专题01 上海高考数学中的11题应用题（抢分专练）（上海专用） 2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题01 上海高考数学中的11题应用题 题型 考情分析 考向预测 1.解三角形中的11题 2026年上海： 考查圆柱的倾斜度问题 2025年上海： 考查斜坡的坡度问题 2025年上海： 考查抛物线的应用问题 2024年上海： 考查解三角形的应用题 2024年上海： 考查圆的应用题 2023年上海： 考查斜坡的应用题 应用题在高考中是属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。预计未来上海高考数学仍会将作为重点考查内容之一。可能会更加注重多个板块知识点的综合考查，比如先由正、余弦定理求出内角的正弦值、余弦值，再结合三角函数公式求解相关问题；也可能会结合实际问题或几何图形。在目前上海新高考的形势下，选择题的压轴题12题会出得更加复杂，思维量和计算量都会更加巨大，所以，11题的难度也在逐年增加，为此，充分备考11题显得尤为必要，也为12题留下充足的时间。 2.立体几何中的11题 3.平面向量中的11题 4.解析几何中的11题 5.数列中的11题 题型1 解三角形中的11题 知识点1正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ①；；；； ③； ④； ⑤，，（可实现边到角的转化）； ⑥，，（可实现角到边的转化）. 知识点2 余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ；；. 2余弦定理的推论： ；； 知识点3 三角形面积公式 ①；②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【易错提醒】常用结论 在三角形中的三角函数关系 ①； ②； ③； ④；⑤； ⑥若； ⑦若或. 【例1】（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的 正东方向，,存在点A满足， 则 (精确到0.1度) 【答案】【分析】设，在和中分别利用正弦定理 得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设，在中，由正弦定理得， 即’即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得，利用计算器即可得，故答案为：. 【变式1-1】（教材必修二第59页拓展与思考4）如图，要在和两地之间修一条笔直的隧道， 现从地和地测量得到：，，，， 为确定隧道的方向，可求得 （精确到） 【答案】【分析】先设角再分别在三个三角形中应用正弦定理，相乘后化简求值， 最后结合余切值求角. 【详解】由题可得, 设，则，由题意，在中，， 在中，，在中，，将上述三式相乘， 得， 从而有， 得，所以. 【变式1-2】（2025建平中学·高三下3月月考）为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加 个.    【答案】18【分析】利用同角三角函数的基本关系以及余弦函数的性质可求得，， 设改造后停车位数量最大值为n， 过停车位顶点做射线垂线，垂足为，则顶点到线段ME距离为 ，利用几何性质可得 ，令即可求解. 【详解】由图可知，，即，，已知，，则， 则，化简得，解得或， 因，则，故，，设改造后停车位数量最大值为n，如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为， 则顶点到线段ME距离为 ， 又由图及题意可得：， ， 则，注意到， 则，则，则 ， 则，，又， 则 ，令， 即改造后最大停车位数量为49，则改造后的停车位比改造前增加18；故答案为：18. 【变式1-3】（2026上海市二中学·高三上学期期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 ． 【答案】【解析】若锐角的三个内角、、的度数成等差数列，则， 解得，不妨设角为最小角，设等差数列、、的公差为，则，， 所以，，由题意可知， 因为、为锐角，且，即，解得，则， 所以； 故答案为：. 【变式1-4】（2026进才中学·高三下5月月考）如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ，O为半圆的圆心，；现要在这块材料上裁出一个直角 三角形；若该三角形一条边在MN上，则裁出三角形面积的最大值为 【答案】【分析】当直角三角形的斜边在上时，由点轨迹可知；当直角三角形的直角边在上时，分析可知在线段上，设，可将三角形 面积表示为，利用导数可求得的最大值，由此可得三角形面积 最大值；对比两个最大值即可得到最终结果. 【详解】设该直角三角形为，①若直角三角形的斜边在上， 则点轨迹是以为直径的半圆弧（不包括），若面积最大， 则且斜边上的高为，； ②若直角三角形的直角边在上，点在上，当在线段上时，， 此时无最大值；当在线段上时，设，则，又， ；； 令，则，当时，； 当时，；在上单调递增，在上单调递减， ，则；，裁出三角形面积的最大值为. 故答案为：.【点睛】本题考查平面几何中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，从而利用导数的知识来求解函数最值，得到三角形面积的最值. 【变式1-5】（2026上海中学·高三春考模拟试卷）自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快.中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内 恰好有一处直角拐角，如图，管道沿，，，拐过直角（线段过 点，点，，在同一水平面内），峡谷的宽分别为、，如图所示， 设与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，要使输气管道顺利通过拐角， 管道长度的最小值为 m. 【答案】【详解】，又∵， ∴由卡尔松不等式可知：， ∴，故答案为：. 【变式1-6】（2026进才中学·高三下5月月考）如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且， 为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设： 假设1：观景台的观景范围为四边形； 假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中； 假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则 .(结果精确至0.01) 【答案】 【分析】先设角表示相关长度，求出面积表达式，利用三角恒等变换及导数求最值及相应角度. 【详解】设，则，由题意知，则，如图，连接； 在中，，则，； 在中，同理可得，；故四边形的面积： ，， 令，，即，由，则， 令，则，即，解得， 由， 故不妨设，且，当，即时， ，即，在单调递增；当，即时， ，即，在单调递减；故，即当时取到最大值. 由，可得，则 ； 此时，故答案为：. 【点睛】解决此题的关键在于结合整体换元求解导数零点，进而研究三角函数单调性并求解最值. 【变式1-7】（2026市西中学·高三下5月月考）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度 3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野 （最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕 所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设，则，，所以 （当且仅当时取“”）又，故（米），故答案为：3.2. 【变式1-8】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞 可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时， 求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）. 【答案】【分析】过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，先求出，，在中，利用正弦定理求得，再根据，求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【解析】如图所示，过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线， 垂足为点，连接，，由题意，，因为为得中点， 所以，又，所以，， 又，，由正弦定理得， 所以，又，所以， ， 所以，所以 ，所以阴影部分面积为；故答案为：. 【变式1-9】（2026徐汇中学·高三下5月月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为， 圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示， 则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】【分析】如图，连接，设， 可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积， 再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为．根据平面几何知识可知，，，．所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中，所以当， 即时， ；故答案为：． 题型2：立体几何中的11题 1．异面直线的判定定理：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 2．等角定理的引申： (1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等； (2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补． 3．唯一性定理： (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 4.线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等； (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例； (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行； (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； (7)垂直于同一条直线的两个平面平行； (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 5．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 7．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 8．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 9．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 10．几个与球有关的切、接常用结论： (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a， 外接球半径R外＝a. 【例2】（2025格致中学·高三三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、在同一水平面上的投影、、满足， ；由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 （精确到1）. 【答案】373【分析】过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，进而AA′－CC′＝AD＋100， 易知AD＝DB=A′B′，在△BCH中，求得CH=，进而C′B′＝， 在△A′B′C′中，用正弦定理即可求得A′B′的长，进而可知AA′－CC′的长. 【详解】如图，过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′， 故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100， 由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB，所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100， 因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝，在△A′B′C′中，由正弦定理得，＝＝＝， 而sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝， 所以A′B′＝＝100(＋1)≈273，所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373.故答案为：373. 【变式2-1】（2026位育中学·高三上学期期中）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上 甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影 恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区 的判别条件是 　　 . 【答案】【解析】依题意， ；故答案为 . 【变式2-2】（2025建平中学·高三三模）在直三棱柱中，， 点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 【答案】【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解. 【详解】如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设， 其中， ， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2， 所以的取值范围为；故答案为：. 【变式2-3】（2026市西中学·高三下5月月考）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点；若对任意的点，存在点，使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ．  【答案】8【分析】先确定当线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，同理当直线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，再考虑如何作出，即可.【详解】如图：设，为正方形的两个点，且满足直线与平面所成的角为，过作于，连接，则为线与平面所成的角，是；所以，所以在平面内，以为圆心，为半径做圆，取为圆上一点，过作圆的切线，切线与正方形边的 交点即为，，又，所以与平面所成的角为， 所以以为圆心，为半径做圆，做该圆的切线，与正方形边的交点即为，，如图：因为，所以与相离，两圆有4条公切线， 与正方形的边有8个交点；在这8个点中，任选一个点， 存在点，使得直线与平面 以及平面所成角大小均为；故答案为：8. 【点睛】本题的关键是弄清楚，点的作法.先根据直线与平面所成角的概念，判断，应满足的条件，以后的问题就好想多了. 【变式2-4】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹 （包含M，N）所围成图形面积为______. 【答案】【分析】先证明平面平面，根据平面， 得出平面，进而确定P的轨迹为正六边形，求解即可. 【解析】如图，分别取，，，，的中点E，F，G，H， 连接，，，，，，，则，又平面， 平面，所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面，在正方体中，易知平面，所以平面， 又点P在正方体表面上运动，故P点的轨迹为正六边形，因为正方体的棱长 为2，即，所以，，故正六边形的面积为； 故答案为：. 题型3 平面向量中的11题 高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中档题为主，以选择题或填空题的形式出现。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想。 1．五个特殊向量 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．五个常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． (4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)， 易知G为△ABC的重心，则有如下结论： ①＋＋＝0；②＝(＋)；③＝(＋)，＝(＋)． (5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3．基底需要的关注三点 (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 4．共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝， 因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 5．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 7．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【例3】（2025风华中学·高三三模）已知边长为2的菱形ABCD中，， 、是菱形内切圆上的两个动点，且 ，则的最大值是 【答案】/0.25【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值. 【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离， 故内切圆半径，由对称性可知，关于轴对称， 设，，则，，其中， 故 ，当时，取得最大值，最大值为；故答案为：. 【变式3-1】（2025风华中学·高三上学期期中）如图，在△ABC中，点D，E 是线段BC上两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】【分析】设，， 由，，，共线可得， 可得再利用基本不等式计算可得. 【解析】解：设，，，，，共线，，， ，则，点，是线段上两个动点， ，， ， 当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为．故答案为：． 【变式3-2】（2025曹杨中学·高三下学期2月月考）已知单位向量，两个不同的向量 满足，且；其中，当取到最小值时， 的值为 . 【答案】【分析】先利用和数量积知识，得到和的关系，再利用的消元思想 得到与相关的两个结构对称的式子，将两个式子结合，去绝对值再利用基本不等式即可求最值. 【详解】因，则，即， 又因且，则，即， 则，同理可得，则， 两式相加得， 即，因，故同正， 上式即为，因，故，当时等号成立，故，当时等号成立，此时，则， 得；故答案为：.【点睛】本题属于不等式和向量的综合，属于难题.本题有两个关键点，其一，向量的线性表示可通过同时乘以向量而将结构变为数量积，即实数构成的等式关系；其二，利用结构的对称性将式子的结构形式统一化. 【变式3-3】（2025控江中学·高三三模）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点 A、B、C，则的最小值为 【答案】【详解】如图，建立直角坐标系，由得到， 则，，设，则，， l 故 =+. 【变式3-4】（2025宜川中学·高三三模）已知中，，且，， 则的最大值为______. 【答案】【详解】因为，因为，所以， 所以，取中点，如图所示，在中， ，在中，，， ，当且仅当圆心在上时取等号，所以 ．故答案为：. 【变式3-5】（2025徐汇中学·高三下5月月考）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 【答案】【分析】根据已知可得出.进而作图推得，点的轨迹为以为圆心的圆.过点，作，垂足为，交圆于点，结合图象分析即可得出 即为的最小值.根据已知条件计算即可得出答案. 【详解】由已知可得， 所以，设，，，，，，则，， ，所以有，，则， 所以点的轨迹为以为圆心的圆，过点，作，垂足为，交圆于点，根据图象可得出 即为的最小值；在中，有，，所以有， 又，所以；故答案为：. 【变式3-6】（2025同济大学第一附属中学·高三下开学考）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 . 【答案】/【分析】根据平面向量的几何关系，可将向量坐标化，设 ，可得，，由的 几何意义利用圆上点到直线距离最值问题即可求得结果. 【详解】设，则由得， 可得，由得， 因此，表示圆上的点到直线上的 点的距离；故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即； 故答案为：. 题型4 解析几何中的11题 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大；令考生望而生畏．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1） 解析几何通性通法研究；圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（2）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”；所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开。 【例4】（2025格致中学·高三三模）抛物线（）的焦点，准线，点、是抛物线上两个动点，且满足，设线段AB的中点在上的投影是，则的最小值为 【答案】2-【分析】设、，根据抛物线的定义， 有，结合余弦定理与基本不等式即可求解． 【详解】设、，如图所示，根据抛物线的定义， 可知、，在梯形中，有， 在中， ，又∵， ∴，∴=， 故的最小值是，故答案为：．【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与 拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化： （1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 【变式4-1】（2026七宝中学·高三下5月月考）若方程的系数a，b，c是从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算总情况数，然后结合椭圆的定义判断，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数有种方法， 方程可化简为，要表示焦点在x轴上的椭圆，则， 若，则，则有种方法；若，则，则不存在； 故样的方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是：．故选：A. 【变式4-2】（2026七宝中学·高三下5月月考）在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面 ，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（     ） （注：若正方形的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这个正方形可以被唯一确定）． A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用题意结合给定定义得到椭圆方程，进而求出底面面积，最后利用棱锥的体积公式 表示出体积，再利用导数求解最小值即可. 【详解】由题意可知圆柱面的半径为1，如图，截得的椭圆半短轴长即为圆柱面的半径1， 对半轴长：在中，必能找到与平面垂直，所以，设， 则由几何关系得，故椭圆方程为，如图， 椭圆有唯一内接正方形，故令，得到， 故底面面积为，，则，， 则，当时，， 单调递减；当时，，单调递增， 故，故D正确；故选：D． 题型5 数列中的11题 从近三年高考试题来看，对数列的通项公式与数列求和考查仍是高考的热点,经常以选择题、填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度为中等偏上；而对于等差、等比数列的证明以及求数列通项公式也是高考的热点,常在解答题中的第(1)问出现,难度为中等偏上。 【例5】（2025行知中学·高三上学期期中）一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1；现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动： ， 点到的长度为 ，……， 每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1 ，变换方向均为向右转.按此规则一直移动直到移出网格为止， 则棋子在网格上移动的轨迹长度为 . 【答案】【解析】根据题意可知，棋子每次移动的长度构成等差数列，首项为，公差为，以点为原点，水平向右为轴正方向建立直角坐标系，设，，易得，，由图归纳可知，，，同理可得， ，，当， 故当时，即为；当时，即为， 移出网格1个单位，此时移动的轨迹长度为；故答案为：. 【变式5-1】（2025卢湾高级中学·高三上学期期中）已知等比数列的首项为2，公比为， 其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为 . 【答案】【解析】因为等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为， 所以，当为奇数时，，显然单调递减， 因为，所以，又，所以；当为偶数时，，显然单调递增，因为，所以，又，所以， 综上，对任意的，都有，所以，，则， 所以，即，因此对任意的，都有； 为使对任意的，均有恒成立，只需，， 所以的最小值为；故答案为：. 【变式5-2】（2025宜川中学·高三三模）研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为比例系数、的估计值，那么根据上述数据，估计时， 刹车距离约为 （结果精确0.1） 【答案】 【分析】设刹车距离为，求出、的平均值，可得出的表达式，代值计算可得的值. 【详解】设刹车距离为，由题意可得， 由表格中的数据可得， ，所以，， 故.所以，当时，刹车距离约为； 故答案为：. 【变式5-3】（2025同济大学第一附属中学·高三下开学考）艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献；牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则 . 【答案】/【分析】由函数有两个零点可得，，的关系， 从而得，求导后代入，整理可得， 再由得数列是等比数列，通过等比数列的求和公式得答案. 【详解】有两个零点1，2，则，解之得， 则，则， 则，则，， 由，可得， 故，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列， 则通项公式，前项和，则；故答案为: . 1．（2025宜川中学·高三三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗， 故命名为北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的 依据之一；如图，用点A、B、C、D E、F、G表示某季节的北斗七星， 其中B、D、E、F看作共线，其他任何三点均不共线， 若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 【答案】31【分析】应用间接法，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即可得. 【详解】由题设，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即为构成三角形的情况， 所以不同三角形的个数为个；故答案为：. 2．（2025延安中学·高三下2月月考）在中，角所对的边分别为且边上的高为，则的最大值是 【答案】4 【解析】由题，三角形的面积： ， 由余弦定理：，可得：， 所以，所以的最大值为4，故答案为4. 3．若数列满足：，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】已知数列满足递推关系（），且和， 递推式可变形为，则是一个常数列， 即；所以数列是一个等差数列， ， 因此通项公式为；故答案为：. 4．一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个， 那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 【答案】【分析】移动偶数次返回的路径数，考虑从出发移动次后所在点， 再分类探讨得递推公式，利用累加法求出，进而求出概率即可得解. 【详解】由点A出发，经过偶数次移动只能到达点，经过奇数次移动后只能到达， 考虑移动（为偶数）次返回到的路径数为，显然； 由于移动次后只能位于点，其中位于再移动1次可回到， 则考虑移动次后所在点，把这4个点分成两类，点和点， 若在点，路径数为，再移动2次返回到只有3种折返路径； 若在（路径数为）中的一个，再移动2次返回路径数， 每个点处都有2条路径（）， 因此移动（为偶数）次返回到的路径数， 即，累加得，总路径数为， 因此青蛙跳跃（为偶数）次后恰好回到的概率， 所以六次跳跃后回到顶点A的概率为；故答案为：. 5．如图所示，已知蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点爬行到相邻的另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为， 沿正方体的侧棱爬行的概率为，若蚂蚁爬行3次，则蚂蚁在下底面顶点的概率为______.    【答案】【分析】分类讨论蚂蚁爬行的情况，然后利用独立事件的乘法公式求概率即可. 【详解】蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，而一个顶点在底面的两条棱上，故蚂蚁沿底面的棱爬行的概率为，若蚂蚁爬行3次后在下底面顶点，则蚂蚁沿正方体底面上的棱爬行两次，沿正方体的 侧棱爬行一次， 或者沿正方体的侧棱爬行3次，故概率为：；故答案为：. 6．如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去 一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似可得出，利用柱体的体积公式 得出，其中，再利用导数法可求得的最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得，令，结合， 则，圆柱的体积，则， 其中，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值，即；故答案为：． 7．如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 【答案】3【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设，则，得，则， 设函数，则， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值；故答案为：3. 8．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒， 则方盒的容积的最大值为______． 【答案】【分析】依题意方盒的底面边长为 的正方形，高为，即可求出的取值范围，则 无盖方盒的容积为，，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值. 【详解】依题意方盒的底面边长为 的正方形，高为，则，即， 所以无盖方盒的容积为，，则， 令，解得或；令，解得． 因为函数的定义域为，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，所以，即该方盒容积最大为； 故答案为：. 9．（2025华一附中·高三下学期3月月考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则_______． 【答案】0.9/ 【详解】设，则， 依题意，有，且，所以，故. 10．（2025华一附中·高三下学期3月月考）已知球的半径为，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且．设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则点运动所形成的曲线周长为_______． 【答案】【分析】建立空间直角坐标系，根据已知得出点的轨迹为平面截球所得到的圆的圆周上，再根据点到平面距离及勾股定理即可求解． 【详解】以为圆心，以所在直线为轴，以所在平面为 平面建立空间直角坐标系，则，，，，设点，则， 可得，，， 则，， 由模长公式得，因为， 所以， 整理得，即点的轨迹为平面截球所得到的圆的圆周上， 球心到平面的距离， 截面圆半径为，所以点运动所形成的曲线周长为． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 上海高考数学中的11题应用题 题型 考情分析 考向预测 1.解三角形中的11题 2026年上海： 考查圆柱的倾斜度问题 2025年上海： 考查斜坡的坡度问题 2025年上海： 考查抛物线的应用问题 2024年上海： 考查解三角形的应用题 2024年上海： 考查圆的应用题 2023年上海： 考查斜坡的应用题 应用题在高考中是属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。预计未来上海高考数学仍会将作为重点考查内容之一。可能会更加注重多个板块知识点的综合考查，比如先由正、余弦定理求出内角的正弦值、余弦值，再结合三角函数公式求解相关问题；也可能会结合实际问题或几何图形。在目前上海新高考的形势下，选择题的压轴题12题会出得更加复杂，思维量和计算量都会更加巨大，所以，11题的难度也在逐年增加，为此，充分备考11题显得尤为必要，也为12题留下充足的时间。 2.立体几何中的11题 3.平面向量中的11题 4.解析几何中的11题 5.数列中的11题 题型1 解三角形中的11题 知识点1正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ①；；；； ③； ④； ⑤，，（可实现边到角的转化）； ⑥，，（可实现角到边的转化）. 知识点2 余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ；；. 2余弦定理的推论： ；； 知识点3 三角形面积公式 ①；②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【易错提醒】常用结论 在三角形中的三角函数关系 ①； ②； ③； ④；⑤； ⑥若； ⑦若或. 【例1】（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的 正东方向，,存在点A满足， 则 (精确到0.1度) 【变式1-1】（教材必修二第59页拓展与思考4）如图，要在和两地之间修一条笔直的隧道， 现从地和地测量得到：，，，， 为确定隧道的方向，可求得 （精确到） 【变式1-2】（2025建平中学·高三下3月月考）为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加 个.    【变式1-3】（2026上海市二中学·高三上学期期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 ． 【变式1-4】（2026进才中学·高三下5月月考）如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ， O为半圆的圆心，；现要在这块材料上裁出一个直角三角形； 若该三角形一条边在MN上，则裁出三角形面积的最大值为 【变式1-5】（2026上海中学·高三春考模拟试卷）自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快；中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内 恰好有一处直角拐角，如图，管道沿，，，拐过直角（线段过 点，点，，在同一水平面内），峡谷的宽分别为、，如图所示， 设与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，要使输气管道顺利通过拐角， 管道长度的最小值为 m. 【变式1-6】（2026进才中学·高三下5月月考）如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且， 为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设： 假设1：观景台的观景范围为四边形； 假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中； 假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则 .(结果精确至0.01) 【变式1-7】（2026市西中学·高三下5月月考）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度 3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野 （最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕 所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【变式1-8】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞 可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时， 求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）. 【变式1-9】（2026徐汇中学·高三下5月月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为， 圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示， 则观赛场地的面积最大值为 . 题型2：立体几何中的11题 1．异面直线的判定定理：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 2．等角定理的引申： (1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等； (2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补． 3．唯一性定理： (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 4.线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等； (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例； (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行； (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； (7)垂直于同一条直线的两个平面平行； (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 5．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 7．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 8．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 9．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 10．几个与球有关的切、接常用结论： (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a， 外接球半径R外＝a. 【例2】（2025格致中学·高三三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、在同一水平面上的投影、、满足， ；由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 （精确到1）. 【变式2-1】（2026位育中学·高三上学期期中）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上 甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影 恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区 的判别条件是 　　 . 【变式2-2】（2025建平中学·高三三模）在直三棱柱中，， 点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 【变式2-3】（2026市西中学·高三下5月月考）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点；若对任意的点，存在点，使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ．   【变式2-4】（2026复旦大学附属复兴中学·高三下学期摸底考）已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹 （包含M，N）所围成图形面积为______. 题型3 平面向量中的11题 高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中档题为主，以选择题或填空题的形式出现。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想。 1．五个特殊向量 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．五个常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． (4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)， 易知G为△ABC的重心，则有如下结论： ①＋＋＝0；②＝(＋)；③＝(＋)，＝(＋)． (5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3．基底需要的关注三点 (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 4．共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝， 因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 5．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 7．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【例3】（2025风华中学·高三三模）已知边长为2的菱形ABCD中，， 、是菱形内切圆上的两个动点，且 ，则的最大值是 【变式3-1】（2025风华中学·高三上学期期中）如图，在△ABC中，点D，E 是线段BC上两个动点，且，则的最小值为 ． 【变式3-2】（2025曹杨中学·高三下学期2月月考）已知单位向量，两个不同的向量 满足，且；其中，当取到最小值时， 的值为 . 【变式3-3】（2025控江中学·高三三模）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点 A、B、C，则的最小值为 【变式3-4】（2025宜川中学·高三三模）已知中，，且，， 则的最大值为______. 【变式3-5】（2025徐汇中学·高三下5月月考）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 【变式3-6】（2025同济大学第一附属中学·高三下开学考）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 . 题型4 解析几何中的11题 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大；令考生望而生畏．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1） 解析几何通性通法研究；圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（2）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”；所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开。 【例4】（2025格致中学·高三三模）抛物线（）的焦点，准线，点、是抛物线上两个动点，且满足，设线段AB的中点在上的投影是，则的最小值为 【变式4-1】（2026七宝中学·高三下5月月考）若方程的系数a，b，c是从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026七宝中学·高三下5月月考）在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面 ，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（     ） （注：若正方形的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这个正方形可以被唯一确定）． A． B． C． D． 题型5 数列中的11题 从近三年高考试题来看，对数列的通项公式与数列求和考查仍是高考的热点,经常以选择题、填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度为中等偏上；而对于等差、等比数列的证明以及求数列通项公式也是高考的热点,难度为中等偏上。 【例5】（2025行知中学·高三上学期期中）一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1；现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动： ， 点到的长度为 ，……， 每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1 ，变换方向均为向右转.按此规则一直移动直到移出网格为止， 则棋子在网格上移动的轨迹长度为 . 【变式5-1】（2025卢湾高级中学·高三上学期期中）已知等比数列的首项为2，公比为， 其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为 . 【变式5-2】（2025宜川中学·高三三模）研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为比例系数、的估计值，那么根据上述数据，估计时， 刹车距离约为 （结果精确0.1） 【变式5-3】（2025同济大学第一附属中学·高三下开学考）艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献；牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则 . 1．（2025宜川中学·高三三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗， 故命名为北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的 依据之一；如图，用点A、B、C、D E、F、G表示某季节的北斗七星， 其中B、D、E、F看作共线，其他任何三点均不共线， 若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 2．（2025延安中学·高三下2月月考）在中，角所对的边分别为且边上的高为，则的最大值是 3．若数列满足：，则的通项公式为 ． 4．一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个， 那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 5．如图所示，已知蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点爬行到相邻的另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为， 沿正方体的侧棱爬行的概率为，若蚂蚁爬行3次，则蚂蚁在下底面顶点的概率为______.    6．如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去 一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 7．如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 8．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒， 则方盒的容积的最大值为______． 9．（2025华一附中·高三下学期3月月考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则_______． 10．（2025华一附中·高三下学期3月月考）已知球的半径为，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且．设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则点运动所形成的曲线周长为_______． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $