专题01 填空题第12题多解题+无刻度直尺作图（抢分专练，江西专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题01 填空题第12题多解题+无刻度直尺作图 考点1 平面直角坐标系中的多解题 1．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C是x轴正半轴上一点．设α，β分别是的两个内角，若满足，则点C的坐标为____________． 2．（2025·江西宜春·一模）如图，等边的边长为2，若点绕点O旋转后，恰好与的某边上的点P重合，则点P的坐标是______． 3．（2025·江西九江·一模）如图，在中，点，，，是线段的中点，，分别是边，上的动点，当以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点的坐标为______． 4．（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为________ 5．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________. 考点2 三角形中的多解题 6．（2026·江西上饶·一模）如图，在等边中，，点D为边上一点，，点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，设，若a是y关于x的函数的系数，且函数图象与x轴只有一个交点，则正方形的面积为________ 7．（2025·江西新余·三模）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为______． 8．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，为BC边上一动点（点不与点重合）．将沿AP翻折得到，连接．当与的一边相等时，的长为______________． 9．（2025·江西景德镇·一模）如图，是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则______． 10．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为________． 11．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边的中点，现将点绕着点按顺时针方向旋转角度得到点，连接，．若是轴对称图形，则边上的高为________． 12．（2025·江西抚州·一模）如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为________． 考点3 特殊四边形中的多解题 13．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    14．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在菱形中，，，点在边上，的长为整数，且，以为半径，点为圆心作圆交菱形的边于点，则的长为______． 15．（2025·江西·模拟预测）如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为_________． 16．（2025·江西上饶·一模）已知正方形的边长为6，P（不与点A重合）为射线上的动点，点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为__________．    考点4 圆中的多解题 17．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 18．（22-23九年级上·江西上饶·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在线段上，以点D为圆心，为半径作，且与的两边相切，则x的值为______．    19．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，以为直径的半圆，圆心为点，为半圆上一点，连接，，若为等腰三角形，则的度数为___________． 20．（25-26九年级上·江西赣州·月考）已知抛物线，是抛物线上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为________． 21．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 考点5 方格子中的无刻度直尺作图 22．（2026·江西赣州·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出的重心； (2)在图2中，取的中点，连接，作． 23．（2026·江西吉安·一模）如图所示的是的正方形网格，已知，，三点均在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作，使得． (2)在图2中作，使得． 24．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图：在的网格中，、、为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示． (1)图1，在将线段绕顺时针旋转得线段，再在上找一点，使得； (2)在图2，先作边高，再在上找一点，使得． 25．（2026·江西·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图（1），在线段上找一点D，使得将分成两个等腰三角形； (2)如图（2），在的边上找一点F，使得． 26．（2025·江西上饶·一模）如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的上作点D，使得． (2)在图2中的上作点E，使得． 考点6 圆中的无刻度直尺作图 27．（2025·江西景德镇·一模）请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． (2)在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 28．（2025·江西·模拟预测）如图，锐角是的内接三角形，E为边的中点，D在边的延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出一条与弦垂直的直径； (2)在图2中，作出的平分线． 29．（2026·江西九江·一模）如图，已知点在直角三角形的斜边上，以为直径的与直角边相切于点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中过点作的平行线； (2)在图2中过点作的平行线． 30．（2026·江西·模拟预测）如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，过点B 作的切线交的延长线于点 D．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(不写作法，保留作图痕迹) (1)在图(1)中，作出一个以为斜边的直角三角形； (2)在图(2)中，作出一个以为边的菱形． 考点7 多边形或三角形中的无刻度直尺作图 31．（2025·江西抚州·二模）如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 32．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 33．（2025·江西·模拟预测）如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 34．（2025·江西·模拟预测）如图，已知， 且点B，C，D 在同一直线上．请仅用无刻度的直尺按下列要 求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出，使 (2)在图2中，在直线的上方作出，使 35．（2025·江西·模拟预测）如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，若，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中作的角平分线； (2)在图2中画以为边的菱形． 考点8 特殊四边形中的无刻度直尺作图 36．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 37．（2020·江西南昌·二模）如图，已知正方形与，点E在上，且为的中点，点在线段的反向延长线上．请利用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图的痕迹）．    （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，画出的垂直平分线． 38．（2025·江西·模拟预测）如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ． (1)在图1中，以为边，作矩形； (2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）． 39．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段与线段平行且等于线段的长的两倍． (2)在图2中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． 40．（2025·江西·模拟预测）如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，作出的垂直平分线； (2)在图2中，作出的垂直平分线． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 填空题第12题多解题+无刻度直尺作图 考点1 平面直角坐标系中的多解题 1．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C是x轴正半轴上一点．设α，β分别是的两个内角，若满足，则点C的坐标为____________． 【答案】，或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题． 先分别求出A，B的坐标及，的长，根据动点C的位置，画出图形分情况讨论． 【详解】解：在中， 当时，；当时，， ，， ，， ． (1)若点C在点A左侧， 则，． ， ， ． ∵，分别是的两个内角，且， ，， 如图(1)， ， 平分． 过点C作于点D， ， 则， ，， ， ． 设， 则， 在中，， ， 解得， ∴点C的坐标是． (2)若点C在点A右侧， 则， 或． ①当，时， 如图(2)， 同理(1)可得平分． 过点A作于点E， 则， ． ，， ， ， ， ， 点C的坐标是 ②当，时， 如图(3)， 同理(1)可得． 又， ， ，即． ． ∴点C的坐标是． 综上，点C的坐标为，或． 2．（2025·江西宜春·一模）如图，等边的边长为2，若点绕点O旋转后，恰好与的某边上的点P重合，则点P的坐标是______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，分点P与边上的点重合，点P与边上的点重合，点与边上的点重合三种情况讨论求解即可， 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，． 当点P与边上的点重合时，则， 过点作轴于点D， ∴， ， ∴点； 当点P与边上的点重合时，连接，则，过点作轴于点E． 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴点； 当点与边上的点重合时，则， ∴点． 综上所述，点的坐标是或或， 故答案为：或或． 3．（2025·江西九江·一模）如图，在中，点，，，是线段的中点，，分别是边，上的动点，当以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形综合，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．先求出点，再求出直线的函数解析式是，设点，．分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：点，，是线段的中点， 点， 设直线的解析式为：，把、代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点，． 分三种情况： ①当时，如图1．过点作，交于点，过点作，交于点， 点，，，， ∵，， ∴， ∴， ，， ∴， 解得， 点的坐标为； ②当时，如图2．过点作交于点，过点作，交于点， 点，， 同理，可得， ，， 解得 点的坐标为； ③当时，如图3．过点作，，， 点，． 同理，可得， ， 解得 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 4．（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为________ 【答案】或或 【分析】先根据含30度直角三角形的性质得出，．再分三种情况，分别画出图形利用含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质以及角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：，， ，． ①如答图1，当平分时，． ， ． ， ②如答图2，当平分时， 则， ， ③如答图3，当平分时， 过点P作于点C， 则． ， ， 故答案为：，或 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的定义以及角平分线的性质，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键． 5．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________. 【答案】，或 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及等腰三角形的性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 对点的位置及直角顶点进行分类讨论即可. 【详解】解：由题知，设点， 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A右侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 综上所述，点的坐标为，或. 故答案为：，或. 考点2 三角形中的多解题 6．（2026·江西上饶·一模）如图，在等边中，，点D为边上一点，，点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，设，若a是y关于x的函数的系数，且函数图象与x轴只有一个交点，则正方形的面积为________ 【答案】1或4或9 【分析】设，分情况讨论：若或若，求出的值，根据等边三角形的性质得到，进而得到，点D到直线的垂线段长度为的最小值，当点E与点B重合时，为最大值，求出的取值范围，从而求出正方形的面积． 【详解】解：设， 若，则函数为一次函数， 该函数图象为直线，必定与x轴只有一个交点，符合题意； 若，则函数为二次函数， 令得：， 则判别式， 解得或， 在等边中，，， ， 由于点E是边上的动点， 如图，过点D作， 则的最小值为点D到直线的垂线段长度， 在中，， ， 当点E与点B重合时，为最大， 过点D作，则， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的取值范围为：， 的可能取值为1、2、3， ∵正方形的面积为， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，正方形的面积为1或4或9． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、二次函数的性质、解直角三角形、正方形的面积、勾股定理，熟练掌握相关性质、分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 7．（2025·江西新余·三模）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，斜边交于点．若是等腰三角形，则的长为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键；根据题意得出，进而分，当点与点重合时，点与点重合，则为等腰三角形，当时，为等腰三角形，分三种情况讨论，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：，， ． ①如图1，当时，为等腰三角形， 此时，， ； ②如图2，当点与点重合时，点与点重合， 则为等腰三角形， 此时可得； ③如图3，当时，为等腰三角形， 此时，， 过点作的垂线，垂足为，可得， 又， ， ， ． 综上所述，的长为或或． 8．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，为BC边上一动点（点不与点重合）．将沿AP翻折得到，连接．当与的一边相等时，的长为______________． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分三种情况讨论：①当，且点在下方时，②当，且点在上方时，③当时，点与点重合，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①当，且点在下方时，如图： ， 由折叠知，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ； ②当，且点在上方时，如图： 由折叠知，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点共线， ， ∴； ③当时，点与点重合，过点作，垂足为，如图： ， ∵， ． 9．（2025·江西景德镇·一模）如图，是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则______． 【答案】或或 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 当时，设交于点H， 如图，当点在上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，画出示意图是解题的关键． 10．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为________． 【答案】或或 【分析】先求出，，由旋转可知，，，分三种情况：①当的垂直平分线经过的中点时，②当的垂直平分线经过的中点时，③当的垂直平分线经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质和解直角三角形求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 由旋转可知，，， ， ①当的垂直平分线经过的中点时，连接， ，， ， ， ，， ； ②当的垂直平分线经过的中点时，，令垂直平分线与交于点，连接， 由垂直平分线的性质可知，， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作于点，则四边形是矩形， ， ， ， ； ③当的垂直平分线经过的中点时，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． 11．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边的中点，现将点绕着点按顺时针方向旋转角度得到点，连接，．若是轴对称图形，则边上的高为________． 【答案】或或 【分析】连接，根据含角的直角三角形的性质可得，根据直角三角形的斜边中线定理可得，推出是等边三角形，得到，由旋转可得：，是轴对称图形，分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合对称、三角函数求解即可． 【详解】解：连接， 在中，，，， ， 是斜边的中点， ， ， 是等边三角形， ， 由题意可得：， 是轴对称图形，分以下三种情况： 当时，，如图，过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ，即边上的高为； 当时，如图，过点作，交的延长线于点， ， 是等边三角形， ， ， ，即边上的高为； 当时，当D在BC右侧时， 过点作于点， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 点在的延长线上， ，即边上的高为； 当D在BC左侧时，同理可得 ， ∴，即边上的高为； 综上所述，边上的高为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，三角函数，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，对称的性质，掌握相关知识是解题的关键． 12．（2025·江西抚州·一模）如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为________． 【答案】3或6或9 【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及平行四边形的判定与性质、两个直角三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用，根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时，画出图形，数形结合，列方程求解即可得到答案．解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：由已知可得，从需，从（或从）需， 设点的运动时间为， ①当时， 过作于，过作于，如图所示： ， ， 由点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动， 则， 在平行四边形中，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（不是整数，舍去）； 当四边形是平行四边形时，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为3时，； ②当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∴， 解得； 由①知，若四边形中，，，时，则， 这种情况在时不存在； ∴为6时，； ③当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为9时，； 综上所述，为3或6或9时，， 故答案为：3或6或9． 考点3 特殊四边形中的多解题 13．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 14．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在菱形中，，，点在边上，的长为整数，且，以为半径，点为圆心作圆交菱形的边于点，则的长为______． 【答案】或或 【分析】以为轴，过垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交轴于点，由的长为整数，且，则或，又四边形是菱形，则，，可得，根据待定系数法求出解析式为，设，再通过平面直角坐标系两点间的距离求出，再分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】解：如图，以为轴，过垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交轴于点， ∵的长为整数，且， ∴或， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵点在边上， ∴设， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或， 如图，当时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， 综上可得：的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程，直角三角形的性质，一次函数的性质，求函数解析式，平面直角坐标系两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（2025·江西·模拟预测）如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为_________． 【答案】3或1或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、，、，三种情况，分别根据题意作出图形，利用等腰三角形的定义、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：由题意可知，需分三种情况讨论∶ ①如图（1），当、时， 此时点G与点B重合， 即； ②如图(2)，当，时， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． ③如图（3），当时，过点G作于点H，则四边形是矩形， ∵，， ∴ ∴四边形是正方形， ∴．，即，． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 综上，的长为3或1或． 16．（2025·江西上饶·一模）已知正方形的边长为6，P（不与点A重合）为射线上的动点，点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为__________．    【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，求出的长，并证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第二种情况是当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，推出为等边三角形，证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第三种情况是当，且点E在的垂直平分线上时，证为等边三角形，求出，即可求出的长． 【详解】解：由折叠的性质知，， ①如图1，当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，   ， 为等边三角形， ，， ，， 在四边形中， ，， ， ， ∴在中， ， ； ②如图2，当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，    由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ∴在中，， ； ③如图3，当，且点E在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，   ， 又， 为等边三角形， ， ， 在中，， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答． 考点4 圆中的多解题 17．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 18．（22-23九年级上·江西上饶·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在线段上，以点D为圆心，为半径作，且与的两边相切，则x的值为______．    【答案】或或1 【分析】分三种情况考虑：与直角边、斜边都相切；与直角边、斜边都相切；与直角边、与直角边相切；画出图形分别进行求解即可． 【详解】如图，与直角边、斜边都相切时，则是的角平分线， 过点C作于点F，则，   ， ， ， 由题意得：，，， ，， 由勾股定理得：， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：； 如图，与直角边、斜边都相切时，则点D在的角平分线上， 连接并延长交于点G，过G作于点H，设与直角边相切于点E，则，   是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴ ， ， ， ， ； 当与直角边相切于点F，与直角边相切于点E， 则，    ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上，x的取值为或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定和性质等知识，注意分类讨论，构造适当的辅助线是解题的关键． 19．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，以为直径的半圆，圆心为点，为半圆上一点，连接，，若为等腰三角形，则的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及四点共圆的判定，关键是利用直径所对圆周角为直角得出、、、四点共圆，再分三种等腰三角形情况讨论，结合圆心角与圆周角的关系求解的度数． 【详解】解：∵，为直径， ∴点在以为直径的圆上，即、、、四点共圆，圆心为． ∵，， ∴， ∴． 分三种情况讨论为等腰三角形： ①当时，， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 20．（25-26九年级上·江西赣州·月考）已知抛物线，是抛物线上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数综合应用问题，切线的性质，由与轴相切，可得点P到x轴的距离等于半径2，即点P的纵坐标为2或，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：∵与x轴相切，且半径为2， ∴点P到x轴的距离为2，即， ∴或． 当时， ， 解得，， ∴点P坐标为或． 当时， ， 解得， ∴点P坐标为． 综上所述：点的坐标为或或； 故答案为或或． 21．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 【答案】或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，切线的性质，根据题意得到点的纵坐标为1或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的半径为1，当与轴相切时， ∴点P到x轴的距离为1 ∴点的纵坐标为1或， 当时， 解得； 当时， 解得； ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 考点5 方格子中的无刻度直尺作图 22．（2026·江西赣州·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出的重心； (2)在图2中，取的中点，连接，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，易知四边形为矩形，根据“矩形的对角线相互平分”可得；取格点，使得，过点的格线交于，易得，则有，即；连接，则点即为的重心； （2）取格点，使得，过点的格线交于，易得，则，所以，即点为的中点；连接并延长，交格线于点，在中，易知，且，则，即，结合，可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求； 23．（2026·江西吉安·一模）如图所示的是的正方形网格，已知，，三点均在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作，使得． (2)在图2中作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点E，连接即可； （2）取格点F，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，为所求．（答案不唯一） 理由：连接，设交于点， 根据网格的特征知：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，为所求．（答案不唯一） 理由：取格点F，连接，取格点D，连接， 根据网格的特征知：，，， ∴，， ∴，即． 24．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图：在的网格中，、、为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示． (1)图1，在将线段绕顺时针旋转得线段，再在上找一点，使得； (2)在图2，先作边高，再在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—旋转变换，解直角三角形，轴对称的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转的性质作出线段，取格点、，连接交于点，连接，点即为所求（由得，可得）； （2）取格点，连接交于点，线段即为所求．取格点，，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点（，关于对称，可得）． 【详解】（1）如图，线段，点即为所求； （2）如图，线段，点即为所求 25．（2026·江西·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图（1），在线段上找一点D，使得将分成两个等腰三角形； (2)如图（2），在的边上找一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用网格作图，直角三角形斜边中线定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）借助网格中的平行线，利用对应线段成比例，确定线段中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行作图即可； （2）由勾股定理得出,确定为等腰三角形，利用矩形对角线的交点确定的中点，利用三线合一得出角平分线和高线，利用网格构成的直角三角形确定,利用余角定理即可确定． 【详解】（1）解：如图(1)，点D即为所求. （2）解：如图(2)，点F即为所求． 26．（2025·江西上饶·一模）如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的上作点D，使得． (2)在图2中的上作点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理 ，锐角三角函数等知识，解题的关键是∶ （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接交于点即可． 【详解】（1）解∶如图，点D即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解∶如图，点E即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是直角三角形， ∴． 考点6 圆中的无刻度直尺作图 27．（2025·江西景德镇·一模）请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． (2)在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交圆于两点，交于点O，根据矩形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点O为所求； （2）延长交圆于两点，连接交于点G，连接，作射线交于点P，根据全等三角形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点P为所求； 【详解】（1）解：如图所示，圆心为所求： （2）解：如图所示，点P为所求： 理由：连接， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴点P为圆心． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，整我圆周角定理是解题的关键． 28．（2025·江西·模拟预测）如图，锐角是的内接三角形，E为边的中点，D在边的延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出一条与弦垂直的直径； (2)在图2中，作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作直线分别交于，则由垂径定理可得，则直径即为所求； （2）在（1）图上作射线，射线即为所求，连接，由圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，由垂径定理可得，从而得出，即射线平分． 【详解】（1）解：如图，直径即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 29．（2026·江西九江·一模）如图，已知点在直角三角形的斜边上，以为直径的与直角边相切于点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中过点作的平行线； (2)在图2中过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）与的交点即为点，由直径所对的圆周角为直角可得，那么，即可得到此时； （2）设与的交点为点，连接，交于点，交于点，连接并延长交即为点，连接，则即为所求． 由圆的切线的性质可得，结合可得，则，可证明四边形是矩形，则，那么，可由证明，则，再由可证明，则，结合可得四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：即为所求． 30．（2026·江西·模拟预测）如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，过点B 作的切线交的延长线于点 D．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(不写作法，保留作图痕迹) (1)在图(1)中，作出一个以为斜边的直角三角形； (2)在图(2)中，作出一个以为边的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、圆的基本性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的性质是作图的关键． （1）延长交于点，连接，交于，即可得以为斜边的直角三角形； （2）延长交于点，延长交于点，连接、、，即可得菱形． 【详解】（1）解：延长交于点，连接，交于，如图(1)， 即为所求． (答案不唯一) 理由：为的直径， ， 平行四边形中，， ， 是直角三角形； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接、、，如图（2），菱形即为所求． 理由：连接， 中，， 是菱形， ， 是等边三角形，同理可证明是等边三角形， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是菱形． 考点7 多边形或三角形中的无刻度直尺作图 31．（2025·江西抚州·二模）如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查正六边形的性质，平移和轴对称，正确掌握正六边形的性质是解答关键． （1）分别延长，分别交和的延长线于点，，连接，则线段是线段沿方向平移2个单位长度得的； （2）分别连接，设与交于点，连接，并延长，交于点，则点为点关于的对称点． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点为点关于的对称点． 32．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 33．（2025·江西·模拟预测）如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点G，连接并延长交于点F，则即为绕点顺时针旋转得到的线段，根据等腰三角形三线合一和全等三角形的性质证明即可； （2）同（1）作出点G，连接交于点M，连接并延长交于点H，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，    ∵，D为边的中点 ∴，即垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴绕点顺时针旋转得到； （2）如图所示，    ∵为的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵点M在上，点E和点G关于对称 ∴和关于对称 ∴点F和点H关于对称 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴将绕点顺时针旋转得到． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 34．（2025·江西·模拟预测）如图，已知， 且点B，C，D 在同一直线上．请仅用无刻度的直尺按下列要 求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出，使 (2)在图2中，在直线的上方作出，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，全等三角形和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练利用全等三角形的性质是解题的关键． （1）连接，则即为； （2）延长交于点，即为． 【详解】（1）解：如图，连接，则即为， ， ， ，， ； （2）解：如图，延长交于点，即为， ， ， ． 35．（2025·江西·模拟预测）如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，若，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中作的角平分线； (2)在图2中画以为边的菱形． 【答案】(1)线段即为所求 (2)菱形即为所求 【分析】本题主要考查作图，角平分线的性质，菱形的判定和性质等知识； （1）连接，交于点，即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长，交的延长线于D，连接，利用相似三角形的性质画出即可求出． 【详解】（1）解：连接，交于点，即为所求， ，， ， 由旋转可得：，， ， ， ， 即平分； （2）解：连接，交于点O，连接并延长，交的延长线于D，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴为平行四边形， 又∵ ∴为菱形，且以为边的菱形． 考点8 特殊四边形中的无刻度直尺作图 36．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 37．（2020·江西南昌·二模）如图，已知正方形与，点E在上，且为的中点，点在线段的反向延长线上．请利用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图的痕迹）．    （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，画出的垂直平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）如图1，连接GE并延长交AD于点H，根据ASA易证△AEH≌△BEG，可得AH=GB=FE，连接FH交AB于点P，根据AAS可证明△APH≌△EPF，可得AP=PE，问题即得解决； （2）如图2，延长FE交CD于点L，连接AC、BD交于点M，连接BL、CE交于点N，作直线MN，由正方形和矩形的性质可得：直线MN即为BC的垂直平分线． 【详解】解：（1）如图1，点P即为所求；    （2）如图2，直线MN即为所求．    【点睛】本题以作图题的形式考查了正方形的性质、矩形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 38．（2025·江西·模拟预测）如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ． (1)在图1中，以为边，作矩形； (2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，再连接并延长交于点，连接，则矩形即为所作，由菱形可得，可得，可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出矩形； （2）设（1）中分别与相交于点，连接，则菱形即为所作，由矩形可得，可得，再由可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出菱形． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所作； （2）解：如图，菱形即为所作； 【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 39．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段与线段平行且等于线段的长的两倍． (2)在图2中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由，分别是，的中点，可得是的中位线，得到； （2）连接、交于点，再连接，交于点，最后连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求所作； （2）如图，线段即为所求， 四边形是正方形， ，，，是、的中点， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ，分别是，的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ，， 即线段即为所求． 40．（2025·江西·模拟预测）如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，作出的垂直平分线； (2)在图2中，作出的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度尺作图、垂直平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接相交于点F，连接相交于点G，过作直线即为所求； （2）如图：连接相交于点N，连接交于点H，连接并延长交于M，过作直线即为所求． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：直线即为所求； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $