专题03实数及其简单运算专项训练(13大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题03实数及其简单运算专项训练 ☆ 题型突破期中复习导航 题型01.无理数 题型02.无理数的大小估算 题型03.无理数整数赔部分的有关计算 题型04.实数概念理解 题型05.实数的分类 题型06.实数的性质 题型07.实数与数轴 题型08.实数的大小比较 题型09.实数的混合运算 题型10.程序设计与实数运算 题型11.新定义的实数运算 题型12.实数运算的实际应用 题型13.与实数相关的规律题 解答题7题 重要知识 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型 开方开不尽的数：如2、5、5等（注意：√4=2是有理数）。 含n的数：如n、2n、n-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001.（相邻两个1之间依次多1 个0)。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 试卷第1页，共3页 1、按实数的定义分类： 2、按大小分类： 正整数 正整数 整数0 正实数 正有理数 正分数 有理数 负整数 正无理数 实数 正分数 分数。 实数0 负分数 负整数 无理数 正无理数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 负无理数 知识点03.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一 个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点04.实数的性质（相反数、绝对值、倒数） 1.相反数： 实数a的相反数是-a。 2.绝对值 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 公式：1a|=a(a20),|a=-a(a<0)。 3.倒数： 若a≠0，实数a的倒数是（乘积为1)。 知识点05：实数的大小业较 越来越大 越来越小 4-3-2-1 01234> ↓ 负数<0<正数 1.数轴法：右边>左边。 2.正负数法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 试卷第1页，共3页 3.作差法：a-b>0→a>b;a-b<0→a<b:a-b-0→a=b。 知识点06：实数的简单运算 1.运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2.运算顺序 先乘方、开方一再乘除一最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3.运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)十c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 常见易错点 1.带根号的数不一定是无理数（如V§=3）。 2.无限小数不一定是无理数（无限循环是有理数）。 3.运算时注意符号与运算顺序，先开方/乘方，再乘除，后加减。 题型突破考点突破 题型01.无理数 1.下列实数为无理数的是() A.-3 B.√ C.0.0079 D.-元 2在数-65,734,0，-九，0.02020002,236中，无理数共有 个 3.在多子5，士5,04.0,5-1.网.-小010a003是无理数 的有 个 4.下列说法中错误的是() A.√⑧1的平方根是3 B.√5是无理数 C.-8是有理数 D. 5是分数 试卷第1页，共3页 题型02.无理数的大小估算 5.已知n是整数，且n<√70<n+1,则n的值是() A.8 B.9 C.10 D.11 6.如图，在数轴上表示√12-1的点在哪两个字母之间（) A.A、B之间B.B、C之间 C.C、D之间 D.B、D之间 7.如图，在数轴上表示√3的点可能是 M N 01246→ 8.若我们约定：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[3.1=3，[-2.5]=-3，[2]=2，记 =[]+[2]+[]++35 ,则s的值为() 4 A.30 B.31 C.32 D.33 题型03.无理数整数培部分的有关计算 9.阅读材料：因为√4<√万<√，即2<√万<3，所以√万的整数部分为2，小数部分为 √万-2.规定：数m的整数部分记为m,小数部分记为{m}.则{V10}的值是 10.已知2是a的平方根，b是√2的整数部分，则a+b的算术平方根是() A.5 B.±5 C.√万 D.t√7 11.已知m<√53<n(其中mn为相邻的两个正整数)，则m+n的值为 12.我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x,又把x-[x]称为x的小 数部分，记作{x,则有x=[x]+{x}.如：[1.3]=1，{13}=0.3，则有1.3=[1.3]+{1.3}.下 列说法中正确的有()个 ①[2.8]=2；②[-5.3]=-5；③{-1.3}=0.3；④若1<xK2,且{x=0.4,则x=1.4或x=-1.4 A.1 B.2 C.3 D.4 题型04.实数概念理解 试卷第1页，共3页 13.实数-2的相反数是（) A.2 B C.-2 D. 14.设实数a,b,c,d,e满足a<b<c<d<e,且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、 36、37,最大的两个数是48、51.则e= 15.下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足-√2<x<√5的x的整数有4个； ③-3是√⑧的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数： ⑥对于任意实数a,都有√a2=a.其中正确的序号是· 16.己知实数a,b满足a+2b+1=0,a2+2ab+b>0,则下列结论正确的是() A.a<b B.a>b C.a<-b D.ax-b 题型05.实数的分类 17.下列四个数中，无理数是() A.√2 B.0 D.V32 18下列各数号万，2-，源，12121221…《每相部两个1之间装次多一个2》. )诉中，无理数有一个. 19.在-15,20%，2号，03.0.-17,21.-2，g,70101001(每两个1之间0 的个数逐次增加1)中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则m-n-k= 20.下列命题属于假命题的是() A.实数包括正实数，O,负实数 B.实数与数轴上的点是一一对应的 C.实数a的相反数是-a D.反，-名，00101001，x布只于无理数 题型06.实数的性质 21.化简-√2的结果是() A.√2 B.2 C.-2 D 2 2 试卷第1页，共3页 22.若x,y为实数，且x+2+√-3=0，则(x+y)2026的值为 23.若x,y都是实数，且满足的关系为：y=√x-2+√2-x+1,则x+2y的平方根是 24.在实数范围内，下列判断正确的是() A.若x=y,则x=y B.若x>y,则x2>y2 C.若x2=y2,则x=y D.若F=,则x=y 题型07.实数与数轴 25.能够与数轴上的点是一一对应的数是() A.整数 B.实数 C.有理数 D.无理数 26.如图，数轴上点A,B对应的数分别为-1,3，点C在线段AB上运动.请你写出点C可 能对应的一个无理数 ,C A B -2-10123 27.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简Va-b)-la+b+万= 0b→ 28.如图，在数轴上方作一个4×4的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边 的中点A,B,C,D得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A的左侧的数轴上取 点E,使AE=AB,若点A在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点E表示的数是() A.-⑧ B.1-V⑧ C.-6 D.1-6 题型08.实数的大小比较 29.下列实数中，比2大的数是() A.5 2 B.5 D.2 试卷第1页，共3页 30.请写出1个比5大，比6小的无理数 31.比较大小： 3-π V5-2 (填“>”或“=”或“<”) 4 3 32.若m=3,n=√10，k=7,则m,n,k的大小关系是() A.k<m<n B.m<k<n C.k<n<m D.m<n<k 题型09.实数的混合运算 33.下列计算正确的是() A.√2+√2=2√2 B.-1=-1 C.6=2 D.-3)=3 34.若实数x,y满足(x-3)2+Vy+1=0,求2x+y= 35.已知x=45+1-45-, 则x3+12x的算术平方根是 36.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把√2表示在数轴上点A处，记A右侧最 近的整数点为B,以点B为圆心，AB为半径画半圆，交数轴于点A,记4右侧最近的整 数点为B,以点B为圆心，AB,为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续，则AB。的长 为() 0 1 A B A2 B2 A3 A.√2 B.√2-1 C.√2+1 D.2-√2 题型10.程序设计与实数运算 37.有个数值转换器，程序原理如图.当输入m=125时，输出n的值等于() 是无理数 输入m 取立方根 输出n 是有理数 A.5 B.√5 C.5 D.25 试卷第1页，共3页 38.根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为 否则 输入非负数取算术平方根→除以2减去3<若结果小于0 输出结果 39.在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是 有理数 输入x值 取算术是有理数 是无理数 取立方根 平方根 输出y 无理数 40.如图是一种程序运算图， 若输入x的值为32，则输出的值为() 输入x ×(2) 求立方根 大于或等于① 求算术平方根 输出 否 A.√2 B.2 C.√3 D.4 题型11新定义的实数运算 41,用*”表示一种新运算：对于任意正实数a、b,都有a*b=a+√b,例如 4*9=4+V9=7,那么13*81= 42.对于任意的正数m、n定义运算“※”为m必n= m-厅m≥m计算3※1+（※4）的结 √m+√n(m<n) 果为() A.√5-2 B.V3+2 C.3-1 D.2 43.规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”.若 √5+a是“最美实数”，则a的值是 44.在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的 内容为密文.现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个小写字母依次 对应1,2,3.···，26这26个自然数，见以下表格： 试卷第1页，共3页 13 15 20 21 22 23 25 26 A+1 (A为正整数，1≤A≤26，A不能被2整除》 现给出一个公式：A' 将明文字母对应的数 +13(A为正整数，1≤A≤26，A能被2整除) 2 字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字A',比如明文字母为， e→5→ 5+1 =3→c,所以明文字母e对应的密文字母为c.若密文是dhho,则对应的明文 2 是() A.well B.good C.best D.oggh 题型12.实数运算的实际应用 45.一罐饮料净重300克，罐上注有“蛋白质含量”≥0.6%，其中蛋白质的含量为（) A.1.8克 B.大于1.8克 C.不小于1.8克 D.不大于1.8克 46.《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为58√2cm ,宽为30√5cm的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了√⑧cm,宽不变，则装裱后 整个长方形画卷的总面积为cm2. 47.如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子.（单位：cm)(温馨提示：'露：=π2.h) 2a 图1 图2 48.已知min{a,b,c表示取三个数中最小的数.例如：min{1,2,3=1,当 试卷第1页，共3页 1 min,x}-16时，则的值为（） A.ic B.4 C. D. 1 256 题型13.与实数相关的规律题 49.观察下列等式：7=7,72=49,73=343,74=2401,73=16807，根据其中的 规律可得7221的结果的个位数字是() A.0 B.1 C.7 D.8 50.按规律排列的一组数：3,4√2,5√5,12,7√5，则这组数的第9个数是 51.已知按照一定规律排成的一列实数：-1,2,5，-2，√5,6，-√万，√8,9，-0，按此规 律可推得这一列数中的第2026个数应是 52.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把√2表示在数轴上点A处，记A右侧 最近的整数点为B,以点B为圆心，AB,为半径画半圆，交数轴于点A,记4右侧最近的 整数点为B2,以点B,为圆心，A,B,为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续，则AB的 长为() 1 A B A2 B2 A3 A.V2-1 B.2 C.2+1 D.2-√2 解答题 53.如图1，教材有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得 的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答 下列问题： ☑☑→ 3之A0 2B3 5432012345 e 图2 图3 图4 (1)所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正 试卷第1页，共3页 专题03实数及其简单运算专项训练 题型01.无理数 题型02.无理数的大小估算 题型03.无理数整数部分的有关计算 题型04.实数概念理解 题型05.实数的分类 题型06.实数的性质 题型07.实数与数轴 题型08.实数的大小比较 题型09.实数的混合运算 题型10.程序设计与实数运算 题型11.新定义的实数运算 题型12.实数运算的实际应用 题型13.与实数相关的规律题 解答题7题 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 知识点03.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点04.实数的性质（相反数、绝对值、倒数） 1.相反数： 实数a的相反数是-a。 2.绝对值： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 公式：|a|=a (a≥0)，|a|=-a (a<0)。 3.倒数： 若a≠0，实数a的倒数是（乘积为 1）。 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 常见易错点 1.带根号的数不一定是无理数（如=3）。 2.无限小数不一定是无理数（无限循环是有理数）。 3.运算时注意符号与运算顺序，先开方 / 乘方，再乘除，后加减。 题型01.无理数 1．下列实数为无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．，是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意． 2．在数，，，，，， 中，无理数共有__________个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：在数，，，，，， 中， 无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 3．在，，，，，0，，，，0.1030030003中是无理数的有_________个． 【答案】4 【分析】直接利用算术平方根、立方根、绝对值的性质化简，再结合无理数的定义分别分析得出答案．初中阶段常见的无理数形式有：与有关的数、开方开不尽的数、0.1010010001⋯等这样有规律的数． 【详解】解： ，，， 是无理数共4个． ，，0，，，0.1030030003是有理数． 故答案为：4． 4．下列说法中错误的是（    ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根，有理数与无理数的概念，需要逐一判断各选项正误，找出错误说法． 【详解】解：∵，的平方根为， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵，是整数，整数属于有理数， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∵是无理数， ∴仍然是无理数，分数都属于有理数，因此不是分数， ∴D选项说法错误，符合题意． 题型02.无理数的大小估算 5．已知n是整数，且，则n的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先估算的大小，然后求出n的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在数轴上表示的点在哪两个字母之间（    ） A．、之间 B．、之间 C．、之间 D．、之间 【答案】B 【分析】先确定在哪两个连续整数的平方之间，然后再比较与的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 表示的点在、之间． 7．如图，在数轴上表示的点可能是______． 【答案】点Q 【分析】先估算的取值范围，进而可确定表示的点所在的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示的点可能是点Q． 8．若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 题型03.无理数整数部分的有关计算 9．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 【答案】 【分析】先根据不等式性质确定的整数范围，得到的整数部分，再根据题目定义，用减去其整数部分得到小数部分的值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分． 10．已知2是a的平方根，b是的整数部分，则的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方根的定义求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】解：2是a的平方根， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是． 11．已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，确定出最接近它的正整数和，再代入计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，为相邻的两个正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 题型04.实数概念理解 13．实数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 根据相反数的含义以及求法，在实数的前边加上“”，求出实数的相反数即可． 【详解】解： 的相反数为，   故选： A． 14．设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减．根据题意可得，，从而得到，，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：∵，且任意两数之和中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 15．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____． 【答案】②③ 【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数，如：π，等，因此①不正确，不符合题意； ②满足﹣＜x＜的x的整数有﹣1，0，1，2共4个，因此②正确，符合题意； ③﹣3是9的一个平方根，而＝9，因此③正确，符合题意； ④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意； ⑤无限循环小数，是有理数，因此⑤不正确，不符合题意； ⑥若a＜0，则＝|a|＝﹣a，因此⑥不正确，不符合题意； 因此正确的结论只有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查无理数、有理数、实数的意义，理解和掌握实数的意义是正确判断的前提． 16．已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的概念、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由题意得，再将变形为，整体代入可得，最后利用不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 题型05.实数的分类 17．下列四个数中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数和无理数的概念，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； B．0是整数，属于有理数，不符合题意； C． 是分数，属于有理数，不符合题意； D．，3是整数，属于有理数，不符合题意． 18．下列各数，，，，（每相邻两个1之间依次多一个2），，中，无理数有______个． 【答案】 4 【分析】首先化简已知中的立方根，再根据无限不循环小数是无理数逐个判断各数，即可得到结果． 【详解】解：，是分数，属于有理数，是整数，属于有理数；无理数有，，（每相邻两个之间依次多一个），，共个． 19．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 20．下列命题属于假命题的是（   ） A．实数包括正实数，0，负实数 B．实数与数轴上的点是一一对应的 C．实数a的相反数是 D．，，，都属于无理数 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假，根据实数的分类，实数与数轴，实数的性质以及无理数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、实数包括正实数，0，负实数，是真命题，不符合题意； B、实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题，不符合题意； C、实数a的相反数是，是真命题，不符合题意； D、不是无理数，故该选项是假命题，符合题意； 故选D． 题型06.实数的性质 21．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 22．若x，y为实数，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求解，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴ 解得， ∴． 23．若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据被开方数非负可求出x的值，进而求出y的值，则可得到的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根是 ． 24．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 题型07.实数与数轴 25．能够与数轴上的点是一一对应的数是（    ） A．整数 B．实数 C．有理数 D．无理数 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，数轴上的每个点对应一个唯一的实数，同时每个实数在数轴上都有唯一对应的点；根据实数的定义，实数包括有理数和无理数，能够完整覆盖数轴上的所有点． 【详解】解：A、仅对应数轴上孤立的点，无法覆盖所有点，故A不符合题意； B、包含有理数和无理数，能够完整覆盖数轴上的所有点，满足一一对应关系，故B符合题意； C、虽然包括分数，但仍存在数轴上无法用有理数表示的点，故C不符合题意； D、仅对应数轴上非有理数的点，无法覆盖有理数对应的点，故D不符合题意． 故选：B． 26．如图，数轴上点对应的数分别为，3，点在线段上运动．请你写出点可能对应的一个无理数___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点C表示的数大于且小于3解答即可． 【详解】解：由C点可得此无理数应该在与3之间， 又∵， 故可以是（答案不唯一，无理数在与3之间即可）． 27．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再进行化简，计算即可. 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴原式. 28．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 题型08.实数的大小比较 29．下列实数中，比2大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的数和2比较大小即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、∵，，∴，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、∵ ，∴ ，该选项不符合题意． 30．请写出个比大，比小的无理数________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数的概念和算术平方根的估算方法，找出满足条件的无理数即可． 【详解】解：， ， ，， ， ∴比大，比小的无理数可以是． 31．比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【答案】< 【分析】先利用无理数的估算判断两个式子的正负性，再根据实数的大小比较方法判断大小即可． 解题的关键在于正确估算出与的正负． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据负数小于正数，可得． 32．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 题型09.实数的混合运算 33．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根 ，平方根及平方根的加法运算；根据求立方根 ，平方根及平方根的加法运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A． ，计算正确； B． ，计算错误； C． ，计算错误； D． ，计算错误； 故选：A． 34．若实数，满足，求________． 【答案】5 【分析】本题考查了平方项和算术平方根的非负性，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确计算． 利用非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，和为零则每个部分为零，解出x和y的值后代入表达式计算． 【详解】由和，且， 得和， 即， 解得，． ． 故答案为：5． 35．已知，则的算术平方根是_________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴的算术平方根是． 36．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到数字变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是， ∵ ∴表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 同理可得， 可知以，两个数循环出现， ∵， ∴， 故选：B． 题型10.程序设计与实数运算 37．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】把按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值． 【详解】解：当时， 125的立方根为5，5是有理数， 5的立方根是，是无理数，则输出， 所以输出， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键． 38．根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为_____． 【答案】 【分析】先求算术平方根，再求除以2得到的商，再减去3，然后与比较，直至结果小于0即可． 【详解】解：若输入x的值为64，则， 此时输入的x的值为1，则， ∴输出的结果为． 39．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 40．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 题型11.新定义的实数运算 41．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数、，都有．例如，那么________． 【答案】22 【分析】本题考查新定义下的实数运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义得，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：22． 42．对于任意的正数、定义运算“※”为计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对新定义运算的理解与运用，以及二次根式的加减运算．熟练掌握新定义运算的规则和二次根式的加减法则是解题的关键． 本题给出了一种新定义的运算“※”，需要根据该运算规则，先分别计算出与的值，再将这两个值相加得到最终结果．解题思路是先依据新运算规则判断与的大小关系，然后选择对应的运算公式进行计算． 【详解】解： ， 故选：B． 43．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 44．在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值， 先确定密文字母对应的数字，再代入关系式，求出A的值，然后确定明文对应的字母即可． 【详解】解：因为密文字母为d，对应的数字是4， 所以， 解得，其对应的明文字母是g； 因为密文字母为h，对应的数字是8， 所以， 解得，其对应的明文字母是o； 因为密文字母为o，对应的数字是15， 所以， 解得，其对应的明文字母是d， 所以对应的明文是． 故选：B． 题型12.实数运算的实际应用 45．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 46．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 47．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 48．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 题型13.与实数相关的规律题 49．观察下列等式：，，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…，得出个位数字是4个数7，9，3，1循环，由2021÷4 = 505余1即可得出的结果的个位数字是7． 【详解】解：∵71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…， ∴个位数字是7，9，3，1循环， ∵2021÷4 = 505余1， ∴的结果的个位数字是7． 故选： C． 【点睛】本题考查了规律型尾数特征，解题关键是分析给出的等式规律，判定出尾数规律． 50．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 【答案】33 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 51．已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 【答案】 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，每个数的被开方数与项数相等． 【详解】解：由已知条件可得，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，分组规律为：每组第一个为负平方根，第二个为正平方根，第三个为正立方根，且每个数的被开方数等于该项的项数． ， 第个数是第组的第个数，为负平方根，被开方数为，即． 52．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 解答题 53．如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于两点，那么点表示的数为____； (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长_____；如图，请借鉴（）中的方法在数轴上找到点，使点P所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)，，图见解析 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先通过割补法计算出阴影正方形的面积为，从而得到其边长为；再构造长度为的线段，在数轴上画出表示的点． 【详解】（1）解：∵正方形面积等于边长的平方，已知大正方形面积为， ∴边长为​， 由题意，大正方形边长就是小正方形对角线长，因此小正方形对角线长为； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， ∴点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：用割补法求阴影面积：外围大正方形边长为，面积； 四周有个全等的直角三角形，每个直角三角形直角边为和，面积和， 因此阴影正方形面积， 正方形面积等于边长平方，因此边长， 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，如解图所示： 54．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)2；6 (2)1或2或3 (3)的值为 (4)①；② 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）①同（1）逐项化简，然后求解即可； ②由①归纳规律，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且为整数， ∴或或． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点是的中点， ∴点C表示的数为， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即的值为． （4）解：① ； ②由①得， ， ， ； ∵，， ∴ ． 55．已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【答案】3 【分析】先理解得的整数部分是1，小数部分为，然后代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是1， 即； ∴小数部分为，即， ∴． 56．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值的性质和立方根、算术平方根的定义进行化简，然后计算即可； （2）根据立方根和算术平方根的定义进行化简，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 57．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 58．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 59．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $