期中检测必考题型（四）——综合压轴探究（8大考点8类题型）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期中检测必考题型（四）——综合压轴探究（8大考点8类题型） 目录 一、 考点考法易错点 1 二、题型精析 2 【题型1】平行线+角平分线+折叠综合 2 【题型2】二元一次方程组+方案选择 4 【题型3】乘法公式与几何面积综合 5 【题型4】因式分解的综合应用 7 【题型5】平移+几何面积+角度 8 【题型6】三角尺旋转+平行线动态 9 【题型7】整式混合运算+化简求值 11 【题型8】古代数学问题+方程组 11 1、 考点考法易错点 序号 考点 考法 易错点 1 平行线+角平分线+折叠综合 1. 平行线性质+判定联用； 2. 折叠前后角相等； 3. 角平分线分角相等； 4. 分类讨论（点在左或右）. 1. 折叠相等角找错; 2. 分类讨论漏情况; 3. 平角180°用错. 2 二元一次方程组+ 方案选择 1. 先列方程组求单价或单量； 2. 再列二元一次方程求整数解； 3. 找所有方案+最省钱或最大利润. 1. 整数解漏解； 2. 利润或租金公式算错； 3. 忽略“至少 1 件”条件. 3 乘法公式与几何面积综合 1. 完全平方或平方差几何表示； 2. 阴影面积用代数式表示； 3. 公式变形整体代入求值. 1. 面积割补错误； 2. 完全平方漏 2ab； 3. 代数化简不彻底. 4 因式分解的综合应用 1. 简便计算与整除判断； 2. 几何面积化简求值； 3. 与乘法公式互逆运用. 1. 分解不彻底； 2. 符号出错； 3. 整体代入不会用. 5 平移+几何面积+角度 1. 平移作图 + 性质应用； 2. 平移前后面积相等； 3. 利用平移求阴影面积. 1. 平移方向或距离看错； 2. 面积转化不会用； 3. 对应线段找错. 6 三角尺旋转+平行线动态 1. 三角尺固定角度计算； 2. 旋转角度列方程； 3. 平行时求时间 t（分类讨论）. 1. 旋转方向或角度算反； 2. 两种情况漏解； 3. 不会列一元一次方程. 7 整式混合运算+ 化简求值 1. 幂运算+乘法公式混合； 2. 多项式单项式化简； 3. 含参数求值（不含某一项）. 1. 幂运算符号错； 2. 去括号漏乘； 3. 不含某一项即系数为 0. 8 古代数学问题 + 方程组 1. 古文翻译找等量关系； 2. 列方程组求解； 3. 结合实际意义检验。 1. 文意理解错误； 2. 方程列反； 3. 不检验解是否合理. 二、题型精析 【题型1】平行线+角平分线+折叠综合 1.（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 2.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________． 4.（24-25七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 （1）知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． （2）类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【题型2】二元一次方程组+方案选择 1.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 2.（2026·山东聊城·一模）为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“辅助智能体测”系统．该系统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建议．项目组在采购训练用智能跳绳时，发现供应商提供两种优惠方案： 方案一：全部按定价的8折购买． 方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折． 经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元；而如果用方案一的金额按方案二购买，可多买10根．设每根跳绳定价为元，计划购买根（），则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级上·福建莆田·期末）某社区出资100元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本6元，B种每本5元，C种每本4元，其中A种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的方案有______种． 4.（24-25七年级下·浙江温州·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． （1）求和的值． （2）若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． （3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆． 【题型3】乘法公式与几何面积综合 1.（25-26七年级下·四川内江·月考）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的小长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，求每块大长方形的面积． 2.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3.（25-26八年级上·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 4.（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【题型4】因式分解的综合应用 1.（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： （1）如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． （2）类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将因式分解的结果是______． 2.（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 3.（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 4.（2026·河北·模拟预测）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． （1）【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； （2）【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； （3）【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【题型5】平移+几何面积+角度 1.（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． （1）若，则的度数为_____； （2）若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 2.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 3.（25-26七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为__________． 4.（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方形中，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置． （1）用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ （2）用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【题型6】三角尺旋转+平行线动态 1.（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，的对应点分别为，．请直接写出当边时的值． 2.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）2024年2月，“顺遂安康  龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置两盏激光灯（如图所示），灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转.两灯不间断照射；灯先转动2秒，灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是（    ） A．1或6秒 B．8.5秒 C．3或6秒 D．1或8.5秒 3.（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为_______秒时，．（G、H为C、B对应点） 4.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且． （1）如图①，若，当时，求的度数； （2）已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程． （3）若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 【题型7】整式混合运算+化简求值 1.（24-25七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 2.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 3.（25-26七年级上·上海·月考）已知，则___________． 4.（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【题型8】古代数学问题+方程组 1.（25-26七年级上·湖南娄底·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. （1）请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 2.（25-26九年级下·浙江金华·月考）《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·四川成都·期中）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀重为________斤；1只燕重为________斤． 4.（25-26八年级上·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 2或30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测必考题型（四）——综合压轴探究（8大考点8类题型） 目录 一、 考点考法易错点 1 二、题型精析 2 【题型1】平行线+角平分线+折叠综合 2 【题型2】二元一次方程组+方案选择 7 【题型3】乘法公式与几何面积综合 12 【题型4】因式分解的综合应用 16 【题型5】平移+几何面积+角度 20 【题型6】三角尺旋转+平行线动态 23 【题型7】整式混合运算+化简求值 31 【题型8】古代数学问题+方程组 34 1、 考点考法易错点 序号 考点 考法 易错点 1 平行线+角平分线+折叠综合 1. 平行线性质+判定联用； 2. 折叠前后角相等； 3. 角平分线分角相等； 4. 分类讨论（点在左或右）. 1. 折叠相等角找错; 2. 分类讨论漏情况; 3. 平角180°用错. 2 二元一次方程组+ 方案选择 1. 先列方程组求单价或单量； 2. 再列二元一次方程求整数解； 3. 找所有方案+最省钱或最大利润. 1. 整数解漏解； 2. 利润或租金公式算错； 3. 忽略“至少 1 件”条件. 3 乘法公式与几何面积综合 1. 完全平方或平方差几何表示； 2. 阴影面积用代数式表示； 3. 公式变形整体代入求值. 1. 面积割补错误； 2. 完全平方漏 2ab； 3. 代数化简不彻底. 4 因式分解的综合应用 1. 简便计算与整除判断； 2. 几何面积化简求值； 3. 与乘法公式互逆运用. 1. 分解不彻底； 2. 符号出错； 3. 整体代入不会用. 5 平移+几何面积+角度 1. 平移作图 + 性质应用； 2. 平移前后面积相等； 3. 利用平移求阴影面积. 1. 平移方向或距离看错； 2. 面积转化不会用； 3. 对应线段找错. 6 三角尺旋转+平行线动态 1. 三角尺固定角度计算； 2. 旋转角度列方程； 3. 平行时求时间 t（分类讨论）. 1. 旋转方向或角度算反； 2. 两种情况漏解； 3. 不会列一元一次方程. 7 整式混合运算+ 化简求值 1. 幂运算+乘法公式混合； 2. 多项式单项式化简； 3. 含参数求值（不含某一项）. 1. 幂运算符号错； 2. 去括号漏乘； 3. 不含某一项即系数为 0. 8 古代数学问题 + 方程组 1. 古文翻译找等量关系； 2. 列方程组求解； 3. 结合实际意义检验。 1. 文意理解错误； 2. 方程列反； 3. 不检验解是否合理. 二、题型精析 【题型1】平行线+角平分线+折叠综合 1.（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 【答案】操作发现：垂直（或）；垂直（或）； C 解决问题：详见分析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，角平分线的定义，理解题意，熟练掌握折叠的性质，平行线的判定是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质及判定作答即可． 解：操作发现：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是；第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ∵，， ∴， ∴同位角相等，两直线平行 ∵，， ∴， ∴内错角相等，两直线平行 ∴小明画平行线的依据有同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 故答案为：垂直（或）；垂直（或）；． 解决问题：，理由如下： 由操作发现可得，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ 2.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3.（24-25七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________． 【答案】/21度 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．由折叠的性质可得，，，，由平行线的性质可求得，，从而可求得，则有，由对顶角相等得，从而得． 解：由折叠得：，，，， 是长方形，， ， ，， ， ， ， ， 与重合， ， ， 故答案为： 4.（24-25七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 （1）知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． （2）类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】（1）①，②；（2） 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 解：（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 【题型2】二元一次方程组+方案选择 1.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】（1）需甲车型8辆，需车型10辆；（2）共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；方案②运费最少，最少运费是7800元 【分析】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解是解题的关键． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案．根据两种方案得出运费解答即可． 解：（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得， 解得， 答：需甲车型8辆，需乙车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得， 消去得，解得， 因a，b是正整数，且不大于16，得， 且是正整数，解得或， 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 两种方案的运费分别是： ①； ②． 答：共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 方案②运费最少，最少运费是7800元． 2.（2026·山东聊城·一模）为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“辅助智能体测”系统．该系统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建议．项目组在采购训练用智能跳绳时，发现供应商提供两种优惠方案： 方案一：全部按定价的8折购买． 方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折． 经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元；而如果用方案一的金额按方案二购买，可多买10根．设每根跳绳定价为元，计划购买根（），则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种优惠方案，结合题干给出的两个等量关系，分别列出方程，再对应选项选出正确方程组． 解：原计划购买根跳绳，． ∵方案二比方案一节省元， ∴，整理得． ∵用方案一原计划的总金额按方案二购买，可多买根，即共购买根， ∴． 综上，方程组为． 3.（24-25七年级上·福建莆田·期末）某社区出资100元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本6元，B种每本5元，C种每本4元，其中A种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的方案有______种． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买5本种图书时，有3种采购方案；当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买6本种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种． 解：当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 当购买5本种图书时，有3种采购方案； 当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 当购买6本种图书时，有3种采购方案． 此次采购的方案有（种． 故答案为：6 4.（24-25七年级下·浙江温州·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． （1）求和的值． （2）若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． （3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆． 【答案】（1）的值为，的值为；（2）共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；（3）或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键； （1）根据“买辆款和辆款需付款万元，买辆款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论． 解：（1）解：设款的单价为万元，款的单价为万元． 根据题意得： 解得： （2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车， 根据题意得：， 又，均为正整数， 或 共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车； （3）万元， 款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同． 设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆， 款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的， ，即款中没有享受国补的有辆， 根据题意得： 解得： ，， 均为非负整数， 或 款中享受国补的有或辆． 故答案为：或． 【题型3】乘法公式与几何面积综合 1.（25-26七年级下·四川内江·月考）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的小长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，求每块大长方形的面积． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并能从题意中找出等式，设大长方形纸片的长为a，宽为b（），由小正方形（阴影部分）的面积是9，可得，即，由大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为b，可得，即，再求解即可． 解：设大长方形纸片的长为a，宽为b（）， ∵小正方形（阴影部分）的面积是9， ∴，即， ∵大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为b， ∴，即， ∴，解得， ∴小长方形的面积是． 2.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况． 解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形， ∴正方形的边长可以为：，，，四种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用8张） 即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； ，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； ，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意； ，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； ，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； 故选：B． 3.（25-26八年级上·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 4.（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见分析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 解：（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点拨】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 【题型4】因式分解的综合应用 1.（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： （1）如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． （2）类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 解：（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 2.（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 3.（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 4.（2026·河北·模拟预测）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． （1）【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； （2）【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； （3）【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【答案】（1）需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见分析；（2）；（3）12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 解：（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，． 【题型5】平移+几何面积+角度 1.（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． （1）若，则的度数为_____； （2）若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；． 【分析】（）根据平移的性质进行求解即可； （）根据平移的性质，结合三角形面积公式求出结果即可； 过点作于点，根据三角形面积公式进行求解即可． 解：（1）解：根据平移性质可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， 由等面积法可求得， 即点到的距离为． 2.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，一元一次方程的应用，先根据平移的性质得到，分，，三种情况解答即可求解，掌握平移的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形， ∴， 当，即，解得； 当，即，解得； 当，即，解得； 综上所述，的值为或或， 故选：． 3.（25-26七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为__________． 【答案】7 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 解：由平移的性质可知，． ，， ∴， ∴三角形的面积为． 故答案为：． 4.（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方形中，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置． （1）用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ （2）用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了平移的性质，整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键． （1）表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理即可，根据重叠部分的宽为正数求的取值范围； （2）利用平移前后的长方形的面积的和加上两个直角三角形的面积，然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解． 解：（1）解：，向右平移，再向下平移， 重叠部分的长为，宽为， 重叠部分的面积， ， ， 解得， 应满足的条件是：； （2）解：六边形（阴影部分）的面积为， ， ． 【题型6】三角尺旋转+平行线动态 1.（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，的对应点分别为，．请直接写出当边时的值． 【答案】（1）；（2）①6②满足条件的的值为或． 【分析】考查了平行线的性质，旋转动角问题，角平分线的定义等知识， （1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题． （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题． ②分两种情形：如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题．如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 掌握平行线的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 解：（1）解：如图①中，    ， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）①如图②中，    ， ， ， ， ， ． 在旋转过程中，若边，的值为6． ②如图③中，当时，延长交于．        ， ， ， ， ， ， ； 如图③中，当时，延长交于，    ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，满足条件的的值为或． 2.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）2024年2月，“顺遂安康  龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置两盏激光灯（如图所示），灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转.两灯不间断照射；灯先转动2秒，灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是（    ） A．1或6秒 B．8.5秒 C．3或6秒 D．1或8.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，设灯旋转的时间秒，根据灯光束的运动情况得出，分情况，根据平行线的判定，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握平行线的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：设灯旋转的时间秒， 灯光束第一次达到需要（秒）， ，即， 由题意，满足以下条件时，两灯的光速能互相平行， 如图，， ， 此时， 解得：； 如图，， ， 此时或， 解得：或； 综上所述，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是1或8.5秒， 故选：D． 3.（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为_______秒时，．（G、H为C、B对应点） 【答案】3或28/28或3 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用．根据题意可得，，然后分两种情况：当未到达时，当到达返回时，根据平行线的性质，列出方程，即可求解． 解：停止旋转的时间为秒， 设光线旋转时间为t秒，则， 根据题意得：，， 如图，当未到达时，设射线交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当到达返回时，设射线交于点P，此时此时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，光线旋转时间为3或28秒时，． 故答案为：3或28 4.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且． （1）如图①，若，当时，求的度数； （2）已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程． （3）若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】（1）70°；（2）直角三角形；证明见分析；（3）或． 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）延长交于D，根据时间求出，根据补角的定义求出，根据三角形内角和求出，根据平行线的性质求出即可； （2）根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可； （3）延长交于D，根据C在左右分类讨论，根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可． 解：（1）解：延长交于D，如图： ， ， ， ， ， ， ； （2）直角三角形， 证明：， ， ，， ，， ， ， 为直角三角形； （3）延长交于D， 当C在左侧时，如图： ， ， ， ， ， ； 当C在右侧时，如图： ，， ，， ， ， ； 综上所述，或． 【题型7】整式混合运算+化简求值 1.（24-25七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 2.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 解：∵， ∴ 则． 故选：D． 3.（25-26七年级上·上海·月考）已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，解决此题的关键是运用换元思想；先把和看作m和n，已知条件变成了两个数的乘积，根据已知可得两个数的差，进而运用完全平方公式即可得到答案； 解：令，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4.（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 【题型8】古代数学问题+方程组 1.（25-26七年级上·湖南娄底·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. （1）请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】（1）该店有客房间，房客有人；（2）应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 解：（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 2.（25-26九年级下·浙江金华·月考）《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“总人数不变”“车辆数不变”两个核心等量关系，用两种方式表示同一个量，从而列出方程组即可判断． 解：设有辆车，有人， ∵两人坐一辆车，则九人需要步行，即总人数为坐车的人加步行的人， ∴， ∵若三人坐一辆车，则有两辆空车，即实际用车辆， ∴， ∴可列方程组． 故选：C． 3.（25-26八年级上·四川成都·期中）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀重为________斤；1只燕重为________斤． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．根据题意，互换一只雀和一只燕后两边平衡，可得方程；由总重可得方程 ，解方程组即可． 解：设一只雀重斤，一只燕重斤，根据题意得： ， 解方程组得：， 即：雀重斤，燕重斤． 故答案为：；． 4.（25-26八年级上·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 【答案】1只雀重斤，1只燕重斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可． 解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤， 根据题意得：，解得， 即1只雀重斤，1只燕重斤． 2或30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $