清单02 整式乘法（7个考点清单+18种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

清单02 整式乘法（7个考点清单+18种题型解读+提升训练） 清单01 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 清单02 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 清单03 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单04 整式除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单05 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 清单06 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 清单07 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 计算单项式乘单项式】（） 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）化简： ． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【变式1-4】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【考点题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】（） 【例2】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知单项式与的积为，则 ． 【变式2-4】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【考点题型三 计算单项式乘多项式及求值】（） 【例3】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（23-24七年级下·北京海淀·期中）计算． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式3-4】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【考点题型四 单项式乘多项式的应用】（） 【例4】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）在矩形中，将边长分别为a和b的两张正方形纸片按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西贺州·期中）一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 【变式4-3】（2024七年级下·全国·专题练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 【变式4-4】（24-25七年级下·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【考点题型五 计算多项式乘多项式】（） 【例5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则，的值是（    ） A．2，3 B．， C．， D．， 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 【变式5-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）若，则代数式的值是 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则m的值是 ． 【变式5-4】（23-24七年级下·广东广州·期中）化简：． 【考点题型六 (x+p)(x+q)型多项式乘法】（） 【例6】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则 ． 【变式6-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若（m、n为常数），则 ． 【变式6-4】（23-24七年级下·山东枣庄·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【考点题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】（） 【例7】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式7-1】（23-24七年级下·江苏南京·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算的结果不含和的项，那么 ， ． 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把、看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与无关，求的值； 【考点题型八 多项式乘多项式的化简求值】（） 【例8】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，，求代数式的值． 【变式8-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式8-2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）先化简，再求值：，其中a为最大的负整数． 【变式8-3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中 【变式8-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【考点题型九 多项式乘多项式与图形面积】（） 【例9】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24六年级下·山东泰安·期中）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式9-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为 ，宽为 ． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，使盒子更加美观，若花费为元/，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【变式9-4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【考点题型十 多项式乘法中的规律性问题】（） 【例10】（23-24七年级下·陕西西安·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【变式10-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（     ）． A．128 B．256 C．512 D．1024 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（     ） A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20 【变式10-3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读以下内容：， ， ， ……， 根据这一规律，当时， ． 【变式10-4】（2022·江苏无锡·一模）观察下列等式；；…… (1)请你猜想一般规律：_________； (2)已知，求的值． 【考点题型十一 整式乘法混合运算】（） 【例11】（2025七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式11-1】（24-25七年级下·重庆南川·期末）计算： (1)； (2)． 【变式11-2】（24-25七年级下·河南安阳·期中）计算： (1) (2) 【变式11-3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【变式11-4】（24-25六年级下·山东济南·期中）（1）化简：； （2）化简：． 【考点题型十二 运用平方差公式进行运算】（） 【例12】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）下列各式中，运算结果是的是（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（    ） A．60 B．62 C．66 D．88 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： ． 【变式12-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）学习了乘法公式：，聪明的小明逆运用公式：可以解决不少问题，请你学习小明的做法尝试解决下列问题： (1)已知，，则的值为 ； (2)已知，则的值为 ； (3)计算：． 【考点题型十三 平方差公式与几何图形】（） 【例13】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2所示的一个大长方形（阴影部分）． (1)根据图1和图2中的阴影部分的面积，可得到一个乘法公式：____________． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【变式13-1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______ (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【变式13-2】（2023七年级下·江苏·专题练习）如图①所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　 　，　 　． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　 　． (3)试利用这个公式计算： A题：； B题：． 【变式13-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②分别由两个长方形拼成： (1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【变式13-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图①是将一个边长为a的大正方形的一角截去一个边长为b的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________ (2)根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系___________ (3)利用你发现的结论，求的值 【考点题型十四 运用完全平方公式进行运算】（） 【例14】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（　　） A． B．11 C． D．22 【变式14-1】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知则的值为 ． 【变式14-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则的值是 ． 【变式14-4】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【考点题型十五 通过对完全平方公式变形求值】（） 【例15】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B．13 C． D． 【变式15-1】（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式15-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若则的值为 ． 【变式15-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a，b满足，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式15-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）已知，求和的值； （2）已知．求的值． 【考点题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用】（） 【例16】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【变式16-2】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读学习】 做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论． 例1：如图1，可得等式． 例2：如图2，可得等式． 【问题解决】 （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的大正方形．若用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【拓展应用】 （3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【变式16-3】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可得到等式．请利用．解决下面问题：已知，，求代数式的值； (2)如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②若，，记直角三角形的面积为，正方形的面积为，则 ． 【变式16-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． ． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值： ②已知，求的值． (3)如图，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为30，的面积为14，则的长度为 ． 【考点题型十七 求完全平方式中的字母系数】（） 【例17】（24-25七年级下·江苏南京·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值可以为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式17-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（    ）． A． B．4 C．5 D．5或 【变式17-2】（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 【变式17-3】（23-24七年级下·山东济南·期中）已知代数式是一个完全平方式，则m的值为 ． 【变式17-4】（24-25七年级下·河北承德·期末）阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式． (1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）． ①；②；③；④ (2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式． (3)若是完全平方式，求的值． 【考点题型十八 整式乘法中的新定义计算】（） 【例18】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i； （2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i； （2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ ． 【变式18-1】（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若x，y为任意实数，定义运算：，得到下列五个结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论序号是 ． 【变式18-2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 【变式18-3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 【变式18-4】（23-24七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数” (1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______； (2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值； (3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值． 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列计算：①；②；③；④正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，，则（   ） A．25 B．19 C．9 D．6 5．（24-25七年级下·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则式子（   ） 小红的思路 设， 则， ， ， 的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 7．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如果，那么代数式的值为 ． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积 ． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 ． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1      …… 1    1      …… 1   2    1   ……1   3    3    1  …… 当代数式的值为16时，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为 ． 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 计算： (1) (2) 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 15．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：，，，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：若，则；若，则；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)比较大小：__________（填“”“ ”或“”） (2)试比较，，的大小； (3)若，，证明：不论a取何值，始终有； (4)已知，猜想和ab的大小，并说明理由． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 17．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 整式乘法（7个考点清单+18种题型解读+提升训练） 清单01 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 清单02 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 清单03 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单04 整式除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单05 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 清单06 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 清单07 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 计算单项式乘单项式】（） 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则是解决此题的关键．利用单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，单项式乘单项式就是将系数乘以系数作为结果的系数，相同字母相乘相同字母作为结果的一个因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘方，以及单项式乘以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键； （1）首先计算幂的乘方，然后进行同底数幂相乘 （2）根据单项式乘以单项式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-4】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握幂的运算是解题的关键； （1）利用同底数幂乘法以及幂的乘方，即可计算求值； （2）先根据积的乘方进行计算，然后根据单项式乘以单项式，进而合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】（） 【例2】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 【变式2-4】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【考点题型三 计算单项式乘多项式及求值】（） 【例3】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式， （1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； 熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-1】（23-24七年级下·北京海淀·期中）计算． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练运用乘法分配律是解题的关键． 运用乘法分配律进行运算即可． 【详解】 解：原式 ． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式的乘法运算运算即可． 【详解】解： 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方公式和单项式乘以多项式法则，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． （1）运用单项式乘以多项式法则计算即可； （2）运用积的乘方公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3-4】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答． （2）把多项式A，多项式B代入先运算单项式乘以多项式，然后合并化简，最后代入数值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 两边同除以y得：； 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：． 故答案为：，，； （2）解： 当，时，原式． 【考点题型四 单项式乘多项式的应用】（） 【例4】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）在矩形中，将边长分别为a和b的两张正方形纸片按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题图，得，所以．因为，所以，所以． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西贺州·期中）一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可． 【详解】解：， 即长方体的体积为， 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，根据图形面积之间的关系分别表示出，再根据整式的加减计算法则求出的结果，再结合即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（2024七年级下·全国·专题练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法，整式的乘除法，准确熟练地进行整式的运算是解题的关键． 根据题意可得，从而求出，然后再计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-4】（24-25七年级下·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减，熟练掌握整式混合运算运算法则是解题关键． （1）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与x的值无关，即有，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 的值与无关， ，即； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ， ． 【考点题型五 计算多项式乘多项式】（） 【例5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则，的值是（    ） A．2，3 B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开，进而求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 【变式5-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，已知等式变形得到，代入计算即可． 【详解】 即代数式的值为：． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，根据多项式与多项式的乘法法则把等号左边化简，然后与右边比较即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 【变式5-4】（23-24七年级下·广东广州·期中）化简：． 【答案】． 【分析】此题考查了整式的运算，根据多项式乘以多项式，去括号法则以及合并同类项法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 【考点题型六 (x+p)(x+q)型多项式乘法】（） 【例6】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先展开，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若（m、n为常数），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，准确计算是解题的关键． 直接利用多项式乘多项式进而计算得出答案． 【详解】解：（m、n为常数）， （m、n为常数）， ，， ． 故答案为：． 【变式6-4】（23-24七年级下·山东枣庄·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 【考点题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】（） 【例7】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．根据多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项后，让一次项系数为0即可得． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含x的一次项， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式7-1】（23-24七年级下·江苏南京·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，根据法则即可求出答案． 【详解】原式 由题意可知：， ， 故选：B 【变式7-2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式的结果中不含项， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算的结果不含和的项，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积无关型计算问题，用多项式乘多项式的运算法则展开求它们的积，把当做常数合并同类项，根据不含和的项，关于和的项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵结果不含和的项， ∴ ∴ 故答案为：，． 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把、看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与无关，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， 解得，， 答：当时，多项式的值与的取值无关； （2），， ， 的值与无关， ，即． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． 【考点题型八 多项式乘多项式的化简求值】（） 【例8】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】本题考查多项式乘多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式8-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可先根据多项式乘以多项式进行化简，然后代值求解即可 【详解】解：原式 ； ， ∴原式 【变式8-2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）先化简，再求值：，其中a为最大的负整数． 【答案】， 【分析】先根据整式的运算法则把所给代数式化简，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， ∵a为最大的负整数， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 【变式8-3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，然后把值代入计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算． 【变式8-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】5 【分析】直接利用合并同类项法、完全平方公式、平方差公式展开化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ 原式． 【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值，涉及到完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【考点题型九 多项式乘多项式与图形面积】（） 【例9】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，找准数量关系，正确列出代数式是解题的关键． 根据题意可知裁剪后的底面长为，宽为，根据长方形面积计算公式得出相应代数式，利用多项式乘多项式计算法则计算即可解答． 【详解】、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形， 长方体盒子的长为，宽为，根据题意得： 盒子的底面积为， ， 故选：D． 【变式9-1】（23-24六年级下·山东泰安·期中）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：依题意 ， 若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为10张． 故选：B． 【变式9-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法与几何面积的关系，根据图1，图2得到，，得到，代入计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∴， 由图3得， ， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为 ，宽为 ． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，使盒子更加美观，若花费为元/，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积； （1）根据长方形的长乘以宽进行计算即可求解； （2）根据（1）减去4个边长为的正方形面积，进而乘以，即可求解． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：． 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 答：涂漆这个铁盒需要元钱． 【变式9-4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 【考点题型十 多项式乘法中的规律性问题】（） 【例10】（23-24七年级下·陕西西安·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 【变式10-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（     ）． A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：B． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（     ） A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20 【答案】B 【分析】利用题中的新定义计算即可得到m的值． 【详解】根据题意得， ∵ ∴n=5,即= x2＋x−6＋x2＋x−12＋x2＋x−20== 则m＝−38． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式10-3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读以下内容：， ， ， ……， 根据这一规律，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法的规律问题，找到规律并会应用是解题关键． 观察各式，总结规律得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ……， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式10-4】（2022·江苏无锡·一模）观察下列等式；；…… (1)请你猜想一般规律：_________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据已知的等式，即可发现等式的右边是两项，且x的指数比左边式子后边括号中x的最高指数大1； （2）根据（1）中的结论，可得，结合和因式分解的知识，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）得， ∵ ∴，，……， ∴． 【点睛】此题考查了整式类规律的探索问题，解题的关键是能够利用（1）得到的结论进行计算（2）中的式子，巧妙运用因式分解的知识． 【考点题型十一 整式乘法混合运算】（） 【例11】（2025七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了乘法公式、单项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． 对于（1），先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； 对于（2），先计算完全平方公式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-1】（24-25七年级下·重庆南川·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式及完全平方公式的应用，解题的关键在于正确应用平方差公式和完全平方公式，在计算的过程中，需要注意符号的变化． （1）先乘方和乘法运算，然后进行除法运算，最后合并同类项即可求解； （2）先进行多项式的乘法运算，再进行合并同类项运算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式11-2】（24-25七年级下·河南安阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握平方差、完全平方公式及相关运算法则． （1）先算乘方，再算乘除法，然后合并同类项即可； （2）先用平方差、完全平方公式展开，再去括号合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据多项式乘多项式，完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-4】（24-25六年级下·山东济南·期中）（1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用多项式乘法法则展开，再合并同类项即可； （2）利用单项式乘以多项式法则和平方差公式展开，再合并同类项即可； 【详解】解：（1） ； （2） 【考点题型十二 运用平方差公式进行运算】（） 【例12】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、不可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，符合题意； C、不可以用平方差公式计算，不符合题意； D、可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 【变式12-1】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）下列各式中，运算结果是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式以及多项式乘以多项式，根据平方差公式以及多项式乘以多项式法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式12-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（    ） A．60 B．62 C．66 D．88 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是正确解答此题的关键． 利用“神秘数”的定义判断即可． 【详解】解：， 60是“神秘数”， 62、66、88不能表示为两个连续偶数的平方差， 故选：A． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式乘法的平方差公式，掌握利用平方差公式进行计算是解题的关键．逐一利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【变式12-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）学习了乘法公式：，聪明的小明逆运用公式：可以解决不少问题，请你学习小明的做法尝试解决下列问题： (1)已知，，则的值为 ； (2)已知，则的值为 ； (3)计算：． 【答案】(1)4 (2)16 (3) 【分析】此题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的逆用． （1）利用平方差公式求解即可； （2）利用平方差公式将变形为，然后整体代入求解即可； （3）首先利用平方差公式计算，然后求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ； （3） ． 【考点题型十三 平方差公式与几何图形】（） 【例13】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2所示的一个大长方形（阴影部分）． (1)根据图1和图2中的阴影部分的面积，可得到一个乘法公式：____________． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据图形面积可直接进行求解； （2）根据（1）中的结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：符合一个乘法公式的是； 故答案为； （2）解：原式 ． 【变式13-1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______ (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）在原式前面乘以，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）解：∵图1和图2中的阴影部分面积相等， ∴以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式13-2】（2023七年级下·江苏·专题练习）如图①所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　 　，　 　． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　 　． (3)试利用这个公式计算： A题：； B题：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）用两种方法列代数式表示阴影部分的面积即可； （2）由图1，图2面积相等得出答案； （3）题，配上原式后，连续使用平方差公式即可；题，配上因式后，连续使用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：，； （2）由图1，图2中阴影部分的面积相等可得，， 故答案为：； （3）题：原式 ； 题：原式 ． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用不同的方法用代数式表示阴影部分的面积是得出公式的前提，配上适当的因式利用平方差公式是正确解答的关键． 【变式13-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②分别由两个长方形拼成： (1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再结合正方形的面积公式即可解答； （2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，从而可得出等式； （3）由平方差公式求解即可． 【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：． 故答案为：； （2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等， ∴得出等式：． 故答案为：； （3）解：∵， ∴． 将代入上式，得：， 解得：． 【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，利用平方差公式计算．利用数形结合的思想是解题关键． 【变式13-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图①是将一个边长为a的大正方形的一角截去一个边长为b的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________ (2)根据探究的结果，直接写出这三个式子之间的等量关系___________ (3)利用你发现的结论，求的值 【答案】(1)， (2) (3)29400 【分析】（1）方法一：根据图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；方法二：根据②中答长方形的长为，宽为，即可求解； （2）由（1）种结论，即可求解； （3）利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：方法一：图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即； 方法二：图②中答长方形的长为，宽为，则大长方形的面积为； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：； 故答案为： （3）解： 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用． 【考点题型十四 运用完全平方公式进行运算】（） 【例14】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（　　） A． B．11 C． D．22 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求解，根据已知条件可得出，代入，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：D 【变式14-1】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知： ， 故选：C 【变式14-2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知则的值为 ． 【答案】22 【分析】设，则，根据得，且，根据公式变形计算即可． 本题考查了换元法，完全平方公式的变形，熟练掌握换元，公式变形是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：22． 【变式14-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 【变式14-4】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)7 (2)22 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键． （1）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： 整理得 ； （2）解： ． 【考点题型十五 通过对完全平方公式变形求值】（） 【例15】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键． 直接利用以及已知条件解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即，解得：． 故选A． 【变式15-1】（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，熟练的利用完全平方公式的变形求值是解本题的关键，由，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选：C． 【变式15-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，先整理得，然后运用，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：30． 【变式15-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a，b满足，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的变形． （1）根据题意利用即可得到本题答案； （2）根据题意利用即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式15-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）已知，求和的值； （2）已知．求的值． 【答案】（1），；（2）5 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由求解，再代入即可求解； （2）先由 求出，再代入即可求解值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用】（） 【例16】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答． （2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答． （3）结合面积相等，列式即可作答． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为， ∴图2中的阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积， 即， 故答案为：； （3）解：依题意，大长方形的宽为，大长方形的长为， 故大长方形的面积为； ∵观察图形，大长方形是由3个小正方形、1个大正方形，4个小方形组成的， ∴大长方形的面积为， 即． 故答案为：． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①图见解析；②29 (3)17 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）①画出一个边长为的正方形即可； ②利用①中等式进行变形计算即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 故答案为：； （2）解：①可以看成是一个边长为的正方形的面积，故可画图如下： ②， ， ； 故答案为：29； （3）解：设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 【变式16-2】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读学习】 做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论． 例1：如图1，可得等式． 例2：如图2，可得等式． 【问题解决】 （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的大正方形．若用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【拓展应用】 （3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）45；（3）20 【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论． （2）由（1）可知，，代入数值计算即可； （3）根据题意得到，再采用数形结合得到阴影部分的面积为，计算即可； 本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系，通过等面积法理解因式分解结果以及规律． 【详解】解：（1）∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为： ∴． （2）由（1）可知， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 【变式16-3】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可得到等式．请利用．解决下面问题：已知，，求代数式的值； (2)如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②若，，记直角三角形的面积为，正方形的面积为，则 ． 【答案】(1) (2)①，见解析；② 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式． （1）先利用已知条件，根据完全平方公式求出，，再利用多项式乘多项式法则进行化简，再把和的值整体代入计算即可； （2）①观察图形得出，，的关系，并用面积法进行证明即可； ②先根据已知条件，求出，，再求出直角三角形和正方形的面积，进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：①，，之间的数量关系是：，推理过程如下： 由题意可知：正方形的面积个三角形的面积， ， 正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积个三角形的面积， ； ②，， ， 即，， 直角三角形的面积为：， 正方形的面积个正方形的面积， ， 故答案为：． 【变式16-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． ． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值： ②已知，求的值． (3)如图，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为30，的面积为14，则的长度为 ． 【答案】(1) (2)①；②27 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据正方形面积的不同表示方法，即可得到等式； （2）①根据（1）所得等式代入计算即可；②根据（1）所得等式代入计算即可； （3）设正方形和的边长分别为、，利用已知条件得到，，再结合（1）所得等式代入计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 则， 故答案为： （2）解：①由（1）所得等式可知，， ， ， ； ②， ， ， 令，，则， ， ， ， ，即； （3）解：设正方形和的边长分别为、，则，， 阴影部分的面积和为30，的面积为14， ，， ， ， ， ， ， 、都是正数， ，即． 【考点题型十七 求完全平方式中的字母系数】（） 【例17】（24-25七年级下·江苏南京·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值可以为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a值． 【详解】解：根据题意可得：或， ∵多项式可以写成一个整式的平方， ∴或， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解决此题的关键． 完全平方公式． 【变式17-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（    ）． A． B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】先将原式变形为，根据题意可得，解出 ，即可求解． 【详解】解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得 或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同号是解题的关键． 【变式17-2】（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特点即可求解，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 【变式17-3】（23-24七年级下·山东济南·期中）已知代数式是一个完全平方式，则m的值为 ． 【答案】7或 【分析】此题考查了完全平方公式和一元一次方程的应用，根据是一个完全平方式得到，解方程即可得答案． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴ 解得或 故答案为：7或 【变式17-4】（24-25七年级下·河北承德·期末）阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式． (1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）． ①；②；③；④ (2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式． (3)若是完全平方式，求的值． 【答案】(1)①④ (2)①；④； (3)． 【分析】（1）根据所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式解答即可； （2）根据幂的乘方的运算法则及完全平方式解答即可； （3）根据完全平方式解答即可． 【详解】（1）解：∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得， 故①属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得， 故②不属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得， 故③不属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得， 故④属于完全平方式， 故答案为：①④； （2）解：①； ②； （3）解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方式，幂的乘方的运算法则，熟记完全平方公式是解题的关键． 【考点题型十八 整式乘法中的新定义计算】（） 【例18】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i； （2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i； （2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ ． 【答案】7﹣7i 【分析】直接利用已知结合多项式乘多项式以及完全平方公式化简，进而得出答案． 【详解】解：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2 ＝2﹣4i+i﹣2i2+4+i2﹣4i ＝6﹣i2﹣7i ＝6﹣（﹣1）﹣7i ＝7﹣7i． 故答案为：7﹣7i． 【点睛】本题为新定义问题，考查了多项式乘以多项式、完全平方公式及学生自主学习的能力，理解好新定义并灵活运用已学知识是解题关键． 【变式18-1】（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若x，y为任意实数，定义运算：，得到下列五个结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式； 根据定义的新运算求出和，进而可判断①；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则展开，求出和，进而可判断②；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则展开，求出和，进而可判断③；根据定义的新运算求出，进而可判断④；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，求出和，进而可判断⑤． 【详解】解：∵， ， ∴，故①正确； ∵， ， ∴，故②错误； ∵． ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∵， ． ∴，故⑤错误． 综上，正确的结论序号是①③． 故答案为：①③． 【变式18-2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）2；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）4 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （4）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为4． 【变式18-3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）（2）（3）5（4）13（5） 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，“完美数”的定义． （1）根据“完美数”的定义解答即可． （2）利用配方法把原式变形，进而求出m，n的值，然后计算即可． （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算出x，y的值，然后再计算即可． （4）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答即可． （5）将等式变形求得，利用配方法即可求得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ， ∴，， ∴， 故答案为： （3） 即， 即， ∴，， ∴， 故答案为：5． （4） ， 要使S为“完美数”，则， 解得： （5）， ∴， ∴ ， ∵ ∴取的最小值． 【变式18-4】（23-24七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数” (1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______； (2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值； (3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用: （1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵53是“完美数”， ∴； 故答案为： （2）解：∵ ， ∵， ∴ ∴； （3）解： ∵S为“完美数”， ∴ ∴． 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列计算：①；②；③；④正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算，利用单项式乘以多项式法则及平方差公式、完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用单项式乘以多项式法则及、进行运算是解题的关键． 【详解】解：①，故此项错误，不符合题意； ②，故此项错误，不符合题意； ③，此项正确，符合题意； ④，故此项错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的有关运算，由得，据此即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，，则（   ） A．25 B．19 C．9 D．6 【答案】A 【分析】此题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 根据完全平方公式，即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则式子（   ） 小红的思路 设， 则， ， ， 的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据小红的思路，设，进行计算，即可求解． 【详解】解：若，设， 则， ∵， ∴， 的最小值为． 故选：C． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将 变形为，将其代入整理得，再根据偶次方的非负性求出，的值，再求出a的值，再代入计算即可. 【详解】解: ， ∴， ， ， ， ， 故选：B 7．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如果，那么代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式混合运算，代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键． 把代数式整理成用已知条件表示的形式，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ； 原式． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 根据设正方形和的边长为和可得，，即可求图乙的面积． 【详解】解：设正方形和的边长分别为和， 所以图甲阴影部分面积为：，即， 图乙阴影部分面积为：，即， 所以， 所以图乙的面积为：． 故答案为：75． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1      …… 1    1      …… 1   2    1   ……1   3    3    1  …… 当代数式的值为16时，则的值为 ． 【答案】1或5/5或1 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，灵活的应用规律解题是关键． 由规律可得：，令，，可得，再根据乘方运算求解即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴或， 故答案为：1或5． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：∵①； ②； ③； …， ∴， ∴ ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6， 所以的末位数字为4， 所以的末位数字为3， 即的计算结果的末位数字为3． 故答案为：3． 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了完全平方公式，平方差公式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据完全平方公式求解即可； （2）首先根据多项式乘以多项式法则化简，然后合并求解即可； （3）首先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式求解即可； （4）连续运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘单项式即可； （2）先计算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可． 【详解】（1）解： 即该住宅的面积； （2）解：由图形可知，卫生间的面积为， 卫生间的地面面积为， ， ， 卧室1的面积为， 卧室2的面积为， 卧室以外的面积为， （元）． 答：购买地砖至少需要花费4500元． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：，，，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：若，则；若，则；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)比较大小：__________（填“”“ ”或“”） (2)试比较，，的大小； (3)若，，证明：不论a取何值，始终有； (4)已知，猜想和ab的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法、整式的运算，完全平方公式，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据“作差法”得，即可证明结论； （4）根据，得，，进而可得，即：，即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴， 即：， 故答案为：； （2）∵，，， 又∵， ∴， 即：； （3）证明： ， ∵任何数的平方都大于等于0， ∴，即： ∴； （4），理由如下： ∵， ∴，， 则，即：， ∴． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)作图见解析 (3)134 (4)，理由见解析； 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据阴影部分的面积的两种表示方法求解即可； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）根据割补法表示面积，然后整体代入求解； （4））设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【详解】（1）解：由图可知，，， 阴影部分面积为：或； ∴可得到等式为： 故答案为：； （2）用卡片A，B，C拼成的一个长方形，边长分别为和，如图所示∶ （3）解：由图可知：， ， ∵，， ∴， 边长为：， ， ， ， ， ， 大正方形面积为 134． （4）解：，理由如下： 设，由图可知， ， ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 17．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 46 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $$