数学终极押题猜想（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 2 押题猜想二 规律问题（数字类、图形类） 7 押题猜想三 反比例函数k的几何意义（选填） 15 押题猜想四 二次函数的图象与性质（选填） 28 押题猜想五 反比例函数与一次函数综合（选填） 37 押题猜想六 几何综合压轴（选填） 47 押题猜想七 统计与概率（解答题） 71 押题猜想八 解直角三角形（解答题） 78 押题猜想九 平行四边形（解答题） 87 押题猜想十 圆（解答题） 93 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 100 押题猜想十二 几何综合探究（解答题） 111 押题猜想一 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】若方程的两个根是和，则+x1+x2的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中， ∴由根与系数的关系可得 ，， 对所求式子因式分解得 +x1+x2=（x1+x2）(x1x2+1) 将，代入得 原式=(-1)×(-4+1)=3． 分析有理·押题有据 近几年山东中考考查较为稳定，多以选择填空或解答小问出现，难度适中，重点考查利用判别式判断根的情况以及利用韦达定理代数式求值，该知识点属于课标必考基础内容，各地市真题考查频率高，常设置二次项系数不为0易错陷阱，做题牢记公式，先挖掘题目隐含条件，熟练常见式子变形即可解题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东聊城·一模）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D选项， ，方程有两个相等的实数根，符合题意. 2．（2026·北京·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 其中，，，代入得：， 整理得， 解得． 3．（2026·甘肃平凉·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 4．（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则，即， ∵， ∴或，不满足题意， 当时，则， ∴， ∵方程有实数根， ∴当时，即， 解得（舍去）或， 把代入， 得，即， 解得：（不是正数，舍去）， 当时，即， 解得或， 设和为的两根， ，， ∴两根不可能同时为正，只有一个正根， ∴，， 解得：， 综上：． 5．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 6．（2026·安徽合肥·一模）关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是,， ，， ． 7．（2026·湖北·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴． 8．（2026·河南周口·一模）已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 【答案】A 【详解】解：∵ 方程有两个实数根 ∴ 解得 ， 由根与系数的关系可得 ， 由题意得，代入得： 整理，得， 解得或 ∵ ∴ 不符合要求，舍去 因此． 9．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，常数项为， ∵由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 10．（2026·河南南阳·模拟预测）关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 8 【详解】解：一元二次方程 中， ， ，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，即， 解得，． 11．（2026·山东聊城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根a，b，则___________． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根a，b， ∴， ∴． 12．（25-26九年级下·陕西西安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】的值为或． 【详解】解：∵， ∴无论取何值时，方程有两个不相等实数根， ∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴的值为或． 押题猜想二 规律问题（数字类、图形类） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【新情景】如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球， 第个图形的小球个数是：（个）． 分析有理·押题有据 山东近五年常将此类题型作为选填压轴考查，偏向图形、坐标规律出题，重点考查归纳推理能力，贴合新课标素养要求，属于省内必考题型，出题规律固定，解题思路统一，只需列举数据观察差值或周期变化，转化为数字规律代入验证，就能快速得出答案。 终极猜想·精练通关 1.（2026·重庆铜梁·一模）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（    ） A．59 B．76 C．67 D．96 【答案】C 【详解】解：第①个图案用了根小棒， 第②个图案用了根小棒， 第③个图案用了根小棒， 第④个图案用了根小棒， ．．．．．．， ∴第⑧个图案用的小棒根数是． 2．（2026·重庆万州·一模）已知整式：，其中为自然数，，，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有个；③当时，满足条件的所有整式有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①∵，，为奇数，且，，为正整数， ∴只能取（时无符合条件的），可取或， ∴满足条件的整式为和， ∴和为，故说法①正确； ②，即最大系数为，需包含，且最小系数为偶数， ∴时，有：，符合条件，共1个； 时，有：，符合条件，共1个； 时，有：，符合条件，共1个； 时，无符合条件的整式； 总个数为，故说法②正确； ③∵， ∴当时，有：，共个， 当时，有：，，，，共个， 当时，有：，，，，，，共个， 当时，有：，，，，共个， 当时，有：，共个， 当时，共有项，只有个数字能选择，不符合条件， ∴时，满足条件的所有整式共有（个），故③错误； 综上所述：正确的个数是． 3．（2026·四川成都·二模）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第n（n为正整数）幅图形中“●”的个数为 ____________  ， 的值为 ____________  ． 【答案】 【详解】解：第1幅图形中“●”的个数为：， 第2幅图形中“●”的个数为：， 第3幅图形中“●”的个数为：， 第4幅图形中“●”的个数为：， ， 以此类推，第n 幅图形中“●”的个数为：， , ． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， 六边形是正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形边长为， 同理可得：正六边形的边长为， 正六边形的边长为， 正六边形的边长． 5．（2026·陕西咸阳·一模）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，…，则第10个图形需要的火柴棒的根数为______． 【答案】 62 【详解】解：由题知， 第①个图形需要的火柴棒的根数为：； 第②个图形需要的火柴棒的根数为：； 第③个图形需要的火柴棒的根数为：； …， 所以第n个图形需要的火柴棒的根数为个． 当时，． 6．（2026·甘肃庆阳·一模）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图，这是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，中的______． 【答案】 【详解】解：根据题意，可得规律如下： 、、、、、， ∴当时，， 故中的． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知且，我们定义，记为；，记为，……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……．则的值为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，即，，即，，即， 则数组为，即； ，即，，即，，即， 则数组为，即； 同理可得，，，，即； ，，，即； ，，，即； ，，，即；； ∴可以发现，周期为3，且每个周期的和为， ∵， ∴ ． 8．（2026·江西吉安·一模）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 【答案】40 【详解】解：当为奇数时，大衍数列的第个数为， 当为偶数时，大衍数列的第个数为， 因为所求为第个数，是奇数，将代入，得． 9．（2026·安徽芜湖·一模）已知一个由非负整数组成的数列，从开始满足，，，…，． （1）当，时，______； （2）当，（，m为整数）时，______． 【答案】 8 【详解】解：（1）当，时， ， ； （2）当，（，m为整数）时， ； ； ； ； ∴． 10．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…； （1）______； （2）按此规律，则______． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 11．（2026·河南驻马店·模拟预测）探索规律：；；；；；…，那么的个位数字是____________． 【答案】 8 【详解】解：根据已知条件可得： ，个位数字是3； ，个位数字是9； ，个位数字是7； ，个位数字是1； ，个位数字是3； ，个位数字是9； 由此可得，3的正整数次幂的个位数字每4个为一个循环周期，循环的个位数字依次为3，9，7，1． ， 的个位数字是循环中的第二个数字，即为9． 的个位数字为 ． 12．（2026·山东枣庄·一模）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【答案】 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 押题猜想三 反比例函数k的几何意义（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则反比例函数的表达式为（    ） A．y= B．y= C．y= D．y= 【答案】C 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴ ∴y= 分析有理·押题有据 此考点为山东中考高频内容，大多以填空选择题呈现，结合三角形、矩形面积考查数形结合思想，偶尔搭配一次函数综合考查，属于函数重点内容，省内考查重复率高，学生容易忽略k的符号判断，做题牢记面积与|k|关系，结合象限判断正负即可规避错误。 终极猜想·精练通关 1.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点D在y轴上，点B、C在x轴上，与y轴交于点E，连接．若，，则k的值为（    ） A．6 B．7 C．－8 D．－9 【答案】C 【详解】解：过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，， ，， ，解得， ，， 四边形为矩形，， ， ， ，解得， 四边形的面积， 矩形面积为， 点A在反比例函数的图象上， ． 2．（2026·广西桂林·一模）如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点，，则， ， ， 点，在反比例函数上， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 3．（2026·河北保定·模拟预测）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， ∵平行于轴的直线分别交两图象于点，， ∴、两点的电流相等， ∴经过用电器的电流的差值为，故A选项错误，不符合题意， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积表示两款蓄电池的电压的差值，故B选项正确，符合题意， 当用电器的电流相同时，电阻的差值为，不能用面积表示，故C选项错误，不符合题意， 当用电器的电阻相同时，电流的差值为，不能用面积表示，故D选项错误，不符合题意． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【详解】解：过A作轴于E， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 令，则；令，解得， ∴，， ∴， 解得 ∵直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点． ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， 将代入得： ∴． 5．（2026·黑龙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（    ） A．10 B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ， 设直线的解析式为， 将代入，得， 将代入，得， ， 直线的解析式为， 设交于点， 所在直线为， 将代入，得， ， ， 以为底， 点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， 在反比例函数的图像上， 即， 将代入，得， 解得，， ， ， ． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 7．（2026·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为， ∴，， 则点E的坐标为，点F的坐标为， ∴ ， 解得，， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴． 8．（2026·安徽滁州·一模）如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 【答案】7 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 9．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______． 【答案】3 【详解】解：设，其中， 则． 直线轴，则点A和点B的纵坐标都为， 又点A和点B分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为，则______． 【答案】6 【详解】解：∵、为反比例函数图象上两点， ∴，即， ∴， 设所在直线的解析式为， 当时， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 【答案】 6 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵点在反比例函数的图象上，即， 又∵反比例函数图象关于原点中心对称，且直线过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为，且轴， ∴点到直线的距离， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵轴， ∴直线与轴的夹角为， ∴直线与轴的夹角为， ∴，即， ∵，， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，则有， ∴ ． 12．（2026·陕西商洛·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接、、，轴于点，轴于点，若，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵ ，轴，轴， ∴ ， ，， ∴， ∴ ， ∴， ∵点在上， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， 由图可知点在第三象限，， ∴． 押题猜想四 二次函数的图象与性质（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：3min 【原创题】已知点，和都在关于的二次函数y= -2(x-1)2+m的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数y= -2(x-1)2+m， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵， ∴． 分析有理·押题有据 近几年山东省常在选择题压轴位置考查，依托图像判断a、b、c、△符号，比较函数值大小，综合性较强，二次函数是中考重难点，侧重数形结合思想考查，解题紧抓开口方向、对称轴、交点特征，利用点到对称轴距离判断函数值，注意自变量取值范围即可。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵ ，， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，B、C选项说法正确， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 2．（2026·河南洛阳·一模）如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则． 设直线的解析式，点，的横坐标分别为，. ∵点在和上， ∴，解得， 同理，． ∵， ∴， ∴， 即，化简得． 故选：D． 3．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，正方形的边长为，点E在边上，且．动点P从点A出发以秒的速度沿运动，当点P出发2秒后，点E以秒的速度沿向点D运动，当点P到达点D时，P，E两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，点在边上， 此时y关于x的函数图象是一条线段； 当时，点在边上， ∴ 此时y关于x的函数图象是一条与x轴平行的线段； 当时，点在边上，， 此时y关于x的函数图象是一条开口向上的抛物线的一部分． 故选：C． 5．（2026·浙江杭州·模拟预测）某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（   ）． A． B． C．的面积为平方米 D．当四边形为梯形时， 【答案】B 【详解】解：根据题意，当时，， ∴的面积为平方米，故C错误； 由题意可知，，，， 如图，作于点，作于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，故A错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为， ∴，故B正确； 对于D：∵的最小值为，故D错误． 6．（2026·山东济南·一模）我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【详解】解：①当时，，图象开口向下，无最小值，故①错误； ②当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； 当时，，则， 此时，将代入，得 ， ∴点也在函数的图象上； ∴②正确； ③当时，， 令，解得，（舍去）， 令，解得，（舍去）； 当时，， 令，解得， 令，解得，（舍去）； ∴满足的最大值是5，最小值是，则的最大值为，故③正确． 综上可知，描述中正确的是②③． 7．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 8．（2026·河南周口·一模）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的函数解析式为________． 【答案】 【详解】解：平移后的解析式为． 9．（2026·安徽安庆·模拟预测）若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 10．（2026·安徽蚌埠·一模）已知两个非负实数，满足， （1）z的取值范围是______； （2）若，则M的最大值为______． 【答案】 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵，是非负实数， ∴， 解得； （2）由（1）可知，，， ∴， ∴是关于的二次函数，且该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵， 又∵， ∴当时，取得最大值． 11．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 12．（2026·安徽淮南·一模）已知抛物线经过点，． （1）抛物线顶点的纵坐标为___________； （2）当时，都有，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【详解】解：（1）， ∴抛物线顶点的纵坐标为； （2）①当时，抛物线开口向上， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越小， ∵当，都有， ∴对于，都成立， ∴， ∵， ∴，即； ②当时，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越大， ∵当时，都有， ∴对于，都成立， ∴， ∴，解得； 综上所述，的取值范围为或． 押题猜想五 反比例函数与一次函数综合（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则△ABC的面积为__________． 【答案】20 【详解】解：如图，作，垂足为H． ∵， ∴． 设A ( )(>0)，则根据反比例函数的对称性得到 B ( )(>0)， ∴ ∴2× =20 分析有理·押题有据 山东中考常以小题形式考查两类函数交点坐标、图形面积以及自变量取值范围，难度中等，综合性较强，是代数重点考查内容，各地考情稳定，解题先利用待定系数法求解析式，结合图像位置判断不等式范围，利用坐标求线段长度计算面积。 终极猜想·精练通关 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【详解】解：过A作轴于E， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 令，则；令，解得， ∴，， ∴， 解得 ∵直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点． ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， 将代入得： ∴． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴D是的中点，故选项B正确，不合题意； ∵ ∴，故选项C正确，不合题意； 在中，，所以，在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意． 3．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图像分布在第一、三象限． 4．（25-26九年级下·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，当时，，则此项错误，不符合题意． 5．（2026·山东聊城·一模）如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（    ） ①点的坐标为；②； ③当或时；④四边形的面积为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：联立直线和双曲线得， 解得或 ∴，，故①正确； 如图，连接， 联立直线和双曲线得， 解得或 ∴， ∴，， ∴ ∴是直角三角形，且，故②正确； ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积为，故④错误． 由图象可得，当或时，直线的图象在双曲线图象上方，即，故③正确； 综上所述，说法正确的个数是3． 6．（2026·广西南宁·一模）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点，轴，轴， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为、， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，最小， 设反比例函数与线段相交于点时值最大， 则， ， 当时，值最大为， 因此，的取值范围是． 7．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点， ∴，解得， 令点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， 可得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴点B的坐标为． 8．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点， ∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， ∴若，则的取值范围是或． 9．（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴不等式的解集为． 10．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点．若，则的值为______． 【答案】8 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则． ∵直线与反比例函数交于点， ， 解得或（舍去）． ， ． 由平移知，， ， ， ． ， ． ， 点的纵坐标为9． 把代入，解得． ， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴把的坐标代入得， 解得． 11．（2026·陕西·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象在第二象限交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象在第二象限交于点， ∴，，即， ∵． 12．（2026·广东深圳·一模）如图，已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点，与轴交于点，若，则___________． 【答案】8 【详解】解：已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点， 设， 的图象向下平移6个单位得到直线； 直线的解析式为，当时，， ， 过点作轴于点，轴于点， 根据平移得到， ， ， ， ， ， ， 故点的横坐标为，纵坐标为，即， ，在反比例函数的图像上， ，解得， ， 将代入， ． 押题猜想六 几何综合压轴（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（   ） A．四边形的周长是定值 B．的最小值为 C．当时， D．当时，BP= 【答案】A 【详解】解：已知矩形中，，则，，对角线，， 选项A：设，则， ∵，，， ∴四边形是矩形，周长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长，随变化而变化，不是定值， ∴A错误； 选项B：∵四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短，当时，最小，如图， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为, ∴B正确； 选项C：当时，由得， 即，解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴C正确； 选项D：若，设垂足为，如图，的延长线交于点， 在和中， ， ∴， 设，则：，，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，​， ∵， ∴， ∴， ∵（若，则与重合）， ∴两边同时除以，得： ​， 解得， ∴BP==× =， ∴选项D正确； 综上，正确答案为A． 分析有理·押题有据 山东每年必考此题，常结合正方形、菱形、圆考查折叠、动点、最值问题，题型灵活难度偏大，用于区分学生层次，综合考查几何性质与转化思想，平时熟记常见几何模型，遇到折叠找准边角相等关系，动点利用线段转化，结合勾股定理计算求解。 终极猜想·精练通关 1．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，矩形中，，E是边上的动点，连接，分别以C，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于G，H，直线交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点E作于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， 由题意得是线段的垂直平分线， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 当取得最小值时，取得最大值，从而取得最大值， ∵， ∴，当且仅当时取得等号； ∴， 即取得最小值6，此时， ∴取得最大值，从而取得最大值为． 2．（2026·安徽宣城·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】解：过点作于， ∵， ∴，则点P在平行于且与的距离为1的直线上运动， 如图，过P作直线交于，过点D作于， 则， 当时，最小，最小值为，故选项A正确，不符合题意； 当时，最小，最小值为的长， 过D作延长线于K，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴，即的最小值为，故选项B正确，不符合题意； 在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，连接交直线l于点，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项D正确，不符合题意； 连接并延长交直线l于点，此时最大，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误，符合题意． 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在正方形中，为的中点，于，交于点，交于点，连接、、有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ③∵， ∴，， ∴， ∵，且四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，，故③正确； ④如图，连接， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤延长与交于点， ∵， ∴， 根据②的结论为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 于， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个， 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：，；；；；图中只有对相似三角形．其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为正方形，为对角线， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论①正确； 将绕点逆时针旋转得到，如下图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图所示： ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确； 图中相似的三角形有： ，，，，等， 即、、、、、均为相似三角形，有15种组合情况，故不止对， 故结论⑤错误； 综上，正确的结论为①②③④，共个， 故选B． 5．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：当时，， ， ， 则，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中，， 则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， 走完用时（秒）， 过点作，如图所示： 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则， 当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 则， ， 由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小， 当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒， 由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ， 解得； 当时，， 解得或； 综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 6．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 【答案】 【详解】解：已知半径，， ， 在上取一点， 此时， ， ， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即线段的长度， ， ， 故的最小值为． 7．（2026·湖北随州·一模）如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则①的度数为______；②线段的长是______． 【答案】 45 【详解】解：①∵四边形是正方形， ，，， 过点E作的平行线，交于点H，交于点K，则，则四边形是矩形，过点G作于点P，于点Q，则， ，，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵点F是边的中点， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， ，， ， ②由翻折的性质可知，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质可知，， ， 在中，． 8．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点， 即当最小时，面积最小， ∵是线段的中点，， ， 由折叠的性质得：， ∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长、交于点， 过点作于点，则， ∴， ，， ， ∵， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，， ，， ， ∵， ，即， ∴， ， ， ∴面积的最小值为． 9．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在中，，点是内一动点，且，连接，分别取，的中点F，G，连接，则线段长度的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点H，连接、、，则， ∵点F，G是，的中点， ∴，当最小时，最小， ∵，当H、E、C共线时取等号，此时最小， 过C作于P， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（2026·江苏宿迁·三模）如图，正六边形的边长为2，动点M、N分别从点A、D同时出发，以相同的速度沿，向终点F，C运动，过点F作，垂足为H点，连接、，当最大时，线段的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵六边形为正六边形， ∴点为正六边形的对称中心，且中心角为，， ∴和均为等边三角形， ∴， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵是定线段， ∴当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且， ∴， ∴， 故当最大时，线段的长为． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，对角线与相交于点，是由绕点逆时针旋转得到的．若，当三点共线时，的长为_________． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，；， 由勾股定理得：， ∴； 由旋转性质得：，； 当点Q在线段上，如图1所示； 则， ∴； 点Q在线段的延长线上，如图2所示； ∵， ∴； 综上，的长为或； 故答案为：或． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 【答案】 【详解】解：如图，作，交的延长线于点W， ∴， ∵沿着翻折后得， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，交于V， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 押题猜想七 统计与概率（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数万件 方差 型号 14和16 15 1.4 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中_____，_____． (2)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． (3)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】(1)， (2)（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人） (3)见解析 【详解】（1）解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值， ， 型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件， 中位数为． （2）解：记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，画树状图如图所示． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）； （3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可） 分析有理·押题有据 该题型属于山东中考基础送分题型，位置固定，结合生活实际考查统计图分析、概率计算，难度较低，贴合生活化命题趋势，全省考查形式统一，做题仔细读取图表数据，区分放回与不放回情况，熟练树状图与列表方法，细心计算便能拿满分。 终极猜想·精练通关 1．（2026·辽宁·模拟预测）2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________； (2)扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类； (3)若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？ 【答案】(1)500，150 (2)，C (3)人 【详解】（1）解：此次共调查了：（人）； 条形统计图中A类所对应的人数：（人）； （2）解：； 由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类； （3）解：（人）， 答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）数学社团前往甲、乙两块柑橘园开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个，在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据，柑橘直径用x（单位：）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)任务1：图①中的值为___________，若A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数： (2)任务2：下列结论一定正确的是___________（填正确结论的序号）； ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (3)任务3：结合市场情况，将C、D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】(1)40，6 (2)① (3)乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【详解】（1）解：； 乙园样本数据的平均数为； （2）解：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； （3）解：乙园的柑橘品质更优，理由如下： 甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为：， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 3．（2026·山东日照·一模）为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用表示，共分成四组：；；；）．下面给出了部分信息：七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在组中的数据是： 120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 众数 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ (4)若该校在七年级、、、四组中任选两组成立“光盘小分队”，请用画树状图或列表的方法求恰好选中组和组的概率． 【答案】(1)， (2)八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由见解析 (3)人 (4) 【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是， ； 八年级组的人数为（名）， 把八年级名学生的餐余重量按照从低到高的顺序排列，第个和第个数据分别为和， ； （2）解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好， 理由：因为七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好； （3）解：（名）； 答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过克的学生共有人． （4）解：画树状图如图所示： 共有种等可能的结果，其中恰好选中组和组的结果有种， （恰好选中组和组）． 4．（2026·山东菏泽·一模）某校为了了解九年级学生排球垫球的情况，随机抽取了男女各20名学生进行测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．测试的成绩如下： 男生测试成绩：17 ，33，28，27，35，19，21，22，25，22，25，27，19，27，18，27，28，29，31，32 女生测试成绩：26，32，21，23，16，29，22，33，23，21，18，28，24，34，27，24，20，29，22，24 【整理数据】 男生 4 9 3 4 女生 a 5 b 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 男生 25.6 c 27 25.54 女生 24.8 24 d 22.76 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的______， ______， ______， ______； (3)若在中考评分标准中规定男女生排球垫球40个以上为满分，通过以上分析你会给该校的九年级体育教师提出什么建议？ 【答案】(1)见解析 (2)3；10；27；24 (3)见解析（答案不唯一） 【详解】（1）解：女生数据从小到大排序：16，18，20，21，21，22，22，23，23，24，24，24，26，27，28，29，29，32，33，34， ∵的数据有：32，33，34， ∴． ∵的数据有：20，21，21，22，22，23，23，24，24，24， ∴． （2）解：由（1）知，，． ∵女生数据从小到大排序，排在第10位和第11位的数分别是24，24， ∴． 男生数据从小到大排序：17，18，19，19，21，22，22，25，25，27，27，27，27，28，28，29，31，32，33，35， ∵27出现了4次，出现的次数最多， ∴． （3）解：加强九年级学生排球垫球的日常训练，针对基础较差的学生进行专项辅导，逐步提升整体垫球水平，让更多学生达到中考满分标准． 押题猜想八 解直角三角形（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】聊城古城始建于宋熙宁三年，城墙历史悠久，北门（宣威门）为古城重要出入口，建筑风格古朴典雅．某数学兴趣小组想用无人机测量聊城古城区北门城楼的高度（水平地面）． 测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面高的点A处，在此处测得北门城楼顶端P的俯角为；再将无人机沿水平方向向城楼飞行到达点B，此时测得城楼底端Q的俯角为．若A，B，P，Q在同一平面内，求北门城楼的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 【答案】北门城楼的高度约为 【详解】解：如图，延长交延长线于C， 由题意知，，，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 答：北门城楼的高度约为． 分析有理·押题有据 近几年为山东中考必考解答题，结合仰角俯角、坡度、实际测量情境出题，构造直角三角形考查三角函数应用，符合中考情景化命题方向，出题套路固定，解题通过作辅助线构造直角三角形，理清角度概念，套用三角函数公式列式计算即可。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】(1)1.7米 (2)0.6米 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； （2）解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 2．（2026·山东聊城·一模）如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处． (1)求抛物线的关系式； (2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点H，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵水路到达的最大高度是6米，且恰好经过小树的顶端点B，则点B为抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 将代入得，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）知，，设直线的解析式为，则， 解得：， ∴， 如图2，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值， 答：的最大值为． 3．（2026·山东济宁·一模）某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活动． 【模型应用】 如图1，中，，，D为的中点．连接，作，垂足为E，连接． 【解决问题】 (1)求的值； (2)求证； 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以，为邻边作正方形，连接交于点G，过点A作，交的延长线于点H，连接EG，HG． 此时，小组成员甲说：“当时，四边形是平行四边形”． 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)赞同小组成员甲的说法，理由见解析 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，D为的中点， ， ； （2）证明：延长至点M，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：赞同小组成员甲的说法． 理由：是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 4．（2026·山东济宁·一模）综合与实践 某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 项目背景 某博物馆展出了一面珍贵的战国”山”字纹青铜镜(如图1所示)，它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型(如图2所示)，首要任务就是精确找到镜面的圆心． 项目评价 任务 评价要点 分值 任务一 步骤的清晰性，作图的规范性，痕迹的清晰度 5分 任务二 过程的完整性，计算的准确性，公式的正确应用 5分 项目任务∶ (1)任务一∶圆心定位    请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心． 请在图2中作出示意图，保留作图痕迹，并写出操作步骤． (2)任务二∶数据建模 博物馆提供了这面青铜镜的部分信息∶镜面直径为，”山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上(如图3所示)． 请计算镜面的内接正五边形的边长(精确到0.1)．参考数据∶，，， 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：操作步骤： 第一步，在圆上任取三点A，B，C，连接； 第二步，作的垂直平分线； 第三步，作的垂直平分线，与相交于点O； 点O就是这面青铜镜镜面的圆心． 作图如下： （2）解：连接，作于点F． ∵正五边形， ∴． ∴． ∵， ∴，． 在中，． ∴ ∴． 押题猜想九 平行四边形（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若AB=8，BC=12，，求△BCF的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【详解】（1）四边形是平行四边形， ，即， ，， 又E是中点， ， ． （2）如图，过点A作于点G，则， 又，AB=8， AG=AB=4， 平行四边形的面积=12×4=48， 由（1）知，， ， △BCF的面积等于平行四边形的面积，即48． 分析有理·押题有据 山东中考常考查平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，结合全等三角形进行证明计算，难度适中，属于几何主干必考内容，考情稳定，做题熟记判定性质定理，整理边角条件，结合全等、勾股定理，规范书写解题步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，3 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴四边形是菱形． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，四边形中，． (1)若，求的度数 (2)若M，N，E，F分别是，，，的中点，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：连接 又∵分别是的中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长至N，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 押题猜想十 圆（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【改编题】如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径； 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 分析有理·押题有据 山东中考出题位置固定，重点考查切线判定、圆周角定理及线段长度计算，常结合三角形相似综合考查，难度中等偏上，属于必考重难点，解题牢记切线证明方法，遇直径构造直角，结合勾股、相似求解，注意定理适用前提条件。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东聊城·一模）如图，以的边AB为直径作圆，过圆心O作，交BC于点E，交圆O于点F，连接BD，已知，点C为的中点． (1)求证：DB为圆O的切线； (2)若，点P为直径AB上的一个动点，求的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）证明：， ∴点F是的中点， 又∵点C为的中点， ． 又， ， ∴DB为圆O的切线． （2）解：如图，延长DO交于点M，连接PM， 由（1）可知， ，， ∴点C关于AB的对称点为点M， ，， ，，三点共线时，最小，最小值为EM的长, ，， ，， ，即， 在直角三角形OBE中，， ， 即的最小值为3． 2．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，为边上一点，已知过点且经过边上的点．连接并延长，交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【详解】（1）证明：连接， ∵在中，，为边上一点， 过点且经过边上的点D， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：设的半径为R，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， 故求的半径为． 3．（2026·山东济南·一模）如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2）解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ∵， ， ， ， ． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴，． ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴， ∴, ∴． 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点的坐标为，连接． (1)求该二次函数的表达式及点的坐标； (2)连接，过点作轴于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值： (3)连接，以、为邻边作平行四边形，直线交轴于点，当点落在该二次函数图象上时，求点的坐标。 【答案】(1)， (2)或 (3)。 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 将代入，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 又∵点在第二象限，且轴， ∴，， ∵，， ∴，， ①当时， ∴，即， 化简，得， 解得或（正值，舍去）； ②当时， ∴，即， 化简，得， 解得或（正值，舍去）； 综上所述，的值为或； （3）解：∵，， ∴点向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点， ∵四边形是平行四边形， ∴点向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点落在该二次函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 分析有理·押题有据 山东中考作为压轴必考内容，考查函数解析式、动点最值、存在性问题，综合性最强，涵盖分类讨论、数形结合数学思想，分值高区分度大，答题灵活选用三种解析式，动点问题转化坐标表达，结合几何列式，分类讨论后检验结果。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 2．（2026·天津·一模）已知抛物线(，，为常数，)的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），点，与轴交于负半轴的点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时， ①若存在点，满足，求此时的值； ②若有点，满足，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴该抛物线的对称轴为， 当时，得：， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时； ②如图，连接， ∴， ∵， ∴， 由①知：抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：或， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 将点沿轴向左移动个单位长度得到点， ∴点的坐标为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式，并直接写出点B的坐标． (2)如果点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2，那么我们称点为轴的“亲密点”，求“亲密点”的纵坐标的取值范围． (3)将抛物线，沿直线向右下方平移，得到抛物线，当抛物线经过点B时，直接写出抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为， (2) (3)抛物线的顶点坐标为 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：当点到轴的距离等于时，或， 当时，， 当时，， ∵函数的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值为， ∵点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2， ∴； （3）解：， ∵将抛物线，沿直线向右下方平移，得到抛物线， ∴设抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，， ∴抛物线的表达式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 4．（2026·山东·一模）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C,T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点M和N)．过M,N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g．若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)①；②或 【详解】（1）解：把A，0）代入，得， ∴， （2）解：由（1）可知：， ∴T（1， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴，， ∴； （3）解：①当时，，当时， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 综上：； ②∵轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴， 时，抛物线弧的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴，解得：（舍去）或， ∴，综上：． 押题猜想十二 几何综合探究（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：16min 【新题型】【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中，，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 【答案】(1)平行四边形；； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 如图，连接，． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 设，则， 在中，，由勾股定理得，解得． 在矩形中，由勾股定理得， ∵菱形的面积， ∴，解得， ∴． （2）解：如图，连接，，延长，交于点． ，， 四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理，可得， ∴， ∴，． 又， ． （3）解：由（1）可知，在矩形中，时，的长度为定值， ∴， 要求的最小值，只需求的最小值． 如图，平移线段到线段， ，， 四边形是平行四边形， ． ， 根据两点之间线段最短，， 当且仅当，，三点共线时，等号成立． ，， ，即． 在中，，， ∴由勾股定理得． 的最小值为， ∴的最小值为． 分析有理·押题有据 近几年山东压轴偏爱矩形正方形线段关系，由特殊到一般类比探究，搭配垂直、旋转模型出题，重点考查推理探究能力，是中考区分题型，解题参照第一问思路方法类比解答后面问题，辅助线做法保持一致，转化边角关系推导结论即可。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)．理由见解析 (4) 【详解】（1）解：①∵平行四边形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ②∵矩形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ③∵菱形的四边相等，但内角不一定为直角， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ④∵正方形的四边相等，四个内角都为直角， ∴正方形一定是直菱四边形，该选项符合题意， （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中线上一点， ∴平分， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是直菱四边形； （3）解：．理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，， ∴． 如图3，将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴M，B，E三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图4，连接，作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴点D，M，B，C共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·贵州·一模）综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即是等腰直角三角形 ，， 由旋转的性质，得，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ， ； （3）解：在中，，则， ， ， 如图3，过作于，过作于，则， 在中，， ①当在上方时， ， ， 又， ， ； ②如图4，当在下方时， 同理， ； 综上，的长为． 3．（2026·陕西·一模）按要求解答： (1)【问题提出】如图1，，，连接、交于点，若，则的长为______； (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点在边上，，点是对角线上的动点，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，矩形是某公园的一片花海，水井和入口在边上，现要在边上的点修一个凉亭，沿、修两条石板路，边的中点处是游客服务中心，是一条观光长廊，点在线段上，点在边上，在与的交点处修一个观景台，从观景台向游客服务中心修一条石子路．已知m，m，，且，求石板小路与的长度之和最小时，石子路的长．（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，，，，则 连接、，如图2， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在与的交点处时，最小，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵四边形是矩形，m，m，， ∴，，m，则m， ∴m， 作点关于的对称点，连接、，交于点，交于点，如图3， ∴m，， ∴m，，当点、、三点共线时，最小，最小为，此时点在点的位置，连接， ∵m， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，，即点是、的中点， 过点作于点，则，m， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴m， ∴m， ∴石板小路与的长度之和最小时，石子路的长为40m． 4．（2026·山西阳泉·一模）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 (1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点； 四边形是矩形， ，，，， 四边形、均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，，， 四边形、均为矩形， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ； （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， 即， 解得， 的长为； （4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， （不合题意舍去），， ， 由（2）知，， 又， ， ， ，， ． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 2 押题猜想二 规律问题（数字类、图形类） 3 押题猜想三 反比例函数k的几何意义（选填） 6 押题猜想四 二次函数的图象与性质（选填） 11 押题猜想五 反比例函数与一次函数综合（选填） 13 押题猜想六 几何综合压轴（选填） 18 押题猜想七 统计与概率（解答题） 22 押题猜想八 解直角三角形（解答题） 26 押题猜想九 平行四边形（解答题） 29 押题猜想十 圆（解答题） 31 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 33 押题猜想十二 几何综合探究（解答题） 35 押题猜想一 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】若方程的两个根是和，则+x1+x2的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 分析有理·押题有据 近几年山东中考考查较为稳定，多以选择填空或解答小问出现，难度适中，重点考查利用判别式判断根的情况以及利用韦达定理代数式求值，该知识点属于课标必考基础内容，各地市真题考查频率高，常设置二次项系数不为0易错陷阱，做题牢记公式，先挖掘题目隐含条件，熟练常见式子变形即可解题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东聊城·一模）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃平凉·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 6．（2026·安徽合肥·一模）关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 7．（2026·湖北·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则＝（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南周口·一模）已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 9．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南南阳·模拟预测）关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 11．（2026·山东聊城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根a，b，则___________． 12．（25-26九年级下·陕西西安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值． 押题猜想二 规律问题（数字类、图形类） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【新情景】如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 山东近五年常将此类题型作为选填压轴考查，偏向图形、坐标规律出题，重点考查归纳推理能力，贴合新课标素养要求，属于省内必考题型，出题规律固定，解题思路统一，只需列举数据观察差值或周期变化，转化为数字规律代入验证，就能快速得出答案。 终极猜想·精练通关 1.（2026·重庆铜梁·一模）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（    ） A．59 B．76 C．67 D．96 2．（2026·重庆万州·一模）已知整式：，其中为自然数，，，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有个；③当时，满足条件的所有整式有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·二模）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第n（n为正整数）幅图形中“●”的个数为 ____________  ， 的值为 ____________  ． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 5．（2026·陕西咸阳·一模）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，…，则第10个图形需要的火柴棒的根数为______． 6．（2026·甘肃庆阳·一模）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图，这是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，中的______． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知且，我们定义，记为；，记为，……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……．则的值为_____． 8．（2026·江西吉安·一模）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 9．（2026·安徽芜湖·一模）已知一个由非负整数组成的数列，从开始满足，，，…，． （1）当，时，______； （2）当，（，m为整数）时，______． 10．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…； （1）______； （2）按此规律，则______． 11．（2026·河南驻马店·模拟预测）探索规律：；；；；；…，那么的个位数字是____________． 12．（2026·山东枣庄·一模）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 押题猜想三 反比例函数k的几何意义（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则反比例函数的表达式为（    ） A．y= B．y= C．y= D．y= 分析有理·押题有据 此考点为山东中考高频内容，大多以填空选择题呈现，结合三角形、矩形面积考查数形结合思想，偶尔搭配一次函数综合考查，属于函数重点内容，省内考查重复率高，学生容易忽略k的符号判断，做题牢记面积与|k|关系，结合象限判断正负即可规避错误。 终极猜想·精练通关 1.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点D在y轴上，点B、C在x轴上，与y轴交于点E，连接．若，，则k的值为（    ） A．6 B．7 C．－8 D．－9 2．（2026·广西桂林·一模）如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北保定·模拟预测）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 5．（2026·黑龙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（    ） A．10 B． C． D．8 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 7．（2026·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 8．（2026·安徽滁州·一模）如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 9．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为，则______． 11．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 12．（2026·陕西商洛·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接、、，轴于点，轴于点，若，则的值为___________． 押题猜想四 二次函数的图象与性质（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：3min 【原创题】已知点，和都在关于的二次函数y= -2(x-1)2+m的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 近几年山东省常在选择题压轴位置考查，依托图像判断a、b、c、△符号，比较函数值大小，综合性较强，二次函数是中考重难点，侧重数形结合思想考查，解题紧抓开口方向、对称轴、交点特征，利用点到对称轴距离判断函数值，注意自变量取值范围即可。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2026·河南洛阳·一模）如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，正方形的边长为，点E在边上，且．动点P从点A出发以秒的速度沿运动，当点P出发2秒后，点E以秒的速度沿向点D运动，当点P到达点D时，P，E两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江杭州·模拟预测）某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（   ）． A． B． C．的面积为平方米 D．当四边形为梯形时， 6．（2026·山东济南·一模）我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（） A．② B．①② C．①③ D．②③ 7．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 8．（2026·河南周口·一模）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的函数解析式为________． 9．（2026·安徽安庆·模拟预测）若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 10．（2026·安徽蚌埠·一模）已知两个非负实数，满足， （1）z的取值范围是______； （2）若，则M的最大值为______． 11．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 12．（2026·安徽淮南·一模）已知抛物线经过点，． （1）抛物线顶点的纵坐标为___________； （2）当时，都有，则的取值范围是___________． 押题猜想五 反比例函数与一次函数综合（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则△ABC的面积为__________． 分析有理·押题有据 山东中考常以小题形式考查两类函数交点坐标、图形面积以及自变量取值范围，难度中等，综合性较强，是代数重点考查内容，各地考情稳定，解题先利用待定系数法求解析式，结合图像位置判断不等式范围，利用坐标求线段长度计算面积。 终极猜想·精练通关 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 3．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（   ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级下·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（2026·山东聊城·一模）如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（    ） ①点的坐标为；②； ③当或时；④四边形的面积为4． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·广西南宁·一模）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 7．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 8．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 9．（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______． 10．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点．若，则的值为______． 11．（2026·陕西·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象在第二象限交于点，则代数式的值为______． 12．（2026·广东深圳·一模）如图，已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点，与轴交于点，若，则___________． 押题猜想六 几何综合压轴（选填） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（   ） A．四边形的周长是定值 B．的最小值为 C．当时， D．当时，BP= 分析有理·押题有据 山东每年必考此题，常结合正方形、菱形、圆考查折叠、动点、最值问题，题型灵活难度偏大，用于区分学生层次，综合考查几何性质与转化思想，平时熟记常见几何模型，遇到折叠找准边角相等关系，动点利用线段转化，结合勾股定理计算求解。 终极猜想·精练通关 1．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，矩形中，，E是边上的动点，连接，分别以C，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于G，H，直线交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 2．（2026·安徽宣城·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在正方形中，为的中点，于，交于点，交于点，连接、、有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：，；；；；图中只有对相似三角形．其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 7．（2026·湖北随州·一模）如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则①的度数为______；②线段的长是______． 8．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 9．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在中，，点是内一动点，且，连接，分别取，的中点F，G，连接，则线段长度的最小值为__________． 10．（2026·江苏宿迁·三模）如图，正六边形的边长为2，动点M、N分别从点A、D同时出发，以相同的速度沿，向终点F，C运动，过点F作，垂足为H点，连接、，当最大时，线段的长为__________． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，对角线与相交于点，是由绕点逆时针旋转得到的．若，当三点共线时，的长为_________． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 押题猜想七 统计与概率（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数万件 方差 型号 14和16 15 1.4 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中_____，_____． (2)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． (3)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 分析有理·押题有据 该题型属于山东中考基础送分题型，位置固定，结合生活实际考查统计图分析、概率计算，难度较低，贴合生活化命题趋势，全省考查形式统一，做题仔细读取图表数据，区分放回与不放回情况，熟练树状图与列表方法，细心计算便能拿满分。 终极猜想·精练通关 1．（2026·辽宁·模拟预测）2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________； (2)扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类； (3)若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？ 2．（2026·河南郑州·模拟预测）数学社团前往甲、乙两块柑橘园开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个，在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据，柑橘直径用x（单位：）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)任务1：图①中的值为___________，若A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数： (2)任务2：下列结论一定正确的是___________（填正确结论的序号）； ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (3)任务3：结合市场情况，将C、D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 3．（2026·山东日照·一模）为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用表示，共分成四组：；；；）．下面给出了部分信息：七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在组中的数据是： 120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 众数 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ (4)若该校在七年级、、、四组中任选两组成立“光盘小分队”，请用画树状图或列表的方法求恰好选中组和组的概率． 4．（2026·山东菏泽·一模）某校为了了解九年级学生排球垫球的情况，随机抽取了男女各20名学生进行测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．测试的成绩如下： 男生测试成绩：17 ，33，28，27，35，19，21，22，25，22，25，27，19，27，18，27，28，29，31，32 女生测试成绩：26，32，21，23，16，29，22，33，23，21，18，28，24，34，27，24，20，29，22，24 【整理数据】 男生 4 9 3 4 女生 a 5 b 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 男生 25.6 c 27 25.54 女生 24.8 24 d 22.76 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的______， ______， ______， ______； (3)若在中考评分标准中规定男女生排球垫球40个以上为满分，通过以上分析你会给该校的九年级体育教师提出什么建议？ 押题猜想八 解直角三角形（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】聊城古城始建于宋熙宁三年，城墙历史悠久，北门（宣威门）为古城重要出入口，建筑风格古朴典雅．某数学兴趣小组想用无人机测量聊城古城区北门城楼的高度（水平地面）． 测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面高的点A处，在此处测得北门城楼顶端P的俯角为；再将无人机沿水平方向向城楼飞行到达点B，此时测得城楼底端Q的俯角为．若A，B，P，Q在同一平面内，求北门城楼的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 分析有理·押题有据 近几年为山东中考必考解答题，结合仰角俯角、坡度、实际测量情境出题，构造直角三角形考查三角函数应用，符合中考情景化命题方向，出题套路固定，解题通过作辅助线构造直角三角形，理清角度概念，套用三角函数公式列式计算即可。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 2．（2026·山东聊城·一模）如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处． (1)求抛物线的关系式； (2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 3．（2026·山东济宁·一模）某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活动． 【模型应用】 如图1，中，，，D为的中点．连接，作，垂足为E，连接． 【解决问题】 (1)求的值； (2)求证； 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以，为邻边作正方形，连接交于点G，过点A作，交的延长线于点H，连接EG，HG． 此时，小组成员甲说：“当时，四边形是平行四边形”． 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由． 4．（2026·山东济宁·一模）综合与实践 某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 项目背景 某博物馆展出了一面珍贵的战国”山”字纹青铜镜(如图1所示)，它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型(如图2所示)，首要任务就是精确找到镜面的圆心． 项目评价 任务 评价要点 分值 任务一 步骤的清晰性，作图的规范性，痕迹的清晰度 5分 任务二 过程的完整性，计算的准确性，公式的正确应用 5分 项目任务∶ (1)任务一∶圆心定位    请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心． 请在图2中作出示意图，保留作图痕迹，并写出操作步骤． (2)任务二∶数据建模 博物馆提供了这面青铜镜的部分信息∶镜面直径为，”山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上(如图3所示)． 请计算镜面的内接正五边形的边长(精确到0.1)．参考数据∶，，， 押题猜想九 平行四边形（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若AB=8，BC=12，，求△BCF的面积． 分析有理·押题有据 山东中考常考查平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，结合全等三角形进行证明计算，难度适中，属于几何主干必考内容，考情稳定，做题熟记判定性质定理，整理边角条件，结合全等、勾股定理，规范书写解题步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 2．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，四边形中，． (1)若，求的度数 (2)若M，N，E，F分别是，，，的中点，求证：． 4．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 押题猜想十 圆（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【改编题】如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径； 分析有理·押题有据 山东中考出题位置固定，重点考查切线判定、圆周角定理及线段长度计算，常结合三角形相似综合考查，难度中等偏上，属于必考重难点，解题牢记切线证明方法，遇直径构造直角，结合勾股、相似求解，注意定理适用前提条件。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东聊城·一模）如图，以的边AB为直径作圆，过圆心O作，交BC于点E，交圆O于点F，连接BD，已知，点C为的中点． (1)求证：DB为圆O的切线； (2)若，点P为直径AB上的一个动点，求的最小值？ 2．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，为边上一点，已知过点且经过边上的点．连接并延长，交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 3．（2026·山东济南·一模）如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 押题猜想十一 二次函数的综合（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点的坐标为，连接． (1)求该二次函数的表达式及点的坐标； (2)连接，过点作轴于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值： (3)连接，以、为邻边作平行四边形，直线交轴于点，当点落在该二次函数图象上时，求点的坐标。 分析有理·押题有据 山东中考作为压轴必考内容，考查函数解析式、动点最值、存在性问题，综合性最强，涵盖分类讨论、数形结合数学思想，分值高区分度大，答题灵活选用三种解析式，动点问题转化坐标表达，结合几何列式，分类讨论后检验结果。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 2．（2026·天津·一模）已知抛物线(，，为常数，)的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），点，与轴交于负半轴的点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时， ①若存在点，满足，求此时的值； ②若有点，满足，求此时的值． 3．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式，并直接写出点B的坐标． (2)如果点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2，那么我们称点为轴的“亲密点”，求“亲密点”的纵坐标的取值范围． (3)将抛物线，沿直线向右下方平移，得到抛物线，当抛物线经过点B时，直接写出抛物线的顶点坐标． 4．（2026·山东·一模）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C,T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点M和N)．过M,N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g．若，直接写出的长． 押题猜想十二 几何综合探究（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：16min 【新题型】【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中，，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 分析有理·押题有据 近几年山东压轴偏爱矩形正方形线段关系，由特殊到一般类比探究，搭配垂直、旋转模型出题，重点考查推理探究能力，是中考区分题型，解题参照第一问思路方法类比解答后面问题，辅助线做法保持一致，转化边角关系推导结论即可。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 2．（2026·贵州·一模）综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 3．（2026·陕西·一模）按要求解答： (1)【问题提出】如图1，，，连接、交于点，若，则的长为______； (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点在边上，，点是对角线上的动点，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，矩形是某公园的一片花海，水井和入口在边上，现要在边上的点修一个凉亭，沿、修两条石板路，边的中点处是游客服务中心，是一条观光长廊，点在线段上，点在边上，在与的交点处修一个观景台，从观景台向游客服务中心修一条石子路．已知m，m，，且，求石板小路与的长度之和最小时，石子路的长．（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊的宽度均忽略不计） 4．（2026·山西阳泉·一模）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 (1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $