11.1一次函数（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

11.1一次函数 题型一正比例函数的判断    1．（22-23八年级下·河南许昌·月考）下列关于的函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，含有常数项，不是正比例函数，该选项不符合题意； B、，是正比例函数，该选项符合题意； C、，不是正比例函数，该选项不符合题意； D、，不是正比例函数，该选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【详解】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D．y=kx(k为常数） 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：∵正比例函数的形式为（）， A、，可写为，含项，不符合形式，不符合题意； B、，即形式，且，符合定义，符合题意； C、，含常数项，不符合形式，不符合题意； D、y=kx(k为常数）中，k可能为0，不符合题意； 故选：B． 题型二 一次函数的判断  1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 3．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． （m，n是常数） 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（，、为常数）的函数是一次函数，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、是一次函数，故该选项符合题意； C、不是一次函数，故该选项不符合题意； D、当中的时，才是一次函数，原说法未说明，故不一定是一次函数，故该选项不符合题意； 故选：B 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】(1)，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数 (2)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 【详解】（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 题型三 用待定系数法求函数关系式 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知y与x成正比例，当时，，那么此函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式．利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴函数解析式为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握待定系数法． 根据图象利用待定系数法求出直线解析式，然后列出一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：将代入得， ， 解得， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 3．（2026七年级下·山东·专题练习）若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，将已知坐标的两点代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解得到和的值，再将点代入解析式即可求出. 【详解】解：将，代入可得： 解方程组得： 因此一次函数解析式为， 将代入得： 4．（22-23八年级下·河南商丘·月考）已知y关于x的一次函数，若图象经过原点，则______． 【答案】 【分析】首先根据一次函数的定义求出，然后将代入求解． 【详解】解：∵y关于x的一次函数， ∴ ∴ ∵图象经过原点， ∴， ∴或（舍去）． 5．（21-22八年级上·广西梧州·期末）已知是的一次函数，下表列出了部分对应值，则__________． 0 2 3 9 【答案】5 【分析】利用已知的x与y的对应值求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：设该一次函数解析式为， 由表可知，当时，，可得， 将代入解析式得， 解得， 因此该一次函数解析式为， 将代入解析式得， 即． 6．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)设点在函数的图象上，直接写出的值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）设，将时，代入式子求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题； （3）将点代入（1）中解析式求解，即可解题． 解题的关键在于根据题意求出与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 时，， ， 解得， ， 即； （2）解：当时，； （3）解：点在函数的图象上， ， 解得． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）已知与成正比例，且当时，，求y关于x的函数解析式． （2）已知y与x是一次函数关系，当时，；当时，．求y关于x的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由与成正比例，设出解析式，把与的值代入解析式，即可确定出解析式； （2）设出解析式，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， 把，，代入可得 ， 解得， ，即； （2）解：设y与x的解析式为， 把，；，代入可得 ， 解得， 所以y与x的解析式为 8．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 题型一  一次函数综合题   1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一元一次方程的解法．首先用待定系数法求出一次函数的解析式，设点的坐标为，根据点到轴，轴的距离之和为，可列方程，再根据的取值范围分情况求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象经过点，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是， 设点的坐标为， 点到轴，轴的距离之和为， ， 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，点的坐标是或． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）一次函数的图象恒过定点，若与都在一次函数图象上，满足成立，则的取值范围__________． 【答案】或或． 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，有理数的乘法法则，解不等式，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． 由一次函数图象恒过定点代入得，进而得到函数解析式．再计算点P和Q的纵坐标，结合条件得到不等式，结合，解不等式，即可解题． 【详解】解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴函数解析式为． ∵点与在函数图象上， ∴，， 由，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 即或， 解得或． 又， ∴k的取值范围为或或． 故答案为：或或． 3．（25-26八年级下·福建福州·月考）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把点代入正比例函数，求出的值，得到点的坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）先根据的取值范围求出的取值范围，再根据函数增减性求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， 则该一次函数的表达式为． （2）∵，是一次函数图象上的两点， ∴，， 又， ∴， 解得， ∴， 又， 则函数值的取值范围为． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出，即可作答． （2）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， ， （2）解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得， 解得， 一次函数的解析式为． 5．（25-26九年级上·北京通州·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于6，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及解不等式组，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解； （2）根据题意得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴函数的解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：由题意得，， ∴且， ∵， ∴且， ∴． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数为，，若函数值满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、解一元一次不等式组． (1)用待定系数法求出一次函数的解析式； (2)由，，可得，由，可得不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象过点和， 可得：， 解得：， 函数的解析式为； （2）解：，， ， 当， ， 整理可得：， 解得：． 题型二 根据一次函数或正比例函数定义求字母的值   1．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是关于x的正比例函数，则m的值为_____． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为，且自变量指数必须为1，因此，需满足且，计算即可得出结果，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴，， 解可得或， ∵，即， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知是正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值，根据正比例函数的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得 ， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 题型三 一次函数的实际应用 1．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）某城市居民使用燃气实行阶梯收费，每户每月使用燃气量如果未超过15立方米，按每立方米3元收费．如果超过15立方米，未超过的部分仍按每立方米3元收费，超过部分按每立方米3.6元收费．设某户居民每月使用燃气量为立方米，应收燃气费为元． (1)分别写出当每月使用燃气量未超过15立方米和超过15立方米时，与之间的函数表达式； (2)若该城市某用户5月份和6月份共使用燃气50立方米，且5月份使用燃气量不足15立方米，两个月一共缴燃气费163.8元，求该用户5月份和6月份分别使用燃气多少立方米． 【答案】(1)当时，，当时， (2)该用户5月份和6月份分别用气12立方米、38立方米 【分析】（1）根据题意，可以分别写出当每月用气量未超过15立方米和超过15立方米时，y与x之间的函数表达式； （2）根据该城市某用户5月份和6月份共用气50立方米，且5月份的用气量不足15立方米，两个月一共交燃气费163.8元，可以列出相应的方程，从而可以求得用户5月份和6月份分别用气多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， 当时，， 即当时，，当时，； （2）解：设5月份用气x立方米，由题意可得， ， 解得， ∴， 答：该用户5月份和6月份分别用气12立方米、38立方米． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)当为整数，且时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当为整数，且时，选择甲商场划算 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次不等式的应用. （1）根据两种不同的优惠方式列函数关系式即可. （2）当时，，，则，当时，且为整数，再分三种情况求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：当时，且为整数， ，. （2）解：当时，，，则， 当时，且为整数， 分三种情况，①，即， 解得时， 当时，选择乙商场划算； ②当，即， 解得时，选择两家商场一样划算； ③当，即， 解得时，选择甲商场划算； 综上：当，为整数时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当，为整数时，选择甲商场划算． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从某文具店购进A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元． (1)求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？ (2)已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元，王老师要给所有同学买书挂袋（共40只），若买B书挂袋m只，该文具店所获利润为w元，请写出w与m之间的关系式． 【答案】(1)文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列一次函数解析式． （1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据“购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元”列二元一次方程组求解即可； （2）设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为只，根据利润=（售价-进价）×销量列函数关系式即可． 【详解】（1）解：设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元， 根据题意得：， 解得：， 答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元； （2）解：设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为只，根据题意可知： · 题型一  一次函数定点问题 1．（2026·河北邢台·一模）无论取何值，一次函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数解析式整理为关于k的式子，根据无论k取何值等式都成立，令含k项的系数为0，即可求出定点坐标． 【详解】解：∵， ∴整理得， ∵无论取何值，一次函数图象一定经过该定点，等式恒成立， ∴， 解得 ， ∴一次函数图象一定经过定点． 2．（2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 【答案】 【分析】将直线解析式变形为，易知当时，，从而得到直线恒过定点． 【详解】解：∵， ∴， 当时，即时，， ∴直线恒过定点． 3．（21-22八年级下·浙江衢州·开学考试）对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【答案】 【分析】将原解析式变形为关于的一次式，根据对任意实数等式恒成立，可得的系数为0，计算即可得到定点坐标． 【详解】解：， ， 对任意实数，直线经过一个定点， ，解得， 将代入得， 这个定点为． 题型二一次函数与几何综合题 1．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，是的中点，是边上一动点，连接，过点作交边于点（点与点不重合），延长到点，使，连接，已知，． (1)如求证：； (2)设，求与的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，再证明，得出，由可得，故可得结论； （2）连接．根据可证明即可证明；由，可得，，根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中 ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∵是的中点， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图， 连接． ∵ ∴ 又，， ∴， ； ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ， 又点在边上，且点F与点B、C不重合，， ∴，即， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于第二象限内的点，且的面积为，，求正比例函数与一次函数表达式． 【答案】正比例函数和一次函数的解析式分别为， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求正比例函数的解析式．作交于点，根据等腰三角形的性质求出的坐标，再利用三角形面积公式求出点的坐标，然后利用待定系数法分别求直线的解析式和直线的解析式即可． 【详解】解：作交于点，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为； ∵直线的解析式为， 把、分别代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 即正比例函数和一次函数的解析式分别为，． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1一次函数 题型一正比例函数的判断    1．（22-23八年级下·河南许昌·月考）下列关于的函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 3．（25-26八年级上·重庆·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D．y=kx(k为常数） 题型二 一次函数的判断  1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． （m，n是常数） 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 题型三 用待定系数法求函数关系式 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知y与x成正比例，当时，，那么此函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026七年级下·山东·专题练习）若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 4．（22-23八年级下·河南商丘·月考）已知y关于x的一次函数，若图象经过原点，则______． 5．（21-22八年级上·广西梧州·期末）已知是的一次函数，下表列出了部分对应值，则__________． 0 2 3 9 6．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)设点在函数的图象上，直接写出的值． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）已知与成正比例，且当时，，求y关于x的函数解析式． （2）已知y与x是一次函数关系，当时，；当时，．求y关于x的函数解析式． 8．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 题型一  一次函数综合题   1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）一次函数的图象恒过定点，若与都在一次函数图象上，满足成立，则的取值范围__________． 3．（25-26八年级下·福建福州·月考）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，当时，求函数值的取值范围． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 5．（25-26九年级上·北京通州·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于6，直接写出n的取值范围． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数为，，若函数值满足，求的取值范围． 题型二 根据一次函数或正比例函数定义求字母的值   1．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是关于x的正比例函数，则m的值为_____． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知是正比例函数，则的值是_____． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 题型三 一次函数的实际应用 1．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）某城市居民使用燃气实行阶梯收费，每户每月使用燃气量如果未超过15立方米，按每立方米3元收费．如果超过15立方米，未超过的部分仍按每立方米3元收费，超过部分按每立方米3.6元收费．设某户居民每月使用燃气量为立方米，应收燃气费为元． (1)分别写出当每月使用燃气量未超过15立方米和超过15立方米时，与之间的函数表达式； (2)若该城市某用户5月份和6月份共使用燃气50立方米，且5月份使用燃气量不足15立方米，两个月一共缴燃气费163.8元，求该用户5月份和6月份分别使用燃气多少立方米． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从某文具店购进A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元． (1)求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？ (2)已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元，王老师要给所有同学买书挂袋（共40只），若买B书挂袋m只，该文具店所获利润为w元，请写出w与m之间的关系式． 题型一  一次函数定点问题 1．（2026·河北邢台·一模）无论取何值，一次函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 3．（21-22八年级下·浙江衢州·开学考试）对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 题型二一次函数与几何综合题 1．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，是的中点，是边上一动点，连接，过点作交边于点（点与点不重合），延长到点，使，连接，已知，． (1)如求证：； (2)设，求与的函数解析式． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于第二象限内的点，且的面积为，，求正比例函数与一次函数表达式． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www .zxxk.com 11.1一次函数 基础达标题 题型一正比例函数的判断 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】B 题型二一次函数的判断 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】B 4. 【详解】(1)解：由正方形的面积ycm2)是边长x(cm)的平方得，y=x 的正比例函数. (2)解：由应缴电费y(元)是收费标准0.53元/（kw·h)与用电量x 是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)解：由剩余的费用y(元)是总钱数减去用去的钱得，y=50-2x, 比例函数 题型三用待定系数法求函数关系式 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】3 4.【答案】-2 5.【答案】5 6. 【详解】(1)解：：y-1与x成正比例， 设y-1=x, :x=3时，y=4, 4-1=3k, 1/10 上好每一堂课 ,y不是x的一次函数，也不是x (kw·h)的乘积得，y=0.53x,y y是x的一次函数，但不是x的正 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得k=1, y-1=x, 即y=x+1; (2)解：当x=2时，y=2+1=3; (3)解：：点(a,-2)在函数y的图象上， -2=a+1, 解得a=-3. 7 【详解】(1)解：由题意可得y-3=k(2-x), 把x=1,y=6,代入可得 6-3=(2-1k, 解得k=3, y-3=3(2-x,即y=-3x+9; (2)解：设y与x的解析式为y=kx+b, 把x=0,y=3;x=2,y=7代入可得 「3=b 7=2k+b' [k=2 解得6=3 所以y与x的解析式为y=2x+3 8. 【详解】(1)解：：一次函数y=-x+7的图象经过点P,且点P的横坐标为3， y=-3+7=4, 点P3,4); (2)解：点P(3,4),PB⊥x轴， .PB=4,OB=3. :AB=2PB, .AB=8, 2/1U 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .A0=AB-OB=5, .点A(-5,0). 一次函数y=x+b经过点P(3,4),A(-5,0), 3k+b=4 -5k+b=0 1 k2 解得 b= 。一次函数的表达式为月 2 B 能力提升题 题型一一次函数综合题 1.【答案】，-2,3 72 2.【答案】k<-2,-1<k<0,或k>0 3. 【详解】(1)解：：点B(-a,3)在正比例函数y=-3x的图象上， .-3x-a=3, 解得a=1, B(-1,3), :一次函数y=c+b的图象经过点(0,2)和点B(-a,3), 「2=b 3=-k+b' b=2 解得 k=-11 则该一次函数的表达式为y=-x+2. (2):P(m,乃)，Q(m-1,y2是一次函数y=-x+2图象上的两点， .y=-m+2,y2=-m-1+2, 又0≤y2<5, 3/10 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .0≤-m-1+2<5, 解得-2<m≤3， ∴.-1≤-m+2<4, 又y=-m+2, 则y函数值的取值范围为-1≤y<4. 4. 4 【详解】(1)解：：点Bm,8)在正比例函数y=4x图象上， 3 ∴.-m=8, 3 .m=6, .B6,8 (2)解：由(1)得B(6,8,A-6,0)在一次函数y=x+b图象上， 6k+b=8 :代入一次函数解析式可得 -6k+b=0’ 2 k= 解得 3， b=4 2 一次函数的解祈式为y=x+4, 【详解】(1)解：将A(3,5),B(-2,0)代入y=kx+b(k≠0得， 3k+b=5 -2k+b=01 k=1 解得b=2 函数的解析式为y=x+2, 当x=0时，y=2, ∴.点C的坐标为0,2)： 2)解：由题意得，x+2<x+n<6 4/10 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.x<2n-4且x<12-2n, :x<2, ∴2n-4≥2且12-2n≥2， 3≤n≤5. 6. 【详解】(1)解：：函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(-1,0)和(3,2)， -k+b=0 可得： 3k+b=2 1 k 2 解得： b= 2 1 :函数的解析式为八=2x+2 1 1 (2)解：：y2=2x-1,1=x+ 2 =%2=+ 当1<y<5, 1<- 3 x+2 5, 33 1< 整理可得： 2x+2 33 2x+2 5 7 1 解得：-。<x< 3 3 题型二根据一次函数或正比例函数定义求字母的值 1.【答案】D 2.【答案】0 3.【答案】-2 4.【答案】1 5.【答案】0 题型三一次函数的实际应用 1. 5/10 学科网·上好课 【详解】(1)解：由题意可得，当0≤x≤15时，y=3x, 当x>15时，y=15×3+x-15)×3.6=3.6x-9, 即当0≤x≤15时，y=3x,当x>15时，y=3.6x-9; (2)解：设5月份用气x立方米，由题意可得， 3x+3.6(50-x-9=163.8, 解得x=12, .50-x=38, 答：该用户5月份和6月份分别用气12立方米、38立方米. 2. 【详解】(1)解：由题意可得：当x>1时，且x为整数， 1=1200+1200×0.65(x-1)=780x+420,y2=120+1200×0.7x (2)解：当x=1时，y1=1200,y2=960,则y>y2, 当x>1时，且x为整数， 分三种情况，①y>y2,即780x+420>840x+120, 解得x<5时， 当1<x<5时，选择乙商场划算； ②当=y2,即780x+420=840x+120, 解得x=5时，选择两家商场一样划算； ③当y<y2,即780x+420<840x+120, 解得x>5时，选择甲商场划算； 综上：当0<x<5,x为整数时，选择乙商场划算；当x=5时， 数时，选择甲商场划算. 3. 【详解】(1)解：设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y [3x+2y=110 根据题意得： 5x+4y=2001 x=20 解得： y=25 6/10 上好每一堂课 840x+120 选择两家商场一样划算；当x>5,x为整 元， 函学科网·上好课 答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元： (2)解：设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为(40-m)只， w=20-16)(40-m)+25-18)m=160+3m 拓展培优题 题型一一次函数定点问题 1.【答案】D 2.【答案】（3,7 3.【答案】（2,6) 题型二一次函数与几何综合题 1. 【详解】(1)证明：在ABC中 :AC2+BC2=82+62=100,AB2=102=100, .AC2+BC2=AB2, ∴.ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， .LB+LCAB=90°； :D是AB的中点， ∴：AD=BD 又DG=DF,LADG=LBDF, .△ADG≌△BDF(SAS), .∠DAG=∠DBC, :∠B+∠CAB=90°， .∠BAG+∠CAB=90°，即∠CAB=90°， AC⊥AG; (2)解：如图，连接EG. 7/10 上好每一堂课 根据题意可知： 命学科网·上好课 :DF⊥DE .LEDF=LEDG=90° 又ED=ED,DG=FD, .△EDF≌△EDG(SAS), :EF=EG AE=x,AC=8, .EC=8-x, :∠ACB=90°，CF=y, EF2=(8-x)2+y2, :△ADG≌△BDF, .AG BF, CF=y,BC=6, .AG=BF=6-y, :∠EAG=90°， EG2=x2+(6-y)2, EF=EG, (8-x2+y2=x2+(6-y)2, y=4r-7 3 又点F在BC边上，且点F与点B、 ∴.0<CF<6,即0<y<6, :0<4x-7<6 3 www zxxk.com C不重合，BC=6, 8/10 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 2. 【详解】解：作BC⊥OA交A0于点C,如图， 1y=kx+b y=kx BX-6 AB=BO,BC LOA,A(0,10, .OC=AC=-0A=5, 、2 C(0,5), :AOB的面积为15， 1 .0ABC=15, 2 即x10×BC=15, 解得BC=3, .B(-3,5, 设直线OB的解析式为y=k2x, 起8-35列代入=，得-站=5，解特名=名 :直线0B的解析式为y=3: 5 :直线AB的解析式为y=kx+b, [5=-3k+b 把B(-3,5)、A(0,10分别代入y=kx+b,得 10=b, 5 k= 解得 3, b=10 :直线AB的解析式为y=x+10, 3 即正比例函数和一次函数的解析式分别为y=-x, 5 3x,y= x+10 9/10 而学科网·上好课 www zxxk .com 10/10 卷系一每环丁