专项02 二次函数综合题（大题专练）（上海专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项02 二次函数综合题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 上海中考数学第 24 题是二次函数综合压轴题，分值通常为 12 分，是区分度核心题。近五年（2021–2025）整体呈现：结构稳定、梯度清晰、数形结合、几何融合、含参计算、分类讨论的风格，下面从考查风格、结构、知识点、命题趋势四方面详细分析。 一、考查风格与整体特点 1. 核心定位 以二次函数图像（抛物线）为载体，以点坐标、线段、角度、图形存在性为线索，考查代数与几何的深度融合。 2. 近五年风格关键词 2021：抛物线 + 等腰三角形 + 相似 + 面积 2022：抛物线 + 直角三角形 + 平行四边形 + 线段最值 2023：抛物线 + 菱形 / 正方形存在性 + 含参计算 2024：抛物线 + 动点 + 特殊四边形 + 三角比 2025：抛物线 + 双抛物线 + 直角梯形存在性 + 距离比值 3. 共性特点 稳中有新：基础框架不变，几何背景与设问方式逐年微调； 重含参、重计算：多参数（a、m、n、k）、字母运算、比值 / 比例是高频考点； 几何化趋势明显：从纯函数转向函数 + 特殊三角形 / 四边形 / 梯形 / 圆综合； 分类讨论必考：存在性问题几乎都要分 2–3 种情况讨论。 二、试题结构（固定三问模式） 第 (1) 问：求解析式（3–4 分，必拿分） 第 (2) 问：含参计算 / 线段 / 面积 / 比值（4–5 分，中档） 第 (3) 问：图形存在性 / 动态问题（4–5 分，压轴） 三、核心考查知识点（全覆盖） 1. 二次函数核心（代数） 三种解析式：y=ax2+bx+c、y=a(x−h)2+k、y=a(x−x1​)(x−x2​) 对称轴：x=−2ab​；顶点：(−2ab​,4a4ac−b2​) 与坐标轴交点：令x=0得C；令y=0得与x轴交点 含参函数：用一个参数表示所有点坐标与线段长度 距离公式：两点间距离、点到直线距离 2. 几何综合（高频） 特殊三角形：等腰（两边等）、直角（勾股 / 斜率乘积 =-1）、等边 特殊四边形：平行四边形（对边平行且等）、矩形（直角 + 对角线等）、菱形（四边等 + 对角线垂直）、正方形、直角梯形（一组对边平行 + 一个直角） 相似三角形：A 字、8 字、斜 A 型 三角比：正弦、余弦、正切（压轴问必考） 坐标几何：平行、垂直、中点、平移、对称 3. 数学思想方法 数形结合：坐标→图形→性质→方程 方程思想：设参→列方程→解参→回代 分类讨论：直角 / 等腰 / 平行四边形的不同情况 转化思想：几何条件→代数方程 四、近五年命题趋势（2021–2025） 1. 趋势一：从 “单抛物线” 到 “双抛物线 / 多抛物线” 2021–2023：单抛物线为主 2024–2025：双抛物线成为主流（一条定、一条动），考查含参与关联关系。 2. 趋势二：几何背景从 “三角形” 转向 “四边形 / 梯形” 早年：等腰 / 直角三角形存在性 近年：平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形成为主流（2025 考直角梯形）。 3. 趋势三：强化 “含参计算” 与 “定值 / 比值” 第 (2) 问常考：用参数表示线段→求比值（定值），淡化纯数值计算，重代数化简能力。 4. 趋势四：分类讨论更隐蔽、更综合 不再直白问 “是否存在等腰三角形”，而是以四边形为载体，间接考查直角、平行、垂直等条件，分类更隐蔽。 5. 趋势五：三角比与坐标几何深度绑定 压轴问几乎都考正弦 / 余弦 / 正切，要求用坐标表示线段，再用三角比定义计算。 6. 趋势六：难度稳中有降，重通法 2025 第 24 题难度较前两年略有下降，重通性通法，淡化偏难怪技巧，强调基础模型的灵活运用。 五、备考建议（针对第 24 题） 夯实基础：熟练三种解析式、对称轴、顶点、交点计算，确保第 (1) 问满分。 含参训练：多练 “用一个参数表示所有点与线段”，提升字母运算与化简能力。 几何模型：掌握特殊三角形 / 四边形的坐标判定方法（如平行四边形中点公式、直角三角形勾股 / 斜率）。 分类讨论：总结常见分类场景（直角在哪个顶点、等腰以哪条为腰），养成画图习惯。 真题演练：重点刷 2021–2025 上海中考第 24 题，归纳解题套路。 真题·欣赏 1．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 析典例·建模型 一、待定系数法 1. 第（1）小问求b,c可以直接把A、B点坐标代入解析式，可求b=____，c=_____. 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； 2. 淡化纯数值计算，重代数化简能力。仔细观察A、B点的坐标相等，所以可以用根与系数关系求b,c； 即当y=1时，方程有两个解x1=1，x2=3，可求b=____，c=_____. 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴方程（）的两个根为x1=1，x2=3； ∴1+3=-b，1 ∴b=-4，c=4； 二、含参计算 （2）①抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．求的值； 解：①∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， 由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∴，， ∴； 三、梯形存在性（分类讨论） （2）②设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 解：②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 真题·欣赏 2．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 研考点·通技法 一、待定系数法 第（1）小问在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． 求平移后新抛物线的表达式。 【分析】设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； 二、含参计算 （2）①直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．如果小于3，求m的取值范围；【分析】设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； 三、平行的存在性（分类讨论） （2）②直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． 记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【分析】先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 解：②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 破类题·提能力 1.（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 2.（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴函数解析式为：； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ∴抛物线向右平移了m个单位， ∴， ∴m=2， ∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在的右侧，两抛物线都上升， 又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2， ②把P（m，n）代入，得n=， ∴P（m， ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2=， PQ2=， ∴BP=PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|， ∵BP=PQ，PC⊥BQ， ∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°， ∴tan∠BPC= tan 60°=， 解得：m=±2（舍去负数）， ∴n==3， 故P的坐标为（2，3）. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 3.（2025·上海奉贤·二模真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 4.（2025·上海静安·二模真题）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 5.（2025·上海普陀·二模真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴是直线， ，即， 将代入抛物线得：， 则， 解得：， ， 抛物线的表达式为； ②如图，连接,以为直径作圆，与抛物线在第一象限的交点即为点,过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在中，令，则， ， 直线交抛物线于点，， 设，则，， ，，，， ， ，即， 整理可得：， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作轴于点、交于点，过点作轴于点，与交于点，连接交于点， ， 抛物线的开口向下，与轴交于点和，， ，即，， 抛物线的对称轴为直线，， ， ， 是的重心，点是的中点， 点在上，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ，， 点关于直线的对称点是， ，， ，， ， ， ， ，即， 整理得：， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入得：， 整理得：， ∴， 解得， 又∵， ∴可整理为， 解得或（舍去）， 所以. 6.（2025·上海徐汇·二模真题） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7.（2025·上海黄浦·二模真题）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)顶点的坐标为； (3)． 【分析】（1）先求得点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到，配方得到顶点的坐标为； （3）先求得点的坐标为，根据题意求得，根据对称轴为直线，求得点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式，根据点在直线上，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数的图象性质以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 8.（2025·上海虹口·二模真题）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 设直线解析式为 把，代入得： ，解得 直线解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的对称轴为直线 （2）由（1）知， 抛物线解析式为， ， ， 解得， 令得， ， 在中，令得， ， ， ， 解得舍去或， 抛物线的表达式为； （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： 抛物线对称轴为直线， 解得， 抛物线解析式为， 令得， 解得或， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设，则 ， ∴ ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ． ， 是等腰直角三角形， 轴，则不在线段上，故点不存在． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，相似三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形解决问题． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 二次函数综合题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 上海中考数学第 24 题是二次函数综合压轴题，分值通常为 12 分，是区分度核心题。近五年（2021–2025）整体呈现：结构稳定、梯度清晰、数形结合、几何融合、含参计算、分类讨论的风格，下面从考查风格、结构、知识点、命题趋势四方面详细分析。 一、考查风格与整体特点 1. 核心定位 以二次函数图像（抛物线）为载体，以点坐标、线段、角度、图形存在性为线索，考查代数与几何的深度融合。 2. 近五年风格关键词 2021：抛物线 + 等腰三角形 + 相似 + 面积 2022：抛物线 + 直角三角形 + 平行四边形 + 线段最值 2023：抛物线 + 菱形 / 正方形存在性 + 含参计算 2024：抛物线 + 动点 + 特殊四边形 + 三角比 2025：抛物线 + 双抛物线 + 直角梯形存在性 + 距离比值 3. 共性特点 稳中有新：基础框架不变，几何背景与设问方式逐年微调； 重含参、重计算：多参数（a、m、n、k）、字母运算、比值 / 比例是高频考点； 几何化趋势明显：从纯函数转向函数 + 特殊三角形 / 四边形 / 梯形 / 圆综合； 分类讨论必考：存在性问题几乎都要分 2–3 种情况讨论。 二、试题结构（固定三问模式） 第 (1) 问：求解析式（3–4 分，必拿分） 第 (2) 问：含参计算 / 线段 / 面积 / 比值（4–5 分，中档） 第 (3) 问：图形存在性 / 动态问题（4–5 分，压轴） 三、核心考查知识点（全覆盖） 1. 二次函数核心（代数） 三种解析式：y=ax2+bx+c、y=a(x−h)2+k、y=a(x−x1​)(x−x2​) 对称轴：x=−2ab​；顶点：(−2ab​,4a4ac−b2​) 与坐标轴交点：令x=0得C；令y=0得与x轴交点 含参函数：用一个参数表示所有点坐标与线段长度 距离公式：两点间距离、点到直线距离 2. 几何综合（高频） 特殊三角形：等腰（两边等）、直角（勾股 / 斜率乘积 =-1）、等边 特殊四边形：平行四边形（对边平行且等）、矩形（直角 + 对角线等）、菱形（四边等 + 对角线垂直）、正方形、直角梯形（一组对边平行 + 一个直角） 相似三角形：A 字、8 字、斜 A 型 三角比：正弦、余弦、正切（压轴问必考） 坐标几何：平行、垂直、中点、平移、对称 3. 数学思想方法 数形结合：坐标→图形→性质→方程 方程思想：设参→列方程→解参→回代 分类讨论：直角 / 等腰 / 平行四边形的不同情况 转化思想：几何条件→代数方程 四、近五年命题趋势（2021–2025） 1. 趋势一：从 “单抛物线” 到 “双抛物线 / 多抛物线” 2021–2023：单抛物线为主 2024–2025：双抛物线成为主流（一条定、一条动），考查含参与关联关系。 2. 趋势二：几何背景从 “三角形” 转向 “四边形 / 梯形” 早年：等腰 / 直角三角形存在性 近年：平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形成为主流（2025 考直角梯形）。 3. 趋势三：强化 “含参计算” 与 “定值 / 比值” 第 (2) 问常考：用参数表示线段→求比值（定值），淡化纯数值计算，重代数化简能力。 4. 趋势四：分类讨论更隐蔽、更综合 不再直白问 “是否存在等腰三角形”，而是以四边形为载体，间接考查直角、平行、垂直等条件，分类更隐蔽。 5. 趋势五：三角比与坐标几何深度绑定 压轴问几乎都考正弦 / 余弦 / 正切，要求用坐标表示线段，再用三角比定义计算。 6. 趋势六：难度稳中有降，重通法 2025 第 24 题难度较前两年略有下降，重通性通法，淡化偏难怪技巧，强调基础模型的灵活运用。 五、备考建议（针对第 24 题） 夯实基础：熟练三种解析式、对称轴、顶点、交点计算，确保第 (1) 问满分。 含参训练：多练 “用一个参数表示所有点与线段”，提升字母运算与化简能力。 几何模型：掌握特殊三角形 / 四边形的坐标判定方法（如平行四边形中点公式、直角三角形勾股 / 斜率）。 分类讨论：总结常见分类场景（直角在哪个顶点、等腰以哪条为腰），养成画图习惯。 真题演练：重点刷 2021–2025 上海中考第 24 题，归纳解题套路。 真题·欣赏 1．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 析典例·建模型 一、待定系数法 1. 第（1）小问求b,c可以直接把A、B点坐标代入解析式，可求b=____，c=_____. 2. 淡化纯数值计算，重代数化简能力。仔细观察A、B点的坐标相等，所以可以用根与系数关系求b,c； 即当y=1时，方程有两个解x1=1，x2=3，可求b=____，c=_____. 二、含参计算 （2）①抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．求的值； 三、梯形存在性（分类讨论） （2）②设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 真题·欣赏 2．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 研考点·通技法 一、待定系数法 第（1）小问在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． 求平移后新抛物线的表达式。 【分析】设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； 二、含参计算 （2）①直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．如果小于3，求m的取值范围；【分析】设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案； 三、平行的存在性（分类讨论） （2）②直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． 记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【分析】先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 破类题·提能力 1.（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 2.（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 3.（2025·上海奉贤·二模真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 4.（2025·上海静安·二模真题）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 5.（2025·上海普陀·二模真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 6.（2025·上海徐汇·二模真题） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 7.（2025·上海黄浦·二模真题）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 8.（2025·上海虹口·二模真题）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $