第十章 二元一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材苏科版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 二元一次方程组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B D A B D A D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．1 13. 14. 15. 16. 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分） 【详解】（1）解： 由①，得③ 将③代入②，得 ， 解得，……………………………………1分 将代入③，得 ，……………………………………2分 ∴原方程组的解为；……………………………………3分 （2）解： ，得 ③， ，得 ， 解得，……………………………………4分 将代入③，得 ， 解得，……………………………………5分 ∴原方程组的解为．……………………………………6分 18．（本题8分） 【详解】解：根据题意，得，……………………………………3分 解得，．……………………………………6分 ．……………………………………8分 19．（本题8分） 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解，……………………………………2分 解方程组，得，……………………………………5分 将代入另外两个方程得：，解得，……………………………………7分 ∴．……………………………………8分 20．（本题8分） 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为，……………………………………1分 根据题意，得，……………………………………3分 得：解得：．……………………………………4分 将代入①得：．……………………………………5分 故方程组的解为……………………………………6分 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：．……………………………………7分 故当箭尺读数为时的时间是．……………………………………8分 21．（本题8分） 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积；……………………………………2分 （2）解：由题意，……………………………………4分 解得，……………………………………6分 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为．……………………………………8分 22．（本题8分） 【详解】（1）解：方程， 解得， 当时，， 方程的另一组整数解为， 故答案为：．（答案不唯一）……………………………………3分 （2）解：根据题意，得， 解得，代入，得， 解得， 故m的值为1．……………………………………6分 （3）解：根据题意，得， 解得， 故答案为：．……………………………………8分 23．（本题8分） 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得；……………………………………4分 （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得，……………………………………7分 方程组的解为．……………………………………8分 24．（本题8分） 【详解】（1）解：设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元，依题意得 ∴，解得，； ∴A型汽车进价为万元，B型汽车进价为万元；……………………………………3分 （2）解：设A型汽车购买了a辆，B型汽车购买了b辆，依题意得 整理得． ，b为正整数， ∴是3的倍数． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时， ； 当时，； 综上所述，符合题意的有2种购买方案，分别是第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆．……………………………………6分 （3）解：由（2）可得，共有有2种购买方案，第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆． ∴第一种方案的利润为：（万元）， 第二种方案的利润为：（万元）， ∴第一种方案的利润最大，最大利润为万元．……………………………………8分 25．（本题10分） 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，；……………………………………2分 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得；……………………………………4分 （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：；……………………………………6分 （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：．……………………………………10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 4．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若是关于x、y的方程的一个解，则常数a为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 6．已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 7．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（   ） A．甲的判断正确，乙的判断不正确 B．甲、乙的判断都不正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将方程变形为用含y的式子表示x，那么____． 12．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 13．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 14．若实数，同时满足，，则的值为______． 15．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 16．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）解方程： (1) (2) 18．（本题8分）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 19．（本题8分）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 20．（本题8分）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 21．（本题8分）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 22．（本题8分）已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为 ． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为 ． 23．（本题8分）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 24．（本题8分）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要万元，2辆A型和3辆B型汽车需要万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 25．（本题10分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：1是整式方程；2含有两个不同的未知数；3所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：A、中，含未知数的项次数为2，不满足条件，∴A不符合要求． B、是整式方程，含有两个未知数，且所有含未知数的项次数均为1，满足二元一次方程的定义，∴B符合要求． C、中，是分式，方程不是整式方程，不满足条件，∴C不符合要求． D、不是等式，不属于方程，不满足条件，∴D不符合要求． 2．若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程， ∴，， ∴． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 4．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 5．若是关于x、y的方程的一个解，则常数a为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】把代入方程进行求解即可. 【详解】解：把代入，得， 解得. 6．已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【答案】B 【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可． 【详解】解：观察四个方程组： ∵①中已用直接表示，③中已用直接表示， ∴①③适合选用代入法； ∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元， ∴②④适合选用加减法． 7．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 8．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 9．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程组转化为，结合题意得出，计算即可得出结果． 【详解】解：方程组转化为， ∵关于、的方程组的解是， ∴, ∴． 10．关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（   ） A．甲的判断正确，乙的判断不正确 B．甲、乙的判断都不正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．将方程组的两个方程相加，得出，当的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断不正确；用表示出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案． 【详解】解：， 得：， ， 当的值互为相反数时，， ，故甲判断不正确； 解方程组得：， ，故乙判断正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将方程变形为用含y的式子表示x，那么____． 【答案】 【分析】将含x的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 12．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 13．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【详解】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 14．若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 15．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 【答案】 【分析】先将表格中两组x，y的值代入二元一次方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，确定原方程，再将代入原方程，即可求出表中“？”表示的数． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， 因此原二元一次方程为， 当时，代入得， 解得． 即表中“？”表示的数为． 16．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 【答案】 【分析】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【详解】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： 由①，得③ 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得 ③， ，得 ， 解得， 将代入③，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 18．（本题8分）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． ． 19．（本题8分）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解， 解方程组，得， 将代入另外两个方程得：，解得， ∴． 20．（本题8分）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 21．（本题8分）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 22．（本题8分）已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为 ． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为 ． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)1 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，及其整数解和解的定义，熟练掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． （1）由方程，得到，代入，得到值即可，答案不唯一； （2）根据题意联立，解之代入，即可得到答案； （3）根据题意，得，解之即可． 【详解】（1）解：方程， 解得， 当时，， 方程的另一组整数解为， 故答案为：．（答案不唯一） （2）解：根据题意，得， 解得，代入，得， 解得， 故m的值为1． （3）解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 23．（本题8分）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 24．（本题8分）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要万元，2辆A型和3辆B型汽车需要万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A型汽车进价为万元，B型汽车进价为万元 (2)有2种购买方案，分别是第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆 (3)第一种方案获利最大，最大利润为7.4万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元，由此列式求解即可； （2）设A型汽车购买了a辆，B型汽车购买了b辆，由此列式，并根据题意，代入合适的值计算并比较即可求解； （3）根据各种方案的情况，分别计算出各自的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元，依题意得 ∴，解得，； ∴A型汽车进价为万元，B型汽车进价为万元； （2）解：设A型汽车购买了a辆，B型汽车购买了b辆，依题意得 整理得． ，b为正整数， ∴是3的倍数． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时， ； 当时，； 综上所述，符合题意的有2种购买方案，分别是第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆． （3）解：由（2）可得，共有有2种购买方案，第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆． ∴第一种方案的利润为：（万元）， 第二种方案的利润为：（万元）， ∴第一种方案的利润最大，最大利润为万元． 25．（本题10分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一。 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程是二元一次方程的是() : 1 : A.x-y2=2 B.3x+2y=1 C.-=y+1 2.若关于x,y的方程xm-y”=5是二元一次方程，则m+的值为(). A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.下列方程组中，是二元一次方程组的是() : @o 4,③x+v3④v=3 x+V=2 : A.①② B.①②④ c.③④ D.①②③ x=3 4. 已知二元一次方程ax+y=-1的一个解是{ 则3a-2b-2026的值为() y=-2 O A.-2024 B.-2025 C.-2026 D.-2027 x=-1 5.若 y=2 是关于x、y的方程2x+y+a=0的一个解，则常数a为() : A.0 B.2 C.3 D.4 x= 6.已知二元一次方程组：① -2=1®/-3-2 t-3y=2のJ2x+y=-2 3x+2y=0 y=6+2x 12x-6y=1 解以上四个方程组 : 比较适合的方法是() O A.①②用代入法，③④用加减法 B.①③用代入法，②④用加减法 C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法 : x+y=+2 7.若无论取何值，关于x,y的二元一次方程组 2025x+y=n+2024 都有解，则n=() 汉 K A.2023 B.2025 C.1 D.3 8.我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各 几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步 行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是() 试题第1页（共8页） .: : 命学科网·上好课 -=y-2 3 =y+2 =y+2 =y-2 A. B. 3 C. D. x-9 x-9 -=y 2 (2y 9y 得9 x=2.1 9.若关于x、y的方程组 (ax+by=G的解是 42x+b2y=c2 y=45,则关于x、y的方程组 4x-2)+3弘y=26的 a2(x-2)+3by=2c2 解是() x=4.1 x=4.2 x=6.2 x=6.2 A. B. C. y=4.5 D. y=13.5 y=9 y=3 x-y=3a 10.关于x,y的二元一次方程组 x+3y=2-a’ 甲、乙两人的判断如下，甲：当这个方程组的解x,y的 值互为相反数时，a=-2;乙：无论a取何值，x+2y的值始终不变，则() A.甲的判断正确，乙的判断不正确 B.甲、乙的判断都不正确 C.甲、乙的判断都正确 D.甲的判断不正确，乙的判断正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.将方程x-3y=21变形为用含y的式子表示x,那么x=- 3x+2y=+2 12.己知关于x、y的方程组 2x+3y=3m 的解满足x=y,则m的值是一 x+2y=a-1 13.若关于x,y的方程组 x=y+4 的解满足x与y互为相反数，则a的值是」 14.若实数x,y同时满足x+y=-4,x-y=6,则x'的值为· 15.下表中的每一对x,y的值都是二元一次方程+by=6的一个解，则表中“？”表示的数为 1 0 -2 .2 2 6 /8 10 100 16.三个同学对问题“若方程组 ax+by=c1的解是 x=2 ax+bay=c2 y=3'求方程组 3a,x+2by=6c的解提出各自的 3a2x+2b2y=6c2 想法.甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说： “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你 认为这个题目的解应该是 试题第2页（共8页） 学科网·上好课 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分)解方程： 3x-y=5 8x+9y=16 (1) 5y-2x=1 (2)xy_2 323 18.(本题8分)已知 是关于的=元一次方生组=2台解，求a*网严的值 x=2 x+y=1 3x-4y=2m[2x+5y=9 19.(本题8分)已知关于x,y的方程组 m-by=-4 和bx+=3的解相同，求代数式(3a+b2的值. 试题第3页（共8页） 20.(本题8分)《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭 O 尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间，己 : : 知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18c;供水6小时，箭尺读数为42cm.若开始 记录时是上午8：00，求当箭尺读数为84cm时的时间. : : 浮箭漏示意图 习 : 箭尺 供水壶 : 箭壶 : 接水壶已 米 21.(本题8分)如图，一块长为(3x+3y)cm,宽为(x+2y)cm的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相 : 擗 同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为xcm的长方体状无盖纸盒 游 3x+3y x+2) (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积： (2)若该长方形纸板长为12c,宽为7c,求该长方体纸盒的体积. 世 : :: : 。: : : 试题第4页（共8页） 2x+y=11① 22.(本题8分)己知关于x,y的方程组 x-y=1②· X=2 (1)方程2x+y=11有一组正整数解 请再写出一组正整数解为_· (2)若该方程组的解满足x+y=7,求m的值； x=2 (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为 则正确的m值为 (a-1)+2(b+2)=6 23.(本题8分)解方程组 2(a-1)+(b+2)=9 ··· .: x+2y=6 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可变为 2x+y=9 x=4 a-1=4 b+2=1解得 a=5 解得： y=1 所以 =-1 此种解方程组的方法叫换元法. 3-1+2 b 3+2=3 2气3 … (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： b 2 ax+by=c x=5 (2)【能力运用】己知关于x,y的方程组： 4,x+b,y=c2 的解为 y=3’直接写出关于m、n的方程组 : T5a(m-3)-360+2)=C的解为 5a,(m-3)-3b,(n+2)=c2 : : ·: o : 试题第5页（共8页） 学科网·上好课 24.(本题8分)中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司 针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆4型和2辆B型汽车需要55万元，2 辆A型和3辆B型汽车需要90万元. (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好115万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案. (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在(2)方案中如果全部售出，哪 种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 25.(本题10分)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+y,x⑧y=r-y,其中a,b是常数.例 如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, [3a+2b=-1 已知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a=,b= (2)若x*2y+x⑧y=10,求-y的值： (3)若关于x,y的方程组 x@y=5m的解也满足方程x-y=9,求m的值； x*y=8+m x=12 (4)若关于x,y的方程组 ax*by=G1的解为 =5·则关于xy的方程组 4ax+y)*56(x-)=6的 a4,x⑧b2y=C2 4a2(x+y)⑧5b(x-y)=c2 解为 试题第6页（共8页）学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程是二元一次方程的是（) A.x-y2=2 B.3.x+2y=1 C.1=y+1 D.+5y 2.若关于x,y的方程xm-y=5是二元一次方程，则m+n的值为(). A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.下列方程组中，是二元一次方程组的是() 11 [x+6=13 x+y=15 ① y-x=2 4-3r=3y ② x+y=2(y=2 A.①② B.①②④ C.③④ D.①②③ y=-2则30-2b-2026的值为() x=3 4.已知二元一次方程+by=-1的一个解是 A.-2024 B.-2025 C.-2026 D.-2027 5.若1 y=2 是关于x、y的方程2x+y+a=0的一个解，则常数a为() A.0 B.2 C.3 D.4 x=y 6.已知二元一次方程组：① 62@0®-3y=22x+3 Dy=6+2x④{2x-6v=1解以上四个方程组比 较适合的方法是() A.①②用代入法，③④用加减法 B.①③用代入法，②④用加减法 C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法 mx+y=m+2 7.若无论m取何值，关于x,y的二元一次方程组 2025x+y=n+2024都有解，则n=() A.2023 B.2025 C.1 D.3 8.我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几 何？’其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行， 116 学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是() =y-2 =y+2 =y+2 =y-2 3 3 3 A B C D r-9 =v x-9 =V -9=y +9=y 2 2 2 x=2.1 9.若关于x、y的方程组 「ax+by=C 的解是 ax+b2y=C2 y=45'则关于x、y的方程组 4(x-2)+36y=2c 42(x-2)+3by=2c2 的解 是() [x=4.1 x=4.2 x=6.2 [x=6.2 A. B C. D. y=13.5 y=4.5 y=9 y=3 [x-y=3a 10.关于x,y的二元一次方程 x+3=2-a:甲、乙两人的判断如下.甲：当这个方程组的解x,少的值 互为相反数时，4=-2；乙：无论a取何值，x+2y的值始终不变，则() A.甲的判断正确，乙的判断不正确 B.甲、乙的判断都不正确 C.甲、乙的判断都正确 D.甲的判断不正确，乙的判断正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.将方程x-3y=21变形为用含y的式子表示x,那么x=一 3x+2y=+2 12.已知关于x、y的方程组 2x+3y=3m 的解满足X=y,则m的值是 x+2y=a-1 13.若关于x,y的方程组 的解满足x与y互为相反数，则a的值是 x=y+4 14.若实数x,y同时满足x+y=-4,|x-y=6,则x'的值为 15.下表中的每一对x,y的值都是二元一次方程+by=6的一个解，则表中“？”表示的数为 2 -2 2 6 10 100 16.三个同学对问题“若方程组 {a,x+by=G的解是 x=2 ax+bay=C2 y=3,求方程组 ax+26v=6c的解提出各自的想 3a2x+2b2y=6c2 法.甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能 不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为 这个题目的解应该是 2/6 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分)解方程： 8x+9y=16 「3x-y=5 (1) 5y-2x=1 (2)xy2 (323 x=2 18.(本题8分)已知 是X子的三元一衣系知加=7的能，来侧*网产的做 w+y=1 3x-4y=2「2x+5y=9 19.(本题8分)己知关于x,y的方程组 ax-by=-4 bx+-3的解相同，求代数式(3a+b)2“的值. 和 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(本题8分)《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭 尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间.已 知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm;供水6小时，箭尺读数为42cm,若开始记 录时是上午8：00，求当箭尺读数为84cm时的时间. 浮箭漏示意图 箭尺 供水壶 箭壶 接水壶「 21.(本题8分)如图，一块长为(3x+3y)cm,宽为(x+2)cm的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相 同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为xcm的长方体状无盖纸盒. 3x+3y x+2y (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积： (2)若该长方形纸板长为12cm,宽为7cm,求该长方体纸盒的体积. 4/6 可学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 2x+y=11① 22.（本题8分)已知关于x,y的方程组 r-y=1②· (1)方程2x+y=11有一组正整数解{ x=2 =7请再写出一组正整数解为 (2)若该方程组的解满足x+y=7,求m的值； x=2 (3)若小明在解此方程组时，看错了的符号，而得解为 y=7'则正确的m值为 [(a-1)+2(b+2)=6 23.(本题8分)解方程组 2(a-1)+(b+2)=9 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可变为 x+2y=6 2x+y=9 x=4 y=1·所以 a-1=4 a=5 解得： +2=1,解得 =-1'此种解方程组的方法叫换元法. 2+2-3 (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： ax+by=G1的解 x=5 (2)【能力运用】已知关于x,y的方程组： ax+bay=C2 y=3:直接写出关于m、n的方程组 5a(m-3)-3弧(0+2)=G的解为 5a,(m-3)-3b,(n+2)=c2 516 学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 24.(本题8分)中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针 对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要55万元，2辆A 型和3辆B型汽车需要90万元. (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好115万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案. (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（(2)方案中如果全部售出，哪 种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 25.(本题10分)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by,x⑧y=ar-by,其中a,b是常数.例如， 3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, 3a+2b=-1 已知3*2=-1,281=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a= ,b= (2)若x*2y+x⑧y=10,求x-y的值： [x*y=8+l (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求的值； x☒y=5 (4)若关于x,y的方程组 a4x*by=G1的解为 少=5，侧关于x,y的方程组 x=12 4a(x+y)*56(-)=G的 a2x⑧b,y=c2 4a,(x+y)⑧5b2(x-y)=c2 解为 6/6 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 4．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若是关于x、y的方程的一个解，则常数a为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 6．已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 7．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（   ） A．甲的判断正确，乙的判断不正确 B．甲、乙的判断都不正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将方程变形为用含y的式子表示x，那么____． 12．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 13．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 14．若实数，同时满足，，则的值为______． 15．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 16．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）解方程： (1) (2) 18．（本题8分）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 19．（本题8分）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 20．（本题8分）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 21．（本题8分）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 22．（本题8分）已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为 ． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为 ． 23．（本题8分）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 24．（本题8分）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要万元，2辆A型和3辆B型汽车需要万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 25．（本题10分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $