，Q， ∴P﹣Q＝x+2 ， ∵x＞0， ∴x+2＞0，（x﹣2）2≥0， ∴P﹣Q0， ∴P≥Q； （3）∵P＝x+2，Q，y， ∴y ， ∵当x为非负整数时，y的值是整数， ∴当x＝0时，y2，当x＝6时，y0， 答：当x为非负整数时，y的整数值为0或2． 【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算法则是正确解答的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 代数式的三大重点题型的方法技巧-求值求最值及求字母取值范围 专题诠释： 代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，其最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。 类型一 利用整体思想求代数式的值 【典例1】（2025秋•龙岗区期末）已知x2﹣2x＝1，则3x2﹣6x﹣4的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．﹣7 【变式训练】 1．（2025春•茶陵县期末）点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝ 　 　 ． 类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值 【典例2】（2025秋•浏阳市期末）【举一】教材118页“拓广探索”的第7题如下： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为a+b＝5，所以（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25． 因为ab＝3，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2． ①x2+y2＝　 　 ； ②求（x+y）2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值． 【变式训练】1．（2025秋•汉阳区期末）（1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy的值． 2．（2025秋•红花岗区期末）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝ 　 ，DF＝ 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 类型三 通过配方法求代数式的值 【典例3】（2026春•姜堰区月考）利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解因式（a±b）2，而对于m2+2m﹣3，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即m2+2m﹣3＝（m2+2m+1）﹣4＝（m+1）2﹣22＝… （1）题干中，因式分解的最后结果是：　 　 ； （2）运用配方法解决：若a﹣b＝2，a2﹣4ab+3b2＝5，求a﹣3b的值； （3）对于x3+3x2﹣4，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． x3+3x2﹣4＝（x3+2x2）+（x2﹣4） ＝… 【变式训练】 1．（2024秋•仁寿县月考）若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是　 　 ． 2．（2025春•鲤城区期末）定义：若点P（x，y）中的x，y满足（t为常数，且x≠y），则称点P为“生长点”．下列各点是一次函数y＝2x﹣4图象上的“生长点”的为（　　） A．（﹣1，﹣6） B．（1，﹣2） C．（2，0） D．（3，﹣4） 3．（2025•无锡二模）定义：若x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（　　） A．m＜5 B．m＜3 C．3＜m＜5或m＜3 D．3＜m＜4或m＜3 类型四 利用非负数的性质求代数式的值 【典例4】（2024春•安庆期中）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3． （1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n2＝　 　 ； （2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，多项式A的值为多少？ 【变式训练】 1．（2025秋•如皋市月考）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 类型五 利用一元二次方程的根与系数关系求代数式的值 【典例5】（2025秋•崂山区期中）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　 ，x1x2＝　 ； （2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求（s﹣t）2的值． 【变式训练】 1．（2026•雅安模拟）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2025的值是　 　 ． 2．（2025秋•鼓楼区月考）已知实数p，q满足p2+3p﹣2＝0，2q2﹣3q﹣1＝0（pq≠1），则的值是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣7 类型六 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围 【典例6】（2025•杭州三模）已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0 （1）用含x的代数式分别表示a，b； （2）当a≤4＜b时，求x的取值范围． 类型七 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小 【典例7】已知A＝a2+2，B＝a2﹣a+5，C＝a2+5a﹣13，其中a＞3． （1）求证：B﹣A＜0，并指出A与B的大小关系； （2）A与C哪个大？请说明理由． 【变式训练】 1．（2025春•鼓楼区期中）已知：P＝x+2，Q． （1）当x＝1时，P﹣Q的值为 　 ； （2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； （3）设y，求当x为非负整数时，y的整数值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $