精品解析：河南开封市通许县第一高级中学等校2025-2026学年高一下学期联考数学试卷

高一年级数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列物理量中，不是向量的是（ ） A. 力 B. 位移 C. 质量 D. 速度 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义判断求解. 【详解】四个物理量：“质量”、“速度”、“位移”、“力”， “速度”、“位移”、“力”它们既有大小、又有方向为向量， 因此其中不能称为向量的是“质量”. 2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 3. 已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 5. 若向量，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得. 【详解】因为，所以， 所以. 6. 设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标. 【详解】设， 若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为. 因为， 所以. 又，所以. 所以. 即，解得. 所以. 故选：B. 7. 已知在中，，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求出，进而求出，再利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由于在中，， 故，即， 故，结合，得， 故的外接圆半径为. 8. 在中，分别为的内角的对边，为边上一点，满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，进而求出，在中，由余弦定理即可求出 【详解】 由已知，，则， 因为，所以， 又，，代入，解得， 因为为边上一点，满足，所以， 由正弦定理，即，解得，所以， 设，则在中，由余弦定理， 得，解得，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，点，分别是长方形的边，上两点且，，，则下面结论正确的是（ ） A. 当时，是钝角三角形 B. 若，，则的值是 C. 当时，的面积最小值是 D. 当时，向量数量积的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求出向量或点的坐标，根据数量积的符号判断A，根据数量积的坐标运算判断B，根据三角形的面积利用配方法判断C，根据向量数量积的坐标运算，配方后判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， 当时，，，，， 所以，所以为钝角，故A正确； 当，时，， ，则，故B错误； 当时，， ，即，， 所以 ，当时，有最小值，故C正确； 当时，，，， 则，故当时，的最小值是，故D正确. 故选：ACD 10. 在中，角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，角的平分线交于点，则 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A；由已知条件结合正弦定理可推出，利用三角恒等变换公式化简可得结论；对于B，利用余弦定理进行判断即可；对于C，由条件可推出，再利用等面积法即可求得；对于D，由，结合正弦定理可得，结合可推出，进而根据为锐角三角形，确定角B的范围，即可求出的取值范围. 【详解】由于，利用正弦定理得， 而， 又，故， 结合,则可知，可得或， 即或（舍），选项A正确； 由余弦定理知，代入得， 即，选项B正确； 若，由得， 从而， 由，得， 从而，即， 解得，选项C错误； 对于D，由上面分析知， 因为，两边同除以，所以， 因为为锐角三角形，故， 所以，设， 则，即可设为，该函数在上单调递增， 则，即，选项D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11. ____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量运算法则，化简整理即可. 【详解】由题意. 12. 在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是_____. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，结合向量的几何意义可得，确定点的轨迹，进而求出的最小值. 【详解】在直线上取点，令，不等式， 依题意，是点与直线上任意点距离的最小值，则， 点在以为直径的圆上（除点外），当与圆相切时，最大，最小， 令，则，圆半径，， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）分别求与的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）1， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可. （2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值. 【小问1详解】 . . 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 15. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， （1）若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） （2）求证:山高. 【答案】（1） （2） 在中, . 在中,根据正弦定理 ， 所以山高为. 【解析】 【分析】（1）由题意利用坡面的坡比的定义计算可得；（2）求得的的长度和正弦定理可求得山的高度. 【小问1详解】 坡面的坡比为 . 【小问2详解】 略. 16. 在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． （1）试用，表示向量； （2）在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【小问1详解】 设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； 【小问2详解】 由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解； （2）①由正弦定理得，利用三角形的面积公式，列出方程，求得的值，结合余弦定理，即可求解；②利用正弦定理，求得的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为， 可得， 所以，即 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：①因为，由正弦定理得， 所以的面积为 又因为的面积为，可得，解得，则， 由余弦定理得，所以； ②由正弦定理，可得， 因为，可得为锐角，所以， 则， ， 又因为，所以. 18. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列物理量中，不是向量的是（ ） A. 力 B. 位移 C. 质量 D. 速度 2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 5. 若向量，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 在中，分别为的内角的对边，为边上一点，满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，点，分别是长方形的边，上两点且，，，则下面结论正确的是（ ） A. 当时，是钝角三角形 B. 若，，则的值是 C. 当时，的面积最小值是 D. 当时，向量数量积的最小值是 10. 在中，角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，角的平分线交于点，则 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11. ____. 12. 在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是_____. 13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）分别求与的值； （2）若，求的值. 15. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， （1）若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） （2）求证:山高. 16. 在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． （1）试用，表示向量； （2）在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 18. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $