专题04 数据的分析初步期中复习讲义 (12大题型+题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题04.数据的分析初步期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平均数（加权）、中位数、众数、极差、方差 / 标准差定义及公式 2.掌握各统计量特性，明确箱线图核心要素 3.牢记中位数先排序、方差计算关键步骤 1.快速精准计算各类统计量 2.结合实际场景合理选择统计量并说明理由 3.解读统计图表，提取信息并简单分析决策 4.规避易错点，提升数据处理准确性 1.基础计算题零失误，秒杀平均数、中位数等计算 2.攻克统计量选择、数据稳定性比较等高频应用题 3.突破图表结合的综合分析题，规范书写步骤 4.掌握答题技巧，轻松应对主观解答题 题型01.算术平均数计算与未知求解 题型02.加权平均数计算与决策 题型03.中位数众数计算与未知求解 题型04.离差平方和与方差标准差计算 题型05.方差标准差求未知数据 题型06.四分位数与箱线图应用 题型07.集中趋势统计量辨析与决策 题型08.方差标准差判稳定性与决策 题型09.样本统计量估计总体 题型10.实际场景选统计量 题型11.多统计量综合决策 题型12.数据变换后平均数计算 解答题5题 一、数据的集中趋势（描述数据 “平均水平” 的统计量） 1. 算术平均数（简称：平均数） 符号：xˉ（读 “x 拔”） 基本公式：若有n个数据x1​,x2​,…,xn​，则= 加权平均数（核心拓展，中考高频）若一组数据中，数据 x1出现 f1 次，x2出现 f2 次，…，xk出现 fk次，且 f1+f2+⋯+fk=n（n 为数据总个数），则加权平均数：= 关键性质：一组数据中每个数都加上（或减去）同一个数，平均数也随之加（减）这个数；每个数都乘（或除以）同一个非零数，平均数也随之乘（或除以）这个数。 2. 中位数 (1)定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后， ① 若数据个数n为奇数，则处于中间位置的数为中位数 ② 若数据个数n为偶数，则处于中间两个数的算术平均数为中位数。 (2)核心特点：不受极端值（偏大或偏小的数）影响，能反映数据的中间水平。 (3)易错点：求中位数前必须先对数据排序，未排序直接找中间数为常见错误。 3. 众数 (1)定义：一组数据中出现次数最多的数（或多个数）。 (2)核心特点：① 不受极端值影响，能反映数据的 “多数水平”；② 一组数据的众数可以有 1 个、多个或没有（所有数出现次数相同则无众数）。 (3)适用场景：如商场进货、统计热门选择等，关注数据的流行趋势。 4. 三个统计量的对比与选择 统计量 计算要求 受极端值影响 适用场景 平均数 需计算所有数据 受影响 数据分布均匀、无极端值，反映整体平均水平（如平均分、平均身高） 中位数 需排序，计算简单 不受影响 数据存在极端值（如工资、房价），反映中间水平 众数 需统计次数，无需计算 不受影响 关注数据的多数情况（如销量最高的商品、最受欢迎的成绩） 二、数据的离散程度（描述数据 “波动大小” 的统计量） 1. 极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差，即：极差=最大值−最小值。 特点：计算最简单，能粗略反映数据的波动范围；但受极端值影响大，且只考虑两个端点数据，忽略中间数据的波动。 2. 方差（核心，中考必考计算） 符号：s2 核心意义：方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。 性质：一组数据中每个数都加上（或减去）同一个数，方差不变；每个数都乘同一个数a，方差变为原来的a2倍。 3. 标准差 定义：方差的算术平方根，符号：s，即s=。 特点：单位与原数据一致，更易直观理解数据的波动程度（如身高的标准差单位为 “厘米”），意义与方差一致。 4. 离散程度统计量的对比 统计量 计算难度 反映波动的细致度 受极端值影响 极差 最简单 最粗略（仅看端点） 大 方差 稍复杂 最细致（考虑所有数据） 小（相对极差） 标准差 稍复杂 最细致，单位统一 小（相对极差） 三、本章核心计算步骤（避错关键） 1. 求加权平均数 (1)确定各数据及其对应权；(2). 计算 “数据 × 权” 的和；(3). 除以权的总和。 2. 求中位数 (1).将数据按从小到大（或从大到小）排序；(2). 数清数据个数n，判断奇偶；(3). 按定义找中位数（奇数找中间数，偶数算中间两数的平均）。 3. 求方差 (1)先计算这组数据的平均数；(2)计算每个数据与平均数的差的平方；(3)求所有平方的平均数（加权方差则乘对应权再求和，再除以权的和）。 题型01.算术平均数计算与未知求解 【典例】小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【答案】A 【分析】本题考查平均数的应用，利用平均数公式求出三科总分，再减去已知的语文和英语分数即可得到数学成绩． 【详解】∵三科平均分为92分 ∴三科总分为（分）， ∵语文是88分，英语是95分 ∴数学成绩（分）． 【跟踪专练1】年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 先求出三场直播的总销售额与总直播时长，再根据平均数的定义计算平均每小时的销售额，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 三场直播总销售额为（万元）， 三场直播总时长为：（h）， 则平均每小时的销售额为（万元）． 故答案为：． 【跟踪专练2】小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相差______米． 【答案】 【分析】通过去掉不同成绩后的平均成绩，求出相应的总成绩，进而得出最好成绩和最差成绩，最后计算两者差值．本题主要考查了平均数的应用，熟练掌握平均数与总成绩的换算关系（总成绩 = 平均成绩×次数）是解题的关键． 【详解】解：设5次成绩分别为（最差）、、、、（最好）． 去掉最好和最差，总成绩为 ，即 ． 去掉最好，总成绩为 ，即 ， 所以 ． 去掉最差，总成绩为 ，即 ， 所以 ． 最好成绩与最差成绩相差： 故答案为： ． 【跟踪专练3】我校拟招聘一名应届毕业数学教师，现有甲、乙两名毕业生入围，两名毕业生的笔试、面试的成绩如表所示，以算术平均分或者以笔试占，面试占计算综合成绩，学校将分别录取（      ）毕业生． 教师成绩 甲 乙 笔试 90分 84分 面试 85分 90分 A．甲、甲 B．甲、乙 C．乙、甲 D．乙、乙 【答案】B 【分析】分别求出两人的算术平均数和加权平均数，进行判断即可. 【详解】解：甲的算术平均数为（分）；加权平均数为（分）； 乙的算术平均数为（分）；加权平均数为（分）； ∵， ∴学校将分别录取甲、乙毕业生. 题型02.加权平均数计算与决策 【典例】某班名学生在某次适应性考试中，数学成绩在分的有人，则这个分数段的组中值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组中值的定义公式代入数值求解即可. 【详解】解：∵组中值的计算公式为组中值=(区间上限区间下限) ∴组中值． 【跟踪专练1】已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 【答案】175 【分析】设30名男生的平均身高为acm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题． 【详解】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm； 设30名男生的平均身高为acm， 则有：=168， 解得a=175（cm）． 故答案为：175． 【点睛】本题考查的是加权平均数的应用．本题易出现的错误是对，168这两个平均数的理解不正确． 【跟踪专练2】某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，乙候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，并分别赋予它们6和4的权．根据两人的平均成绩，公司将录取________． 【答案】乙/乙候选人 【分析】本题考查了加权平均数的计算公式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲：（分）， 乙：（分）， ∵， ∴公司将录取乙． 故答案为：乙． 【跟踪专练3】郧阳中学有甲、乙、丙三个班，甲班有人，乙班有人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分.则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别计算每个班的总分，再求出三个班的总分和总人数，最后用总分除以总人数得到总平均分． 【详解】解：∵甲班有人，平均分是分，乙班有人，平均分是分，丙班有人，平均分是分， ∴甲班的总分数为分，乙班的总分数为分，丙班的总分数为分； ∴三个班的总分数为分，三个班的总人数为人； ∴总平均分是， 题型03.中位数众数计算与未知求解 【典例】一组数据：75、95、85、100、125的中位数是（　　） A．85 B．95 C．96 D．100 【答案】B 【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：75、85、95、100、125 ∴中位数是95． 【跟踪专练1】当五个整数从小到大排列后，这组数据的中位数是4，如果其唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是________． 【答案】21 【分析】本题主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．根据中位数和众数的定义分析可得答案． 【详解】解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是4，这组数据的唯一众数是6． 所以这5个数据分别是，，4，6，6，其中或2，或3． 这组数据可能的最大的和是． 故答案为：21． 【跟踪专练2】某班50名学生的年龄统计如表： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 2 22 22 4 则这个班学生的年龄的众数是________ ． 【答案】14岁和15岁 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解． 【详解】因为这组数据中14,15都出现了22次，且比其他数据出现的次数多， 所以这组数据的众数是14岁和15岁． 【跟踪专练3】某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下的柏树棵数如下：12，12，，9，若这组数据的众数与平均数相等，则它们的中位数是________． 【答案】 【分析】本题考查了众数、平均数和中位数的相关知识．根据众数的概念，结合所给数据，可得这组数据的众数为12，再根据众数和平均数相等，即可列等式求出x，进而求得这组数据的中位数． 【详解】解：这组数据的众数与平均数相等，由于一组数据的平均数只有一个，故这组数据的众数只能为12， ， 解得， 这组数据为15，12，12， 9， 它们的中位数是：， 故答案为：． 【跟踪专练4】在进行了一段时间的身体素质训练后，体育老师随机抽取班上10名男生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，205，237，235，240，239，216，245，235，257．这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 【答案】A 【分析】本题考查中位数和众数的定义，按照定义先对数据排序，再分别计算中位数和众数即可得到结果． 【详解】解：将这组数据从小到大排序，得：， ∵数据总个数为，是偶数， ∴中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即中位数， ∵在这组数据中出现次数最多，共次， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别是，故选A． 题型04.离差平方和与方差标准差计算 【典例】组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【答案】C 【分析】根据组内离差平方和是方差计算的基础，其依据是数据点与平均数的偏差平方和即可选出正确答案； 本题考查了组内离差平方和的计算依据，熟练掌握其依据是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和的定义为各数据与平均数之差的平方和，用于度量数据离散度． ∴组内离差平方和的计算依据是数据与平均数的差的平方和． 故选：C． 【跟踪专练1】有一组数据：（为常数），这组数据的方差为________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为， 这组数据的方差为 ． 【跟踪专练2】一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为____． 【答案】3 【分析】本题考查了标准差及方差的知识，解题的关键是了解标准差是方差的算术平方根． 数据中的每个值都加上相同的常数，方差不变，因此新数据的方差仍为9，标准差为方差的算术平方根，故为3． 【详解】解：∵数据，，的方差是9， ∴数据，，的方差是9． ∴数据，，的标准差是． 故答案为：3． 【跟踪专练3】在一次体育测试中，4名男生引体向上的成绩（单位：次）分别为9，11，5，7，则这组数据的方差是________，标准差是________． 【答案】 5 【分析】本题主要考查方差和标准差，计算标准差需要先算出方差，标准差即方差的算术平方根，注意标准差和方差一样都是非负数，熟练掌握计算公式是解题关键． 先计算平均数，再计算方差，最后根据方差的算术平方根得出标准差． 【详解】∵数据9，11，5，7的平均数是： ∴方差是： ∴标准差是 故答案为：5，． 【跟踪专练4】求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列结论：①加入两个数7，7后，n的值增加了2；②加入两个数7，7后，该组数据的平均数不变；③加入两个数7，7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7，7后，该组数据的离差平方和变大．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方差，平均数，离差平方和．依题意，得出原始数据为，，平均数，当加入两个7后，，平均数不变，方差变小，离差平方和不变，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴原始数据为，， 当加入两个7后，此时， ∴n的值增加了2， ∴①是符合题意的； 则原始数据求和：， ∴平均数， 则当加入两个7后，新数据求和：， 此时新数据的平均数，平均数不变， ∴ ②符合题意； ∴原始方差； 新方差为， ∵， ∴方差变小， ∴ ③符合题意； 依题意，原始离差平方和 新离差平方和，不变， ∴ ④是不符合题意， ∴ 正确结论有3个， 故选：C 题型05.方差标准差求未知数据 【典例】某组数据的方差的计算公式是，则该组数据的总和为（    ） A．4 B．36 C．13 D．9 【答案】B 【分析】根据求方差的公式进行计算，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴样本容量为9，平均数为4， ∴该组数据的总和为； 故选：B 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义． 【跟踪专练1】若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 【跟踪专练2】如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【答案】A 【分析】本题考查了方差：方差公式…，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先计算前5次的平均数，要使六次成绩的方差小于5次成绩的方差，则第6次的成绩要等于或接近平均数，据此可得答案． 【详解】解：前5次的平均数为：， ， 小雨的期末数学成绩可能是 故选：A 题型06.四分位数与箱线图应用 【典例】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 【跟踪专练1】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 【跟踪专练2】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 【跟踪专练3】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，理解箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（下四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 题型07.集中趋势统计量辨析与决策 【典例】六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 【答案】D 【分析】本题考查平均数的意义，根据平均数只能反映一组数据的平均情况解答即可，也是解题关键． 【详解】解：因为平均数只能反映一组数据的平均情况， 所以无法确定谁成绩高． 故选D． 【跟踪专练1】下表是某公司员工月收入的资料： 月收入／元 55000 28000 20000 8500 8000 4400 4300 2000 人数 1 1 2 3 6 4 15 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是______． 【答案】中位数和众数 【分析】本题主要考查了中位数和众数， 先确定中位数和众数，并作出判断. 【详解】解：因为该公司全体员工月收入最多的是4300元，所以众数是4300元， 则众数能反映该公司全体员工收入水平； 一共有，中位数是4400元， 所以中位数也能反映该公司员工收入水平. 故答案为：众数和中位数. 【跟踪专练2】某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是___．（填写序号即可） 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 7 7 10 12 【答案】③ 【分析】通过计算成绩为91、92的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，即可进行选择． 【详解】解：由表格数据可知，成绩为91、92的人数为50-（1+2+3+5+7+7+12+10）=3（人）， 成绩为100出现次数最多，因此成绩的众数是100， 所以众数与被遮盖的数据无关， 故答案为：③． 【点睛】本题考查众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提． 【跟踪专练3】小明家搬进新居后添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻观察电表的度数，电表显示的度数如下表，估计这个家庭六月份的总用电量为_________度，所用的数学原理为：____________________． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 度数（度） 97 102 106 111 117 【答案】 150 用样本估计总体 【分析】先求抽查4天的平均用电量，即可作为6月份每天的平均用电量，进而求出6月份的总用电量，即采用了用样本估计整体的方法． 【详解】解：4天的总用电量度，每天的用电量度， 六月有30天，故这个家庭六月份的总用电量为度． 由计算方法可知，所用的数学原理为用样本估计总体． 故答案为：150；用样本估计总体． 【点睛】本题主要考查了平均数、用样本去估计总体等知识点，掌握用样本估计总体的方法是解答本题的关键． 题型08.方差标准差判稳定性与决策 【典例】已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】 8 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 【详解】解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 【跟踪专练1】为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从两组数据的波动情况可以直观得出答案． 【详解】解：从每组数据的波动情况看，第二组的数据波动比第一组数据波动大，所以第一组数据的方差小于第二组数据的方差，即． 【跟踪专练2】为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级三个班比赛成绩的平均数与方差如下表： 甲 乙 丙 平均数 方差 若要从中选择一名成绩较好且发挥稳定的同学代表年级去参加该知识竞赛，应该选择______班的同学． 【答案】乙 【分析】根据平均数和方差的意义解答，选择平均数高的，方差小的班级，即可求解． 【详解】解：从平均数看，甲、乙两班成绩较好； 在这两个班中，乙班的方差更小，发挥更稳定， 故应该选择乙班的同学． 【跟踪专练3】下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练4】甲、乙、丙三名同学进行立定跳远测试，每人5次立定跳远成绩的平均数都是2.30米，方差分别是，，，则这三名同学立定跳远成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样稳定 【答案】A 【分析】根据方差的意义，由方差越小，成绩越稳定，求解即可． 【详解】解：∵， ∴这三名同学立定跳远成绩最稳定的是甲． 题型09.样本统计量估计总体 【典例】从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（    ） A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的标准差就越大 C．样本容量越小，样本平均标准差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 【答案】D 【分析】根据样本容量与总体的关系解答即可. 【详解】解：A、样本容量越大，样本平均数就越大，叙述错误； B、样本容量越大，样本的标准差就越大，叙述错误； C、样本容量越小，样本平均标准差就越大，叙述错误； D、样本容量越大，对总体的估计就越准确，叙述正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用样本估计总体，熟知在一个总体中，总体的估计只与样本容量在总体中所占的比例有关是解答关键. 【跟踪专练1】为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【答案】3750 【分析】先计算抽取样本的平均月用水量，再乘以社区总户数，即可得到该社区每月总用水量的估计值． 【详解】解：抽取的8户居民的总月用水量为 （立方米）， 样本平均每户月用水量为（立方米）， 估计该社区300户居民每月总用水量为（立方米）． 【跟踪专练2】环保小组抽样调查了某社区10户家庭1周内使用环保方便袋的数量，结果为（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．试估计该社区500户家庭1周内使用环保方便袋约为（    ） A．2500只 B．3000只 C．3500只 D．4000只 【答案】C 【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数500即可解答． 【详解】解：（6+5+7+8+7+5+8+10+5+9）×500=3500（只）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，求出样本平均数，再用样本平均数求总体是解题关键． 题型10.实际场景选统计量 【典例】在兰州黄河湿地自然保护区，生态监测小组正汇总连续15个观测日的鸟类观测数据，记录了大白鹭、普通燕鸥、黑鹳三种重点保护鸟类的每日出现情况．为精准判断哪种鸟类在整个监测周期内出现的总次数最多，需重点关注的统计量是（      ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】D 【分析】本题考查了众数的定义，出现次数最多的数为数据的众数，结合为精准判断哪种鸟类在整个监测周期内出现的总次数最多，故需重点关注的统计量是众数，即可作答． 【详解】解：∵精准判断哪种鸟类在整个监测周期内出现的总次数最多， ∴需重点关注的统计量是众数， 故选：D． 【跟踪专练1】某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的______（填“众数”或“中位数”或“平均数”） 【答案】中位数 【分析】本题主要考查了统计量的选择，中位数的意义等知识点，熟练掌握中位数的定义是解题的关键：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 由于取前名同学参加学校的决赛，共有名同学参加选拔赛，根据中位数的意义分析即可得出答案． 【详解】解：个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有个数， 只要知道自己的分数和中位数，就可以知道自己能否进入决赛了， 故答案为：中位数． 【跟踪专练2】下面特征量中不能刻画数据集中趋势的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．最小值 【答案】D 【分析】本题考查数据集中趋势的特征量识别．集中趋势的统计量包括平均数、中位数、众数，而最小值属于描述数据范围的统计量． 根据中位数、众数、平均数和最小值的意义进行判断． 【详解】解：A、平均数是所有数据之和除以数据个数，反映数据的平均水平，是集中趋势的核心指标，故此选项不符合题意； B、 中位数是将数据按大小排列后位于中间位置的数，不受极端值影响，体现数据中间位置的集中趋势，故此选项不符合题意； C、众数是数据中出现次数最多的数，反映数据的集中分布情况，故此选项不符合题意； D、最小值是数据中的最小数值，仅描述数据范围的下限，不能刻画数据集中趋势，故此选项符合题意； 故选：D． 题型11.多统计量综合决策 【典例】某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示： 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件） 28 30 36 55 28 10 商场经理想了解哪种型号最畅销，下列关于型号的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（　 　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数． 【详解】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 【跟踪专练1】在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下： 非常满意 较满意 一般 不太满意 非常不满意 合计 甲 28 40 10 10 12 100 乙 25 20 45 6 4 100 若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去_________景点（填甲或乙），理由是_________． 【答案】 甲 甲景点满意人多于乙景点（不唯一） 【分析】计算游客对景点的满意度，满意度高的景点就首要推荐 【详解】在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取的100人中，对甲景点满意的有68人，对乙满意的有45人， 因为， 所以建议她去景点甲. 故答案为：甲； 理由是满意甲景点的人数多于乙景点. 故答案为：满意甲景点的人数多于乙景点 【点睛】本题考查了抽查，计算满意度是解题的关键． 【跟踪专练2】在某市的期末考试中，甲校满分人数占，乙校满分人数占．下列说法正确的是（   ） A．甲校满分人数多于乙校满分人数 B．甲校满分人数少于乙校满分人数 C．甲校满分人数等于乙校满分人数 D．两校满分人数无法比较 【答案】D 【分析】满分人数由学校总人数和满分人数占比共同决定，由于题目未给出两校的总人数，因此无法比较两校满分人数的多少． 【详解】解：∵ 满分人数学校总人数满分人数占比， 本题仅给出两校满分人数的占比，未给出甲、乙两校的总人数， ∴ 无法得到两校具体的满分人数，无法比较两校满分人数的大小． 【点睛】本题主要考查了统计的初步认识，解题关键是认识到“占比不同就直接比较人数”是常见错误，一定要先确认总体数量是否已知． 题型12.数据变换后平均数计算 【典例】军军三次英语口试的平均成绩是92分，第一次成绩是90分，第二次成绩是96分，第三次成绩（    ）． A．低于平均分 B．等于平均分 C．高于平均分 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了算术平均数，用三次的总成绩减去前两次成绩，可得第三次的成绩，再与第三次比较即可即可． 【详解】解：第三次成绩为分， 而，则第三次成绩低于平均分， 故选：A． 【跟踪专练1】若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【答案】7 【分析】根据平均数的定义，先由原样本平均数求出原样本总和，再计算新样本的总和，最后求出新样本的平均数． 【详解】解：∵样本的平均数为10， ∴根据平均数的定义可得：，则， 对于样本，其平均数为： ． 【跟踪专练2】的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数的变形计算，掌握以上知识是解答本题的关键. 根据平均数的定义，先分别求出前5个数和后个数的总和，再计算全部个数的平均数， 【详解】解：前5个数的平均数为，总和为；第6到第个数共个数的平均数为，总和为， ∴全部个数的总和为，平均数为：，对应选项D，其他选项中，A和B未考虑数据量的差异，C的分母错误（总数为而非），故排除， 故选：D. 【解答题】 1．某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 (1)请算出三人的得票分； (2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； (3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 【答案】(1)甲36分，乙36分，丙18分 (2)甲入选 (3)甲 【分析】（1）根据得票率计算得票数，然后分别求出三人的得票分即可； （2）分别算出甲、乙、丙三人的平均分，进行判断即可； （3）分别算出甲、乙、丙三个人的加权平均数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：三人的得票分分别为 甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）； （2）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲入选； （3）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲被选中． 【点睛】准确掌握平均数和加权平均数的公式，并能正确计算是解题的关键． 2．八年级一班在团支部换届选举中为了从甲、乙两位同学中选出团支部书记，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位教师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表，全班50位同学参与民主测评进行投票，结果如图： 演讲答辩得分表： A B C D E 得分 甲 90 92 94 95 88 92 乙 89 86 87 94 91 a 民主测评统计图： 规定：①演讲得分按“最高分和一个最低分，再算平均分”确定； ②民主测评得分 “好”票数分“较好”票数分“一般”票数分． (1)求和的值； (2)若演讲答辩得分和民主测评按的权重比计算两位选手的综合得分，则哪位同学当选团支部书记． 【答案】(1) (2)甲当选团支部书记 【分析】本题考查了求平均数，加权平均数，条形统计图，熟练掌握平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分的方法确定平均数即可求得的值，根据总人数减去“好”与“一般”的票数求得的值； （2）根据加权平均数分别计算甲乙的平均数即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：甲民主得分：（分）； 乙民主得分：（分）； 甲综合得分：（分）； 乙综合得分：（分）； ∵， ∴甲当选团支部书记． 3．为了培养学生的实验意识，提高学生的实验操作能力，某校开展了物理实验操作技能比赛．现从该校八、九年级中各随机抽取15名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，均为整数，并分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 八年级被抽取学生C组的比赛成绩数据：82，84，84，84，84，89． 九年级被抽取学生的比赛成绩数据：61，70，71，74，80，82，86，86，86，90，92，92，95，95，100． 八、九年级被抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a 84 九年级 84 b c (1)________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的实验操作技能较好？并说明理由； (3)若该校八年级500名和九年级600名学生都参加此次实验操作技能比赛，请估计该校八、九年级所有学生的平均成绩．（结果保留一位小数） 【答案】(1)，，； (2)八年级技能较好，理由见解析 (3)分 【分析】本题考查了求中位数、众数、加权平均数，根据平均数、中位数、众数做判断． （1）根据中位数、众数的定义作答即可； （2）根据平均数、中位数、众数作答即可； （3）求加权平均数即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，八年级中位数是C组从小到大第4个数，即； 由九年级被抽取学生的比赛成绩数据可知，第八个数是，即中位数；出现次数最大，即； 故答案为：，，； （2）解：八年级技能较好，八年级平均数高于九年级，说明八年级的学生实验操作技能整体水平高于九年级（答案不唯一，合理即可）； （3）解：（分）． 答：该校八、九年级所有学生的平均成绩为分． 4．为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（竞赛每一项的满分均为分，学生得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，并将他们的四项成绩绘制成如图所示的条形统计图根据统计图解答下列问题： (1)补充完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 张山 李仕 (2)若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高． 【答案】(1)见解析 (2)张山综合得分更高 【分析】（1）由频数分布直方图得出张山和李仕四个项目的得分，再利用平均数、中位数、众数、方差的概念分别求解可得； （2）利用加权平均数的定义列式计算，从而得出答案． 【详解】（1）解：张山的成绩为∶， ∴张山成绩的中位数为（分）， 方差为； 李仕的成绩为， ∴李仕成绩的平均数为（分），众数为分； 补全表格如下： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分²） 张山 9 9 9 李仕 9 10 （2）解：张山的综合得分为（分）； 李仕的综合得分为（分）； ∵， ∴张山的综合得分高． 5．王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 王华 80 a 80 b 张伟 80 85 90 260 则______，______． (2)若将90分以上（含90分）的成绩评为优秀，请通过计算判断两位同学优秀率高低． (3)现在要从这两位同学中选一位去参加数学竞赛，你会选择谁？说说你的理由． 【答案】(1)80；60 (2)张伟的优秀率更高 (3)选择王华（答案不唯一），理由见解析 【分析】（1）根据中位数和方差的定义分别求解可得； （2）根据提供数据，可以分别求出两人的优秀率，即可得出答案； （3）可以从两人平均成绩或优秀率或方差得出答案． 【详解】（1）解：从统计图中提取王华10次成绩，并将成绩从小到大排序如下： ， ∴第5、6位均为80， ∴中位数为， 由题意得， ， ∴； （2）解：王华：90分及以上的成绩有3次，优秀率：， 张伟：90分及以上的成绩有次（3次90分、2次100分），优秀率：， ∴张伟的优秀率更高； （3）解：选择王华， 理由：王华的方差（60）远小于张伟（260），成绩更稳定，发挥更平稳，适合需要稳定发挥的竞赛场景． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.数据的分析初步期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平均数（加权）、中位数、众数、极差、方差 / 标准差定义及公式 2.掌握各统计量特性，明确箱线图核心要素 3.牢记中位数先排序、方差计算关键步骤 1.快速精准计算各类统计量 2.结合实际场景合理选择统计量并说明理由 3.解读统计图表，提取信息并简单分析决策 4.规避易错点，提升数据处理准确性 1.基础计算题零失误，秒杀平均数、中位数等计算 2.攻克统计量选择、数据稳定性比较等高频应用题 3.突破图表结合的综合分析题，规范书写步骤 4.掌握答题技巧，轻松应对主观解答题 题型01.算术平均数计算与未知求解 题型02.加权平均数计算与决策 题型03.中位数众数计算与未知求解 题型04.离差平方和与方差标准差计算 题型05.方差标准差求未知数据 题型06.四分位数与箱线图应用 题型07.集中趋势统计量辨析与决策 题型08.方差标准差判稳定性与决策 题型09.样本统计量估计总体 题型10.实际场景选统计量 题型11.多统计量综合决策 题型12.数据变换后平均数计算 解答题5题 一、数据的集中趋势（描述数据 “平均水平” 的统计量） 1. 算术平均数（简称：平均数） 符号：xˉ（读 “x 拔”） 基本公式：若有n个数据x1​,x2​,…,xn​，则= 加权平均数（核心拓展，中考高频）若一组数据中，数据 x1出现 f1 次，x2出现 f2 次，…，xk出现 fk次，且 f1+f2+⋯+fk=n（n 为数据总个数），则加权平均数：= 关键性质：一组数据中每个数都加上（或减去）同一个数，平均数也随之加（减）这个数；每个数都乘（或除以）同一个非零数，平均数也随之乘（或除以）这个数。 2. 中位数 (1)定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后， ① 若数据个数n为奇数，则处于中间位置的数为中位数 ② 若数据个数n为偶数，则处于中间两个数的算术平均数为中位数。 (2)核心特点：不受极端值（偏大或偏小的数）影响，能反映数据的中间水平。 (3)易错点：求中位数前必须先对数据排序，未排序直接找中间数为常见错误。 3. 众数 (1)定义：一组数据中出现次数最多的数（或多个数）。 (2)核心特点：① 不受极端值影响，能反映数据的 “多数水平”；② 一组数据的众数可以有 1 个、多个或没有（所有数出现次数相同则无众数）。 (3)适用场景：如商场进货、统计热门选择等，关注数据的流行趋势。 4. 三个统计量的对比与选择 统计量 计算要求 受极端值影响 适用场景 平均数 需计算所有数据 受影响 数据分布均匀、无极端值，反映整体平均水平（如平均分、平均身高） 中位数 需排序，计算简单 不受影响 数据存在极端值（如工资、房价），反映中间水平 众数 需统计次数，无需计算 不受影响 关注数据的多数情况（如销量最高的商品、最受欢迎的成绩） 二、数据的离散程度（描述数据 “波动大小” 的统计量） 1. 极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差，即：极差=最大值−最小值。 特点：计算最简单，能粗略反映数据的波动范围；但受极端值影响大，且只考虑两个端点数据，忽略中间数据的波动。 2. 方差（核心，中考必考计算） 符号：s2 核心意义：方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。 性质：一组数据中每个数都加上（或减去）同一个数，方差不变；每个数都乘同一个数a，方差变为原来的a2倍。 3. 标准差 定义：方差的算术平方根，符号：s，即s=。 特点：单位与原数据一致，更易直观理解数据的波动程度（如身高的标准差单位为 “厘米”），意义与方差一致。 4. 离散程度统计量的对比 统计量 计算难度 反映波动的细致度 受极端值影响 极差 最简单 最粗略（仅看端点） 大 方差 稍复杂 最细致（考虑所有数据） 小（相对极差） 标准差 稍复杂 最细致，单位统一 小（相对极差） 三、本章核心计算步骤（避错关键） 1. 求加权平均数 (1)确定各数据及其对应权；(2). 计算 “数据 × 权” 的和；(3). 除以权的总和。 2. 求中位数 (1).将数据按从小到大（或从大到小）排序；(2). 数清数据个数n，判断奇偶；(3). 按定义找中位数（奇数找中间数，偶数算中间两数的平均）。 3. 求方差 (1)先计算这组数据的平均数；(2)计算每个数据与平均数的差的平方；(3)求所有平方的平均数（加权方差则乘对应权再求和，再除以权的和）。 题型01.算术平均数计算与未知求解 【典例】小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【跟踪专练1】年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【跟踪专练2】小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相差______米． 【跟踪专练3】我校拟招聘一名应届毕业数学教师，现有甲、乙两名毕业生入围，两名毕业生的笔试、面试的成绩如表所示，以算术平均分或者以笔试占，面试占计算综合成绩，学校将分别录取（      ）毕业生． 教师成绩 甲 乙 笔试 90分 84分 面试 85分 90分 A．甲、甲 B．甲、乙 C．乙、甲 D．乙、乙 题型02.加权平均数计算与决策 【典例】某班名学生在某次适应性考试中，数学成绩在分的有人，则这个分数段的组中值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 【跟踪专练2】某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，乙候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，并分别赋予它们6和4的权．根据两人的平均成绩，公司将录取________． 【跟踪专练3】郧阳中学有甲、乙、丙三个班，甲班有人，乙班有人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分.则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（   ） A． B． C． D． 题型03.中位数众数计算与未知求解 【典例】一组数据：75、95、85、100、125的中位数是（　　） A．85 B．95 C．96 D．100 【跟踪专练1】当五个整数从小到大排列后，这组数据的中位数是4，如果其唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是________． 【跟踪专练2】某班50名学生的年龄统计如表： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 2 22 22 4 则这个班学生的年龄的众数是________ ． 【跟踪专练3】某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下的柏树棵数如下：12，12，，9，若这组数据的众数与平均数相等，则它们的中位数是________． 【跟踪专练4】在进行了一段时间的身体素质训练后，体育老师随机抽取班上10名男生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，205，237，235，240，239，216，245，235，257．这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 题型04.离差平方和与方差标准差计算 【典例】组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【跟踪专练1】有一组数据：（为常数），这组数据的方差为________． 【跟踪专练2】一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为____． 【跟踪专练3】在一次体育测试中，4名男生引体向上的成绩（单位：次）分别为9，11，5，7，则这组数据的方差是________，标准差是________． 【跟踪专练4】求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列结论：①加入两个数7，7后，n的值增加了2；②加入两个数7，7后，该组数据的平均数不变；③加入两个数7，7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7，7后，该组数据的离差平方和变大．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05.方差标准差求未知数据 【典例】某组数据的方差的计算公式是，则该组数据的总和为（    ） A．4 B．36 C．13 D．9 【跟踪专练1】若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【跟踪专练2】如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 题型06.四分位数与箱线图应用 【典例】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【跟踪专练1】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【跟踪专练2】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【跟踪专练3】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 题型07.集中趋势统计量辨析与决策 【典例】六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 【跟踪专练1】下表是某公司员工月收入的资料： 月收入／元 55000 28000 20000 8500 8000 4400 4300 2000 人数 1 1 2 3 6 4 15 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是______． 【跟踪专练2】某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是___．（填写序号即可） 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 7 7 10 12 【跟踪专练3】小明家搬进新居后添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻观察电表的度数，电表显示的度数如下表，估计这个家庭六月份的总用电量为_________度，所用的数学原理为：____________________． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 度数（度） 97 102 106 111 117 题型08.方差标准差判稳定性与决策 【典例】已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【跟踪专练1】为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练2】为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级三个班比赛成绩的平均数与方差如下表： 甲 乙 丙 平均数 方差 若要从中选择一名成绩较好且发挥稳定的同学代表年级去参加该知识竞赛，应该选择______班的同学． 【跟踪专练3】下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【跟踪专练4】甲、乙、丙三名同学进行立定跳远测试，每人5次立定跳远成绩的平均数都是2.30米，方差分别是，，，则这三名同学立定跳远成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样稳定 题型09.样本统计量估计总体 【典例】从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（    ） A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的标准差就越大 C．样本容量越小，样本平均标准差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 【跟踪专练1】为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【跟踪专练2】环保小组抽样调查了某社区10户家庭1周内使用环保方便袋的数量，结果为（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．试估计该社区500户家庭1周内使用环保方便袋约为（    ） A．2500只 B．3000只 C．3500只 D．4000只 题型10.实际场景选统计量 【典例】在兰州黄河湿地自然保护区，生态监测小组正汇总连续15个观测日的鸟类观测数据，记录了大白鹭、普通燕鸥、黑鹳三种重点保护鸟类的每日出现情况．为精准判断哪种鸟类在整个监测周期内出现的总次数最多，需重点关注的统计量是（      ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【跟踪专练1】某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的______（填“众数”或“中位数”或“平均数”） 【跟踪专练2】下面特征量中不能刻画数据集中趋势的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．最小值 题型11.多统计量综合决策 【典例】某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示： 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件） 28 30 36 55 28 10 商场经理想了解哪种型号最畅销，下列关于型号的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（　 　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【跟踪专练1】在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下： 非常满意 较满意 一般 不太满意 非常不满意 合计 甲 28 40 10 10 12 100 乙 25 20 45 6 4 100 若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去_________景点（填甲或乙），理由是_________． 【跟踪专练2】在某市的期末考试中，甲校满分人数占，乙校满分人数占．下列说法正确的是（   ） A．甲校满分人数多于乙校满分人数 B．甲校满分人数少于乙校满分人数 C．甲校满分人数等于乙校满分人数 D．两校满分人数无法比较 题型12.数据变换后平均数计算 【典例】军军三次英语口试的平均成绩是92分，第一次成绩是90分，第二次成绩是96分，第三次成绩（    ）． A．低于平均分 B．等于平均分 C．高于平均分 D．无法确定 【跟踪专练1】若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【跟踪专练2】的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 (1)请算出三人的得票分； (2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； (3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 2．八年级一班在团支部换届选举中为了从甲、乙两位同学中选出团支部书记，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位教师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表，全班50位同学参与民主测评进行投票，结果如图： 演讲答辩得分表： A B C D E 得分 甲 90 92 94 95 88 92 乙 89 86 87 94 91 a 民主测评统计图： 规定：①演讲得分按“最高分和一个最低分，再算平均分”确定； ②民主测评得分 “好”票数分“较好”票数分“一般”票数分． (1)求和的值； (2)若演讲答辩得分和民主测评按的权重比计算两位选手的综合得分，则哪位同学当选团支部书记． 3．为了培养学生的实验意识，提高学生的实验操作能力，某校开展了物理实验操作技能比赛．现从该校八、九年级中各随机抽取15名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，均为整数，并分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 八年级被抽取学生C组的比赛成绩数据：82，84，84，84，84，89． 九年级被抽取学生的比赛成绩数据：61，70，71，74，80，82，86，86，86，90，92，92，95，95，100． 八、九年级被抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a 84 九年级 84 b c (1)________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的实验操作技能较好？并说明理由； (3)若该校八年级500名和九年级600名学生都参加此次实验操作技能比赛，请估计该校八、九年级所有学生的平均成绩．（结果保留一位小数） 4．为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（竞赛每一项的满分均为分，学生得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，并将他们的四项成绩绘制成如图所示的条形统计图根据统计图解答下列问题： (1)补充完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 张山 李仕 (2)若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高． 5．王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 王华 80 a 80 b 张伟 80 85 90 260 则______，______． (2)若将90分以上（含90分）的成绩评为优秀，请通过计算判断两位同学优秀率高低． (3)现在要从这两位同学中选一位去参加数学竞赛，你会选择谁？说说你的理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $