第7章 相交线与平行线易错重难提升专练-【重点班提分练】2025-2026学年七年级下册数学同步练习册（人教版·新教材）

第七章相交线与平行线 易错重难 提升专练 练易错 易错点3》不能正确运用平移的性质而 出错 易错点》不能正确理解垂线及垂线段 求阴影部分的面积时，若直接计算比 的概念 较烦琐，可采用平移等转化方 法，使解题过程更简便 直线外一点到这条直线的垂线段的长 度，叫作点到直线的距离.这个概念容易 被误解为“直线外一点到这条直线的垂线 段，叫作点到直线的距离”或“直线外一 3.如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移 点到这条直线的垂线的长度，叫作点到直 得到直角三角形DEF,AB=14cm,BF= 线的距离” 21 cm,DH=7 cm,EC=7 cm. 1.下列说法： ①如果两条直线相交所成的四个角中有 个角是直角，那么这两条直线互相垂直； ②一条直线的垂线有无数条： B ③空间内，过一点有且只有一条直线与已 (1)求平移的距离（即BE的长度）； 知直线垂直； (2)求平移后图中阴影部分的面积. ④如果两条直线相交所成的四个角中有两 个角相等，那么这两条直线互相垂直， 其中，说法正确的是 .（填序号) 易错点2>》忽略平行这一条件是否存在 在没有给定两条直线平行这一条件时， 同位角、内错角、同旁内角的数量关系是 不确定的 2.如图，已知两条直线1，与12被第三条直线 练重难 1所截，下列等式一定成立的是( 重难点1》 “三线八角” 要识别一对角是由哪两条直线被第三 条直线所截而成的角，需从组成角的两边 入手：两个角共线的边所在的直线就是 截线，另外两边所在的直线就是两条被截 A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 线.确定了被截线，就可以根据平行线的判 C.∠2+∠4=180°D.∠1+∠4=180° 定定理判断是哪两条直线平行. 23 重点班提分练数学七年级下册 4.如图，下列推断正确的是 ( (3)如图3，若∠MAC的平分线与∠CBE 的平分线所在的直线相交于点D,求 出∠ACB与∠ADB之间的数量关系. D A.因为∠1=∠4，所以AD∥BC B.因为∠2=∠3，所以AB∥CD C.因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥CD D.因为∠B+∠3+∠4=180°，所以AD∥BC 5.如图，已知直线a∥b,且直线a,b被 直线c所截，有以下结论：①∠1=∠2； ②∠1=∠4；③∠2=∠3；④∠3+∠4= 180°.其中正确的结论有 ( 7.中考新角度综合与实践(1【问题探究】 如图1，AB∥CD,点G,H分别在 直线AB,CD上，点P是直线AB, CD之间一点，连接PG,PH.当点 P在直线GH的左侧时，试说明 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ∠GPH=∠AGP+∠CHP; 重难点2》与平行线的性质有关的探究 (2)【变式】如图2，将(1)中的点P 性问题 移动到直线GH的右侧，其他条件不 变，试猜想∠GPH,∠AGP,∠CHP 在解决平行线相关问题时，若无法直 接推导角的关系或两条直线的位置关系， 之间的数量关系，并说明理由； 通常可以借助辅助线解题.辅助线的作法需 （3)【问题迁移】如图3，AB∥CD,若点P 根据已知条件确定，辅助线的添加既能产 在AB的上方，则∠GPH,∠AGP,∠CHP 生新的条件，又能将新条件与题目原有的 之间有何数量关系？请说明理由 条件联系起来， 6.已知MN∥EF,C为两直线之间一点， M MA H D D C 图1 图2 图3 E B F E B 图1 图2 图3 (1)如图1，∠MAC的平分线与∠EBC 的平分线相交于点D.若∠ACB= 100°，求∠ADB的度数； (2)如图2，若∠MAC的平分线与∠EBC 的平分线相交于点D,猜想∠ACB与 ∠ADB有何数量关系？并说明理由： 24丙种图形所用铁丝的长度为2a+2b,故三种 图形所用铁丝一样长. 7.解：如图，连接AC,DE. 由题意可知，将线段AB平移至线段DC, ∴.AB∥CD,AD=BC,AD∥BC, .S三角形E=S三角形c=S三角形C .AF 5 EF=3, 、角能比=乏，、三彩业=乏 小S角形Bc3'S三角能mr3 设S三角形Bc=3a,S三角形Der=3b,则S三角形Ac=5a, S三角形r=5h. S三角形DE=S三角形ADC, ∴.3b+5b=5b+5a, 6=5 a. S三角形ADP+S三角形EFc=34, 30+3a=34 5b+3a=25m 0=34, .a=3,.b=5, S三角形Ec=9,S三角形AFc=15,S三角形ADF=25, S三角形ABc=S三角形c+S三角形Bc=15+9=24, S三角形ADc=S三角形DF+S三角形1Fc=25+15=40, .S三角形BC=S三角形ADc=40, ·.S三角形ABB=S三角形Bc+S三角形ABc=40+24=64. 当EH的最小值为12时，EH⊥AB, 六S0En=64=号4B×12. AB=32 , CD=AB=32 8.B:三角形ABC沿BC方向平移3cm得到 三角形DEF,∴.DF=AC,AD=CF=3cm, ∴.四边形ABFD的周长=三角形ABC的周 长+AD+CF=16+3+3=22(cm). 9.13,·将三角形ABC沿BC方向平移acm (a<6),得到三角形DEF,∴.AD=BE,AB= DE,∴.阴影部分的周长=AD+EC+DE+ AC=BE+EC+AB+AC=BC+AB+AC=6+ 4+3=13(cm). 10.C由题意得，(3+6)×2=18(m2). 11.B:将长方形ABCD先向右平移2个单位 长度，再向上平移2个单位长度，.长方形 ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分的长 为9-2=7(cm),宽为6-2=4(cm),则阴 影部分的面积是9×6-7×4=26(cm2). 12.解：.把∠AOB沿着直线MN平移 至∠CPD, .∴.BO∥DP,∴.∠BON=∠DPN=40°. .·∠AOM+∠AOB+∠BON=180°， .∴∠AOB=180°-∠BON-∠AOM=180°- 40°-40°=100° 13.解：(1).·三角形DEF由三角形ABC沿BC 方向平移得到， ∴.∠2=∠F=32 又∠B=80°， ∴.∠A=180°-∠2-∠B=180°-32°- 80°=68°. (2)由平移可知，EF=BC, ∴.EF-EC=BC-EC,即CF=BE. 又BC=5,EC=3, ∴.BE=BC-EC=5-3=2, ∴.CF=BE=2. 14.解：(1)如图，三角形A'B'C即为所求作. -C- (2),三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C, ∴.AB∥A'B',∴.∠B'A'B=∠ABA'=95 15.解：(1)如图所示.（答案不唯一） (2)S1=b(a-1),S2=b(a-1),S3=b(a-1). (3)猜想：依据前面的有关计算，可以猜想 草地的面积仍然是b(a-1).理由如下： 将左侧的草地向右平移1个单位长度，得到 一个新长方形.在新得到的长方形中，其宽 仍然是b,而长变成了a-1,所以草地的面 积是b(a-1). 易错重难提升专练 1.①②①如果两条直线相交所成的四个角中 有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直， 说法①正确；②一条直线的垂线有无数条，说 法②正确：③在同一平面内，过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直，故说法③错误； ④两条直线相交所成的四个角中有两组对顶 角，而对顶角相等，不足以证明这两条直线互 相垂直，必须是两个邻角相等，才能证明这两 条直线互相垂直，故说法④错误. 2.D∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错 角，∠2与∠4是同旁内角，由平行线的性质 可知，选项A,B,C成立的前提条件为l1∥L2, 故选项A,B,C不一定成立.∠1与∠4是邻 补角，∴.∠1+∠4=180°，故选项D一定成立. 3.解：(1)由平移的性质，得BE=CF, 设BE=CF=xcm. ·.·BE+EC+CF=BF ∴.x+7+x=21, 解得x=7, .∴.平移的距离（即BE的长度）是7cm. (2)由平移的性质，得DE=AB=14cm,三角 形ABC的面积=三角形DEF的面积， .∴.HE=DE-DH=14-7=7(cm), .梯形ABEH的面积=2×(AB+E)×BE= 2×(14+7)×7=73.5(cm2). 又阴影部分的面积=三角形DEF的面积- 三角形CEH的面积=三角形ABC的面积- 三角形CEH的面积=梯形ABEH的面积， ∴.平移后题图中阴影部分的面积为73.5cm2. 4.C 选项 分析 正误 A 由∠1=∠4只能推出AB∥CD × 由∠2=∠3，只能推出AD∥ B BC ∠BAD+∠D=180°，根据 “同旁内角互补，两直线平 行”，可以推出AB∥CD 由∠B+∠3+∠4=180°， D 只能推出AB∥CD 5.Ca∥b,.∠1=∠4，∠2=∠4，∠3+ ∠4=180°.·∠1和∠2是对顶角，∴.∠1= -12 ∠2，根据现有条件无法得到∠2=∠3，∴.正 确的结论是①②④，共有3个。 6.解：(1)如图1，过点C,D分别作CG∥MN, DH∥MN. .MN∥EF, ∴.MN∥CG∥DH∥EF, .∠1=∠ADH,∠2= DE H ∠BDH,∠MAC=∠ACG,E B ∠EBC=∠BCG. :∠MAC的平分线与 图1 ∠EBC的平分线相交于点D, ∠1=3∠Mc=3∠A0c,∠2=74Bc= cG. LADB=(LACG+LBCG)-LACB. .∠ACB=100°， ∴.∠ADB=50°. (2)LA0B=180°-7∠ABc N G 理由如下： 2 如图2，过点C,D分别作E B F CG∥MN,DH∥MN. .MN∥EF, 图2 ∴.MN∥CG∥DH∥EF, ∴.∠1=∠ADH,∠2=∠BDH,∠NAC= ∠ACG,∠FBC=∠BCG. .·∠MAC的平分线与∠EBC的平分线相交 于点D, L1=2LMC,L2=3∠LEBC. ∴.∠ADB=∠ADH+∠BDH=∠1+∠2= 2(∠MC+∠BC)=2（180-LNMC+ 180-∠FBC)=2(360°-LACB). 即∠ADB=180°-2∠ACB. (3)如图3，过点C,D分MA 别作CG∥MN,DH∥MN. .MN∥EF, G-Cp E B☑ .MW∥CG∥DH∥EF, 2 D …H万 ∴.∠1=∠ADH,∠2= 图3 ∠BDH,∠NAC=∠ACG,∠FBC=∠BCG '∠MAC的平分线与∠CBF的平分线所在 的直线相交于点D, ALI=∠DAc=2∠C,22=LPHF ∠PMC=FBC, .∠ADB=360°-∠DAC-(180°-∠PHC)- ∠ACB=360°-7∠MC-(180 3∠FBC)-∠ACB=360°-3(180- LAcG)-(180°-7∠BcG)-∠ACB=90- 2LACB. 即∠ADB=90-3∠ACR 7.解：(1)如图1，过点P作PE∥AB, ∴.∠AGP=∠GPE. ·AB∥CD, .PE∥CD, ∴.∠CHP=∠HPE. C H D .·∠GPH=∠GPE+∠HPE, ∴.∠GPH=∠AGP+∠CHP. 图1 (2)∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°.理由 如下： 如图2，过点P作PF∥AB, ∴.∠AGP+∠GPF=180°. .AB∥CD, CH D ∴.PF∥CD, ∴.∠FPH+∠CHP=180°， 图2 ∴.∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP=360°. .·∠GPH=∠GPF+∠FPH, ∴.∠AGP+∠GPH+∠CHP=360° (3)∠GPH=∠AGP-∠CHP.理由如下： 如图3，过点P作PM∥AB, ∴.∠AGP=∠MPG. AB∥CD, ∴.PM∥CD ∴.∠CHP=∠MPH. C H D .·∠GPH=∠MPG-∠MPH, ∴.∠GPH=∠AGP-∠CHP. 图3 专题1“三线八角”模型 1.B∠2的同位角有∠1，∠FAC,∠4，共3个 2.（1)证明：，∠CMG=∠FMN,∠EWC+ ∠CMG=180°， ∴.∠ENC+∠FMN=180°， ∴.ED∥FG,∴.∠2=∠D. 又AB∥CD,∴.∠3=∠D, ∴.∠2=∠3. (2)解：AB∥CD ∴.∠1+∠ACB+∠A=180°，∠B=∠1. 又∠A=∠1+60°，∠ACB=50°， .∠1+50°+∠1+60°=180°， ∴.∠1=35°， ∴.∠B=∠1=35 3.解：AB∥DE,∴.∠ABD=∠BDE. :AB∥CF,∴.∠ABD=∠BFC. :AD∥BC,∴.∠ADB=∠CBD. :AD∥EF,∴.∠ADB=∠DFE, ∴.∠ABD=∠BDE=∠BFC,∠ADB= ∠CBD=∠DFE. .∠A=180°-∠ABD-∠ADB,∠C=180°- ∠BFC-∠CBD,∠E=18O°-∠BDE-∠DFE, ∴.∠A=∠C=∠E, .该零件合格。 专题2数学思想在相交线与平行线 中的应用 1.(1)证明：.CD⊥AB,FE⊥AB, .∴.∠ADC=∠AEH=90°、 .EF∥DC,∴.∠AHE=∠ACD. :∠ACD+∠F=180°，∴.∠AHE+∠F=180. ,∠AHE+∠EHC=180°，.∠EHC=∠F, ∴.AC∥FG. (2)解：设∠BCD=2x,∠ACD=3x. 由(1)知，AC∥FG, ∴.∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x. ,∠F=3∠G,.∠F=15x :∠ACD+∠F=180°， .3x+15x=180°，∴.x=10°， ∴.∠BCD=2x=20°. 2.1196经过平移变换后，草坪覆盖青草的面 积可以转化为题图2中空白部分长方形的面 积，.S章坪覆盖青=(50-4)×(30-4)=1196. 3