数学终极押题猜想（四川成都专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想（成都专用） 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数综合压轴问题（解答题） 1 押题猜想二 几何图形综合压轴问题（解答题） 10 押题猜想三 反比例函数与几何图形综合压轴 20 押题猜想四 圆的综合问题（解答题） 30 押题猜想五 方程（组）与不等式、函数综合应用（解答题） 36 押题猜想六 二次函数含参问题（填空题） 40 押题猜想七 几何图形综合压轴问题（填空题） 45 押题猜想八 代数类综合压轴问题（填空题） 51 押题猜想九 几何图形与尺规作图（填空题） 54 押题猜想一 二次函数综合压轴问题（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得，，， ，，，，，将，代入，得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，，，， ，，， ，，，点的坐标为，， ，， ，，解得：或， 点在第一象限，，，，； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线，新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，，，， ，整理得：， 联立，得，，， ， ， ，即，或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为，直线恒过定点． 分析有理·押题有据 二次函数与代数综合压轴问题，是从22年成都中考改革后，新增的热点。二次函数综合压轴的考查不仅仅是考查二次函数与几何图形综合，而是倾向于二次函数与代数方面的结合（如与根与系数的关系），成都真题中出现了直线（曲线）过定点问题、动点过定直线问题、与根与系数相关的新定义和定值问题等。 1）直线（曲线）过定点问题：这类题的关键是‌无论参数如何变化，直线或曲线始终经过某个固定点‌。 ‌‌参数法（通法）：将曲线方程用参数表示，整理成关于参数的方程。若方程对所有参数值成立，则参数的系数必须为零，由此解出定点坐标。 2）动点过定直线问题：是“过定点”的逆向思维，‌无论动点如何运动，其轨迹始终在某条固定直线上‌。 解法思路‌：通常通过几何性质（如对称、相似）或代数方法（消参）证明动点的横坐标或纵坐标恒为定值，或横坐标与纵坐标存在某种关联。 3）‌韦达定理相关的定值或新定义问题：这类题将‌韦达定理与二次函数结合，考查新定义或定值证明。 韦达定理是桥梁‌：直线与二次曲线联立后，利用韦达定理表示根的和与积，简化计算。 终极猜想·精练通关 1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【详解】（1）解：抛物线：（），当时，，∴，， ∵，∴，又∵，∴， 代入得，，解得：，∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点，设直线的解析式为， 代入得，，解得：，∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形，∴，，设， ∵，∴，∵点在直线上，∴，解得：，， 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴； 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴；∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，，联立，消去整理得：， ∴，，∴， ， 设，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 整理得：， ∵点是定点，∴，，，解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 2.如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【答案】(1)(2)(3)点的运动轨迹是一条定直线 【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，则，则， ∵，∴，，∴，， 将代入，得，解得：，∴； （2）解：∵，，，∴，，，过点作于点， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，代入，解得：，∴ ， 联立抛物线解析式，可得，解得：或（舍去），∴； （3）解：设，∵，，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴，设的解析式为，， ∴，解得：，∴， 联立，消去得：， 联立，消去得：， ∵，∴，即， 由可得，依题意，直线的解析式为，即， 联立，则，∴，， ∴，消去得：， 解得：（与直线重合，故舍去）或，即点的运动轨迹是一条定直线． 3.如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为(2)①，②周长的最大值为 (3)存在，定点F 的坐标为 的值为4 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴． 把点代入 中，得，∴抛物线的解析式为 ， 当时，，∴点C的坐标为； （2）解：设直线 的函数解析式为，把代入，得 ，解得 ， ∴直线 的函数解析式为，∵，∴． ∵轴，∴．∴是等腰直角三角形．； ①当点 M 运动到抛物线的顶点时，点 N的坐标为，∴． ∴的周长为 ； ②设 其中，则， ∴的周长为 ，∴当 时，的周长有最大值，最大值为 ； （3）解：存在． 当抛物线 向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到新的抛物线 ，即 ， 设的解析式为，点 S 的坐标为，点T的坐标为，则 ， 联立新抛物线与直线的函数解析式，得 ，整理，得 ， 由根与系数的关系，得 ，则 ， 同理， ，， ， 当 为定值时，有 ， ， 当 时， ，∴定点F 的坐标为 的值为4． 4．我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)有，或(3) 【详解】（1）证明：由题意得：二次函数的“友情函数”为，∴， 整理，得：，∴ ∵，，∴，∴该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点． （2）解：∵，由（1）得：， ∴或， ①若，则由（1）得：，∴，∵，∴ ②若，同理得：，∵0，∴．综上所述，交点的横坐标为或． （3）解：把点代入得：，∴， 由题意得：，∴，整理，得：， 由（1）得：，∴， 由题意得：，是的两个解，∴，， ∴， ∵，∴随着的增大而增大， 当时，，当时，=，∴的取值范围是． 押题猜想二 几何图形综合压轴问题（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】（1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】（3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且．①求证：．②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】（1）见解析（2）（3）①证明见解析② 【详解】证明：，， ，，且， ，； （2）如图，连接，在矩形中，，，， ，，，， ，，， 作于点，，，，，， 设，，则，，，，， ，，，， ，，； （3）①证明：如图，连接，过点作交的延长线于点， 在菱形中，,，，， ，， ，，，，， ，，，在上取一点，使得， 在菱形中，，，， ，， ，，，． 在中，，，，， ，， ，，，； ②，，，四边形为菱形，设， ，即，解得，即， 如图，过点作交于点，，，，． 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考情况来看，本部分会以大题的题型呈现，主要集中在倒数第二题或者最后的压轴题，主要考查三角形和四边形的性质和判定，同时也会涉及到相似、勾股定理、三角函数等知识点或者常见的辅助线问题，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．综合与实践：在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． 【答案】(1)相等（或）；相等（或）(2)见解析(3)(4) 【详解】（1）； ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴， ∵， ∴，即 又∵，∴∴； 故答案为：相等（或）；相等（或）． （2）证明：∵四边形是正方形∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段，∴ ∵，∴即 ∴∴，∵∴ ∴∴四边形是矩形 又∵∴四边形是正方形； （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段，∴ ∵，∴ ∵四边形是矩形，，，∴， ∴∴∵，∴即 ∴∴∵∴ ∴∴四边形是矩形，如图，连接交于点，连接 ∵是的中点，在中，∴ ∴共圆，∴，∵∴∴， 在中，∴ ∵，在中，∴， ∵∴又∴ ∴，即∴ ∴∴∴ 故答案为：． （4）解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴ ∴∴是等边三角形，则 ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴， ∴；∴，即 又；∴，∴ ∴在上运动，且；∴当时，取得最小值， ∵∴又∵∴ ∴当时，故答案为：． 2．如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得． 【初步感知】（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3） 【详解】解：（1）∵，∴，， ∴，即，∴； （2）如图，作于，则， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，设，则，∴，解得：或， 经检验，当或是所列分式方程的解，且符合题意， ∴或，∴，∴的值为或； （3）如图，连接，由（1）可得，∴， ∵P为的中点．∴，∵为等边三角形，∴，， ∴，∴、、、四点共圆，∴， 设，则，，∵在中，，，， ∴，∴， ∵，∴，，∴， ∴，， ∴，解得：，∴． 3．如图，等腰中，，，点分别在边上，且，。(1)求证：；(2)试猜想与的数量关系，并说明理由；(3)连接交于点，若，求的值．    【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴，， ∵，，∴，，∴， ∵，， ∴，∴； （2）解：，理由如下：∵，∴， 过点作于，过点作于，则，，    ∵，∴，∴，∴； 设，则，∴，∴， ∴，∴，∴，∴； （3）解：在上取点，使得，过点作于，取中点，连接， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，则，同理（2）得， ∴，同理（2）得， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴点G是的中点，∵点K是的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，∴， ∵，∴，即， ∴，即， ∵，且为正实数，， ∴，∴，即， ∴；∴． 4．在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：连接，∵是正方形，， ∴，，， ∴，∴，∴； （2）解：过点A作于点G，过点F作于点， ∵，，，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵是平行四边形，∴，∴， ∴，∴， ∴，即，设，则，∴， 同理可得，即，解得，∴，又∵O是的中点，∴， ∴，∴； （3）解：过点D作于点P，作于点Q，设， ∵是菱形，∴，，∴， ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，， 在射线上截取，在射线上截取， ∵是菱形，∴，，∴，， 又∵，∴，∴，，同理：，，∴， ∴，∴，即，∴，解得， 又∵，∴，，∴， ∴，即，解得：，又∵O是的中点，∴，∴． 押题猜想三 反比例函数与几何图形综合压轴（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为2． (1)求B点坐标和反比例函数的表达式；(2)点P为x轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标；(3)点D为线段上一动点，过点D作的垂线交反比例函数图象于，两点，且．连接，当与相似时，求此时点D的坐标． 【答案】(1)，；(2)点的坐标为或或；(3)． 【详解】（1）解：当时，，即点，则， 则反比例函数的表达式为：， ∵与轴交于点，令，解得：，则点； （2）解：设点，联立，解得：，，∴， ∵，，∴，，， 当时，则，解得：或，则点的坐标为：； 当时，则，解得：，则点的坐标为：或， 综上，点的坐标为或或； （3）解：过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴于点， 设交轴于点，交轴于点，则， ∵直线，∴，∴，，， 则， ，设点，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设直线的表达式为：，代入得，解得：， ∴直线的表达式为：，则， 同理可得：，联立反比例函数表达式和的表达式得：， 整理得：，则，， ∵，∴，则，即， 即，即， 整理得：，解得：（舍去）或，即点． 分析有理·押题有据 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 虽然部分特殊几何综合压轴问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 终极猜想·精练通关 1．如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标．(3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：将点代入一次函数，则，∴， 将代入，则，解得：，∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则，解得；或， 将代入得，∴， 在中，令，则，令，则，∴，设， ∵轴，∴， ∵，∴，解得：，∴，∴， 将代入，得，解得，∴． （3）解：∵轴， ，∴轴， ∵，，，∴，，设，则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴． 当点M在轴上方时，如图，则，解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图，则，解得：或（舍去）； 或，解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 2.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点； ∴，∴，∴，，∴，解得：，∴； （2）设直线交轴与点，∵，∴当时，，时，，∴， ∴， 设，∴， ∵，∴，∴，∴或，∴或； （3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵，∴，∴，∴， 设的解析式为：，则：，∴，∴， 联立，解得：或（舍去）；∴； ②当时，将绕点旋转90度得到， 连接交于点，则，， ∴，∴，同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或，∴； 综上：或． 3．平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点(1)求直线的函数表达式；(2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在，或 【详解】（1）解：由题可知，∴反比例函数的表达式为， ∴将代入中得，，解得，即， 设直线的函数表达式为， 将，代入得，，解得，∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过作交轴于点，连接， 则，∴，解得，令，得， ∴，则，∴点，∵，直线的函数表达式为， 联立，解得或，∴点的坐标或； （3）解：存在，理由：由知直线的函数表达式为， ∴，，在中，， 点在第一象限，∴，∴，∵，∴， 如图，过作，且，连接，过E作轴交轴于点，过点作于点，∴为等腰直角三角形，则，∴， ，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴或． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；(3)设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；(2)，或， (3)点P的坐标为或 【详解】（1）解：将代入一次函数的解析式可得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入一次函数得：，解得：，∴， 将代入反比例函数解析式可得，∴，∴反比例函数的解析式为； 联立，解得或，∴； （2）解：如图：令直线交轴于，直线交轴于， 在中，当时，，即G(0,6)，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，由题意可得：，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，即，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为， ∵点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，∴设， 当为菱形的对角线时， ∵点为的中点，且，∴此时点也在直线上，∵点E是坐标轴上一点， ∴在中，当时，；当时，，解得，即此时点的坐标为或， 当点的坐标为时，，解得：，此时，即； 当点的坐标为时，，解得：，此时，即； 当为菱形的边时，由菱形的性质可得：， 即，解得：或， ∴当时，，即，当时，，即，设点， 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意；综上所述，，或，； （3）解：由（2）可得：直线的解析式为， 联立，解得：或，∴， ∵与相似，，∴当时，，如图： 由题意可得此时，∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得，∴，∴直线的解析式为， 联立，解得：或，∴； 当时，，连接，如图： 设，则，，， 由勾股定理可得：，∴，解得：或， ∵，∴，此时； 综上所述，点P的坐标为或． 押题猜想四 圆的综合问题（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线；(2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图1所示： ，，是线段的垂直平分线， 根据垂径定理得：经过的圆心O，是的半径， ，，是的切线； （2）解：过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径，，， 平分，，， 是的切线，为的直径，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，，， 在中，，， ，，，， 在和中，，，， ，；， ，，，， ，根据圆周角定理得：， ，，， ，，，，，解得： 分析有理·押题有据 从近四年成都中考来看，圆的综合问题作为中考必考内容，本考点通常以中等难度的解答题形式出现．其中，第1小问侧重逻辑证明，常涉及切线判定、线段数量与位置关系探究、相似三角形判定等核心内容；第2小问则聚焦计算求解，需综合运用勾股定理、相似性质及锐角三角函数等知识，解决角度计算、线段长度及比例关系等问题． 终极猜想·精练通关 1．如图，在中，，点在上，以为半径的与相切于点，分别交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）证明：如图，连接OD． 是的切线，，∴． 由题意可知，是的直径，， ，， ，； （2）解：是的切线，， ∵，．由（1）知， ，，在Rt中，， ，在Rt中，， 在Rt中，, ．由（1）知，， 又，，． 设，则，， 解得或（舍去），，综上所述，． 2．如图，在中，，与边相切于点D，与分别相交于点E，F，与相交于点G．(1)求证：；(2)若， ，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析(2)的半径为6， 【详解】（1）证明：如图1：连接， ∵与边相切于点D，∴， ∴，即，， 如图：延长交于H，连接，则，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即， 在中，，∴． （2）解：如图：延长交的延长线于点P，过点O作交于点H， ∵，∴在中，， 设，由勾股定理得：，∴，∵，∴，解得：， ∴，∴⊙O的半径为6． ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴是等腰三角形， ∵，∴，∵，∴， ∴，由，得， ∴，解得：，由，得：， ∴，解得：，∴ ∵，∴，∴，设， ∴，解得：，∴． 3．如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 【答案】(1)见解析(2)和的半径 【详解】（1）证明：∵为直径，，∴， ∵是边上的高，∴，∴． （2）解：①如图，与的交点记为F， ∵为直径，，∴是的切线，又与相切， ∴，∴．又∵，∴． ∴，即，∵，∴， ∴，∴，的半径． 4．如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，．(1)求证：；(2)若点F是的中点，为的直径，，，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)的长是，的长是． 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∵，且，∴，∴； （2）解：连接、，作于点L，则， ∵为的直径，∴， ∵点F是的中点，∴，∴， ∴，由（1）得， ∴，，∴，， ∴，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∵，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴或（不符合题意，舍去）， ∴，∴，∴的长是，的长是． 押题猜想五 方程（组）与不等式、函数综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量．(1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量 (2)9个 【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量， 根据题意得：，解得： 答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量； （2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”， 根据题意得：，解得：，∴m的最小值为9， 答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界． 分析有理·押题有据 求解策略：‌ 步骤1‌：根据题意列出方程（组）或不等式（组）； 步骤2‌：优先求解方程（组），得到具体数值； 步骤3‌：将结果代入不等式（组），验证是否满足条件； 步骤4‌：若不满足，调整参数或重新分析题意。 终极猜想·精练通关 1．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）． 【答案】(1)甲，乙两种书柜的价格分别为240元、180元； (2)共有两种方案：方案一：购买甲种书柜1个，则乙种书柜19个；方案二：购买甲种书柜2个，则乙种书柜18个． 【详解】（1）设甲种书柜每个x元，乙种书柜每个y元， 依题意得：，解得：， 所以甲，乙两种书柜的价格分别为240元、180元； （2）设购买甲种书柜m个，则乙种书柜个， 得：．解得： m正整数，m的值可以是1，2，共有两种方案： 方案一：购买甲种书柜1个．则乙种书柜19个，方案二：购买甲种书柜2个，则乙种书柜18个． 2．某校开设智能机器人编程的校本课程，打算购买两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元；(2)若学校预计用不少于14000元且不高于14400元的资金购买两种型号的机器人共40台，则学校共有几种购买方案？(3)在（2）的条件下，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型机器人模型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元 (2)学校共有3种购买方案 (3)购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【详解】（1）解：设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是元， 根据题意可得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，∴， 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元； （2）解：设A型机器人模型购买m台，则B型机器人模型购买台， 根据题意可得：，解得：， ∵m为整数，∴，11，12；答：学校共有3种购买方案； （3）解：设购买两种机器人的花费为y元，则， ∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，元， ∴购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 3．某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 【答案】(1)原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元 (2)与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元 【详解】（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元， 依题意得，，解得， 答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元． （2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，，解得； 设总运费为元，则， ，随的增大而增大， ，当时，取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元． 4．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元．(1)求A、B型设备单价分别是多少元；(2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)型设备单价是元，型设备单价是元． (2)，最少购买费用是元． 【详解】（1）解：设型设备单价为元，型设备单价为元，由题意得 解得，答：型设备单价是元，型设备单价是元． （2）解：由购买型设备台得购买型设备台． 由型设备数量不少于型设备数量的一半，得解得， ∵，∴．在中，，随的增大而增大． ∴当时，有最小值， （元） 综上，与的函数关系式为，最少购买费用是 押题猜想六 二次函数含参问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 。 【答案】或 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵，∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． ∵ ，∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，∴ ，∵ ，∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，．当时，函数值 ；当时，函数值 ． 当时，即，∴，∴此时 ∴，解得（舍去）或（舍去）， 当时，即，∴，∴此时 ∴（舍去）或（舍去）综上所述， 或 故答案为：或 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考情况来看，B卷填空压轴题中出现了定轴动区间和动轴定区间的考查（分类讨论思想）。 “定轴动区间”和“动轴定区间”型最值处理核心是分情况讨论对称轴和区间（自变量的取值范围）的位置关系来求最值‌。 解题通法（定轴动区间） 1）确定对称轴‌：先写出对称轴方程。 2）分情况讨论‌：根据对称轴与动区间的位置关系分三类： （1）对称轴在区间左侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 （2）对称轴在区间右侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 （3）对称轴在区间内‌： 顶点为最值点（开口向上为最小值，开口向下为最大值），另一最值在离对称轴较远的端点。 终极猜想·精练通关 1．已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为 ． 【答案】或 【详解】，∴对称轴为，顶点坐标为． ①当即时，时，，时，， 则，解得，（不合题意，舍去）； ②当即时，时，，时，， 则 ，解得，（不合题意，舍去）； ③当即时，时，，时，， 则，解得（不合题意，舍去）； ④当即时，时，，时，， 则，解得（不合题意，舍去）． 综上，b的值为或，故答案为：或． 2．若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：把和代入可得：， 两式相减得，即， ∵，∴； 把和代入得，解得：， ∴，∴抛物线的对称轴是直线， 当时，则， 若时，即，在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为；即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即，最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 当时，则， 若时，即，在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为；当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即，最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 综上所述，a的取值范围为或． 3．我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是 。 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：，∴顶点所在直线为：， ①当时，顶点坐标为：，此时，抛物线对称轴与的交点为：， 联立抛物线与直线得：，解得：或， ∵，∴对称轴左侧没有整点，∵，当时，抛物线函数值为4，直线函数值为5，抛物线和直线间没有整点，∴直线与抛物线围成区域内没有整点； ②当时，顶点坐标为：，此时，抛物线对称轴与的交点为：， ∴对称轴上有一个整点，联立抛物线与直线：，解得：或2，如图： 当时，抛物线的函数值为2，直线的函数值为4， 此时，抛物线与直线围成区域内的整点有：和，共两个， ③当时，顶点坐标为：， 联立抛物线与直线方程：，解得：，如图： 此时，围成区域内的整点有，，，，共四个整点； 结合①②③的情况可知，a越小，围成的区域内整点数越多， ∴要使围成的封闭图形内共有4个整点，需要． 4．定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ，①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得，解得：，又此时，故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 押题猜想七 几何图形综合压轴问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，在中，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折得到，与交于点，当时，则______ 【答案】 【详解】解：∵，，∴，由翻折可得：， ∵，∵，∴， 设，则，∴， ∵，，，∴， ∵，∴，∴，设，则， ∵，∴，解得：，∴，∴， 在中，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴，即，∴，在中，， ∴， 在中，，∴，故答案为：． 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考情况来看，本部分多以小题的压轴题呈现，对于知识点考察主要集中在三角形、四边形、解直角三角形、相似为主，特别是会涉及到特殊四边形的性质以及判定，同时对于折叠问题主要是主要折叠的边相等，角相等；综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 备考过程中，还需要熟悉并掌握常见的最值模型（将军饮马（遛马过桥）、费马点、胡不归、瓜豆原理、隐圆模型等），可有效提升解题效率。 终极猜想·精练通关 1．如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，延长，交于点G，延长，交于点F，过点F作于点H， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 设，，则， 又∵，∴，整理得，在中，， ，∴，∴， ∴．故答案为： 2．如图，在中，，是上的中线，将沿进行翻折，使得点B落在点P处，连接，分别交于点O，E，与相交于点F，连接．若，则______． 【答案】/ 【详解】解：，设，，，， ，，， 由翻折的性质得：，，， 点D是的中点，是的中位线，，， ，，， ，，①，②， 由①得，由②得，，解得：， ，， ，，， 在和中，，，， 在中，由勾股定理得：，，，，故答案为：． 3．如图，已知点和y轴上的动点，点B在第二象限内，和都是等边三角形（B、C、D按顺时针排序）．将沿翻折得，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为，则y与x的函数关系式为_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，  和是等边三角形， ，，，，，即， 在和中，，，， ，，∴， 点在与轴正半轴的夹角为的直线上运动， 设直线与的交点是，连接，作交于， ，，， ，，∴， ∴，， ∴，；由折叠的性质可得，， ∴，∴，，即； 如图所示，设交y轴于H， ∵，∴， 在中，，∴，同理可得， ，，，点、、、共圆， ，连接，∵，∴， ∵，∴垂直平分，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴三点共线； ∵，∴，∴，∴，∴， 设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为， ∵点E的坐标为，∴故答案为：． 4．如图，在矩形中，点E是边延长线上一动点，连接，若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：作，且使得，取中点，连接，，， 四边形是矩形，∴，， ，，， ，即，， ，，当取最大值时，的值最小， ∵，∴当点三点共线，且在延长线上时，取最大值即为， ∵∴设，，∵，点为中点， ∴，， 为最小值．故答案为：． 押题猜想八 代数类综合压轴问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推，当n为偶数时，；故答案为：． 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考来看，该内容为新增重要考点，主要考查学生对新概念的理解能力和思辨能力，符合新课标的核心素养。代数类压轴题近几年几乎每年都考，难点不同年份有略微差异，基本上在B卷的21题或23题的位置，解决这类问题的关键就是认真审题，先搞清楚题目给定的新概念，再结合所学知识解决即可。这类问题本质还是考查已学过的知识点，读懂新概念是关键。 终极猜想·精练通关 1．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是 ，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 设m的十位数字为a，个位数字为b，则，，∴， ∵“积减数”最小，又是正整数，∴，，∴最小的“积减数”是； ∵，∴， ∴，且， 当时，余数为，即，则； 当时，余数为，即，则； 当时，余数为，无解； 当时，余数为，即，则； 满足条件的所有正整数A的和为，故答案为：，． 2．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【答案】 117 665 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数，则， 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是，故答案为：117，665． 3．如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 【答案】 3 【详解】当时，当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时，当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个；…； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个．故答案为：3；． 4．定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ，， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ，∵为正奇数，∴为整数，∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数，， ∵∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ，∴当时，的最大值是485，∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 试题前瞻·能力先查 限时：5min 如图，在,，D为中点，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的外部交于点；③作直线交于点H．若,，则 ． 【答案】 【详解】根据作图可得，垂直平分∴ ∵，∴ ∵∴∴ ∴∴．故答案为：． 分析有理·押题有据 本考点为成都中考必考考点，常在选择题第8题或填空题13题出现，难度中等。尺规作图题属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 终极猜想·精练通关 1．小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心，任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图可得，，，∴四边形是平行四边形， ∴，，由题意无法说明， 结合选项可知，A、B、D选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；故选：C． 2．如图，是等边三角形，分别以和点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点，又以为圆心，以的长度为半径画弧交的延长线于点，连接并延长交于点，经过此操作后，下列结论错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据作图可得，垂直平分线段， ∵是等边三角形，∴，平分，点是中点， ∴是线段的垂直平分线，∴与重复，∴平分，故A选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，即，故B选项正确，不符合题意； ∵点是的中点，∴，∵， ∴， 在中，是斜边，是直角边，∴，∴，故C选项错误，符合题意； ∵，∴，且， ∴在中，，故D选项正确，不符合题意；故选：C ． 3．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，设，交于点 四边形是矩形，，， 由作图过程可知：是的角平分线，∴ ∵∴又∵∴ ∴，则， ，故答案为：． 4．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：由题意得垂直平分，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴；故答案为：． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想（成都专用） 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数综合压轴问题（解答题） 1 押题猜想二 几何图形综合压轴问题（解答题） 10 押题猜想三 反比例函数与几何图形综合压轴 20 押题猜想四 圆的综合问题（解答题） 30 押题猜想五 方程（组）与不等式、函数综合应用（解答题） 36 押题猜想六 二次函数含参问题（填空题） 40 押题猜想七 几何图形综合压轴问题（填空题） 45 押题猜想八 代数类综合压轴问题（填空题） 51 押题猜想九 几何图形与尺规作图（填空题） 54 押题猜想一 二次函数综合压轴问题（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 分析有理·押题有据 二次函数与代数综合压轴问题，是从22年成都中考改革后，新增的热点。二次函数综合压轴的考查不仅仅是考查二次函数与几何图形综合，而是倾向于二次函数与代数方面的结合（如与根与系数的关系），成都真题中出现了直线（曲线）过定点问题、动点过定直线问题、与根与系数相关的新定义和定值问题等。 1）直线（曲线）过定点问题：这类题的关键是‌无论参数如何变化，直线或曲线始终经过某个固定点‌。 ‌‌参数法（通法）：将曲线方程用参数表示，整理成关于参数的方程。若方程对所有参数值成立，则参数的系数必须为零，由此解出定点坐标。 2）动点过定直线问题：是“过定点”的逆向思维，‌无论动点如何运动，其轨迹始终在某条固定直线上‌。 解法思路‌：通常通过几何性质（如对称、相似）或代数方法（消参）证明动点的横坐标或纵坐标恒为定值，或横坐标与纵坐标存在某种关联。 3）‌韦达定理相关的定值或新定义问题：这类题将‌韦达定理与二次函数结合，考查新定义或定值证明。 韦达定理是桥梁‌：直线与二次曲线联立后，利用韦达定理表示根的和与积，简化计算。 终极猜想·精练通关 1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 2.如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 3.如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 4．我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 押题猜想二 几何图形综合压轴问题（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】（1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】（3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且．①求证：．②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考情况来看，本部分会以大题的题型呈现，主要集中在倒数第二题或者最后的压轴题，主要考查三角形和四边形的性质和判定，同时也会涉及到相似、勾股定理、三角函数等知识点或者常见的辅助线问题，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．综合与实践：在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． 2．如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得． 【初步感知】（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长． 3．如图，等腰中，，，点分别在边上，且，。(1)求证：；(2)试猜想与的数量关系，并说明理由；(3)连接交于点，若，求的值． 4．在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 押题猜想三 反比例函数与几何图形综合压轴（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：12min 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为2． (1)求B点坐标和反比例函数的表达式；(2)点P为x轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标；(3)点D为线段上一动点，过点D作的垂线交反比例函数图象于，两点，且．连接，当与相似时，求此时点D的坐标． 分析有理·押题有据 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 虽然部分特殊几何综合压轴问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 终极猜想·精练通关 1．如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标．(3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 2.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点(1)求直线的函数表达式；(2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；(3)设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标． 押题猜想四 圆的综合问题（解答题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线；(2)若，，求和的长． 分析有理·押题有据 从近四年成都中考来看，圆的综合问题作为中考必考内容，本考点通常以中等难度的解答题形式出现．其中，第1小问侧重逻辑证明，常涉及切线判定、线段数量与位置关系探究、相似三角形判定等核心内容；第2小问则聚焦计算求解，需综合运用勾股定理、相似性质及锐角三角函数等知识，解决角度计算、线段长度及比例关系等问题． 终极猜想·精练通关 1．如图，在中，，点在上，以为半径的与相切于点，分别交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求和的长． 2．如图，在中，，与边相切于点D，与分别相交于点E，F，与相交于点G．(1)求证：；(2)若， ，求的半径和的长． 3．如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 4．如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，．(1)求证：；(2)若点F是的中点，为的直径，，，求和的长． 押题猜想五 方程（组）与不等式、函数综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量．(1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 分析有理·押题有据 求解策略：‌ 步骤1‌：根据题意列出方程（组）或不等式（组）； 步骤2‌：优先求解方程（组），得到具体数值； 步骤3‌：将结果代入不等式（组），验证是否满足条件； 步骤4‌：若不满足，调整参数或重新分析题意。 终极猜想·精练通关 1．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）． 2．某校开设智能机器人编程的校本课程，打算购买两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元；(2)若学校预计用不少于14000元且不高于14400元的资金购买两种型号的机器人共40台，则学校共有几种购买方案？(3)在（2）的条件下，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型机器人模型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 3．某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 4．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元．(1)求A、B型设备单价分别是多少元；(2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 押题猜想六 二次函数含参问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 。 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考情况来看，B卷填空压轴题中出现了定轴动区间和动轴定区间的考查（分类讨论思想）。 “定轴动区间”和“动轴定区间”型最值处理核心是分情况讨论对称轴和区间（自变量的取值范围）的位置关系来求最值‌。 解题通法（定轴动区间） 1）确定对称轴‌：先写出对称轴方程。 2）分情况讨论‌：根据对称轴与动区间的位置关系分三类： （1）对称轴在区间左侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 （2）对称轴在区间右侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 （3）对称轴在区间内‌： 顶点为最值点（开口向上为最小值，开口向下为最大值），另一最值在离对称轴较远的端点。 终极猜想·精练通关 1．已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为 ． 2．若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 3．我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是 。 4．定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是 押题猜想七 几何图形综合压轴问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，在中，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折得到，与交于点，当时，则______ 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考情况来看，本部分多以小题的压轴题呈现，对于知识点考察主要集中在三角形、四边形、解直角三角形、相似为主，特别是会涉及到特殊四边形的性质以及判定，同时对于折叠问题主要是主要折叠的边相等，角相等；综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 备考过程中，还需要熟悉并掌握常见的最值模型（将军饮马（遛马过桥）、费马点、胡不归、瓜豆原理、隐圆模型等），可有效提升解题效率。 终极猜想·精练通关 1．如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则______． 2．如图，在中，，是上的中线，将沿进行翻折，使得点B落在点P处，连接，分别交于点O，E，与相交于点F，连接．若，则______． 3．如图，已知点和y轴上的动点，点B在第二象限内，和都是等边三角形（B、C、D按顺时针排序）．将沿翻折得，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为，则y与x的函数关系式为_______． 4．如图，在矩形中，点E是边延长线上一动点，连接，若，则的最小值为______． 押题猜想八 代数类综合压轴问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为 ． 分析有理·押题有据 从近四年的成都中考来看，该内容为新增重要考点，主要考查学生对新概念的理解能力和思辨能力，符合新课标的核心素养。代数类压轴题近几年几乎每年都考，难点不同年份有略微差异，基本上在B卷的21题或23题的位置，解决这类问题的关键就是认真审题，先搞清楚题目给定的新概念，再结合所学知识解决即可。这类问题本质还是考查已学过的知识点，读懂新概念是关键。 终极猜想·精练通关 1．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是 ，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为 ． 2．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 3．如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 4．定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 试题前瞻·能力先查 限时：5min 如图，在,，D为中点，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的外部交于点；③作直线交于点H．若,，则 ． 分析有理·押题有据 本考点为成都中考必考考点，常在选择题第8题或填空题13题出现，难度中等。尺规作图题属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 终极猜想·精练通关 1．小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心，任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，分别以和点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点，又以为圆心，以的长度为半径画弧交的延长线于点，连接并延长交于点，经过此操作后，下列结论错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 3．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则 ． 4．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则 ． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $