专题02 整式乘法（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题02 整式乘法 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 乘法公式 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 乘法公式与几何图形 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 单项式乘法 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）计算：______． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）计算：． 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期中）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）若恒成立，求的值． 单项式乘法的应用 【典例】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期中）一个长方形的长和宽分别是，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【变式3】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 多项式乘法 【典例】（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列计算结果为是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算：________． 【变式2】（25-26七年级下·吉林松原·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期中）计算：． 多项式乘法的化简求值 【典例】（24-25七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中，． 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例】（24-25六年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 【变式1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 多项式乘多项式与图形面积 【典例】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，我校闻澜阁前有一个长为米，宽为米的长方形喷泉，现计划在喷泉的四周种植三色堇花带，花带的种植宽度均为米． (1)用含，的代数式表示三色堇花带所占面积，并化简． (2)已知，三色堇花苗单价为3元/，若购买花苗花费1812元，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）已知长方形的长为，宽为，其中(，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为．如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的出行便利，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖宽度均为b米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米（用含a，b的算式表示）？ (2)若修两竖一横宽度均为b米的通道（如图2），草坪面积减少了，已知，则图2中草地的面积是多少平方米？ 乘法公式 【典例】（24-25七年级下·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）利用乘法公式解答下列各题． (1) (2) 【变式3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）计算： (1) (2) (3) (4)（运用乘法公式计算） 乘法公式与几何图形 【典例】（24-25七年级下·陕西西安·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A、   B、  C、 (2)若，，求的值； (3)计算： 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自新版苏科版教材第108页图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 【课本回顾】如图1，验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________； 【自主探究】如图3，4个完全相同的长方形围成一个正方形．用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积，代数式1：__________，代数式2：__________；根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立的理由． 【知识运用】若，运用你所得到的关系式，计算的值； 【知识延伸】已知，求的值． 通过对完全平方公式变形求值 【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，，则的值为（　　） A．9 B．18 C． D．0 【变式1】（24-25七年级下·浙江·期中）已知，则的值是（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，．则的值是________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 求完全平方式中的字母系数 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（    ）． A． B．4 C．5 D．5或 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若是一个完全平方式，则_________． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是_____． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出、的值； (2)试说明代数式的值都不大于； (3)若代数式的最小值为，试求出的值． 多项式乘积不含某项中的几何问题 【典例】（25-26七年级下·四川内江·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 多项式乘法中的规律性问题 【典例】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（   ） A．2015 B．2016 C．435 D．436 【变式1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； 请你根据规律写出的展开式是__________． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列式子的因式分解的做法： ① ② ③_____． ④ …… （为正整数，且） (1)观察以上结果，直接写出_____． (2)根据以上结论，则_____． (3)根据以上结论，求（为常数）的值． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； 【拓展推广】 （2）我们在对的推导过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ，进而写出的展开式 ； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算：． 乘法公式的变形求值 【典例】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值是______． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知x、y、z满足，，，则的值为___________． 【变式2】（25-26七年级下·四川内江·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）若x满足，则的值为________． 乘法公式与几何图形结合问题 【典例】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论． （1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①______；②______；请你写出、、之间的等量关系______； （2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题． 【直接应用】若，，则的值是______； 【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为的长方形空地中（其中）划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求和的长． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． (1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ．              ． ．       ． (2)利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 乘法公式中配方法问题 【典例】（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 【变式2】（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【变式3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 乘法公式的新定义问题 【典例】（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【变式1】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_______，第个“智慧数”是________ 【变式2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 乘法公式 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 乘法公式与几何图形 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 单项式乘法 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，先计算幂的乘方与积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义运算，单项式乘法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用单项式乘法法则解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意： ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）计算：______． 【答案】 【分析】先算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式法则计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期中）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 单项式乘法的应用 【典例】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期中）一个长方形的长和宽分别是，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵面积=长×宽 ∴这个长方形的面积是 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，整式的乘法运算．根据平移，可得路的宽度，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：由题意得这块草地的绿地面积为， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 多项式乘法 【典例】（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列计算结果为是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的运算法则． 根据多项式相乘的运算法则逐项进行验证即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·吉林松原·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，代数式求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，平方差公式，去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 多项式乘法的化简求值 【典例】（24-25七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查化简求值问题，关键是掌握多项式乘多项式法则与单项式乘以多项式法则，会判断同类项与合并同类项法则，掌握化简求值的步骤与要求． 先利用多项式乘多项式法则与单项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项，再赋值准确计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，最后把代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先化简原式，求出x、y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵ ∴ ∴原式 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例】（24-25六年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 【答案】C 【分析】首先将化简，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： ∵的结果中关于x的二次项的系数为， ∴ ∴． 【变式1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项，令项的系数为零求解即可． 【详解】∵ ， ∵式子的结果中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中没有关于的一次项，得到一次项的系数为 0 ，即可求解． 【详解】解： 若的计算结果中没有关于的一次项， 则， 解得：． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 多项式乘多项式与图形面积 【典例】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，我校闻澜阁前有一个长为米，宽为米的长方形喷泉，现计划在喷泉的四周种植三色堇花带，花带的种植宽度均为米． (1)用含，的代数式表示三色堇花带所占面积，并化简． (2)已知，三色堇花苗单价为3元/，若购买花苗花费1812元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的数据和图形，结合三色堇花带所占面积大长方形的面积长方形喷泉面积列代数式，再根据多项式乘多项式法则展开即可； （2）根据（1）中的结果和题意，结合题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得三色堇花带所占面积 ． （2）解：∵， ∴三色堇花带所占面积， 根据题意可得， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）已知长方形的长为，宽为，其中(，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为．如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的面积公式，用新长方形的长宽，再按照多项式乘多项式的运算法则，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）在（1）的基础上，根据得到，将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积表达式列出并化简后，整体代入即可． 【详解】（1）长方形的长为，宽为， 将原长方形的长和宽各增加后，， 将原长方形的长和宽各减少后，； （2），， ， ， 得， 长方形的长为，宽为， 将原长方形的长和宽各增加后，． 【点睛】本题考查了整式乘法的实际应用，掌握“多项式与多项式相乘”、“整体思想”是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求代数式的值和列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意找到篮球场的长即可求得周长； （2）找到整个场地的长，结合面积公式把a和b的值代入，求解即可． 【详解】（1）解：一个篮球场的周长为 （2）由图可知，， 整个场地的面积为， 当，时，， 答：整个场地的面积为 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的出行便利，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖宽度均为b米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米（用含a，b的算式表示）？ (2)若修两竖一横宽度均为b米的通道（如图2），草坪面积减少了，已知，则图2中草地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键． （1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． （2）根据图2比图1中草坪面积减少了，可得，将代入图2中草地的面积的代数式即可． 【详解】（1）解： ， 即剩余草坪的面积是平方米； （2）解：由题意知，图2比图1中草坪面积少：（平方米）， ， ， （平方米）， 即图2中草地的面积为平方米． 乘法公式 【典例】（24-25七年级下·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先计算乘法公式、单项式乘以多项式，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；6 【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可. 【详解】解：原式 ； 将，代入得：原式． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）利用乘法公式解答下列各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式化为，再进一步计算即可； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： . 【变式3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）计算： (1) (2) (3) (4)（运用乘法公式计算） 【答案】(1) (2) (3) (4)2480.04 【分析】本题考查了同底数幂的乘除、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘除法则计算； （2）根据完全平方公式进行计算； （3）根据乘法公式进行计算； （4）根据完全平方公式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 乘法公式与几何图形 【典例】（24-25七年级下·陕西西安·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 【答案】(1)B (2)3 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，运用平方差公式计算,掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）令，，根据（1）中的公式得到，再将，代入计算，即得答案． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ． 故选：B． （2）解：根据（1），令，， 则， 当，时，， ． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A、   B、  C、 (2)若，，求的值； (3)计算： 【答案】(1)A； (2)的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟知平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据图1和图2中的阴影部分面积相等，即可得到答案； （2）先利用平方差公式得到，则，再利用整体代入法求解即可； （3）利用（1）中的公式进行计算即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∵图1和图2中的阴影部分面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故选：A； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：原式， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自新版苏科版教材第108页图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用、列代数式、完全平方公式的简便运算等知识点，灵活运用完全平方公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）结合图形列代数式即可解答； （2）将写成，然后用完全平方公式求解即可； （3）将写成，然后解答即可． 【详解】解：（1）正方形的面积还可以表示为， 所得等式为：． 故答案为：，． （2） ． （3） ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 【课本回顾】如图1，验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________； 【自主探究】如图3，4个完全相同的长方形围成一个正方形．用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积，代数式1：__________，代数式2：__________；根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立的理由． 【知识运用】若，运用你所得到的关系式，计算的值； 【知识延伸】已知，求的值． 【答案】课本回顾：；自主探究：；；，理由见解析；知识运用：49；知识延伸：4 【分析】本题考查了乘法公式和完全平方公式的几何背景． 课本回顾：根据大矩形的面积可以表示为4个小矩形的面积相加，可得公式； 自主探究：阴影部分面积可以表示为4个长方形的面积的和，也可表示为大正方形的面积减去小正方形的面积，分别表示出来即可得出结论，再用乘法公式展开、合并同类项即可证明； 知识运用：由，再代入数值进行计算即可； 知识延伸：设，，可得，，再求解，，从而可得答案． 【详解】解：课本回顾：由图可知，大矩形的面积为：， 故答案为：； 自主探究：用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积， 代数式1：， 代数式2：； ∴得到的等式为：， 理由： ， ∴； 故答案为：；； 知识运用： ， ∵，， ∴原式； 知识延伸：设，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 通过对完全平方公式变形求值 【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，，则的值为（　　） A．9 B．18 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的变形，根据，利用整体代入计算解题． 【详解】解：， 故答案为：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江·期中）已知，则的值是（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式及换元法的应用，解题关键是通过巧妙换元，将复杂方程转化为简单形式求解． 通过设进行换元，将转化为关于y的方程，展开化简求出的值，再还原得到的值． 【详解】解：设， ∴，， ∴原方程变形为 ， 即． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，．则的值是________． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式，根据将变形为，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：5． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)15 (2)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式及其变形，熟知完全平方公式：是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式变形求解即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴． 求完全平方式中的字母系数 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（    ）． A． B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】先将原式变形为，根据题意可得，解出 ，即可求解． 【详解】解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得 或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同号是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若是一个完全平方式，则_________． 【答案】13或 【分析】根据完全平方式的结构特征计算即可得出结果． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故或． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．解题的关键是熟练掌握常数项等于一次项系数一半的平方．符合形式的式子叫完全平方式． 根据常数项等于一次项系数一半的平方建立方程，解方程即得． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出、的值； (2)试说明代数式的值都不大于； (3)若代数式的最小值为，试求出的值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （2）利用配方法和平方非负数的性质即可得到结论； （3）利用配方法和平方非负数的性质可得有最小值，从而得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴、． （2）证明：∵， 又∵， ∴， ∴当时，有最大值， ∴无论取何值，代数式的值都不大于． （3）解：∵ ， 又∵ ∴当时，有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题是因式分解的应用，考查完全平方式和平方的非负性．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 多项式乘积不含某项中的几何问题 【典例】（25-26七年级下·四川内江·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将、的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）∵，， ， ∵的值与的取值无关， ， 解得：； （3）设，由图可知， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的取值无关， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解； （3）由图得，，，由线段和差求出，，分别求出，，由多项式不含某一项的条件即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，多项式不含某一项的条件为这一项的系数为零，多项式混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：，， ， 解得：； （3）解：由图得： ， ， ， ， ， ， ， S的值与无关， ． 多项式乘法中的规律性问题 【典例】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（   ） A．2015 B．2016 C．435 D．436 【答案】C 【分析】先找到展开式中第三项的系数的规律为，再进行求解即可. 【详解】解：由图可知：的第三项的系数为； 的第三项的系数为； 的第三项的系数为； 故展开式中第三项的系数的规律为， ∴的展开式中第三项的系数为. 【变式1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； 请你根据规律写出的展开式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索，整式的运算，将变形为，根据给定各式及其展开式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列式子的因式分解的做法： ① ② ③_____． ④ …… （为正整数，且） (1)观察以上结果，直接写出_____． (2)根据以上结论，则_____． (3)根据以上结论，求（为常数）的值． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用． （1）根据已有等式，推出规律进行求解即可； （2）根据已有等式，推出规律进行求解即可； （3）根据已有等式，推出规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为； （2）解：由题意可知：； 故答案为63； （3）解：由题意可知，； 故答案为． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； 【拓展推广】 （2）我们在对的推导过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ，进而写出的展开式 ； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算：． 【答案】（1）5；6；（2）；；（3） 【分析】本题考查了整式的规律问题，理解题意，找出规律即可求解． （1）直接根据题干式子结合图表作答即可； （2）根据规律写出式子即可； （3）根据题意将原式化简为即可求解． 【详解】解：（1）由表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1； 即， ∴第三项（字母部分为）的系数是6； 故答案为：5；6； （2）根据图像得：， 将中的“”代换成“”， ∴ 故答案为：；； （3）根据题意得： ． 乘法公式的变形求值 【典例】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先由已知得到，代入第二个等式后对式子配方，利用偶次方的非负性求出，，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将其代入中， 得 ， ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴，， 解得，， 将代入得， 将，，代入得：． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知x、y、z满足，，，则的值为___________． 【答案】49 【分析】本题利用完全平方公式的变形，先结合已知条件求出的值，再对平方变形，代入已知条件即可求出目标代数式的值． 【详解】解：根据完全平方公式，可得 ． 将，代入上式，得 ， 整理得， 解得． 对平方，得 ， 整理得． 将，，代入上式，得 ， 即， 移项计算得． 【变式2】（25-26七年级下·四川内江·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）若x满足，则的值为________． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 乘法公式与几何图形结合问题 【典例】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；； (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 【答案】[阅读材料1]；；；[阅读材料2]，小，；[深入思考]；[实践应用] 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，整式的乘法与图形的面积； [阅读材料1]图1，根据大正方形的面积减去小正方形的面积；图2根据两个梯形的面积和计算，进而得出等式； [阅读材料2]根据长方形的面积公式计算即可求解，根据列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小（填“大”或“小”），面积越大； [深入思考]仿照例题，构造边长为的长方形与边长为的正方形，通过比较面积，求得面积最大时，； [实践应用]根据题意表示出长方形的另一边，进而根据面积最大时，正方形的面积大于长方形的面积，得出的关系式，即可求解． 【详解】解：[阅读材料1]如图1，，如图2，， ∴ 故答案为：；；． [阅读材料2]设一边为，面积为，用含的代数式表示； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小，面积越大； ∴ 解得，即当时，S最大． 故答案为：，小，． [深入思考]∵ 设，则， 当相差越小时，越大 ∴ 如图，设，四边形是正方形，边长为，， ∵，求的最大值，则大于 设为原点，则长方形的面积为，正方形的面积为， ∴当时，，此时面积最大，即取得最大值 故答案为：． [实践应用] 长方形一边长为，则另一边长为， ∴，即时，面积最大， 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论． （1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①______；②______；请你写出、、之间的等量关系______； （2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题． 【直接应用】若，，则的值是______； 【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为的长方形空地中（其中）划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求和的长． 【答案】（1）①；②； （2）[直接应用]21 [拓展应用]， 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图1的面积即可； （2）[直接应用]由（1）的结论代入计算即可； [拓展应用]设、，由图中阴影部分的区域总周长为50m可得，由 长方形空地的面积为，可得，进而求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积与四个空白长方形的面积差，即， 所以有 故答案为：①；②；； （2）[直接应用] 解：由（1）可得， 则，即， 故答案为：21； [拓展应用] 解：由题意得，、， 设、， 、 图中阴影部分的区域总周长为50m， ， 即， 长方形空地的面积为， ， 解得，， 当时，，当时，， 又，即， ，， 即，． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． (1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ．              ． ．       ． (2)利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用（）所得等量关系计算即可求解；②由题意得，即可得，，再利用（）所得等量关系可得，进而根据解答即可求解； 本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算及运用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，即； 阴影部分是一个边长为的正方形，所以阴影部分的面积又可以表示为， ∴得到等量关系为， 故选：； （2）解：①∵，， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵，的面积为， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， 答：阴影部分的面积为． 乘法公式中配方法问题 【典例】（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 【答案】(1)9； (2)N的最大值为5； (3)等腰三角形的周长为40． 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可； （2）先提出负号，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，的值，从而利用等腰三角的两腰相等即可求解． 【详解】（1）解：∵a2+6a+9=（a+3）2， 故答案为：9； （2）， ， ∴N的最大值为5； （3）解：， ， ， ， ，， ∴当以等腰三角形的腰长，因为，此时不能构成三角形，当以等腰三角形的腰长，以为底时，等腰三角形的周长为． 【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 【答案】(1)是； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵ ， 为“完美数”， ∴ ∴； （4）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴当，时，的最小值为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 乘法公式的新定义问题 【典例】（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键； （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中所求代数式计算即可； （3）根据题意，可知，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即：，， ∴； （3）解：∵， 又，， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_______，第个“智慧数”是________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案为：，． 【变式2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式运算的应用，平方差公式的运用，完全平方公式的运用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意化简即可； （2）利用完全平方公式运算即可； （3）利用平方差公式和分式的性质运算求解即可； （4）根据分式方程的运算法则运算求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；1； （2）解：； （3）； （4）， 解：， ， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)它们的“对消值”为； (3)代数式的最小值是． 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【详解】（1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $