专题02 用三角函数求解实物图问题（抢分专练，江西专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 用三角函数求解实物图问题 考点1 实物图中动点问题 1．（2026·江西九江·一模）如图，某款机器人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求这三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，且，计算此时点到地面的距离； (2)如图2，在一次操作中，上臂的点落在水平地面上，计算这时点到点的最大距离？（结果保留根号） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2)此时点到点的最大距离为 【分析】（1）过点作，垂足为点，在中利用正弦的定义得到，再利用线段的和差即可求解； （2）当点在同一直线上时，点与点的距离最大，在，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点， 则在中，． ， ， ， 点到地面的距离为； （2）解：当点在同一直线上时，点与点的距离最大， 此时点构成， ， 即此时点到点的最大距离为． 2．（2026·江西吉安·一模）为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处是把手，，，是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮．若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶盖绕转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平行．图3是此设施的截面图，其中，盖面的最大旋转角是，，，． (1)当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动________； (2)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是，线段称为入口线，当旋转角从变成时，入口线增加了多少？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)桶盖点B离地面的最大高度为 (3)入口线增加了 【分析】（1）桶盖从闭合状态旋转到最大角度，到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至，则的长度即是点拉动的距离，再由弧长公式计算即可得出结果； （2）当运动到最大角度至时，过点作于点，则桶盖点B离地面的最大高度为，解直角三角形，计算出的长，即可得出结果； （3）设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为，分别解直角三角形，求出、的长度，即可得出结果． 【详解】（1）解：桶盖从闭合状态旋转到最大角度，如图所示：到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至， ∴的长度即是点拉动的距离， 故根据弧长公式可得：把手N要拉动的距离为； （2）解：当运动到最大角度至时，过点作于点， 则桶盖点B离地面的最大高度为， 在中，， ∴， ∴， 故桶盖点B离地面的最大高度为； （3）解：如图，设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故入口线增加了． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2026·江西上饶·一模）建筑施工中，工人更换屋顶瓦片时常用的便携折叠梯（图1）是高空作业的重要工具，其侧面示意图可抽象为如图2所示的几何图形．已知梯子两侧的承重支架米，梯子顶端用于放置工具和站立的横档D到支架顶点A的距离米，设两侧支架的夹角，为保障高空作业安全，施工规范要求的调整范围是．（参考数据：，，，，，精确到米） (1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度； (2)在安全使用范围下，求折叠梯顶端到地面的距离范围． 【答案】(1)此人离地面（）的高度约为米 (2)在安全使用范围下，折叠梯顶端到地面的距离范围约为米米 【分析】（1）如图，过点作，垂足为点．得出是等边三角形，求得，解，求得，即可求解； （2）过点作，垂足为点．解，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，垂足为点． 米，， 是等边三角形， ． 点是的中点， （米）， （米）， 在中，（米）， 此人离地面（）的高度约为米． （2）如图2，过点作，垂足为点． 当时． 米， ． 米， （米）， 在中，（米）； 当时． ， ． 在中，（米）． 综上所述，在安全使用范围下，折叠梯顶端到地面的距离范围约为米米． 4．（2025·江西·一模）如图（1）是一款桌面可调节的学习桌，其侧面示意图如图（2）所示，为可调节桌面，其长度为，桌面倾斜程度可以根据需求自由调节．桌面的倾斜角为，桌面最大倾斜角为，桌面平放时高度为为． (1)当桌面由平放调节到最大倾斜角时，求点运动的路径长．（结果保留） (2)书写时桌面适宜的倾斜角，求点到地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式，解直三角形等知识，解题的关键是正确理解正弦函数的定义式，将线段、角度代入，转化为待求线段的方程求解． （1）利用弧长公式求解； （2）利用正弦的定义式求解，代入已知线段和角度，转化为关于的方程求解，再利用线段和求出点到地面的高度． 【详解】（1）解：当桌面由平放调节到最大倾斜角时，， 点运动的路径长为：． （2）解：过点作于点， ∵在中，，，， ∴， 解得：， ， 点到地面的高度为=． 5．（2025·江西·一模）如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干上一可转动点，点P是中间竖杆上的一动点，当点P沿滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，与重合于竖干，经测量，． (1)当时，求竖杆最下端B到地面的距离； (2)点P从点A滑动至的中点，变化的度数是多少？（参考数据：≈1.73，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意． （1）如图①，过点作于点．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据解直角三角形求出，，，即可求解． （2）如图②，当点位于点时，三点共线，即． 求出，再求出当点滑动至的中点时，，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图②，当点位于点时，三点共线，即． 由题意，得． 当点滑动至的中点时，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即变化了． 考点2 实物图中求高度问题 6．（2026·江西吉安·二模）项目式学习 井冈山革命烈士纪念碑由基座、碑座和主碑三部分组成，主碑是用镀钛的不锈钢制作的，顶端的造型突出“山”的形状，远看如一团火焰．某综合与实践学习小组开展测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度 测量示意图    实施过程 如图，①用无人机在点C处测得纪念碑的最高点A的俯角及点A，C之间的距离； ②将无人机沿水平方向飞行到达点D，在点D处测得纪念碑主碑最低点B的俯角及点B，D之间的距离 测量数据 ①；②；③；④ 说明 图上所有点均在同一平面内，，交于点P，垂直于地面 (1)求证：． (2)根据活动报告，求井冈山革命烈士纪念碑主碑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作，由俯角数据得，，推得、，根据两角对应相等，即可证明； （2根据已知角度和其三角函数以及线段的长度，得到和的长度，继而得到的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于E， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在中，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题核心是解直角三角形与相似三角形的结合，通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数求边长，关键是将俯角问题转化为直角三角形的边角计算． 7．（2026·江西·一模）图（1）是某公司定制的奖杯，图（2）是其抽象示意图，奖杯上镶嵌了一个正五角星，正五角星的顶点A与奖杯的顶点F一样高，点B，P，E，F在一条直线上，点A，Q，C在一条直线上，点A，P，D在一条直线上．已知， ，底座的高． (1)求 和 的度数； (2)求奖杯的总高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)约为厘米 【分析】（1）根据正五角星的特征和，结合等腰三角形和三角形内角和定理得出，根据，得出，根据，得出． （2）如图，过点作垂足为，根据（1）中角度和四边形内角和求出，则，在中，解直角三角形求出，再根据奖杯的总高度，求解即可． 【详解】（1）解：∵正五角星的各个顶角都相等，各条边都相等，， ∴， 又∵，， ． （2）解：如图，过点作垂足为， ， ， ∴， 在中，，， ， ∵， ∴奖杯的总高度， 答：奖杯的总高度约为． 【点睛】该题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确理解题意，掌握以上知识点． 8．（2025·江西·一模）图1所示是某中学一标志牌，根据测量要求将其抽象为图2，已知底座为矩形，与底座所成锐角的度数为，，，，点到底座上面的距离为． (1)求与底座所成的锐角的度数； (2)求标志牌的高度（即点到的距离）．（结果精确到小数点后一位） （参考数据：） 【答案】(1) (2)标志牌的高度约为． 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关应用等知识． （1）根据领补角的定义得出，再根据四边形内角和定理求解即可． （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．，再得出，解直角三角形得出，再得出，加上即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． ， ． ． （2）解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ． ， ． ， ． ． ， 标志牌的高度约为 9．（2023·江西·中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）    (1)连接，求证：； (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为米 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ 即 ∴ 即 ∴； （2）如图所示，过点作，交的延长线于点，    在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 考点3 实物图中求光线、影子问题 10．（2026·江西宜春·一模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米．上午某时刻，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得．一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内．（结果精确到米，参考数据：，，） (1)若点E距离地面的高度为米，求主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域移动的距离； (2)在第一问的基础上米，当太阳光线与地面夹角为时，使等于米，求点E在第一问的基础上向上或向下移动多少米． 【答案】(1)米 (2)点E在第一问的基础上向下移动米 【分析】（1）过点作于点，交于点，可证明四边形为矩形，得到米，，根据题意可得米；解直角三角形可得米，米，则米； （2）过点作于点，交于点，由（1）可知，米，，米，设的长度为米，可证明；解直角三角形可得米，而米，则，解方程求出米，则米，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 四边形为矩形， ∴米，， ∴； ∵点E距离地面的高度米， ∴米； 在中，，， 米， 在中，，， 米， ∴米 答：主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域移动的距离约为米； （2）解：如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可知，米，，米， 设的长度为米， ∵四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面夹角为，即太阳光线与直线的夹角为， ∴太阳光线与直线的夹角为， ∴； 在中，，， 米， ∵米， ∴米， ∴， ∴， ∴米， ∴米， 米， 答：点E在第一问的基础上向下移动米． 11．（2026·江西·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务米，;米；任务小明会被照射到 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①由可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 12．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)“大碗”的口径的长为； (2)“大碗”的高度的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：“大碗”的高度的长为． 13．（2026·湖南长沙·二模）材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的大小； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）首先求出，，求出，即可得到． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ， ∴ ∴ ∴． 14．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 考点4 实物图中方位角问题 15．（2026·江西赣州·一模）小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如图，人行桥长120米，乡村振兴大厦点在点的正西方，点在点南偏西方向，点在点北偏西方向．（结果精确到整数，参考数据：，，，，，） (1)求桥东头与振兴大厦的水平距离的长； (2)已知测量点，，在同一水平面上，且点距离地面2米，在处测得振兴大厦顶端的仰角为；在处测得振兴大厦顶端的仰角为，求振兴大厦的高度． 【答案】(1)桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； (2)振兴大厦的高度是47米． 【分析】（1）作，解直角三角形求出米，米，米，即可求解； （2）设振兴大厦顶端为点，依题意知米，解直角三角形求出米，即可求解． 【详解】（1）解：作， ，米， 在中，，， 米，米， ， 在中，， 米， （米）， ∴桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； （2）解：设振兴大厦顶端为点， 依题意知米， ， 在中，， 米， 点距离地面2米，（米）， 振兴大厦的高度是47米． 16．（2025·江西·一模）为了加强海洋意识宣传教育，某校组织学生参加“筑梦海洋  向海图强”主题研学活动．活动内容是借助指南针测量有暗礁的A，C两岛屿之间的距离． 【活动准备】 图1是学生研学的地方，该地由A，B，C三个岛屿组成．已知A，B两岛屿间的距离为，图2是它的示意图．他们分别在A，B两岛屿测量，测得的数据如下：C，B两岛屿分别在A岛屿的北偏东和北偏东的方向上，C岛屿在B岛屿的北偏西的方向上． 【目标任务】 (1)求的度数； (2)求有暗礁的A，C两岛屿之间的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)有暗礁的A，C两岛屿之间的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）方法一：由角的和差关系求出，由平行线的性质求出，进而求出，最后根据三角形内角和定理求解即可； 方法二：过点C作直线，根据平行线的性质得出．根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可求解； （2）过点A作，交的延长线于点E，在中，根据正弦定义求出，在中，根据正弦定义求出，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：方法一： 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴∠． 方法二：如图，过点C作直线． ∴． 又， ∴，， ∴ ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，过点A作，交的延长线于点E． 在中， 由题意，, 在中，． 答：有暗礁的A，C两岛屿之间的距离约为． 17．（23-24八年级下·江西九江·月考）课本再现： 承前启后： 前面已经证明了“等腰三角形的两底角相等”；反过来，命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”成立吗？事实上，可以发现并证明上述命题是等腰三角形的一个判定定理． 定理证明： （1）小敏根据上述定理，已经写出了已知，求证，请你完成证明过程． 已知：如图1，在中，，求证：．    解决问题： （2）如图2，一架飞机在距离地面的高空上自东向西飞行，飞机在处测得地面某小岛在其南偏西方向，飞行一段距离后，在处测得小岛在其南偏西方向，求之间的距离．    【答案】（1）见解析；（2）之间的距离为． 【分析】（1）过点A作，交于点D.运用角角边证明即可． （2）过点C作交延长线于点E，化斜为直，利用特殊角的三角函数，选择适当三角函数，列式解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高化斜为直是解题的关键. 【详解】（1）证明：如图，作的平分线，交于点D.    ∵平分， ∴. ∵，. ∴， ∴.（证法不唯一）这种做法与命题老师通过作高化斜为直的命题思想相悖，补解如下： 解法2证明：如图，过点A作，交于点D.    ∵， ∴. ∵，. ∴， ∴. （2）如图2，过点C作交延长线于点E，    ∴ 由题意可知，，，. 设， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， ∴. ∵， ∴. 答：之间的距离为. 18．（2026·广西桂林·一模）涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑．某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行．欲前往位于涠洲灯塔P南偏西方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时．当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下： ①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点A处； ②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点B处； ③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求涠洲灯塔P到航线的距离； (2)若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾？请说明理由（参考数据：）． 【答案】(1)海里 (2)渔船在前往作业点途中不会遇到海雾，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，先得出，再在中，解直角三角形即可； （2）过点作于点，先求出的长，再求出，然后求出14时，渔船距离作业点的距离，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，（海里）， ∴， ∴， ∴， 设海里，则海里， 在中，，即， 解得，经检验，是所列分式方程的解， 答：涠洲灯塔到航线的距离海里． （2）解：如图，过点作于点， 在中，海里， 由题意得：， ∴， ∴， ∴海里， ∴14时，渔船距离作业点的距离为（海里）， ∵海里海里， ∴渔船在前往作业点途中不会遇到海雾． 考点5 实物图中仰角俯角问题 19．（2023·辽宁·中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到） （参考数据：） 【答案】(1)登山缆车上升的高度； (2)从山底A处到达山顶处大约需要. 【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴从山底A处到达山顶处大约需要： ， 答：从山底A处到达山顶处大约需要. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键． 20．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    【答案】斜坡的长约为10米 【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ． ∴． ∵， ∴在中，（米）． 答：斜坡的长约为10米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．（2025·江西·一模）八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，． (1)求点B到地面的垂直高度； (2)求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)点B到地面的垂直高度为3 (2)纪念塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题， （1）如图，过点B作交于点F．由得到，求出即可得到答案； （2）首先求出，然后利用，求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图，过点B作交于点F． ∵，坡度， ∴，， ∴，． 答：点B到地面的垂直高度为． （2）由（1）可知． ∵， ∴． ∵在点B处看塔尖的仰角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：纪念塔的高度为． 22．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，即可得解； （2）先推出，过点作于点，推出四边形为矩形，由矩形的性质可得，，然后在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：由题意知：，，， ∴，即， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴的长为； （2）解：由题意知：，， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴，即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴塔的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． 23．（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 24．（2025·山东青岛·模拟预测）“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】星火相传雕塑的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，作于点，由台阶长为，坡度，求得，，连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点，求得，再在和中，解直角三角形，求得，解得，据此求解即可． 【详解】解：设，作于点， ∵台阶长为，坡度， ∴设，则， ∴， 解得， ∴，， 连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点， 则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：星火相传雕塑的高度约为． 25．（2025·江西宜春·模拟预测）课本再现 （1）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高） 迁移应用 （2）如图2，和合塔位于丰城市丰水湖公园内，由我国著名古塔研究专家张驭寰大师主持设计，具有“明七层暗六层”的结构，共13层，展现了唐代古塔的风格．如图3，某数学实践小组想测量和合塔的高度，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为，然后从点A处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点B（A，B，N三点位于同一水平面内），且点B在点N南偏东方向上．根据以上信息，求和合塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，仰角俯角． （1）过A点作于D点，过C作于E点，如图1，根据正弦的定义得到，，则，所以，同理可得，所以； （2）如图3，根据题意，，，则，利用（1）的结论得，则可计算出，然后在中利用正切的定义计算出的长． 【详解】解：（1）过A点作于D点，过C作于E点，如图1， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴即； （2）如图3， 根据题意，，， ∴， 由（1）的结论得， 即， ∴， 在中，∵， ∴． 答：和合塔的高度为． 考点6 实物图中跨学科问题 26．（2025·江西·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） (1)求漏斗口处点到底座的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解； （2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， 延长交，则， 在中，，则， ∴， ∴点到底座的高度； （2）过点作，交于，过点作， 由题意可知，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， 此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为， 即玻璃棒顶端点到桌面的距离为． 27．（2025·江西·一模）图1所示为一种刮水器，也称“魔术扫把”，它可以很干净地扫除地面上的积水．将其正面图抽象成几何图形，如图2．经测量，知，，，，，把柄，且可以在刮片所在平面内绕点左右旋转． (1)求刮片的宽度（即点A到的距离）； (2)如图3，当旋转到与的延长线垂直时，求点P到的距离．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）分别过点A，D作，，垂足分别为E，F．可证明四边形是矩形．得到，再证明，得到，据此求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）延长交于点M，作交延长线于点N，则．可证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：分别过点A，D作，，垂足分别为E，F． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴刮片的宽度约为． （2）解：如图所示，延长交于点M，作交延长线于点N，则． ∴， ∴． ∴， ∵． ∴点P到BC的距离约为． 28．（2026·河南许昌·一模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 29．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可证明，则，的长可求； （2）由题意可知，因为，根据，可求长度，由为法线，可证，则可证，则B，D之间的距离为可求． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∴， ∴； （2）解：∵ E为的中点 ∴， 由题意， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 答：B，D之间的距离为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02用三角函数求解实物图问题 押题预测 一考点1实物图中动点问题 1.(2026江西九江一模)如图，某款机器人的手臂由上臂AB、中臂BC和底座CD三部分组成，其中上 臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直.在实际运用中要求这三部分始终处于同一平面内，其示意图 如图1所示，经测量，上臂AB=12cm,中臂BC=8cm,底座CD=10cm. D D 77777777 图1 图2 (I)若上臂AB与水平面平行，且∠ABC=60°，计算此时点A到地面的距离； (②)如图2，在一次操作中，上臂AB的点A落在水平地面上，计算这时点A到点D的最大距离？（结果保留 根号) 2.(2026江西吉安一模)为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处 是把手，BA,AM,MN是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮.若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶 盖绕Q转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，AM足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平 行.图3是此设施的截面图，其中，盖面BE的最大旋转角是75°，BE=60cm,ED⊥CD,ED=120cm. B 图1 图2 图3 ()当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动 cm: (2)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是B,线段BB'称为入口线，当旋转角从30°变成60°时，入口线增加 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 了多少？（结果精确到1cm.参考数据：元≈3，sin15°=c0s75°≈0.26，sin75°=cos15°≈0.97， tan15°≈0.27) 3.(2026江西上饶.一模)建筑施工中，工人更换屋顶瓦片时常用的便携折叠梯（图1）是高空作业的重要 工具，其侧面示意图可抽象为如图2所示的几何图形.已知梯子两侧的承重支架AB=AC=2.5米，梯子顶 端用于放置工具和站立的横档D到支架顶点A的距离AD=1.8米，设两侧支架的夹角∠BAC=《,为保障高 空作业安全，施工规范要求o的调整范围是30°≤a≤90°.（参考数据：sin75°≈0.97，c0s75°≈0.26， tan75°≈3.73，√3≈1.73，√2≈1.41，精确到0.1米) 图1 图2 (I)当=60°时，若人站在AD的中点E处，求此人离地面(BC)的高度： (②)在安全使用范围下，求折叠梯顶端D到地面BC的距离范围. 4.(2025·江西一模)如图(1)是一款桌面可调节的学习桌，其侧面示意图如图(2)所示，AB为可调节 桌面，其长度为40cm,桌面倾斜程度可以根据需求自由调节，桌面的倾斜角为∠ABC,桌面最大倾斜角为 60°，桌面平放时高度为DE为70cm. B D E 图(1) 图(2) ()当桌面由平放调节到最大倾斜角60°时，求点A运动的路径长.（结果保留π） (2)书写时桌面适宜的倾斜角∠ABC=20°，求点A到地面的高度.（结果保留一位小数，参考数据： sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) 5.(2025江西·一模)如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部 分抽象后的几何图形，其中点C是支干PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合 于竖干BA,经测量PC=BC=50cm,CD=60cm. A D B -----D 图1 图2 备用图 (1)当∠BCD=60°时，求竖杆最下端B到地面的距离BO; (2)点P从点A滑动至AB的中点，∠BCD变化的度数是多少？（参考数据：√5≈1.73，结果精确到0.1cm) 考点2实物图中求高度问题 6.(2026江西吉安二模)项目式学习 井冈山革命烈士纪念碑由基座、碑座和主碑三部分组成，主碑是用镀钛的不锈钢制作的，顶端的造型突出“山” 的形状，远看如一团火焰.某综合与实践学习小组开展测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度的活动，记录 如下. 活动主题 测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度 C D 测量示意 图 B 如图，①用无人机在点C处测得纪念碑的最高点A的俯角及点A,C之间的距离； 实施过程 ②将无人机沿水平方向飞行到达点D,在点D处测得纪念碑主碑最低点B的俯角及点B,D之 间的距离 测量数据 ①AC=37m；②BD=48m;③∠ACM=26°；④∠BDM=64° 说明 图上所有点均在同一平面内，AC,BD交于点P,AB垂直于地面 (I)求证：△CDPBAP. (2)根据活动报告，求井冈山革命烈士纪念碑主碑AB的高度.（结果精确到1m,参考数据：si26°≈0.44， c0s26°≈0.90，tan26°≈0.49) 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2026江西一模)图(1)是某公司定制的奖杯，图(2)是其抽象示意图，奖杯上镶嵌了一个正五角 星，正五角星的顶点A与奖杯的顶点F一样高，点B,P,E,F在一条直线上，点A,Q,C在一条直线上， 点A,P,D在一条直线上.已知AC∥BG,∠A=36,PF=PD,∠BGH=∠FHG,FH=30cm,底座的高 MN =3.7cm M 图(1) 图(2) (1)求LF和∠QBG的度数： (2)求奖杯的总高度.（结果保留一位小数.参考数据：sin36°≈0.588，sin72°≈0.951，sin81°≈0.988， c0s36°≈0.809，c0s72°≈0.309，c0s81°≈0.156) 8.(2025江西一模)图1所示是某中学一标志牌，根据测量要求将其抽象为图2，已知底座为矩形 MNPQ,MN=20cm,DC与底座所成锐角的度数为82°，∠A=60°，AD=160cm,∠D=100°，点D到底座 上面Mg的距离为200cm. B M 图1 图2 (I)求AB与底座所成的锐角∠ABM的度数； (2)求标志牌的高度（即点A到NP的距离），（结果精确到小数点后一位） (参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325) 9.(2023·江西中考真题)如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，己 知点B,A,D,E均在同一直线上，AB=AC=AD,测得∠B=55°，BC=1.8m,DE=2m.(结果保留 小数点后一位) 4/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D B O 图1 图2 (I)连接CD,求证：DC⊥BC; (②)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）· (参考数据：sin55°≈0.82，c0s55°≈0.57，tan55°≈1.43) 考点3实物图中求光线、影子问题 10.(2026江西宜春.一模)某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示， 其中四边形ABCD是矩形，主席台高AB为1米.上午某时刻，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点 F处，测得∠EFD=58°.一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点G处，测得 ∠EGD=71.6°，点A,B,C,D,E,F,G均在同一竖直平面内.（结果精确到0.1米，参考数据： sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin71.6°≈0.95，c0s71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.00) F B 图1 图2 (1)若点E距离地面BC的高度为6.4米，求主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域移动的距离FG; (2)在第一问的基础上AF=2.6米，当太阳光线与地面夹角为71.6°时，使AG等于4.5米，求点E在第一问的 基础上向上或向下移动多少米 11.(2026江西一模)综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度. 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图 己知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径 DF是DE的4倍，当伞面完全张开时，点D,E,F始终共线.为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根 据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直. 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 5/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度 90 75 60 45 30 15 角（度） 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q. F D a B G 图1 图2 任务1： (1)某一时刻测得4D=0.8米， ①请直接写出tan∠ADE= ②请求出此时影子GH的长度； 任务2： (2)这天14点，小明坐在离支架3米处的0点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由. 12.(2024江西·中考真题)图1是世界第一“大碗”一景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感 来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底 BEFC组成，己知AD∥EF,AM,DN是太阳光线，AM⊥MN,DN⊥MN,点M,E,F,N在同一条 直线上，经测量ME=FN=20.0m,EF=40.0m,BE=2.4m,∠ABE=152°.（结果精确到0.1m) 太阳光线 6教》5别 图1 图2 (I)求“大碗”的口径AD的长； (2)求“大碗”的高度AM的长.（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88） 13.(2026湖南长沙二模)材料阅读： 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向 法线 发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入 空气 射角的正弦值和折射角B的正弦值之比称为 折射率(n)，即n= sina inB, 已知光线从空气进 某种玻璃 入某种玻璃时的折射率为. 问题解答： 如图，矩形ABCD为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O,折射后照到玻璃底部的点Q.测得 ∠NOQ=30°，NQ=10cm,若P,O,C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： M B (1)求∠P0M的大小： (2)求CQ的长. 14.(2025·四川雅安.中考真题)为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射 入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚.小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高AC为3m. A a B F E D 16m 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，墙AC上有一扇窗户AC(CF=2.2m),某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要 将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚AB的宽度为0.8m,此时∠ABF=· (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角∠α=68°，被遮挡形成的阴影 CD=1.5m,则展开后的遮阳棚AB'= .(参考数据：sin68°≈0.92，c0s68°≈0.37，tan68°≈2.50) (3)小强的爸爸准备将房后一块长16m,宽12m的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路 (如图4)，并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为xm,求x的值. 。考点4实物图中方位角问题 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(2026江西赣州一模)小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥， 经过测量得到以下数据：如图，人行桥AB长120米，乡村振兴大厦点C在点A的正西方，点B在点A南偏 西57.7°方向，点C在点B北偏西70.2°方向.（结果精确到整数，参考数据：sin57.7°≈0.85， c0s57.7≈0.53，sin70.2°≈0.94，tan70.2°≈2.78，tan9.3°≈0.16，tan13.6°≈0.24) C 乡村振 兴大厦 人行桥 安居工B 程小区 (1)求桥东头与振兴大厦的水平距离AC的长； (②)已知测量点A,B,C在同一水平面上，且点C距离地面2米，在A处测得振兴大厦顶端的仰角为9.3°； 在B处测得振兴大厦顶端的仰角为13.6°，求振兴大厦的高度， 16.(2025江西.一模)为了加强海洋意识宣传教育，某校组织学生参加“筑梦海洋向海图强主题研学活 动.活动内容是借助指南针测量有暗礁的A,C两岛屿之间的距离. 【活动准备】 图1是学生研学的地方，该地由A,B,C三个岛屿组成.己知A,B两岛屿间的距离为610m,图2是它的 示意图.他们分别在A,B两岛屿测量，测得的数据如下：C,B两岛屿分别在A岛屿的北偏东59°和北偏 东81°的方向上，C岛屿在B岛屿的北偏西62°的方向上. 【目标任务】 图1 图2 (1)求∠C的度数： (2)求有暗礁的A,C两岛屿之间的距离（结果精确到0.1m)· (参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66) 17.（23-24八年级下·江西九江·月考)课本再现： 承前启后： 前面已经证明了“等腰三角形的两底角相等”；反过来，命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”成立吗？ 事实上，可以发现并证明上述命题是等腰三角形的一个判定定理， 定理证明： 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)小敏根据上述定理，已经写出了已知，求证，请你完成证明过程. 己知：如图1，在ABC中，∠B=∠C,求证：AB=AC. B 图1 解决问题： (2)如图2，一架飞机在距离地面9km的高空上自东向西飞行，飞机在A处测得地面某小岛C在其南偏西 60°方向，飞行一段距离后，在B处测得小岛C在其南偏西30°方向，求AB之间的距离. B A 西← 东 609 30 图2 18.（(2026广西桂林.一模)涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔+塔高）超过97 米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑.某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正 南方向航行.欲前往位于涠洲灯塔P南偏西75°方向的作业点C,渔船的航行速度为8海里/小时.当天该 艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下： 防城港市 北海市 B 北部湾 涠洲岛 1 ①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西30°方向上的点A处； ②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西45°方向上的点B处； ③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散. 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求涠洲灯塔P到航线AC的距离： (②)若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾？请说明理由（参考数据：√3≈1.73）. 9/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一考点5实物图中仰角俯角问题 19.（2023辽宁.中考真题)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰， 由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B.D,E,F在同一 平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计） D 30 (1)求登山缆车上升的高度DE: (2)若步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结 果精确到0.1min) (参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 20.(2023湖北中考真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD,斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.己知斜坡CD长度为20米， ∠C=18°，求斜坡AB的长.（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.3l,cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） A D =3:4 B 21.(2025江西一模)八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌 起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡AB=5m,坡度i=3:4,在点B处看塔 尖的仰角为72°，AE=20m. D (1)求点B到地面的垂直高度； 10/14