专题25 圆的有关位置关系-2026年中考数学第一轮复习

专题25 圆的有关位置关系 本专题是中考数学几何模块的核心内容之一，题型覆盖选择题、填空题、解答题，分值占比约8~12分。 考点 ①点与圆的位置关系 ②直线与圆的位置关系 ③切线的性质与判定 ④切线长定理 ⑤利用圆的位置关系解决最值问题及实际应用 考情 中考命题常结合勾股定理、相似三角形、三角函数、四边形性质等知识进行综合考查，既注重基础概念的理解，也强调逻辑推理和实际应用能力，部分地区还会涉及新定义问题和材料探究题，体现数学与生活的联系。 一、点与圆的位置关系 设圆的半径为，点到圆心的距离为： 1. 点在圆内：；2. 点在圆上：；3. 点在圆外：； 推论：平面内不在同一直线上的三点确定一个圆（三角形的外接圆）；三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。 二、直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 位置关系 公共点个数 数量关系 相离 0个 相切 1个 相交 2个 三、切线的性质与判定 1. 切线的性质 ①切线垂直于过切点的半径（核心性质）； ②经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； ③经过切点且垂直于切线的直线必过圆心； 推论：若两条切线从同一点引出，则这两条切线长度相等（切线长定理的雏形）。 2. 切线的判定 ①定义法：直线与圆有唯一公共点； ②距离法：圆心到直线的距离等于半径； ③判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（常用方法）。 四、切线长定理 1. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等； 2. 推论：圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；平分两切点连线所成的角；垂直平分两切点的连线。 五、圆的位置关系相关最值 1. 点到圆上点的距离最值：圆外一点到圆上点的最大距离为，最小距离为（为点到圆心的距离）； 2. 直线与圆相关最值：过圆内一定点的弦中，垂直于该点与圆心连线的弦最短； 3. 隐圆最值：若一个角的度数固定且对边长度固定，则该角的顶点在以定边为弦的圆上运动（定角对定边模型）。 六、重要推论 1. 直角三角形的外接圆直径为斜边，内切圆半径（为直角边，为斜边）； 2. 圆的两条平行切线之间的距离等于直径； 3. 若两圆相切（外切或内切），则圆心连线过切点； 4. 切线长定理的拓展：从圆外一点引圆的两条切线（为切点），则（为圆心），且平分。 考点1 点与圆的位置关系 例1．（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 考点2 切线的性质 例2．（2026·江苏徐州·一模）如图所示，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为_____． 考点3 切线的判定 例3．（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）如图，为的直径，C为上一点，，垂足为D，平分 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 考点4 切线长定理 例4．（25-26九年级下·北京·月考）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则_________． 考点5 利用点与圆的模型求最值 例5．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 一、单选题 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，△ABC的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 3．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·海南·中考真题）如图，在△ABC中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 二、填空题 10．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 11．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为_____． 12．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 13．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 14．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是△ABC的内切圆，，则_____． 15．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 16．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，_______ 17．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 18．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 三、解答题 19．（2025·湖南·中考真题）如图，△ABC的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 20．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 21．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 23．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 24．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 25．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求的长． 26．（2025·陕西·中考真题）如图，点在△ABC的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 28．（2025·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 29．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 30．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 31．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 32．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为△ADE外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 33．（2025·西藏·中考真题）如图，是的直径，点C在上，，过点C的切线交的延长线于点D．求证：． 34．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 35．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是△ABC的内切圆，与分别相切于点，． (1)求△ABC的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 36．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 37．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 38．（2025·山东东营·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且，点E在DC的延长线上，且． (1)求证：DC是⊙O的切线； (2)若，，求DA的长． 39．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，试求与半径的数量关系． 40．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长及的半径． 41．（2025·四川广安·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线． (2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 42．（2025·山东·中考真题）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 43．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，．求的长． 44．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，，求的长． 45．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 46．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 47．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 48．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 49．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 50．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 51．（2025·四川雅安·中考真题）如图，△ABC中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 52．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是______，线段与线段的数量关系是_______________； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 53．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 54．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 55．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 56．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 57．（2025·四川自贡·中考真题）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． (1)___________度； (2)求证：为的切线； (3)若，求上的长． 58．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． (1)求证：是的切线． (2)若， ，求的长． 59．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 60．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 61．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求与的长度； (3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 62．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 圆的有关位置关系 本专题是中考数学几何模块的核心内容之一，题型覆盖选择题、填空题、解答题，分值占比约8~12分。 考点 ①点与圆的位置关系 ②直线与圆的位置关系 ③切线的性质与判定 ④切线长定理 ⑤利用圆的位置关系解决最值问题及实际应用 考情 中考命题常结合勾股定理、相似三角形、三角函数、四边形性质等知识进行综合考查，既注重基础概念的理解，也强调逻辑推理和实际应用能力，部分地区还会涉及新定义问题和材料探究题，体现数学与生活的联系。 一、点与圆的位置关系 设圆的半径为，点到圆心的距离为： 1. 点在圆内：；2. 点在圆上：；3. 点在圆外：； 推论：平面内不在同一直线上的三点确定一个圆（三角形的外接圆）；三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。 二、直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 位置关系 公共点个数 数量关系 相离 0个 相切 1个 相交 2个 三、切线的性质与判定 1. 切线的性质 ①切线垂直于过切点的半径（核心性质）； ②经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； ③经过切点且垂直于切线的直线必过圆心； 推论：若两条切线从同一点引出，则这两条切线长度相等（切线长定理的雏形）。 2. 切线的判定 ①定义法：直线与圆有唯一公共点； ②距离法：圆心到直线的距离等于半径； ③判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（常用方法）。 四、切线长定理 1. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等； 2. 推论：圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；平分两切点连线所成的角；垂直平分两切点的连线。 五、圆的位置关系相关最值 1. 点到圆上点的距离最值：圆外一点到圆上点的最大距离为，最小距离为（为点到圆心的距离）； 2. 直线与圆相关最值：过圆内一定点的弦中，垂直于该点与圆心连线的弦最短； 3. 隐圆最值：若一个角的度数固定且对边长度固定，则该角的顶点在以定边为弦的圆上运动（定角对定边模型）。 六、重要推论 1. 直角三角形的外接圆直径为斜边，内切圆半径（为直角边，为斜边）； 2. 圆的两条平行切线之间的距离等于直径； 3. 若两圆相切（外切或内切），则圆心连线过切点； 4. 切线长定理的拓展：从圆外一点引圆的两条切线（为切点），则（为圆心），且平分。 考点1 点与圆的位置关系 例1．（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆形桌面上，可得点P在圆内或圆上，由此得到的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在内或上， ∴， 故观察选项，只有符合该范围． 考点2 切线的性质 例2．（2026·江苏徐州·一模）如图所示，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【分析】连接、，根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和等于，可求得，最后根据圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：连接、， 、分别与相切于A、B两点， ， ， 和分别是所对的圆周角和圆心角， ． 【点睛】圆的切线问题，添加过切点的半径是常用的辅助线． 考点3 切线的判定 例3．（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）如图，为的直径，C为上一点，，垂足为D，平分 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)18 【分析】（1）连接根据等腰三角形性质和角平分线定义得，由即可解决问题； （2）根据直径性质得到，根据角平分线的定义得到，根据余弦的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为半径， 直线是的切线； （2）为的直径， ， ， 平分， ， ， 在中，，， ， 在中，，， 考点4 切线长定理 例4．（25-26九年级下·北京·月考）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则_________． 【答案】/70度 【分析】根据是的切线，得出，根据，得出，根据切线长定理得出，则，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴， ∴， 在中，． 考点5 利用点与圆的模型求最值 例5．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先证点C在半径为4的上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为4， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 一、单选题 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 2．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，△ABC的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 3．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 5．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴△AOB为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 6．（2025·海南·中考真题）如图，在△ABC中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 9．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以．故选：B． 二、填空题 10．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 11．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为_____． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 12．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 14．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是△ABC的内切圆，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 16．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，_______ 【答案】/70度 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵、是圆O的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 18．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解． 【详解】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵梯形，， ∴点共线， ∴四边形为矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 三、解答题 19．（2025·湖南·中考真题）如图，△ABC的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1);(2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的定义以及全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件． （1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），将角平分线得到的等角转化为与、相关的角，进而证明两角相等． （2）由可得通过圆内接四边形的对角互补性质得到结合第一问结论及角平分线性质证明再通过角的等量转化证明，最终得到比例式． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴． ∵四边形内接于， ∴（同弧所对的圆周角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形内接于， ∴（圆内接四边形对角互补）． 又∵（平角定义）， ∴． 由（1）知 ∴（等角对等边）． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵ ，， ∴即 ∴． ∴， ∴，即． 21．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)长为44． 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． （2）延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明，可得，据此由切线的判定定理可证明结论； （2）过点C作于H，过点D作于M，设，则，解得到，则，解方程可得，则，，，由勾股定理得，则；解得到，则，，由勾股定理得；由等面积法可得，证明，得到；证明可得，则． 【详解】（1）证明；如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M， 设，则， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 23．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明； （2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴半径为． 24．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】(1)见解析;(2)半圆O的半径为2， 【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证； （2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，，，等边对等角，得到，切线推出，直径得到，进而得到，推出，平行线的性质，结合圆周角定理得到，等角对等弧，即可得证； （2）延长交于点，连接，由（1）可推出是含30度角的直角三角形，利用三角函数进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，，则：， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，连接，则：为的直径， ∴， ∵的半径为2， ∴ ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 26．（2025·陕西·中考真题）如图，点在△ABC的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 27．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】(1);(2)3， 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． （2）由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 28．（2025·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直； （2）先得到△ABC是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 29．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质得到，则根据平行线的判定与性质得到，再由等边对等角得到，即可等量代换求证． 【详解】证明：连接， ∵与边相切于点， ∴，即， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴平分． 30．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析;(2)． 【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 31．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析;(2)7 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，而，则，再根据等边对等角以及三角形的外角性质即可证明； （2）先证明，求出，再证明，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵过点D的直线与相切于点C， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 32．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用，求得，据此即可证明平分； （2）利用半径相等求得，利用三角形的外角性质可证明，推出，可证明，等量代换即可证明结论成立； （3）利用切线的性质结合，证明，设，则，利用，列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）证明：连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．作出合适的辅助线是解题的关键． 33．（2025·西藏·中考真题）如图，是的直径，点C在上，，过点C的切线交的延长线于点D．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，则，因为，所以是等边三角形，则，所以，由切线的性质得，则，所以，即可证明． 【详解】证明：连接，则， ， ∴是等边三角形， ， ， ∵与相切于点，交的延长线于点， ， ， ， ， ． 34．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析;(2)5 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线长定理得出，结合，，即可证明． （2）根据圆周角定理得出，由①可知：，得出，即可证明，进而得到． （3）连接．根据圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①证明：是切线， ， 又，， ． ②证明：点在上． ， 由①可知：， ， ， ． （2）解：连接． 是的直径， ， 又，， ∴． ， ， ． 35．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为．(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得，，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 36．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析;(2)的半径长为5，的长为 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 37．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 38．（2025·山东东营·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且，点E在DC的延长线上，且． (1)求证：DC是⊙O的切线； (2)若，，求DA的长． 【答案】(1)见解析;(2)3 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：∵， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题关键． 39．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，试求与半径的数量关系． 【答案】(1)是的切线，理由见解析;(2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，则，根据可得，根据是的切线，可得，进而得出，即可得证； （2）根据已知条件，根据一线三等角证明得出相似比为，进而得出，过点作于点，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点，则， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴． 40．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长及的半径． 【答案】(1)见解析;(2)；的半径为 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长交于点，连接，根据已知得出，根据圆周角定理得出，进而等量代换可得即，即可得证； （2）证明，即可得出，过点作于点，得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∴即 ∴是的切线； （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 解得： 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴的半径为 41．（2025·四川广安·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线． (2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则可导角证明，据此可证明结论； （2）证明，得到，则，设，则，，证明，得到，则，据此可求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 又， ， ， 的面积是的面积的3倍， ， ， 设， ，， ， ，， ， ， ， ∴， 在中，． 42．（2025·山东·中考真题）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析;(2)． 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即且为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，又， ∴等腰直角三角形， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴． 43．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，．求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． （2）解：如图2， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ， 是菱形， ． 为等边三角形， ∴． 在中，． 44．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，，求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． （2）解：如图2， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ， 是菱形， ． 为等边三角形， ∴． 在中，． 45．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线． （2）解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 46．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 47．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 48．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 49．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 50．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析;(2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 51．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析;(2)见解析;(3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是______，线段与线段的数量关系是_______________； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；；(2)补图见解析，为等腰三角形;(3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 53．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； （2）解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 54．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解;(2)的半径 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 55．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线； （2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）方法一： 证明：过点作于点， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 方法二： 证明：过点作于点， 与相切于点， ， ， 是的平分线， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； （2），为半径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键． 56．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 57．（2025·四川自贡·中考真题）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． (1)___________度； (2)求证：为的切线； (3)若，求上的长． 【答案】(1);(2)见解析;(3) 【分析】（1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论； （2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可； （3）由，，，可得，结合，再利用弧长公式计算即可. 【详解】（1）解：如图，连接，，， ∵和相交于两点，且经过的圆心， ∴，， ∴四边形是菱形，，是等边三角形， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接， 由（1）得：，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴上的长. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 58．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． (1)求证：是的切线． (2)若， ，求的长． 【答案】(1)详见解析;(2) 【分析】本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）如图：连接，利用证明 得到即可证明是的切线； （2）如图：连接，先说明，即．再根据圆周角定理可得；设，，由勾股定理可得，即．解答，进而得到、；由全等三角形的性质可得，进而得到；则，然后求得即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 在与中， ， ∴． ∴， ∴为的切线． （2）解：如图：连接． ∵，， ∴． ∴．． ∵为直径， ∴，． 设，，， ∴． ∴，，． ∵， ∴． ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 59．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，又由等腰三角形的性质及已知可得，即得，进而即可求证； （2）连接，由得，即得，，即得到，设，则，由勾股定理得，解得，再证明，得，即得，进而由得，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 60．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析;(2)． 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 61．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求与的长度； (3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】(1)见解析;(2)，;(3) 【分析】（1）连接， 可得，，由直径性质，得，可得，即得直线是的切线； （2）证明，得，得，可得，证明，得,，由,得； （3）过点E作于点G，则，当四边形面积最大时，面积最大，点F是的中点，可得，得 ，得，∴，得，由，得,即得． 【详解】（1）解：连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或； （3）过点E作于点G， 则， 当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 62．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明结论； （2）证明，求出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点F， ∴, ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 即 ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $