第六章 圆周运动 复习学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理导学案以“圆周运动”为核心，围绕线速度、角速度、向心力等概念及应用，构建“基础概念-规律应用-问题解决”递进式学习路径，引导学生从定义辨析到生活实例分析，系统建构运动和相互作用观念。 亮点在于融合科学探究与科学思维，通过向心力演示器实验、绳/杆模型临界问题分析等任务，结合火车转弯、汽车过拱形桥等生活案例，培养学生模型建构和科学推理能力。配备对点例题与分层练习，为教师单元复习提供完整支撑，促进学生深度学习与能力提升。

STUDY 6：圆周运动 1、 对点解析 1.圆周运动、线速度、匀速圆周运动、角速度、周期，频率与转速 （1） 圆周运动的定义 运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。 （2）线速度 ①定义： 做圆周运动的物体在很短一段时间△t内通过的弧长△s与这段时间之比叫作线速度，用符号v表示。 ②表达式：v=单位：m/s（矢量） ③物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量，当△t足够小时，其物理意义与瞬时速度的物理意义相同。 （3）匀速圆周运动 ①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 ②运动性质：由于匀速圆周运动的线速度方向时刻都在变化，故匀速圆周运动是一种变速曲线运动。 →tips 1.匀速圆周运动中的“匀速”指的是线速度的大小(速率)不变，匀速直线运动中的“匀速”指的是速度的大小和方向都不变，两者含义不同。 2.匀速圆周运动是线速度大小不变而方向时刻变化的圆周运动，因而严格地说，应该叫“匀速率圆周运动”。 3.抛体运动由于加速度方向、大小均恒定，所以属于匀变速曲线运动 （4）角速度 ①定义：做圆周运动的物体与圆心的连线扫过的角△θ与所用时间△t之比叫作角速度，用符号ω表示，如图所示。 ②表达式：ω=单位：rad/s（矢量） ③物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。 （5）周期、频率和转速 周期 频率 转速 定义 做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间 做匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数 物体转动的圈数与所用时间之比 符号 T f n 单位 秒(s) 赫兹(Hz) 转每秒或转每分(r/s或r/min) 公式 （6）各物理量间的换算： （7）常见的传动装置 ①同轴传动特点：A、B两点角速度大小、周期和频率相等 规律：ωA=ωB ;vA:vB=RA:RB ②齿轮传动特点：A、B两点线速度大小相等 规律：vA=vB;ωA:ωB=RB:RA ③皮带传动特点：A、B两点线速度大小相等 规律：vA=vB;ωA:ωB=RB:RA ④摩擦传动特点：A、B两点线速度大小相等 规律：vA=vB;ωA:ωB=RB:RA 例1(多选)在如图所示的齿轮传动装置中，三个齿轮的半径之比为1:2:3,当齿轮转动时，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点 （ ） A.线速度大小之比为1:1 B.角速度大小之比为1:3 C.周期之比为3:1 D.转速之比为3:1 例2如图所示，一条不可伸长轻绳，长为L,一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在桌面上做半径为R、角速度为w的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动.则小球做匀速圆周运动的线速度大小为 （ ） A.ω B.ωL C.ωR D.ω 例3盾构隧道掘进机简称盾构机，是一种隧道掘进的专用工程机械.如图为我国最新研制的“聚力一号”盾构机的刀盘，其直径达16 m,转速为5r/min,下列说法正确的是 （ ） A.刀盘工作时的角速度为10πrad/s B.刀盘边缘的线速度大小约为8m/s C.刀盘旋转的周期为12 s D.刀盘工作时各刀片末端的线速度均相同 2.向心力、向心加速度 （1）向心力 ①概念：做圆周运动的物体一定受到指向圆心的力的作用，这个力称为向心力。 ②方向：向心力的方向总是沿着半径指向圆心且与线速度方向垂直。 ③作用效果：向心力对物体不做功，只改变线·速度的方向，不改变线速度的大小 ④来源分析： Ⅰ.物体只要做圆周运动，就一定需要向心力。 Ⅱ.向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等提供，也可以由某个力的分力或某几个力的合力提供。 Ⅲ.匀速圆周运动所需的向心力由物体所受合力提供。 (1)如图，有一表面光滑的木板，质量为m的小球在上面做匀速圆周运动，此时向心力Fn大小等于细绳的拉力T (2)如图，在一竖直平面内，质量为m的小球连接一细杆在平面内做匀速圆周运动，此时向心力Fn为小球所受重力G和杆对小球的弹力F的合力 例1(多选)关于向心力，下列说法正确的是 （ ） A.物体由于做圆周运动而产生向心力 B.向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小 C.做匀速圆周运动的物体的向心力是恒定的 D.做匀速圆周运动的物体所受各力的合力提供向心力 例2下列关于向心力的说法中，正确的是 （ ） A.向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，向心力是一个恒力 B.向心力与重力、弹力、摩擦力一样，是一种特定的力，它只有在物体做圆周运动时才产生 C.向心力既能改变物体运动的方向，又能改变物体运动的速度大小 D.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力，也可以是这些力中某几个力的合力 （2）向心力的大小 ①实验目的和原理 Ⅰ.实验目的：探究向心力大小F与质量m、角速度ω和半径r之 间的关系。 Ⅱ.实验器材：向心力演示器、小球等。 Ⅲ.实验原理：如图所示为向心力演示器示意图，皮带分别套在 塔轮2和3的不同圆盘上，转动手柄使长槽和短槽分别随变速 塔轮匀速转动，两个槽内的小球分别以不同的角速度做匀速圆 周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了向心力，小球对挡板 的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露 出标尺，根据标尺上露出的红白相间的等分格，可粗略计算出 两个小球所受向心力的比值。 ②实验过程 ③结论：向心力的大小主要有以下两个计算公式 Fn=m Fn=mω2r 例1如图所示，花式摩托艇表演中；摩托艇以速度v在海面上做匀速圆周运动，轨迹半径为r,摩托艇的质量为M,人的质量为m,重力加速度为g,空气阻力不计.下列说法正确的是 （ ） A.水对摩托艇的作用力方向始终指向圆心 B.水对摩托艇的作用力方向始终竖直向上 C.摩托艇对人的作用力大小为mg D.摩托艇对人的作用力大小为 例2(多选)如图所示，长为L的悬线固定在0点，在0点正下方有一钉子C,OC长为，把悬线另一端的小球(可视为质点)拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球 （ ） A.线速度突然增大为原来的2倍 B.角速度突然增大为原来的2倍 C.向心力突然增大为原来的2倍 D.所受悬线的拉力突然增大为原来的2倍 （3）变速圆周运动的处理方法 ①概念：物体沿着圆周运动，它的线速度大小不断改变，这种运动称为变速圆周运动。 ②受力特点：做变速圆周运动的物体所受合力F并不指向圆心，合力F可分解成互相垂直的两个分力，即跟圆周相切的分力F₁和指向圆心的分力Fn其中F1与速度方向在一条直线上，改变速度的大小；Fn与速度方向垂直，改变速度的方向。 （4）一般的曲线运动及处理方法 ①概念：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动 ②处理方法： Ⅰ.将曲线分割成许多极短的小段，每一小段曲线都可以看作一小段圆弧，这样，物体在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的，我们用曲率半径r来表示圆弧的弯曲程度。如图中的r₁、r₂分别为A、B两点的曲率半径，可见，曲率半径r越小，弯曲程度越大。 Ⅱ.将物体所受的合力沿曲线的切线方向和法线方向进行分解，沿切线方向的分力使物体加速或减速，沿法线方向的分力提供物体做圆周运动所需的向心力，此时有Fn=m=mω2r （5）向心加速度 ①向心加速度方向的确定 物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心。根据牛顿第二定律可知，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同。因此，物体做匀速圆周运动时的加速度总是指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 ②向心加速度的物理意义 向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量。 ③向心加速度的大小 根据牛顿第二定律F=ma和向心力表达式Fn =m =mω2r，可得向心加速度的大小an= =ω2r 例1如图所示，狐狸沿固定直线以恒定速率v₁逃跑，直线外一猎犬以恒定速率v₂追击，运动方向始终对准狐狸。初始时两者相距d,两者连线方向与狐狸逃跑线路垂直，此时猎犬的加速度为 （ ） A. B. C. D. 例2以前，人们通过转动轱辘用水桶从水井里向上提水，如图所示。其模型可简化为：一个可绕圆心轴线转动的圆柱体上缠绕一根轻质细绳，圆柱体半径为R,质量为m的小物体P固定在细绳末端。现在把P由静止释放，物体P以加速度a₀做匀加速运动，重力加速度为g,下列说法正确的是 （ ） A.圆柱体转动的角速度与时间成正比增加 B.圆柱体边缘上一点的向心加速度与时间成正比增加 C.在P下降距离L时，圆柱体转动的角速度大小为 D.在P下降距离L时，圆柱体边缘上一点的向心加速度大小 例3(多选)若将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受到与冰面夹角为θ(蹬冰角)的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为R,重力加速度为g.以下说法正确的是 （ ） A.冰面对运动员的作用力与重力大小相等 B.运动员转弯时速度的大小为 C.若运动员转弯速度变大，则需要减小蹬冰角 D.运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变 3.生活中的圆周运动 （1）火车转弯 ①火车车轮的结构特点 火车的车轮有突出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有突出 轮缘的一边在轨道的内侧，如图所示，这种结构的特点有助于稳 定火车运动的轨迹。 ②火车转弯时向心力的来源分析 Ⅰ.若转弯时内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车 的向心力由外轨对车轮轮缘的弹力提供，由于火车的质量 很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。 Ⅱ.若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶 速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力由重力mg 和支持力FN的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图 ③对火车转弯时的速度分析 设转弯处的半径为R,行驶的火车质量为m,两轨所在平面与水平面之间的夹角为θ。 对火车进行受力分析有Fn=mgtanθ 又由向心力公式可得Fn =m 所以v0= 由于铁轨建成后，R、θ的值是确定的，火车转弯所需要的向心力几乎完全由重力和支持力的合力提供，此时火车转弯的车速是一个定值，即规定速度。 Ⅰ.当火车转弯速度v=v0时，轮缘对内外轨均无侧向压力。 Ⅱ.当火车转弯速度v>v0时，外轨道对轮缘有向里的侧向压力。 Ⅲ.当火车转弯速度v<v0时，内轨道对轮缘有向外的侧向压力。 例如图所示，为了测量列车通过一圆弧形弯道时在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一小球(可视为质点)用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率v通过该弯道时，发现小球稳定时轻绳与竖直方向夹角为α。已知弯道处的铁轨路面与水平面间夹角为θ(θ<α),空气阻力不计，重力加速度为g。则 （ ） A.列车转弯半径大小为,列车车轮挤压内侧铁轨 B.列车转弯半径大小为,列车车轮挤压外侧铁轨 C.列车转弯半径大小为,列车车轮与铁轨之间无侧向挤压 D. 列车转弯半径大小为 列车车轮与铁轨之间无侧向挤压 （2）汽车转弯 ①水平路面上转弯 如图所示，汽车在水平路面上转弯时，受到重力、支持力和摩擦力作用，所需向心力由路面对车的静摩擦力提供。 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则有Ff =m 当静摩擦力达到最大值时，汽车转弯的速度也达到最大值， 因为Ffm=μmg, 则最大速度vm= 所以车辆转弯的安全速度v≤vmax= ②外高内低斜面式弯道转弯 高速公路、赛车赛道的转弯处设计得外高内低，目的是减小转弯产生的摩擦力对车轮的损坏，使汽车的重力与支持力的合力提供汽车转弯时所需的向心力，如图所示。 由Fn=mgtanθ=m 规定速度v0=,此时路面与车辆间恰无摩擦力。 若车速v>,则车辆受到的静摩擦力沿路面斜向下； 若车速v<,则车辆受到的静摩擦力沿路面斜向上。 例如图所示，一质量为2.0×10³kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×10⁴N,当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是 （ ） A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B.汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×10⁴N C.汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑 D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s² ③汽车过拱形桥 Ⅰ.汽车通过拱形桥 (1)向心力的来源分析 质量为m的汽车在桥上运动经过最高点时，汽车受到重力G及桥对汽车的 支持力Fɴ,其合力提供向心力 G-FN=m (2)临界情况讨论 分析可知，当汽车通过拱形桥的速度v越大，汽车做圆周运动所需的向心力越大，则桥面对汽车提供的支持力越小。当桥面对汽车的支持力为0时，汽车会“飞出”拱形桥。此时速度vmax= 故汽车通过拱形桥时应低速行驶。 Ⅱ.汽车通过凹形路面 (1)向心力的来源分析 质量为m的汽车经过凹形路面最低点时，受重力G及路面对汽车的支持 力Fɴ,其合力提供向心力。 FN-G=m (2)临界情况讨论 分析可知，当汽车通过凹路面的速度v越大，汽车做圆周运动所需的向心力越大，则路面对汽车提供的支持力越大。这样的话，路面对轮胎的压力就会越大。所以汽车通过凹路面的速度v越大，汽车爆胎的风险也就越大，汽车通过最低点时最容易爆胎。 例1一汽车通过拱形桥顶时速度大小为10 m/s,车对桥顶的压力为车重的,要使汽车能安全通过桥面(汽车不离开桥面),车速不能超过 （ ） A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s 例2如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8m顶部水平的高台，接着以v=3 m/s的水平速度离开平台，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑.A、B为圆弧两端点，其连线水平.已知圆弧轨道半径为R=1.0 m,人和车的总质量为180kg,特技表演的全过程中，阻力忽略不计.重力加速度g=10m/s²,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6. (1)求从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s; (2)求人和车运动到圆弧轨道A点时对轨道的压力大小； (3)若人和车运动到圆弧轨道最低点0时速度v'= m/s,求此时人和车对轨道的压力大小. （3）离心运动 ①概念： 做圆周运动的物体，在合外力突然消失或合外力不足以提供所需的向心力时，物体沿切线飞出去或逐渐远离圆心的运动叫作离心运动。 ②物体做离心运动的条件与轨迹： ③物体做“离心运动”的实质 离心运动实质是物体惯性的表现，并非是“离心力”作用的结果，高中不研究“离心力”。做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋势，之所以没有飞出去，是因为受到力的作用。在合外力突然消失或不足以提供所需的向心力的情况下，物体将做离心运动。 例1关于离心运动，下列说法中正确的是 （ ） A.物体突然受到离心力的作用，将做离心运动 B.做匀速圆周运动的物体，当提供的向心力突然变大时将做离心运动 C.做匀速圆周运动的物体，只要提供的向心力的数值发生变化，就将做离心运动 D.做匀速圆周运动的物体，当提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动 例2滚筒洗衣机脱水时，筒在竖直面内做匀速圆周运动，筒壁有很多漏水孔，脱水时衣物上的水从漏水孔中被甩出，从而达到脱水目的.已知筒的半径r=0.5m,潮湿衣物的质量m=3 kg,脱水时，衣物随筒一起做匀速圆周运动，且受到筒壁最大作用力为mg，a、b分别是衣物运动过程的最高点和最低点，如图所示.已知重力加速度g=10m/s²,则衣物 （ ） A.脱水的原因是因为受到离心力作用 B.运动到最高点a时，脱水效果最好 C.运动的角速度大小为5 rad/s D.通过与圆心等高点时对滚筒的作用力大小为37.5N 二、对点专练 1.常见的传动装置 例1(多选)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，轮2与轮3是同轴固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比 （ ） A.线速度大小之比为1:4 B.角速度之比为1:4 C.向心加速度大小之比为8:1 D.向心加速度大小之比为1:8 变1某高级中学开展学生运动会，其中一个集体项目“旋风跑”如图所示，假设6人一组共同抬着竹竿一起以最大速度跑向标志杆，到标志杆前，一起以标志杆为圆心在水平面内转一圈，继续向下一个标志杆绕圈，分别绕完3个标志杆后，进入到对面接力区域，将竹竿交给下一组参赛选手，直到全队完成比赛.在一起匀速绕圈过程中 （ ） A.最外侧的同学的线速度最大 B.最外侧的同学的角速度最大 C.最外侧同学的向心加速度最小 D.最内侧同学的向心力一定最小 变1.1如图所示，一光滑轻杆水平放置，左端固定在竖直转轴AB上，a、b为两个可视为质点的相同小球，穿在杆上，并用相同长度的细线分别将a与转轴上的0点连接，b球与a球连接.当轻杆绕AB轴在水平面内匀速转动时，则下列说法不正确的是 （ ） A.水平方向上，a球受两个拉力的作A用，b球受一个拉力的作用 B.a、b球的轨迹半径之比为1:2 C.Oa和ab两线的拉力大小之比为3:1 D.a、b球的向心加速度大小之比为1:2 2.向心力来源分析 例2如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力 （ ） A.由重力和支持力的合力提供 B.由重力、支持力和摩擦力的合力提供 C.只由重力提供 D.只由支持力提供 变2.1(多选)如图所示，一物体放在水平放置的木板上.现用木板托住物体在竖直平面内做匀速圆周运动，若在运动过程中物体和木板始终保持相对静止且木板保持水平，则在木板由最低点运动到最高点的过程中 （ ） A.物体先处于超重状态后处于失重状态 B.物体先处于失重状态后处于超重状态 C.物体所受木板的支持力先减小后增大 D.物体所受木板的摩擦力先增大后减小 变2.2如图所示，某直升机在目标上空高度为h的水平面内盘旋，做匀速圆周运动，测得与目标的距离为s,直升机质量为m,巡航速度为v,所在地重力加速度为g.以下说法正确的是 （ ） A.直升机做匀速圆周运动的周期为 B.直升机做匀速圆周运动过程中，竖直面内受重力、升力和向心力作用 C.直升机获得的升力大小等于mg D.主旋翼所在平面与水平面的夹角θ满足关系式tanθ= 变2.3(多选)如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R,质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg,重力加速度的大小为g,当圆环以角速度w绕竖直直径转动时，下列说法正确的是 （ ） A.圆环角速度ω= 时，小球受到2个力的作用 B.圆环角速度ω= 时，小球受到3个力的作用 C.圆环角速度ω= 时，细绳将断裂 D.圆环角速度ω＞ 时，小球受到2个力的作用 变2.4(多选)如图所示，质量为m的小球置于光滑的正方体盒子中，盒子的边长略大于小球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g,空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则 （ ） A.盒子做圆周运动的向心力恒定不变 B.盒子做匀速圆周运动的周期一定等于 C.盒子在最低点时，小球对盒子的作用力大小等于6mg D.盒子在与0点等高的右侧位置时，小球对盒子的作用力大小等于mg 3.平面圆周运动的临界问题 （1）静摩擦力相关的临界问题 例3.1图甲为游乐场中一种叫作“魔盘”的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向魔盘边缘，其装置可以简化为图乙.若魔盘转速缓慢增大，则游客在滑动之前 （ ） A.受到魔盘的支持力缓慢增大 B.受到魔盘的摩擦力缓慢增大 C.受到的合外力大小不变 D.受到魔盘的作用力大小不变 例3.2如图所示，在水平转台上放置有质量之比为2:1的滑块P和Q(均视为质点),它们与转台之间的动摩擦因数之比μP:μQ=2:1;P到转轴00'的距离为rP,Q到转轴OO'的距离为rQ,且rP:rQ=1:2,转台绕转轴OO′匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止.认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g,下列说法正确的是 （ ） A.P所受的摩擦力比Q所受的摩擦力大 B.P、Q的线速度大小相等 C.若转台转动的角速度缓慢增大，则Q一定比P先开始滑动 D.若转台转动的角速度缓慢增大，则在任一滑块滑动前，P能达到的最大向心加速度为μPg 变3.1(多选)如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个物块(可视为质点),A和B距轴心O的距离分别为rA=R、rB=2R,且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是fm,两物块随着圆盘转动始终与圆盘保持相对静止.则圆盘转动的角速度从0逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是 （ ） A.B所受合外力大于A所受合外力 B.A受到的摩擦力一直指向圆心 C.B受到的摩擦力一直指向圆心 D.A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为 变3.2(多选)如图所示(俯视图),用一根原长为L0、劲度系数为k的轻弹簧将质量均为m的两个可视为质点的小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上.物块P、Q和O点构成直角三角形，已知QO的距离为L0、弹簧长度为2L0,∠POQ=90°.现使圆盘以不同的角速度w做匀速圆周运动，小物块P、Q与圆盘始终相对静止，弹簧长度始终不变.下列说法正确的是 （ ） A.物块P所受合力始终指向圆心 B.圆盘对Q的静摩擦力方向不随ω的变化而变化 C.当ω= 时，弹簧弹力与圆盘对P的摩擦力大小相等 D.当圆盘对物块P的静摩擦力大小为kL0时，ω= （2）圆锥摆模型及临界问题 例3.3(多选)如图甲所示为具有相同摆角θ、不同摆长的两圆锥摆A、B,如图乙所示为具有相同摆高h、不同摆长的两圆锥摆C、D,下列说法正确的是 （ ） A.A的向心加速度比B的向心加速度大 B.A的线速度比B的线速度大 C.C的角速度比D的角速度大 D.C的向心加速度比D的向心加速度 例3.4一种叫“旋转飞椅”的游乐项目如图甲所示，其结构简化模型如图乙所示.长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，且与竖直方向的夹角为θ.将游客和座椅看作一个质点，不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度大小为g.下列说法不正确的是 （ ） A.匀速转动时，游客和座椅受到的合力始终沿水平方向 B.当θ稳定时，游客和座椅的角速度ω= C.转速缓慢增大，角θ总小于90° D.转速缓慢增大，钢绳上张力的竖直分量保持不变 变3.3(多选)如图所示，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球.当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力.下列说法正确的是 （ ） A.仅增加绳长，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 B.仅增加绳长，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω C.仅减小ω,小球将受到玻璃管斜向上方的支持力 D.仅减少小球质量，小球将受到玻璃管斜向上方的支持力 变3.4如图所示，一个不对称且顶角为直角的锥形容器固定在水平转台上，转台绕过锥形容器顶点的竖直轴线以不同大小的角速度匀速转动，质量不同的小物块A、B随容器转动，二者均能相对器壁静止，且距离水平转台的高度相同，A、B物块与顶点的连线跟竖直方向的夹角分别为α和β,已知α=30°,A物块质量为m,重力加速度为g.求： (1)A、B的向心加速度大小之比； (2)当B不受摩擦力时，此时A所受摩擦力大小和方向； (3)若合理调整A、B位置，可以使得二者同时不受摩擦力，此时A、B所在位置距离水平转台的高度之比. 4.竖直面内的圆周运动的临界问题 （1）拱桥类临界问题 例4.1如图所示，一位游客沿水上乐园的滑梯下滑，当滑至P点时恰好脱离滑道.已知滑道的MN段为一段处于竖直面内的半径为R的圆弧，0点为圆弧的圆心，MO连线竖直，0P与MO的夹角为α,重力加速度为g,由此可知该游客运动至P点时的速度大小为 （ ） A. B. C D. 变4.1任何一条平滑的曲线都可以看作是由一系列不同半径的圆弧连接而成的，这些圆弧的半径叫作曲率半径，记作p.因此，我们就可以把物体沿任一曲线的运动，看成是物体沿一系列不同半径的小段圆弧的运动.如图，汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，A、B、C中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为ρ1,C处的曲率半径为ρ₂,重力加速度为g.若有一辆可视为质点、质量为m的汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ,当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时，则 （ ） A.汽车经过A处时处于超重状态，经过C处时处于失重状态 B.汽车经过B处时最容易爆胎 C.为了保证汽车在A处不脱离路面，该车的速率不得超过 D.汽车经过C处时对路面的压力大小为m ※（2）绳模型(轨道外约束)的临界问题 例4.2杂技演员表演的“水流星”的简化图如图所示.装有水的容器(可视为质点)在竖直面内做半径为0.9 m的圆周运动，取g=10m/s².则 （ ） A.容器做完整圆周运动时，经过圆周最高点时的速度可以为0 B.容器经过圆周最高点时，水处于超重状态 C.当容器以3 m/s的速度经过圆周最高点时，细线上的拉力恰好为0 D.容器经过圆周最低点时可能对细线没有拉力 变4.2(多选)如图甲所示，圆形轨道固定在竖直平面内，内轨道光滑，有一可视为质点的小球沿光滑内轨道做圆周运动，在轨道最高点装有速率传感器和压力传感器(图中未画出),可测出小球经过最高点时的速率v和压力大小F.用同一小球以不同速率多次重复实验，得到F与v²的关系图像如图乙所示.已知图像与横轴交点的坐标为(a,0),重力加速度为g,不计空气阻力，下列说法正确的是 （ ） A.小球做圆周运动的半径为 B.若小球能做完整的圆周运动，小球在最高点的速率最小值为 C.若小球能做完整的圆周运动，小球在最高点的速率最小值为 D.若图乙中图像的斜率为k,则小球质量为 变4.3(多选)如图甲所示，用一轻质绳拴着一可视为质点、质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动.小球运动到最高点和最低点时绳对小球的拉力分别用T₁和T₂表示，小球在最高点和最低点时的速度大小分别用v₁和v₂表示.改变小球运动的速度，其T₁-v²和T₂-v2图像分别如图乙、丙中两条图线A、B所示，图线中a、b均已知，重力加速度为g,不计空气阻力.下列说法正确的是 （ ） A.图线A和图线B的斜率相等 B.根据图像可得=g C.当v²<b时，小球不能过最高点 D.只要v²≥b,小球就能够在竖直平面内做完整的匀速圆周运动 ※（3）竖直面内有约束的圆周运动杆模型的应用 例4.3如图所示，粗细均匀的光滑管道固定在竖直面内，一个质量为m、直径比管的内径略小的小球在管内做圆周运动，当小球通过最高点的速度大小为v时，管外壁对小球的作用力大小为mg,若小球通过最高点的速度大小为v，那么,此时管壁对小球的作用力(重力加速度为g) （ ） A.大小为mg,方向竖直向上 B.大小为mg,方向竖直向上 C.大小为mg,方向竖直向下 D.大小为mg,方向竖直向下 变4.4(多选)如图所示，轻杆一端固定一个小球，以另一端0为圆心，使小球在竖直平面内做半径为L的圆周运动，小球通过最高点时的速度为v,重力加速度为g,则 （ ） L A.v必须大于等于 B.v越大，小球在最高点时所需向心力也越大 C.当v>时，v越大，小球在最高点时杆对小球的弹力越小 D.当v<时，v越小，小球在最高点时杆对小球的弹力越大 变4.5(多选)如图所示，长为3L的轻杆可绕水平转轴0转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B(可视为质点),球A距轴O的距离为L.现给系统一定初速度，使杆和球在竖直平面内转动.当球B运动到最高点时，水平转轴0对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力.已知重力加速度为g,则球B在最高点时，下列说法正确的是 （ ） A.A、B转动的角速度相等 B.杆对球B的弹力大小为3mg C.球A的速度大小为2 D.球B对杆有向下的弹力 三、课后提升练 1.如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以0点为圆心、半径R₁=5m的圆形区域，00'垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O'点、平行地面做半径R₂=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO'B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10 m/s²。下列说法正确的是 （ ） A.ωmax= rad/s B.ωmax= rad/s C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 2.如图所示，两等长轻绳一A端打结，记为0点，并系在一可视为质点的小球上。两轻绳的另一端分别系在同一水平杆上的A、B两点，两轻绳与固定的水平杆夹角均为53°。给小球垂直纸面的速度，使小球在垂直纸面的竖直面内做圆周运动。某次小球运动到最低点时，轻绳OB从O点断开，小球恰好做匀速圆周运动。已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,则轻绳OB断开前后瞬间，轻绳OA的张力之比为 （ ） A.1:1 B.25:32 C.25:24 D.3:4 3.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在0点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为v,其F-v²图像如图乙所示。不计空气阻力，则 （ ） A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为为 C.v²=c时，杆对小球的弹力方向向上 D.v²=2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 4.科技赋能奥运，在2024年巴黎奥运会田径比赛场，跑道外侧安装有高速轨道摄像机系统，简化图如图所示，当运动员加速通过弯道时，摄像机与运动员保持同步运动以获得高清视频.关于摄像机，下列说法正确的是 （ ） A.摄像机在弯道上运 动的速度不变 B.摄像机所受合外力的 大致方向可能为F₃ C. 摄像机的角速度比运动员的更大 D. 摄像机的向心加速度比运动员的更大 5.如图所示，完全相同的三个小球A、B、C均用长为L=0.8m的细绳悬于小车顶部，小车以v=2 m/s的速度匀速向右运动，A、C两球分别与小车左、右侧壁接触，由于某种原因，小车的速度突然减为0,此时细绳张力之比FA:FB:FC为(重力加速度g取10m/s²) （ ） A.3:3:2 B.2:3:3 C.1:1:1 D.1:2:2 6.(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是 （ ） A.物块A、B的运动属于匀变速曲线运动 B.B所需的向心力是A所需的向心力的2倍 C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D.若B先滑动，则B与A之间的动摩擦因数μA大于盘与B之间的动摩擦因数μB 7.如图所示，在距电机轴0为r处有一用轻杆连接的铁块，铁块的质量为m,电机的质量为M,电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，整个过程电机始终静止，已知重力加速度为g.下列说法正确的是 （ ） A.铁块运动过程中加速度不变 B.电机对地面的最大压力和最小压力之差为mω²r C.当铁块运动到圆心等高处时，地面对电机的 摩擦力为2mω²r D.若电机始终不脱离地面，铁块的角速度应满足ω≤ 8.如图所示，一根原长为L=0.1m的轻弹簧套在一长为1.8L的光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m=1kg的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连.小球和杆一起绕过杆A端的竖直轴OO'匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ=53°角.已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.6L,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g=10m/s²,求： (1)弹簧的劲度系数k; (2)弹簧为原长时，小球的角速度ω0;(结果可含根号) (3)当杆的角速度满足什么条件时小球会从B端飞出.(结果可含根号) — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $